Rola i znaczenie błędów w nauce matematyki i nie tylko - cz.2

W poprzedniej części wyjaśniłem to jakie informacje niesie ze sobą błąd i co powoduje. Tym razem zastanowimy się nad tym co sprawia, że nasze błędy są niezbędnym elementem rozwoju.

Zacznijmy od akceptacji tego, że w drodze do mistrzostwa niezbędne jest popełnianie błędów. Sztuką jest wyciąganie z nich wniosków oraz świadoma praca nad tym, aby dawały nam one możliwość wspinania się na kolejny poziom.

Błędy mogą być bardzo wartościową wskazówką do tego, co jest nam trudno przyjąć. Mogą nam pokazywać, że jeszcze nie opanowaliśmy danego zagadnienia lub nie mamy wystarczających umiejętności, do tego, aby móc płynnie i swobodnie poruszać się w danych obszarze.

Prawdopodobnie jeden z najbardziej popularnych błędów na świecie - absolutna klasyka matematyki

Jak to przejawia się w matematyce? Pokażę na przykładzie. Załóżmy, że zaczynamy wyjaśnianie tematu dodawania liczb w zbiorze naturalnym. I mamy dwa jabłka, do tego dokładamy jeszcze trzy, więc razem mamy ich pięć. Zapis jest prosty: 2+3=5. No dobrze, a gdy do 7 jabłek dodamy 3? Tak, otrzymamy 10, ponieważ suma 7 i 3, to właśnie tyle! Teraz zadajmy sobie pytanie - czy moglibyśmy od 7 jabłek odjąć 10? A czy od 2 możemy odjąć 5? Jeśli odpowiedzią jest to, że "tak się nie da", wówczas popełniamy błąd. Otóż można i należy jedynie stwierdzić, że w obecnej chwili oraz bez dodatkowych pojęć... nie wiemy jak tego dokonać. Niemniej przychodzi kolejny etap w którym dziecko poznaje liczby całkowite i wtedy okazuje się, że jednak się da. Dlaczego? Dlatego, że 5-2 oraz 2-5 to w sumie to samo działanie (odejmowanie), tylko jego wynik będzie "po drugiej stronie lustra". Jest ono realizowane w tym samym kierunku, chociaż wynik będzie po drugiej stronie zera. Tak samo jak 10-7 oraz 7-10. Zobaczmy, że odległością między tymi liczbami jest stale wartość trzy. Raz trójka jest dodatnia, a raz ujemna. Niemniej za każdym razem jest to ta sama trójka.

I jak teraz to wyjaśnić dziecku? Wystarczy w tym momencie pokazać i wytłumaczyć to czym jest winda, jak działa termometr okienny czy też wskazać odniesienie do poziomu morza. Zobacz Marysiu: jeśli mamy 10 stopni i temperatura zmniejszy się o 7, wówczas będzie 3 stopnie (zaznaczamy pierwszy punkt). A jeśli byłoby 7 stopni i spadła by o kolejne 10? Co wtedy? Tak, wówczas przechodzi przez pewną granicę, która rozdziela liczby (wartości) dodatnie i ujemne. Stąd wynikiem będzie -3 i zaznaczamy drugi punkt. I teraz wystarczy tylko dokładnie przyjrzeć się temu w jakiej odległości od zera (granicy) są 3 i -3. Okazuje się, że są dokładnie tak samo oddalone od zera! A jeśli niebawem przypomnimy ten przykład, to wystarczy dodać, że zarówno w górę jak i w dół obie trójki są oddalone o 3 jednostki. Stąd właśnie wartość bezwzględna dla 3 i -3 jest taka sama.

Myślę, że teraz wyraźnie widać w jaki sposób popełnienie błędu bez wyciągnięcia wniosków, będzie wpływało na hamowanie procesu rozwoju dziecka, prawda?

No dobrze, to ładne i ciekawe rozważanie teoretyczne. Pytanie jednak jak u mnie przejawiają się błędy i co mi one dają? Pozwolę sobie opisać ten fascynujący temat na własnym przykładzie.

Weźmy pierwszy z brzegu przykład. Fascynowało mnie to dlaczego dzieci popełniają błędy w przypadku zadań związanych z polami figur. Przede wszystkim mylą wzory w których jest "przez dwa" z tymi w których nie ma. Postawiłem sobie proste pytanie - dlaczego? I okazało się, że sam również tego nie rozumiałem, ponieważ wiedzę dotyczącą wzorów miałem podaną w szkole na zbyt często stosowanej uczniowskiej zasadzie "trzy zet" - zapamiętaj, zalicz, zapomnij.

I z uwagi na to, że chcę nie tylko samemu tę dziurę w wiedzy załatać, ale również pomóc nauczycielom w tym, aby mogli jeszcze lepiej uczyć swoich uczniów... więc zgłębiłem temat. Na pierwszy ogień poszedł temat trójkątów. Wiadomo, że trójkąty są lekkie, łatwe i przyjemne, więc co mogło w nich stanowić jakikolwiek problem? Otóż była nim wysokość! Tak, coś co wydaje się banalne i oczywiste... było dla mnie poważnym problemem i zarazem wyzwaniem. Podjąłem decyzję, że przyjrzę się tej wysokości i spróbuję wejść w rolę dziecka, które zupełnie nie rozumie dlaczego są akurat trzy wysokości w każdym trójkącie (!) oraz czemu niektóre z nich są w środku trójkąta, inne idą po jego bokach, a jeszcze kolejne wychodzą poza trójkąt!

W ten oto sposób powstała seria: "Wysokość w figurach rewelacyjnie opisana - to matematyka świetnie zrozumiana i solidnie opanowana". Poniżej podaję linki do tych poszczególnych części, bo za chwilę będę o nich opowiadał (w telegraficznym skrócie oczywiście). O tym w jaki sposób mój proces zgłębiania tematu coraz bardziej otwierał przede mną kolejne drzwi.

Oto odnośniki (linki) do pięciu części serii dotyczącej wysokości w figurach płaskich.

1) część 1: https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2019/01/wysokosc-w-figurach-rewelacyjnie.html

2) część 2: https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2019/01/wysokosc-w-figurach-rewelacyjnie_28.html

3) część 3: https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2019/02/wysokosc-w-figurach-rewelacyjnie.html

4) część 4: https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2019/03/wysokosc-w-figurach-rewelacyjnie.html

5) część 5: https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2019/03/wysokosc-w-figurach-rewelacyjnie_24.html


Na początku postanowiłem przyjrzeć się temu co by się stało, gdybyśmy wykorzystali koncepcję szyn (torów) do tego, aby mieścić w niej nasze wysokości. Okazało się, że zastosowana koncepcja jest rewelacyjna, ponieważ teraz doskonale rozumiem dlaczego wyznaczamy ją z wierzchołka do podstawy. Musiałem zdefiniować wysokość i wyjaśnić (przede wszystkim sobie!) to jaka jest jest rola.

W kolejnej odsłonie przyjrzałem się innemu elementowi: w jaki sposób będzie wyglądała wysokość w trójkącie prostokątnym i rozwartokątnym. Z uwagi na to, że miałem już wszystkie niezbędne informacje, więc postanowiłem zebrać je w jednym miejscu w postaci tabeli. Nastąpiła kolejna wielka chwila, ponieważ zrozumiałem co się dzieje z punktem przecięcia wysokości (tzw. ortocentrum) w zależności od tego jak bardzo rozwiera się trójkąt. Okazało się, że w trójkącie ostrokątnym przecięcie jest w środku trójkąta, w prostokątnym - w wierzchołku kąta prostego, zaś rozwartokątnym - poza nim (nad największym kątem). Poza tym zrobiłem krótkie podsumowanie i podałem wskazówki. Teraz wiem jak najprościej wyznaczyć dowolną wysokość w trójkącie.

Trzecie podejście było konieczne, ponieważ wiedziałem już o wysokościach w trójkątach, ale musiałem mieć pewność, że rozumiem ją również na przykładzie czworokątów. I poszedłem o krok dalej, bo zastosowałem koncepcję szyn (pudełka) do tego, aby zobaczyć na ile będzie pomocna w wyjaśnianiu tego jak powstają czworokąty. Znów okazało się, że pójście o krok dalej daje pozwala mi otworzyć kolejne drzwi. Byłem mocno i zarazem mile zaskoczony tym, że nie da się niepoprawnie narysować danej figury, wykorzystując koncepcje szyn oraz wskazówki, którymi należy się kierować konstruując daną figurę. Rezultatem tych poszukiwań była moja wisienka na torcie. Tak, to właśnie tabela, która wyraźnie i prosto pokazuje, jakie właściwości ma każda z figur i która z nich należy do innej grupy. Przyznam, że akurat z tego odkrycia i dobrego opracowania jestem cholernie dumny. Czemu? Otóż dlatego, że to jedna z nielicznych tabel, która może w bardzo prosty sposób pomóc dzieciom utrwalić to czy prostokąt jest równoległobokiem zaś trapez prostokątem. I co mega ważne - jest to opracowane nie tylko poprawnie, ale również w postaci fajnej zabawy z dwiema kostkami.

Czwarta część dała mi impuls do tego, aby odkryć co takiego wiąże z tymi figurami. Powiem tylko, że zaprezentowałem pewien pomysł na to jak można pokazać i wyjaśnić sens powstawania wzorów na obliczanie pól figur. Ten artykuł akurat był dość krótki, ponieważ poprzedni był bardzo dogłębny i zrozumiałem, że nie muszę już rozpisywać się o czymś, co jest w tym momencie w pełni zrozumiałe jak też intuicyjne. Przy okazji mimochodem doszło do mnie to dlaczego jednostkami, które używamy do określenia pola... są jednostki kwadratowe, a nie powiedzmy, trójkątne.

Ostatnia część została opracowana po to, aby powiedzieć co nieco na temat specjalnych trójkątów równoramiennych. Podczas wielokrotnej analizy takich figur jak kwadrat, równoległobok oraz romb... magicznie pojawiały mi się w polu świadomości dziwne obiekty, których nie potrafiłem nazwać, chociaż stale je dostrzegałem. No i szybko powstały jak Feniks z popiołów - półkwadratus i półrombus. I to właśnie one dostały swoje pięć minut, aby zabłysnąć.

Zwieńczeniem całości był zestaw propozycji twórczych ćwiczeń dla dzieci - rysowanie, układanie, rozcinanie, łączenie i wnioski. Jestem przekonany, że na bazie tych właściwości można zaprojektować bardzo ciekawe i rozwijające twórczość ćwiczenia. Dodałem do tego również to, że jeśli tylko damy dzieciom odpowiednie warunki do rozwoju, wówczas ich ciekawość samodzielnie będzie je prowadzić w kierunku tego co ich pociąga. Wystarczy tylko stworzyć odpowiednie warunki i zachęcać do tworzenia, sprawdzania, opisywania, odkrywania i wnioskowania.

Po tym krótkim opisie wrócę do tego co jest sednem tego artykułu. W pewnym momencie zdałem sobie sprawę, że mam pewne braki oraz zrozumiałem to, że błędy, które popełniają dzieci... mają swoją przyczynę. Postanowiłem zatem poszukać tego co może sprawić, że uda się wyeliminować te błędy. Niemniej, aby dojść do tych koncepcji i wniosków, które zaprezentowałem w serii o wysokości, musiałem popełnić wiele błędów. Wystarczy powiedzieć, że minął rok od chwili, gdy obiecałem jednej z osób, że zajmę się tym zagadnieniem na poważnie. I w końcu po wielu przemyśleniach oraz analizach i próbach, odważyłem się na to, aby podzielić się tym czego nie rozumiałem. Dziesiątki razy musiałem moje koncepcje sprawdzać i co chwilę coś mi się rozpadało. Gdybym miał oszacować, to podejrzewam, że na stworzenie powyższej serii poświęciłem co najmniej 60-80 godzin. Teraz czytelnik może się lekko zdziwić, bo wydaje się przecież, że napisanie kilku artykułów to kwestia 10-15 godzin pracy, prawda? W moim wypadku cała praca łącznie z opracowywaniem grafik, tabel i wizualnej strony tekstu (artykułów) zamknęła się w około 100 godzinach.

Błędy w moim wypadku stale pokazywały (i nadal oczywiście pokazują!) mi to, że muszę wziąć pod uwagę informacje, które one mi przekazują. Za każdym razem próbowałem przyglądać się temu dlaczego się one pojawiają i co takiego chcą mi przekazać. Bez błędów nie byłbym w stanie stworzyć tego czym się podzieliłem, a co za tym idzie - nie byłbym o kolejny krok do przodu jeśli chodzi o moją matematyczną edukację w kierunku mistrzostwa (pełni zrozumienia).

Wnioski, które chciałem przekazać w tym artykułu są takie:
1. Błędy są integralną częścią i absolutnie niezbędnym elementem rozwoju.
2. Z każdego błędu wyciągajmy odpowiednie wnioski.
3. Zachęcajmy dzieci do tego, aby chciały odkrywać i tworzyć.
4. Twórzmy optymalne warunki do rozwoju, poprzez wyjaśnianie i docenianie błędów.
5. Pokazujmy na własnym przykładzie, to że im lepsze wnioski wyciągamy, tym lepsze błędy popełniamy.
6. Dawajmy poczucie bezpieczeństwa oraz wspierajmy do tego, aby popełniać wartościowe błędy.

Mam nadzieję, że w pierwszej odsłonie opisałem krótko to dlaczego błędy są niezbędne w naszym rozwoju. W tym miejscu na własnym przykładzie pokazałem jak to działa i jakie przynosi owoce (rezultaty). W kolejnych odsłonach będę przekonywał i pokazywał w jaki sposób można dawać dzieciom radość oraz poczucie sprawczości, wolności tworzenia oraz rozwijania swojego potencjału.

PODSUMOWANIE: Zdaję sobie sprawę, że kilka początkowych artykułów może wydawać się w niezbyt dużym stopniu matematycznymi, ale spieszę zapewnić, że po omówieniu powyższych solidnych podstaw (zobacz punkty we wnioskach), będę również pokazywał typowo matematyczne błędy i to w jaki sposób możemy je eliminować i na co najbardziej trzeba zwracać uwagę. Na razie jednak chcę zbudować solidne fundamenty teoretyczne, które mogą być stosowane do każdej aktywności, aby potem przejść do obszaru matematycznej edukacji. Dobrze jest bowiem mieć ogólny zarys tego z czym jest związana tematyka błędów, aby później nie musieć zadawać sobie trochę dziwnych pytań - chociażby takich jak "czy nie lepiej jest od razu podać gotowego rozwiązania" lub też stwierdzić, że "wystarczy tylko rozwiązywać tysiące zadań". Tego bowiem absolutnie chciałbym uniknąć.

Doświadczanie i zrozumienie matematyki w codziennym życiu - czy możemy uczyć efektywniej?

Wielokrotnie zastanawiam się na czym tak naprawdę polega bardziej efektywne nauczanie matematyki. Pojawia się również pytanie czy zrozumienie matematyki jest możliwe bez jej doświadczania. Pytań jest rzecz jasna znacznie więcej...

[ze wstępu] Matematyka jest bardzo ważnym narzędziem w kształtowaniu umysłu oraz rozumieniu świata wokół nas. Wydaje się, że jej nauka to czysta przyjemność, ale niestety rzeczywistość szkolna dla wielu dzieci bywa znacznie bardziej brutalna. Co jest takiego, co sprawia, że dzieci nie rozumieją tego czego się uczą? Czy chodzi o same treści czy też sposób nauczania?

Czasami zdarza się, że nauczyciel matematyki chciałby inaczej nauczać matematyki, ale nie za bardzo zdaje sobie sprawę z tego jak to zrobić. Myślę, że pewną podpowiedzią oraz inspiracją może być poniższy artykuł. Ma on zaledwie 3 strony, więc uważam, że w ciągu 20-30 minut można go spokojnie pochłonąć.

Wydaje mi się, że najbardziej pożądaną grupą odbiorców tego artykułu będą nauczyciele klas 1-8 oraz ambitni rodzice, którzy czują wiedzą, że matematyka szkolna nie jest tym czym być powinna. Przy okazji bardzo proszę o podzielenie się linkiem (do czasopisma w którym jest ów artykuł) ze wszystkimi osobami, które chciałyby przeczytać o tym, że można uczyć matematyki inaczej... czyli, że nie tylko się da, ale tym bardziej trzeba!

Jeśli zatem ktoś ma ochotę na lekturę tego artykułu, to gorąco polecam. Wierzę, że może pomóc uświadomić sobie pewne rzeczy bądź też spojrzeć na nauczenie matematyki z innej perspektywy.

UWAGA: Z uwagi na to, że artykuł od dawna nie jest dostępny, publikuję go poniżej (obrazy można sobie zapisać i potem obrócić).

Proste i ich magiczne właściwości - odkrywamy i tworzymy ciekawe zależności (3)

Wydawało by się, że tematy w ramach tej serii już zostały wyczerpane. Niemniej spieszę poinformować, że udało mi się opracować jeden jeszcze sposób na to, aby zachęcić dzieci do twórczej pracy. Myślę, że może to być naprawdę ciekawa forma na to, aby odkrywać własności figur na podstawie badania ich przekątnych. Ba! W rękach zdolnego i ambitnego nauczyciela to będzie kolejna petarda, za pomocą której uczniowie nie będą chcieli zakończyć zajęć. W sumie to nie ma się co dziwić, bo tego typu aktywność twórcza połączona z mądrym ukierunkowywaniem... da radość także nauczycielowi!

O czym będzie mowa w artykule? Poruszymy temat o czworokątów i przekątnych oraz odkryjemy dlaczego w niektórych figurach muszą być one prostopadłe, a co daje (na co wpływa) to jeśli są równe sobie. Zachęcam serdecznie do przyjrzenia się poniższym rozważaniom. Mam nadzieję, że mogą okazać się naprawdę pomocne lub inspirujące.

Wiemy o tym, że dzieci niekiedy (zbyt często?) mają podawane na tacy coś, co powinny samodzielnie badać, odkrywać i opisywać. Spróbujmy zatem inaczej. Weźmy na warsztat czworokąty oraz przekątne w nich występujące. Owszem, można skopiować z dowolnej książki obrazek na którym będą zawarte niezbędne informacje na temat tych figur oraz własności ich przekątnych. Można je skserować i potem wkleić do zeszytu. Wątpię jednak bardzo poważnie, aby ten sposób realnie sprawił, że dzieci zrozumieją istotę przekątnych w czworokątach. Natomiast dzięki magicznie prostym ćwiczeniom będą one w stanie bardzo szybko i bezbłędnie samodzielnie określić, które z czworokątów mają takie a nie inne właściwości przekątnych. Czy to naprawdę możliwe? Tak, jak najbardziej! Przekonajmy się zatem jak tego dokonać.

Do przeprowadzenia naszego eksperymentu dotyczącego odkrywania własności czworokątów będziemy potrzebowali: pary identycznych patyczków (plastikowe lub drewniane) oraz dodatkowego patyczka innej długości od poprzednich. Do tego dobrze jest też mieć plastelinę, kawałek sznurka lub wstążki (a nawet jeszcze lepiej - elastycznej gumki). Chodzi o to, aby połączone patyczki mogły być sztywne (plastelina). Natomiast sznurek bądź wstążka (gumka) posłuży nam do tego, aby fizycznie stworzyć obwód danej figury.

Teraz, gdy mamy już wszystko gotowe, poniższe tabele pokażą nam co sprawdzimy i jakich efektów możemy oczekiwać. Oczywiście dzieci powinny otrzymać tabele w wersji niewypełnionej, aby same mogły wpisywać do nich swoje odkrycia.

W tym miejscu warto na chwilę przeskoczyć na sam koniec artykułu, aby zrozumieć jedno z pojęć, które używam w tekście, a może nie być dla wszystkich wystarczająco zrozumiałe i matematycznie idealnie poprawne. Chodzi o nieco nietypowy zwrot - przekątne przecinają się w połowie. Po odczytaniu wyjaśnienia można wrócić do tego miejsca i kontynuować dalsze czytanie.

Tabela nr 1. Przekątne do siebie prostopadłe oraz figury, które powstają w wyniku zabawy nimi (dla dzieci).

Tabela nr 2. Przekątne do siebie nieprostopadłe oraz figury, które powstają w wyniku zabawy nimi (dla dzieci).

Poniżej prezentuję kilka obrazków, które mogą pokazać w jaki sposób można bawić się w odkrywanie. Oczywiście ołówki symbolizują patyczki, zaś plastikowe zielone patyczki to sznurek lub wstążka (a nawet jeszcze lepiej elastyczna gumka). Przy okazji można zerknąć na drewniane mieszadełka, które mogą być użyte jako patyczki. Są lepsze ponieważ są płaskie, więc nie ulegają przesuwaniu.

Teraz kilka słów wyjaśnienia tego co zostało zawarte w obu tabelach.

Tabela nr 1. Przekątne do siebie prostopadłe oraz figury, które powstają w wyniku zabawy nimi.

Tabela nr 2. Przekątne do siebie nieprostopadłe oraz figury, które powstają w wyniku zabawy nimi.

W pierwszej z nich badamy przekątne prostopadłe i sprawdzamy jakie czworokąty możemy otrzymać. W rubryce (komórce) możemy zobaczyć taki napis: Obie przekątne przecinają się ze sobą PROPORCJONALNIE. Co to oznacza? To znaczy, że punkt przecięcia obu przekątnych znajduje się w identycznej odległości od obu końców tych przekątnych. Najlepiej ilustruje to rysunek. I pamiętajmy, że chodzi tylko o to, aby była (co najmniej) jedna para równych odcinków (licząc od punkt przecięcia do końca każdej z obu przekątnych).

 

Co dalej? Otóż najpierw bierzemy patyczki równej długości układamy je prostopadle, tak aby przecinały (nakładały) się w połowie. Można je usztywnić plasteliną lub opleść sznurkiem. Następnie gdy końce przekątnych (przypominam, iż w tej grupie są one prostopadłe) opleciemy wokół sznurkiem, to powstanie kwadrat. Potem w podobny sposób układamy kolejne patyczki (przekątne) i sprawdzamy jakie figury powstają. Jeśli wszystko dobrze wykonamy, to jest szansa, że będziemy w stanie ułożyć jeszcze trapez równoramienny, deltoid, jak również i romb.

Z kolei w drugiej tabeli mamy do czynienia z tego samego typu układankami, ale tym razem przekątne nie mogą być prostopadłe. Inaczej mówiąc muszą tworzyć między punktem przecięcia inny kąt aniżeli prosty. No i znowu jeśli wszystko dobrze opracowałem, to jest szansa, że będziemy w stanie ułożyć prostokąt, trapez równoramienny a przy okazji też równoległobok.

W przypadku przekątnych (patyczków) prostopadłych tylko w jednej sytuacji nie uzyskamy żadnej ze znanej nam figury z grupy czworokątów. Natomiast jeśli przekątne nie będą prostopadłe, to aż w połowie testowanych figur uzyskany czworoboki (czworokąty), które nie mają przynajmniej jednej pary boków równoległych ani nie są deltoidami. Te nieregularne czworokąty zostały wyróżnione w tabeli czerwoną czcionką, aby szybko rzucały się w oczy. Dobrze jest wyjaśnić dzieciom, że zarówno czworobok jak i czworokąt oznacza tę samą figurę.

Myślę, że powyższe obrazki powinny wszystko wyjaśnić. Zachęcam do testowania, sprawdzania oraz wyciągania wniosków. Przykładowo z obu tabel można szybko zobaczyć jaka jest różnica jeśli chodzi o przekątne między kwadratem a rombem oraz prostokątem a równoległobokiem. Im więcej pytań pojawi się podczas zabawy, tym więcej będzie radości właśnie z odkrywania. Ta mądra praca i zarazem nauka będzie potem skutkowała głębokim zrozumieniem tego czym są czworokąty i jakie właściwości mają ich przekątne. Nie ma innej opcji, gdyż łączymy ze sobą naukę (pracę) połączoną z zabawą.

Oczywiście pod koniec zajęć jako podsumowanie można (a nawet trzeba!) zapytać dzieci co takiego działo się w trakcie procesu odkrywania. Czyli stawiamy pytania o to co im się najbardziej podobało, co ich zaskoczyło, czego były pewne... a co sprawiło, że zobaczyli coś czego się zupełnie nie spodziewali. Im lepsza atmosfera i współpraca oraz wsparcie ze strony nauczyciela i kolegów, tym płynniej, efektywniej i ciekawiej powinny minąć zajęcia.

Podsumowanie: Proste prostopadłe i równoległe mogą być ciekawie wykorzystywane również w odkrywaniu czworokątów, za pomocą zabawy przekątnymi. Tego typu praca (mądra zabawa!) nie tylko jest ciekawa, ale również daje dzieciom dużą radość i buduje poczucie sprawstwa. Do tego dochodzi również zrozumienie istoty zagadnienia, więc następny etap w którym będzie obliczanie pól figur... będzie przysłowiową bułką z masłem. Dlaczego? Dlatego, że będą doskonale rozumiały co robią i efektem ubocznym będzie jeszcze łatwiejsze opanowanie twierdzenie Pitagorasa.

Przy okazji warto jeszcze podkreślić, że można również podzielić dzieci na dwie grupy, w których jedna pracuje na przekątnych, tworząc czworokąty i zapisując je w tabeli, zaś druga grupa pracuje na figurach i odkrywa jakie każda z nich ma przekątne. Potem porównujemy odkrycia obu grup i sprawdzamy w których miejscach mamy te same informacje dotyczące figur, a gdzie są one sprzeczne. Dzięki temu można wyjaśnić to co się stało, w przypadku gdy jedna z grup otrzymała informacje o właściwościach danych figur... niezgodne ze stanem faktycznym.

Tak czy inaczej jest to znakomita okazja ku temu, aby podyskutować o błędach, trudnościach oraz wnioskach, które towarzyszyły procesowi poznawania czworokątów... z innej strony. Takiej jakiej niestety często dzieci nie mają okazję poznawać. A szkoda, bo przecież można bardzo łatwo to zmienić. W jaki sposób? Chociażby wykorzystując i odpowiednio modyfikując ten artykuł, zgodnie z możliwościami oraz potrzebami dzieci. To naprawdę jest łatwiejsze niż się wydaje.

EDIT: Przekątne przecinają się w połowie - to mój skrót myślowy polegający na tym, że przekątne przecinają się w swoich środkach lub też "połowią się". Oznacza to, że przekątne przecinają się w swoich środkach co w konsekwencji sprawia, że obie dzielą się na połowy.

Rola i znaczenie błędów w nauce matematyki i nie tylko - cz.1

W tej serii artykułów będę omawiał błędy i to co jest z nimi związane. Temat ważny i uważam, że nie można zwlekać z nim dłużej, bo jego niezrozumienie sprawia, że wiele dzieci jest krzywdzonych.

Zacznę może od tego, że z tematem błędów wiążą się również inne zagadnienia, które często są nierozłącznie z nimi związane. Bez ich omówienia temat może być zupełnie nieprawidłowo zrozumiany, a nie taka jest moja intencja. Chcę, aby ludzie mądrze i odpowiedzialnie dyskutowali na temat błędów i tego jakie mają one znaczenie!

Na początek zastanówmy się nad tym jakie informacje przynosi nam błąd. Można ogólnie stwierdzić, że jeśli popełnimy błąd to:
1. nie uzyskujemy prawidłowego wyniku.
2. nie osiągamy zamierzonego celu.
3. nie otrzymujemy tego co chcieliśmy.
4. możemy doświadczyć konsekwencji, których nie chcieliśmy.
5. dochodzi do zaburzenia pewnego porządku lub zasad.

Przykładem niechaj będzie sytuacja w której dodajemy 200 złotych i 600 złotych i otrzymujemy 1000. Okazuje się, że popełniliśmy błąd, więc nie możemy kupić rzeczy za 1000 zł, więc nie dostajemy tego co chcieliśmy. Wracamy do domu i doświadczamy konsekwencji w postaci tego, że straciliśmy czas na dojście lub dojazd do sklepu, potem poczucie rozczarowania lub wstydu w momencie, gdy chcieliśmy kupić dany towar, a nie mieliśmy wystarczającej ilości gotówki. Można zatem stwierdzić, ze zaburzyliśmy pewien porządek i możemy obwiniać siebie o to, że albo jesteśmy głupi albo wyrzucać sobie to jak mogliśmy popełnić (tak prosty) błąd. Generalną konsekwencją będzie strata energii i czasu. W zależności jak duża jest strata tych zasobów i jaką mamy regułę związaną z wyjaśnieniami naszych błędów względem samych siebie... chęć ukarania siebie albo wyciągniemy wniosek z tego co się stało, aby na przyszłość nie mieć do siebie pretensji.

Pytanie jak się będzie to miało do nauki lub nauczania matematyki? Oto jak ja to widzę. Opiszę sytuację hipotetyczną z perspektywy ucznia oraz nauczyciela. Wierzę, że może to być ciekawym pomysłem do tego, aby przemyśleć temat i przyjrzeć mu się we własnej perspektywie.

PERSPEKTYWA ucznia

 

Załóżmy, że uczeń przygotowuje się do egzaminu maturalnego z matematyki. Interesuje go wyłącznie zdanie tego egzaminu, tak aby mieć otwartą drogę na studia. I teraz uczy się, ale na egzaminie popełnia błędy, które sprawiają, że nie zdaje matury (uzyskując 20%, zamiast minimalnego progu 30%, gwarantującego zdanie).

Dobrze jest przyjrzeć się temu o czym informuje nas wynik (skutek):
1. Nie zdał matury, więc w tej chwili nie może zostać przyjęty na studia.
2. Jego błędy popełnione na maturze sprawiły, że nie uzyskał oczekiwanego wyniku.
3. Jego wysiłek, który podjął, aby zdać egzamin okazał się nie wystarczający.

A co by było gdybyśmy spróbowali spojrzeć inaczej na te same informacje, ale jako wnioski związane z rozwojem? Można to nazwać wstępem do konstruktywnej krytyki lub informacje zwrotne dotyczące tego egzaminu.

1. Czy może jest jakiś sposób, aby uczeń najszybciej zdał maturę, aby jeszcze w tym roku dostał się na studia? Odpowiedzią może być to, że w przypadku gdy uczeń nie zdał jednego przedmiotu, to może przystąpić do egzaminu poprawkowego (w sierpniu). Gdyby wynik był bliski progu zdawalności, to racjonalne mogłoby być odwołanie się od wyniku końcowego. Istnieje szansa, że egzaminator mógł niedokładnie sprawdzić pracę lub przypadkowo pomylić się przy podliczaniu punktów. Akurat w tym wypadku różnica aż 10 punktów procentowych oznacza, że to ostatnie rozwiązanie raczej niewiele zmieni.

2. W tym wypadku jeśli uczeń wie jakie błędy popełnił, wówczas może przyjrzeć się im na spokojnie i pomyśleć w jaki sposób je wyeliminować. Często wystarczy kilka spotkań z kimś kto się zna na matematyce i potrafi wyjaśnić dane zagadnienie i podpowiedzieć w jaki sposób pozbyć się błędów, które powaliły maturę.

3. Być może jednak wysiłek, który uczeń włożył był niewystarczający? Może warto uderzyć się w pierś i przyznać się przed sobą do tego, że praca była zbyt krótka i po łebkach? Czy przygotowanie do matury w postaci obejrzenia kilku filmików w serwisie YouTube (dwa dni przed maturą!) na pewno sprawiło, że uczeń wiedział co i jak ma zrobić, aby ją zdać?

PERSPEKTYWA nauczyciela

Nauczyciel przygotowuje się do lekcji. Chce dzieciom wyjaśnić czym są pola figur i skąd się biorą wzory na pola każdej z figur. W czasie lekcji jednak popełnia kilka błędów i wracając do domu postanawia ze sobą porozmawiać.

Dobrze jest przyjrzeć się temu o czym informuje nas wynik (skutek):
1. Źle wyjaśnił pole trapezu, bo nie wyjaśnił dlaczego suma podstaw musi być nawiasie.
2. Nie potrafił odpowiedzieć dlaczego jednostki w których podajemy pola są kwadratowe (a nie trójkątne).
3. Nie był w stanie odpowiedzieć co sprawia, że w jednych figurach zawsze będą przekątne prostopadłe, a w innych nie.
4. Nie dał rady wyjaśnić tego czym jest wysokość w każdej z figur i jakie są jej warunki konieczne.

A co by było gdybyśmy spróbowali spojrzeć inaczej na te same informacje, ale jako wnioski związane z rozwojem? Można to nazwać wstępem do konstruktywnej krytyki lub informacje zwrotne dotyczące tego egzaminu.

1. Jeśli nauczyciel nie pokazał dzieciom tego, aby samodzielnie narysowali dwa trapezy obok siebie, które w połączeniu dają prostokąt, więc błąd mógł być w pełni uzasadniony. Co zrobić? Następnym razem nadrobić tę zaległość i wyjaśnić, że w przypadku trapezu dzielimy przez 2, ponieważ potrzebujemy połowy prostokąta. Natomiast suma długości podstaw musi być w nawiasie, ponieważ w przeciwnym wypadku otrzymalibyśmy tylko część pełnego trapezu. I nagle błąd zostaje naprawiony, a dzieci rozumieją to, czemu służy zastosowany nawias.

2. Tutaj jest możliwość, że nigdy się nad tym tak naprawdę nie zastanawiamy, więc tego typu pytania będą nas zaskakiwać. Jeśli jednak rozumiemy, że kwadrat jest idealną do tego figurą, bo każdy z nich jest taki sam i łatwo może je zmieścić obok siebie bez pustej przestrzeni... to zrozumiemy czemu nie stosujemy jednostek trójkątnych. Niemniej gdybyśmy ustalili, że wypełniamy dana figurę trójkątami równoramiennymi o kącie prostym (połowa kwadratu), to okazałoby się, że też jest to możliwe.

3. W tym wypadku może być konieczne zastanowienie się czy i kiedy da się narysować kwadrat a kiedy romb, gdy przekątne (odcinki) przecinają się w połowie i gdy obie z nich są takie samej długości. I szybko okaże się, że zawsze będziemy mieli romb, chyba że obie przekątne (odcinki) będą zarazem prostopadłe - wówczas będzie to kwadrat. Natomiast, gdy przekątnej są prostopadłe i również tej samej długości, ale nie przecinają się w środku, wówczas po połączeniu ich końców, powstaje trapez równoramienny.

4. Wysokość to niestety termin, który najlepiej znamy z potocznego użycia. Niemniej jest duże prawdopodobieństwo, że tak naprawdę nigdy nie mieliśmy okazję bliżej mu się przyjrzeć. Można w domowym zaciszu nadrobić te zaległości i na kolejnych zajęciach wyjaśnić to co było trudne bądź niezrozumiałe (czy też błędnie wyjaśnione). Jedną z pomocy może być koncepcja opracowana przeze mnie: Wysokość w figurach rewelacyjnie opisana - to matematyka świetnie zrozumiana i solidnie opanowana. Mnie opracowanie tej seria zajęło aż 5 odcinków, ale myślę, że istotnie zgłębiłem pojęcie wysokości i jestem znacznie lepiej przygotowany na niespodziewane pytania.

https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2019/01/wysokosc-w-figurach-rewelacyjnie.html (cz.1)

PODSUMOWANIE: Na tym zakończymy ten artykuł (seria będzie kontynuowana), który powinien uzmysłowić nam to, że błędy mogą być nie tylko postrzegane w kategoriach zagrożenia, ale mogą być istotnym impulsem do tego, aby zobaczyć to czego nie umiemy, nie rozumiemy czy też to z czym się zmagamy. Mam nadzieję, że wyraźnie pokazałem, iż w przypadku ucznia, błędy dają nam informację o tym czego nam jeszcze brakuje do zrealizowania celu. Natomiast w przypadku nauczyciela z pewnością dają one okazję do tego, aby dane zagadnienia zgłębić do tego stopnia, który jest nam potrzebny. Dzięki temu jest szansa, że w przyszłości nie będziemy musieli ich powielać.

Pamiętam jak jeden z mądrych ludzi powiedział, że największą sztuką jest nigdy nie popełniać tego samego błędu (po raz drugi). Nikt natomiast nie mówił o tym, aby w ogóle błędów nie popełniać, lecz istotą jest wyciąganie z nich wniosków. Błądzenie jest rzeczą ludzką, ale dobrowolne trwanie w błędzie jest rzeczą diabelską (Aureliusz Augustyn, znany jako święty Augustyn). No, a gdyby tak dojść do perfekcji i nigdy nie popełniać żadnych błędów? Obawiam się, że to trochę ryzykowne podejście, ale spróbujmy...

Nie myli się jedynie ten... kto nie robi nic!

A teraz... kto z was naprawdę nie chce nigdy więcej popełniać jakichkolwiek błędów???

BIBLIOTEKA NAUCZYCIELA MATEMATYKI: Proste jak pi - czyli matematyka to bułka z masłem

Tym razem powiemy sobie o kolejnej książce, która pokazuje matematykę w nieco innym świetle. Zobaczymy na ile matematyka rzeczywiście jest bułką z masłem i przekonamy się co zawiera ta pozycja. Jak to mawiają - nie należy sądzić (oceniać) książki po okładce.

Książka jest naprawdę ciekawym przewodnikiem po krainie matematyki. Autorką jest Liz Strachan, która przez większość swojej nauczycielskiej kariery uczyła matematyki w Szkocji. Widać, że autorka w książce podzieliła się swoją pasją oraz wszelkimi ciekawostkami, które dodają jej smaku. Pytanie czy to wystarcza, aby książka była naprawdę dobra?

Czego możemy się spodziewać po tej książce?

Przede wszystkim warto przyjrzeć się temu co jest zawarte w spisie treści (7 stron!). Możemy w nim znaleźć bardzo różnorodne zagadnienia. Można wręcz powiedzieć, że zostały poruszone niemal wszystkie najbardziej istotne tematy, które mogą zaciekawić każdego, kto tylko zechce zobaczyć czym tak naprawdę jest matematyka. W bardzo dużym zakresie są w niej omawiane zagadnienia, które występują w programie nauczania w zakresie szkoły podstawowej. Niemniej są także takie perełki, które jeszcze bardziej pokazują niezwykłą i zarazem piękną stronę matematyki. Takimi tematami niechaj będą chociażby złota proporcja, ciąg Fibonacciego, trójkąt Pascala czy też liczby pierwsze a nawet ciągi liczbowe czy też kombinacje. Widać, że Liz Strachan świetnie czuje wszystkie omawiane tematy, ponieważ bardzo zrozumiale i prosto je wyjaśnia, a nawet omawia ich praktyczne zastosowanie. Poza tym bardzo elegancko wykorzystuje historię matematyki i jej odkryć. Pokazuje i wyjaśnia zmiany następujące w zakresie opisywania różnych odkryć oraz teorii matematycznych. Przy okazji przemyca wiele sztuczek z liczbami jak i figurami... oraz co chwila serwuje dość oryginalne matematyczne suchary (jak sama zaznacza, mogą być zrozumiałe tylko dla matematyków).

Można śmiało powiedzieć, że w tej książce poruszonych jest bardzo wiele zagadnień, co może dawać ogólne rozeznanie w matematyce. Mam niestety dziwne wrażenie, że kilka tematów zostało jakby doklejonych, bo zajmują niekiedy zaledwie jedną lub dwie strony. Całość jednak robi solidne wrażenie, chociaż wyraźnie brakuje mi czegoś na kształt testu oraz pytań dodatkowych, które dałyby jeszcze silniejszy impuls do poszukiwań. Tego niestety zupełnie zabrakło.

Książka ma aż 240 stron, ale pomimo tego jest do pochłonięcia w jeden dzień. Raz - dlatego że jest ona małego formatu (A5), zaś dwa - jest napisana bardzo lekkim i przystępnym językiem. Z moich oszacowań wynika, że jedynie około 10-15% tekstu (tematów) jest na tyle trudne, że wymaga dużego skupienia bądź też opuszczenia i powrotu do tych "niewdzięcznych tematów" po zakończonej lekturze.

Pozycja ta nie zawiera kolorowych obrazków, więc na pewno nie rozprasza nadmiarem kolorów. Plusem jest to, iż jest w niej zawarte kilka ciekawostek, które sprawiają, że pojawia się ochota, aby sprawdzić pomysły i sugestie, które opisuje autorka. Pozostaje jeszcze jeden element, który może chwilami powodować znużenie lekturą. Co to takiego? Otóż jak dla mnie zbyt duża koncentracja na liczbach. W kilku miejscach można odnieść wrażenie, że jest zbyt duży przesyt i wkoło jest "nadliczbowo". W jednym miejscu tłumaczenie jest niezbyt szczęśliwe (największy wspólny podzielnik), ale raczej nie ma to większego wpływu na całość.

Kto zatem byłby najbardziej zainteresowany tą pozycją? Myślę, że przede wszystkim dzieci, które lubią matematykę i jeszcze bardziej chcą zobaczyć jej praktyczne zastosowanie oraz poczytać o różnych matematycznych tematach. Dzieci w wieku 10-14 lat mogą dzięki niej zobaczyć to czego nie mają okazji poznać w szkole.

Podsumowanie: książka Proste jak pi, jest kolejną ciekawą pozycją, która popularyzuje matematykę, więc może być ciekawą propozycją dla tych, którzy poszukują oryginalnych wyjaśnień, tego co wydaje się być trudne. Gdyby znalazły się w niej propozycje ćwiczeń do samodzielnego wykonania, wówczas książka mogłaby mieć wyższe miejsce na liście książek, które można śmiało polecić dzieciom. W tym wypadku naprawdę dużą wiedzę matematyczną oraz pasję autorki... zniszczyły brak spójności i wynikowości oraz trochę zbyt losowy dobór kilku tematów, które zostały ledwie zasygnalizowane. A szkoda, bo mogłaby to być jeszcze jedna bardzo wartościowa pozycja w katalogu książek popularno-naukowych.

Proste i ich magiczne właściwości - odkrywamy i tworzymy ciekawe zależności (2)

W poprzedniej odsłonie zobaczyliśmy w jaki sposób zachowują się proste (i odcinki) równoległe. Tym razem zerkniemy co się dzieje, gdy dwie proste (odcinki) przecinają się w różny sposób i pod różnymi kątami. Inaczej mówiąc, będziemy za pomocą dwóch odcinków (przekątnych) tworzyli różne figury, których właściwości będziemy zapisywali.

Kolejnym krokiem jest sprawdzanie tego jak się zachowują odcinki, które tworzą przekątne w czworokątach.

1) Bierzemy dwa odcinki równej długości.

Następnie sprawdzamy jakie znane nam figury mogą powstać, gdy odcinki te przecinają się:

A) w połowie:
a) pod kątem prostym
b) pod innym kątem

B) tylko jeden z odcinków przecina się w połowie:
a) pod kątem prostym
b) pod innym kątem

2) Następnie bierzemy dwa odcinki różnej długości. I podobnie jak przed chwilą - sprawdzamy dokładnie te same warunki co w poprzednim ćwiczeniu.

Następnie zapisujemy nazwy figur, które powstały pod wpływem naszych testów, a na koniec próbujemy stworzyć tabelę. Przykładowa tabela opisująca właściwość figur jest ukazana poniżej.

Testowanie dwóch odcinków (przekątnych) dla najpopularniejszych czworokątów

W zależności od tego jakimi pomocami dysponujemy, takie możemy wykorzystać do testowania figur: słomki do napojów, listewki czy też inne obiekty, którymi będziemy mogli manipulować (np. tablica korkowa z pinezkami i sznurkiem). Jako boki mogą służyć: sznurek, tasiemka, rozciągliwa gumka czy też wstążka. Wystarczy tylko nieco poeksperymentować, aby wybrać takie materiały, które będą najbardziej odpowiednie dla każdej grupy dzieci.

Warto zauważyć, że w tabeli są pewne ograniczenia, ponieważ chciałem zachować w niej maksymalną jednoznaczność. Niemniej bardzo dobrym pomysłem jest to, aby dzieci próbowały samodzielnie sprawdzać, które właściwości przekątnych muszą być zawsze spełnione, aby powstała dana figura. Przykładowo nie da się zbudować kwadratu w którym przekątne nie będą prostopadłe, przecinające się w połowie oraz równe sobie. Z kolei w trapezie równoramiennym przekątne mogą być do siebie prostopadłe, ale mogą też nie być. Niemniej zawsze muszą być sobie równe. W ten sposób możemy wyróżnić warunki niezbędne jak i dodatkowe.

W przypadku gdy odcinki (proste) w każdej z figur będą prostopadłe, wówczas warto zauważyć na jakie mniejsze figury przekątne dzielą dany czworokąt... i co można z tą wiedzą później zrobić (jak wykorzystać).

Oczywiście konieczne jest zapisywanie pytań i odpowiedzi dotyczących naszych odkryć. Oto przykładowa lista:
1. Czy w prostokącie przekątne mogą być różnej długości?
2. Jaka figura powstaje jeśli przekątne przecinają się pod kątem prostym w połowie - kwadrat czy romb? Po czym rozpoznać kiedy dana z figur powstanie?
3. Czy może powstać równoległobok, jeśli przekątne nie przecinają się w połowie? A co jeśli są tej samej długości?
4. Jaka jest zależność między przekątnymi w kwadracie w stosunku do przekątnych w deltoidzie?
5. Czy w równoległoboku przecięcie przekątnymi zawsze stworzy dwie pary figur przystających?
6. Jakimi sposobami możemy obliczyć pola figur, których przekątne są prostopadłe?

Na koniec dodam, że dobrze jest mieć wcześniej to ćwiczenie solidnie przetestowane, aby w razie eksperymentów wykonywanych przez dzieci, wiedzieć w którą stronę zmierzamy. Dzięki temu znacznie szybciej będziemy mogli wskazywać prawidłowy kierunek poszukiwań, aby nie tracić niepotrzebnie czasu.

Podsumowanie: Zabawa w sprawdzanie jakie figury powstają poprzez zabawę dwoma odcinkami może sprawić, że dzieci samodzielnie odkryją ich właściwości. To z kolei znacząco ułatwi wyjaśnianie tego skąd się biorą wzory na pola każdej z figur: zwłaszcza te opierające się na wykorzystaniu przekątnych prostopadłych.

Przy okazji można rzecz jasna zapytać o to w jaki sposób możemy sprawdzić, iż dwie proste (bądź odcinki) są prostopadłe (czyli co o tym decyduje). No i oczywiście trzeba zapytać dzieci czym są przekątne w figurach i czy jakakolwiek przekątna może pokrywać się z dowolnym bokiem. Generalnie biorąc, chodzi o to, aby dzieci w tym procesie jak najwięcej odkrywały i dostrzegały to co istotne (tak, tak - wnioski). Reszta to jedynie zapisywanie wniosków w takiej formie, aby były zrozumiałe i pomocne przy kolejnych odkryciach.

Proste i ich magiczne właściwości - odkrywamy i tworzymy ciekawe zależności (1)

Na początku nauki zagadnień z działu geometrii dowiadujemy się o punkcie, półprostej, prostej i odcinku. Następnie pojawia się temat związany z dwiema prostymi. I wydaje się, iż pozornie proste linie, a jednak wiąże się z nimi wiele ciekawych relacji i zależności. Spróbujmy przyjrzeć się bliżej temu co tak naprawdę za nimi jest ukryte.

Generalnie dwie proste mogą mieć: nieskończenie wiele punktów wspólnych (pokrywają się), brak punktów wspólnych (są równoległe, ale nie pokrywają się) oraz jeden punkt wspólny, gdy nie są w stosunku do siebie równoległe, to znaczy przecinają się ze sobą.

1. Proste, które pokrywają się.

Jednym z nietypowym przypadków jest sytuacja w której dwie proste (A i B) pokrywają się. Oznacza to, że wszystkie punkty należące do pierwszej prostej, jednocześnie należą również do drugiej.

2. Proste, które nie pokrywają się.

Z kolei jeśli proste nie pokrywają się to mamy dwie możliwości:
a) proste nie przecinają się
b) proste przecinają się w jednym punkcie

I teraz zakładając, że mamy dwie proste, które nie przecinają się, możemy założyć, że muszą mieć jakieś specjalne właściwości, które sprawiają, iż rzeczywiście nie spotykają się w żadnym punkcie wspólnym.

Porównujemy długości obu odcinków. Jeśli są równe wówczas badane proste są do siebie prostopadłe. W praktyce bardzo dobrym pomysłem jest narysowanie obu odcinków (pionowe strzałki na rysunku) jak najdalej od siebie. Dlaczego? Ponieważ jeśli proste byłyby niemal równoległe, wówczas narysowanie dwóch pionowych strzałek ("wysokości") bardzo blisko siebie wykaże jedynie minimalną różnicę, a ta w praktyce może zostać uznana za zerową (tak, tak - właśnie błąd pomiaru się kłania).

Zerknijmy na powyższe rysunki. Po lewej stronie widzimy prostokąt, więc czerwone strzałki (wysokości) są równe... w dowolnym miejscu pomiaru. Natomiast po prawej stronie widzimy dwa trapezy nałożone na siebie. I uważnie przyjrzyjmy się czerwonym strzałkom. I dalej od siebie są oddalone, tym łatwiej zauważyć różnicę długości między nimi. Tak naprawdę wystarczy porównać jedynie dwie, ale na rysunku celowo pokazuję trzy, żeby jeszcze lepiej dostrzec różnice między nimi. Doskonale widać, iż każda ze strzałek jest różnej długości, więc oznacza to, że proste od których idą ... na pewno nie są równoległe.

Kiedy dwie proste nigdy się nie przecinają? Jest tylko jeden przypadek: wówczas, gdy są do siebie równoległe (przypadek, gdy się pokrywają wykluczamy).

I teraz pytanie po czym rozpoznać, że proste A i B nigdy się nie spotkają (nie przetną). Oto prosty sposób na to, aby to sprawdzić.

1. Rysujemy pierwszą prostą prostopadłą od prostej A (odcinka) w kierunku drugiej prostej (odcinka) B.

2. Rysujemy drugą prostą prostopadłą od prostej A (odcinka) w kierunku drugiej prostej (odcinka) B.

Teraz w skrócie powiedzmy sobie jakie są zastosowania prostych równoległych w praktyce. Oto kilka najczęściej spotykanych zastosowań.

1. Dzięki zapewnieniu równoległości dwóch prostych (szyny), tory kolejowe mogą ciągnąć się w nieskończoność. Mamy przy pewność, że dzięki temu pociąg się nie wykolei.

2. Układając pudełka na sobie, mamy gwarancję, że możemy je układać jedne na drugich, bez obawy, że same spadną (przesuną się).

3. W przypadku półek na książki, mamy pewność, że w każdym miejscu regału możemy wkładać książki o tej samej (maksymalnej) wysokości obok siebie.

4. Blat stołu, który jest równoległy do poziomu (podłogi), zapewnia, iż przedmioty położone na nim płasko... same nie przesuną się w dowolną stronę. Prosty eksperyment polega na tym, aby położyć idealną kulę i jeśli nie stoczy się w żadną stronę, wówczas mamy tak zwany poziom.

5. Dzięki poziomicy możemy sprawdzić czy powierzchnia jest równoległa w stosunku do poziomu (podłogi). Gdybyśmy wybudowali wieżowiec bez zapewnienia równoległości poszczególnych pięter, wówczas szybko okazałoby się, że w pewnym momencie mamy "krzywą wieżę".

6. Jeśli budujemy autostradę lub drogę dwupasmową i dobrze wyznaczymy proste równoległe, wówczas nie ma możliwości, aby nałożyły się na siebie, bądź tez zupełnie się rozminęły.

7. Równoległość zapewnia równomierne rozłożenie sił na danej powierzchni (tutaj najlepiej zapytać o to fizyka, aby dogłębnie i zrozumiale wyjaśnił ten temat).

Na koniec oryginalne zadanie (ciekawostka i zagadka) do przemyślenia i sprawdzenia.

Czy możliwe jest sprawdzenie równoległości dwóch prostych (A i B) za pomocą odcinków, które nie są równoległe do żadnej z prostych A oraz B? Jeśli tak, to jakie warunki muszą zostać spełnione? I dodatkowe zapytanie: dlaczego nikt nie wykorzystuje tego sposobu? Jakie ma zalety a jakie wady? W jakich warunkach lepiej jest go zastosować w stosunku do tradycyjnego?

W następnym odcinku przyjrzymy się prostym nierównoległym, które przecinają się w jednym punkcie. Przy okazji płynnie przejdziemy do tego czym są przekątne w figurach i jakie mają właściwości oraz wpływ na to jaką figurę tworzą. Dzięki temu może się nieco wyjaśnić istota tego dlaczego i w jaki sposób akurat manipulowanie patyczkami stworzy prostokąt, kwadrat, równoległobok, romb a nawet deltoid.

Podsumowanie: dwie proste mogą dawać wiele ciekawych możliwości testowania różnych hipotez. Dobrze jest bawić się nimi oraz odkrywać i zapisywać istotne relacje i zależności, tak aby na bazie tych wniosków budować coraz większy obraz tego co jest ich istotą i jak można dalej tę wiedzę wykorzystać. Pomoże to w zrozumieniu kolejnych tematów i ułatwi rozpoznawanie tego czego nie widać na pierwszy rzut oka... tam gdzie trzeba od razu dostrzegać ważne elementy.