Proste i ich magiczne właściwości - odkrywamy i tworzymy ciekawe zależności (3)

Wydawało by się, że tematy w ramach tej serii już zostały wyczerpane. Niemniej spieszę poinformować, że udało mi się opracować jeden jeszcze sposób na to, aby zachęcić dzieci do twórczej pracy. Myślę, że może to być naprawdę ciekawa forma na to, aby odkrywać własności figur na podstawie badania ich przekątnych. Ba! W rękach zdolnego i ambitnego nauczyciela to będzie kolejna petarda, za pomocą której uczniowie nie będą chcieli zakończyć zajęć. W sumie to nie ma się co dziwić, bo tego typu aktywność twórcza połączona z mądrym ukierunkowywaniem... da radość także nauczycielowi!

O czym będzie mowa w artykule? Poruszymy temat o czworokątów i przekątnych oraz odkryjemy dlaczego w niektórych figurach muszą być one prostopadłe, a co daje (na co wpływa) to jeśli są równe sobie. Zachęcam serdecznie do przyjrzenia się poniższym rozważaniom. Mam nadzieję, że mogą okazać się naprawdę pomocne lub inspirujące.

Wiemy o tym, że dzieci niekiedy (zbyt często?) mają podawane na tacy coś, co powinny samodzielnie badać, odkrywać i opisywać. Spróbujmy zatem inaczej. Weźmy na warsztat czworokąty oraz przekątne w nich występujące. Owszem, można skopiować z dowolnej książki obrazek na którym będą zawarte niezbędne informacje na temat tych figur oraz własności ich przekątnych. Można je skserować i potem wkleić do zeszytu. Wątpię jednak bardzo poważnie, aby ten sposób realnie sprawił, że dzieci zrozumieją istotę przekątnych w czworokątach. Natomiast dzięki magicznie prostym ćwiczeniom będą one w stanie bardzo szybko i bezbłędnie samodzielnie określić, które z czworokątów mają takie a nie inne właściwości przekątnych. Czy to naprawdę możliwe? Tak, jak najbardziej! Przekonajmy się zatem jak tego dokonać.

Do przeprowadzenia naszego eksperymentu dotyczącego odkrywania własności czworokątów będziemy potrzebowali: pary identycznych patyczków (plastikowe lub drewniane) oraz dodatkowego patyczka innej długości od poprzednich. Do tego dobrze jest też mieć plastelinę, kawałek sznurka lub wstążki (a nawet jeszcze lepiej - elastycznej gumki). Chodzi o to, aby połączone patyczki mogły być sztywne (plastelina). Natomiast sznurek bądź wstążka (gumka) posłuży nam do tego, aby fizycznie stworzyć obwód danej figury.

Teraz, gdy mamy już wszystko gotowe, poniższe tabele pokażą nam co sprawdzimy i jakich efektów możemy oczekiwać. Oczywiście dzieci powinny otrzymać tabele w wersji niewypełnionej, aby same mogły wpisywać do nich swoje odkrycia.

W tym miejscu warto na chwilę przeskoczyć na sam koniec artykułu, aby zrozumieć jedno z pojęć, które używam w tekście, a może nie być dla wszystkich wystarczająco zrozumiałe i matematycznie idealnie poprawne. Chodzi o nieco nietypowy zwrot - przekątne przecinają się w połowie. Po odczytaniu wyjaśnienia można wrócić do tego miejsca i kontynuować dalsze czytanie.

Tabela nr 1. Przekątne do siebie prostopadłe oraz figury, które powstają w wyniku zabawy nimi (dla dzieci).

Tabela nr 2. Przekątne do siebie nieprostopadłe oraz figury, które powstają w wyniku zabawy nimi (dla dzieci).

Poniżej prezentuję kilka obrazków, które mogą pokazać w jaki sposób można bawić się w odkrywanie. Oczywiście ołówki symbolizują patyczki, zaś plastikowe zielone patyczki to sznurek lub wstążka (a nawet jeszcze lepiej elastyczna gumka). Przy okazji można zerknąć na drewniane mieszadełka, które mogą być użyte jako patyczki. Są lepsze ponieważ są płaskie, więc nie ulegają przesuwaniu.

Teraz kilka słów wyjaśnienia tego co zostało zawarte w obu tabelach.

Tabela nr 1. Przekątne do siebie prostopadłe oraz figury, które powstają w wyniku zabawy nimi.

Tabela nr 2. Przekątne do siebie nieprostopadłe oraz figury, które powstają w wyniku zabawy nimi.

W pierwszej z nich badamy przekątne prostopadłe i sprawdzamy jakie czworokąty możemy otrzymać. W rubryce (komórce) możemy zobaczyć taki napis: Obie przekątne przecinają się ze sobą PROPORCJONALNIE. Co to oznacza? To znaczy, że punkt przecięcia obu przekątnych znajduje się w identycznej odległości od obu końców tych przekątnych. Najlepiej ilustruje to rysunek. I pamiętajmy, że chodzi tylko o to, aby była (co najmniej) jedna para równych odcinków (licząc od punkt przecięcia do końca każdej z obu przekątnych).

 

Co dalej? Otóż najpierw bierzemy patyczki równej długości układamy je prostopadle, tak aby przecinały (nakładały) się w połowie. Można je usztywnić plasteliną lub opleść sznurkiem. Następnie gdy końce przekątnych (przypominam, iż w tej grupie są one prostopadłe) opleciemy wokół sznurkiem, to powstanie kwadrat. Potem w podobny sposób układamy kolejne patyczki (przekątne) i sprawdzamy jakie figury powstają. Jeśli wszystko dobrze wykonamy, to jest szansa, że będziemy w stanie ułożyć jeszcze trapez równoramienny, deltoid, jak również i romb.

Z kolei w drugiej tabeli mamy do czynienia z tego samego typu układankami, ale tym razem przekątne nie mogą być prostopadłe. Inaczej mówiąc muszą tworzyć między punktem przecięcia inny kąt aniżeli prosty. No i znowu jeśli wszystko dobrze opracowałem, to jest szansa, że będziemy w stanie ułożyć prostokąt, trapez równoramienny a przy okazji też równoległobok.

W przypadku przekątnych (patyczków) prostopadłych tylko w jednej sytuacji nie uzyskamy żadnej ze znanej nam figury z grupy czworokątów. Natomiast jeśli przekątne nie będą prostopadłe, to aż w połowie testowanych figur uzyskany czworoboki (czworokąty), które nie mają przynajmniej jednej pary boków równoległych ani nie są deltoidami. Te nieregularne czworokąty zostały wyróżnione w tabeli czerwoną czcionką, aby szybko rzucały się w oczy. Dobrze jest wyjaśnić dzieciom, że zarówno czworobok jak i czworokąt oznacza tę samą figurę.

Myślę, że powyższe obrazki powinny wszystko wyjaśnić. Zachęcam do testowania, sprawdzania oraz wyciągania wniosków. Przykładowo z obu tabel można szybko zobaczyć jaka jest różnica jeśli chodzi o przekątne między kwadratem a rombem oraz prostokątem a równoległobokiem. Im więcej pytań pojawi się podczas zabawy, tym więcej będzie radości właśnie z odkrywania. Ta mądra praca i zarazem nauka będzie potem skutkowała głębokim zrozumieniem tego czym są czworokąty i jakie właściwości mają ich przekątne. Nie ma innej opcji, gdyż łączymy ze sobą naukę (pracę) połączoną z zabawą.

Oczywiście pod koniec zajęć jako podsumowanie można (a nawet trzeba!) zapytać dzieci co takiego działo się w trakcie procesu odkrywania. Czyli stawiamy pytania o to co im się najbardziej podobało, co ich zaskoczyło, czego były pewne... a co sprawiło, że zobaczyli coś czego się zupełnie nie spodziewali. Im lepsza atmosfera i współpraca oraz wsparcie ze strony nauczyciela i kolegów, tym płynniej, efektywniej i ciekawiej powinny minąć zajęcia.

Podsumowanie: Proste prostopadłe i równoległe mogą być ciekawie wykorzystywane również w odkrywaniu czworokątów, za pomocą zabawy przekątnymi. Tego typu praca (mądra zabawa!) nie tylko jest ciekawa, ale również daje dzieciom dużą radość i buduje poczucie sprawstwa. Do tego dochodzi również zrozumienie istoty zagadnienia, więc następny etap w którym będzie obliczanie pól figur... będzie przysłowiową bułką z masłem. Dlaczego? Dlatego, że będą doskonale rozumiały co robią i efektem ubocznym będzie jeszcze łatwiejsze opanowanie twierdzenie Pitagorasa.

Przy okazji warto jeszcze podkreślić, że można również podzielić dzieci na dwie grupy, w których jedna pracuje na przekątnych, tworząc czworokąty i zapisując je w tabeli, zaś druga grupa pracuje na figurach i odkrywa jakie każda z nich ma przekątne. Potem porównujemy odkrycia obu grup i sprawdzamy w których miejscach mamy te same informacje dotyczące figur, a gdzie są one sprzeczne. Dzięki temu można wyjaśnić to co się stało, w przypadku gdy jedna z grup otrzymała informacje o właściwościach danych figur... niezgodne ze stanem faktycznym.

Tak czy inaczej jest to znakomita okazja ku temu, aby podyskutować o błędach, trudnościach oraz wnioskach, które towarzyszyły procesowi poznawania czworokątów... z innej strony. Takiej jakiej niestety często dzieci nie mają okazję poznawać. A szkoda, bo przecież można bardzo łatwo to zmienić. W jaki sposób? Chociażby wykorzystując i odpowiednio modyfikując ten artykuł, zgodnie z możliwościami oraz potrzebami dzieci. To naprawdę jest łatwiejsze niż się wydaje.

EDIT: Przekątne przecinają się w połowie - to mój skrót myślowy polegający na tym, że przekątne przecinają się w swoich środkach lub też "połowią się". Oznacza to, że przekątne przecinają się w swoich środkach co w konsekwencji sprawia, że obie dzielą się na połowy.