Proste i ich magiczne właściwości - odkrywamy i tworzymy ciekawe zależności (2)

W poprzedniej odsłonie zobaczyliśmy w jaki sposób zachowują się proste (i odcinki) równoległe. Tym razem zerkniemy co się dzieje, gdy dwie proste (odcinki) przecinają się w różny sposób i pod różnymi kątami. Inaczej mówiąc, będziemy za pomocą dwóch odcinków (przekątnych) tworzyli różne figury, których właściwości będziemy zapisywali.

Kolejnym krokiem jest sprawdzanie tego jak się zachowują odcinki, które tworzą przekątne w czworokątach.

1) Bierzemy dwa odcinki równej długości.

Następnie sprawdzamy jakie znane nam figury mogą powstać, gdy odcinki te przecinają się:

A) w połowie:
a) pod kątem prostym
b) pod innym kątem

B) tylko jeden z odcinków przecina się w połowie:
a) pod kątem prostym
b) pod innym kątem

2) Następnie bierzemy dwa odcinki różnej długości. I podobnie jak przed chwilą - sprawdzamy dokładnie te same warunki co w poprzednim ćwiczeniu.

Następnie zapisujemy nazwy figur, które powstały pod wpływem naszych testów, a na koniec próbujemy stworzyć tabelę. Przykładowa tabela opisująca właściwość figur jest ukazana poniżej.

Testowanie dwóch odcinków (przekątnych) dla najpopularniejszych czworokątów

W zależności od tego jakimi pomocami dysponujemy, takie możemy wykorzystać do testowania figur: słomki do napojów, listewki czy też inne obiekty, którymi będziemy mogli manipulować (np. tablica korkowa z pinezkami i sznurkiem). Jako boki mogą służyć: sznurek, tasiemka, rozciągliwa gumka czy też wstążka. Wystarczy tylko nieco poeksperymentować, aby wybrać takie materiały, które będą najbardziej odpowiednie dla każdej grupy dzieci.

Warto zauważyć, że w tabeli są pewne ograniczenia, ponieważ chciałem zachować w niej maksymalną jednoznaczność. Niemniej bardzo dobrym pomysłem jest to, aby dzieci próbowały samodzielnie sprawdzać, które właściwości przekątnych muszą być zawsze spełnione, aby powstała dana figura. Przykładowo nie da się zbudować kwadratu w którym przekątne nie będą prostopadłe, przecinające się w połowie oraz równe sobie. Z kolei w trapezie równoramiennym przekątne mogą być do siebie prostopadłe, ale mogą też nie być. Niemniej zawsze muszą być sobie równe. W ten sposób możemy wyróżnić warunki niezbędne jak i dodatkowe.

W przypadku gdy odcinki (proste) w każdej z figur będą prostopadłe, wówczas warto zauważyć na jakie mniejsze figury przekątne dzielą dany czworokąt... i co można z tą wiedzą później zrobić (jak wykorzystać).

Oczywiście konieczne jest zapisywanie pytań i odpowiedzi dotyczących naszych odkryć. Oto przykładowa lista:
1. Czy w prostokącie przekątne mogą być różnej długości?
2. Jaka figura powstaje jeśli przekątne przecinają się pod kątem prostym w połowie - kwadrat czy romb? Po czym rozpoznać kiedy dana z figur powstanie?
3. Czy może powstać równoległobok, jeśli przekątne nie przecinają się w połowie? A co jeśli są tej samej długości?
4. Jaka jest zależność między przekątnymi w kwadracie w stosunku do przekątnych w deltoidzie?
5. Czy w równoległoboku przecięcie przekątnymi zawsze stworzy dwie pary figur przystających?
6. Jakimi sposobami możemy obliczyć pola figur, których przekątne są prostopadłe?

Na koniec dodam, że dobrze jest mieć wcześniej to ćwiczenie solidnie przetestowane, aby w razie eksperymentów wykonywanych przez dzieci, wiedzieć w którą stronę zmierzamy. Dzięki temu znacznie szybciej będziemy mogli wskazywać prawidłowy kierunek poszukiwań, aby nie tracić niepotrzebnie czasu.

Podsumowanie: Zabawa w sprawdzanie jakie figury powstają poprzez zabawę dwoma odcinkami może sprawić, że dzieci samodzielnie odkryją ich właściwości. To z kolei znacząco ułatwi wyjaśnianie tego skąd się biorą wzory na pola każdej z figur: zwłaszcza te opierające się na wykorzystaniu przekątnych prostopadłych.

Przy okazji można rzecz jasna zapytać o to w jaki sposób możemy sprawdzić, iż dwie proste (bądź odcinki) są prostopadłe (czyli co o tym decyduje). No i oczywiście trzeba zapytać dzieci czym są przekątne w figurach i czy jakakolwiek przekątna może pokrywać się z dowolnym bokiem. Generalnie biorąc, chodzi o to, aby dzieci w tym procesie jak najwięcej odkrywały i dostrzegały to co istotne (tak, tak - wnioski). Reszta to jedynie zapisywanie wniosków w takiej formie, aby były zrozumiałe i pomocne przy kolejnych odkryciach.