niedziela, 7 października 2018

NWW i NWD - co o tym wiemy oraz z czym to się je (3)

Było co nieco na temat tego w jaki sposób szukać (wyznaczać) NWD i NWW, przy okazji udało nam się omówić algorytm Euklidesa, więc pora na coś więcej. Mam na myśli to, co sprawia, że zaczynamy rozumieć sens poszukiwania (i obliczania) największego wspólnego dzielnika czy też najmniejszej wspólnej wielokrotności. Podejrzewam, że naprawdę wiele osób ma spore problemy ze zrozumieniem tego czemu to tak naprawdę służy i czy w ogóle może być praktyczne.

Warto wiedzieć, że pomiędzy liczbami a NWW i NWD zachodzą pewne relacje. Ich zrozumienie powinno znacząco poszerzyć zrozumienie tego tematu, co będzie miało odbicie w kolejnym odcinku.

Najpierw zerknijmy na takie oto wzory:

1) wyznaczanie Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności: NWW(a,b) = a*b / NWD(a,b).
2) wyznaczanie Największego Wspólnego Dzielnika: NWD(a,b) = a*b / NWW(a,b).
3) wyznaczenie (porównanie) iloczynu NWW i NWD jako iloczynu obu liczb (a,b): a*b = NWW * NWD.

Zobaczmy na kilku przykładach jak to właściwie działa. Tabela nam powinna wszystko wyjaśnić.

Tabela nr 1 - liczbowy zapis matematyczny, który raczej nie sprzyja pełnemu zrozumieniu tej koncepcji

Widzimy w kolumnie pierwszej liczby wstępne (te na których operujemy), potem ich rozkład na czynniki pierwsze, następnie NWD, NWW i w ostatniej kolumnie relacja między iloczynem liczb a iloczynem NWW i NWD.

Kluczowe tak naprawdę jest to, aby poprawnie rozłożyć obie liczby na czynniki pierwsze. I tak:
a) wartość NWD to iloczyn wszystkich czynników danej liczby, które powtarzają się w obu liczbach (wstępnych) - kolor niebieski
b) wartość NWW to iloczyn wszystkich pozostałych czynników danej liczby [po wykreśleniu (jak kto woli - podzieleniu) tych, które się w obu powtarzają], pomnożony przez drugą liczbę - kolor czerwony
c) równość obu stron: NWD*NWW = a*b

Teraz warto przyjrzeć się tym przykładom w tabeli (mała analiza) i przejrzeć je na spokojnie. Zapewne nie jest to najlepsze rozwiązanie, ale za chwilę pokażę jak można to zrobić znacznie lepiej, a na pewno bardziej zrozumiale dla dziecka.

Wiele osób (w tym rzecz jasna również i dzieci) ma duże trudności z wyobrażeniem sobie tego zagadnienia poprzez pryzmat samych liczb. Z pomocą zatem niech przyjdzie nam coś co jest znacznie łatwiejsze do zrozumienia... czyli zbiory, pieszczotliwie nazywane pętelkami czy kółeczkami. W jaki sposób nam one pomogą? Zobaczmy...

Rysunek nr 1 - zbiory czy pętelki, kto to w mig pojmie lub też łatwo zrozumie... ten będzie wielki!

Weźmy na warsztat dwie liczby: 36 i 126. Znajdźmy dla nich zarówno NWD jak i NWW. Czy to zadanie będzie wyjątkowo trudne?

1. Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze.
2. Zaznaczamy wszystkie liczby, które powtarzają się w rozkładach obu liczb (zielonym kolorem w kółeczkach).
3. Rysujemy dwa zbiory jako reprezentacje liczb.
4. W części wspólnej (środkowej) wpisujemy wszystkie liczby, które zaznaczyliśmy w rozkładzie na zielono (te same).
5. Uzupełniamy zbiór (i zarazem liczbę) po lewej stronie tymi czynnikami, które pozostały w jej rozkładzie.
6. Uzupełniamy zbiór (i zarazem liczbę) po prawej stronie tymi czynnikami, które pozostały w jej rozkładzie.
7. W pobliżu jednej i drugiej liczby (poza obwodem kółka) można zapisać jej pełną wartość. Nie jest to konieczne, ale jednak może okazać się bardzo przydatne (patrz strzałka od czerwonej liczby 36 i niebieskiej 126).

Pierwszy krok za nami. Można samodzielnie sprawdzić czy wartości obu liczb w "kołowym rozkładzie się zgadzają". Jeśli wymnożymy środkową część z pozostałymi czynnikami po lewej, to otrzymamy liczbę 36, a z tymi po prawej - liczbę 126. Można przy okazji zerknąć na rozkład w obu tabelach - jest to dokładnie to samo, ale chyba znacznie mniej oczywiste, prawda?

Przejdźmy teraz do koncepcji Największego Wspólnego Dzielnika, w skrócie zwanego NWD. Jak sama nazwa wskazuje musi on być wspólny dla obu liczb - a wspólna część obu kół, to czynniki zaznaczone na zielono (2*3*3). Widać wyraźnie z rysunku, że to właśnie nasza poszukiwana wartość dla obu liczb (36 i 126).

Rysunek nr 2 - wspólny dzielnik, więc dzieli wspólnie oba koła lub obie pętelki! Proste jak drut.. lub jak okrąg!

A teraz zobaczymy na naszego nieco bardziej nieposłusznego łobuza - czyli Najmniejsza Wspólna Wielokrotność, nazywana NWW. Jak ją wyznaczymy? Otóż wystarczy zobaczyć na wszystkie czynniki w obu kołach i zarazem w środku... i je przepisać, a potem poprawnie obliczyć ich iloczyn. Powiadają, że jeden rysunek jest wart tysiąca słów. Tutaj może to być bliskie prawdy.

Rysunek nr 3 - gdyby NWW była przed twoimi oczami we wnętrzu każdego koła, to kto tej koncepcji opanować nie zdoła?!

I na koniec zerknijmy jeszcze na łańcuszki, którymi można nieco szybciej (prościej) wyznaczać nasz NWW. Zwróćmy uwagę na magiczne niebieskie łańcuszki (przerywane linie), które łączą się z odpowiednimi liczbami.
Rysunek nr 4 - Metoda łańcuszkowa to nie tylko dziś moda, lecz więcej pomysłów w twojej głowie zapoda! A gdy to w końcu opanujesz to szybko, to gratulacje ci złoży... sam Mistrz Joda!

W pierwszej badanej liczbie, po jej rozkładzie i usunięciu części wspólnej (pola zielone) pozostała jedynie liczba 7. Jeśli pomnożymy ją przez całkowitą drugą liczbę (36), wówczas otrzymamy NWW dla obu wyjściowych liczb, czyli 252. A gdyby tak sprawdzić czy w przypadku drugiej liczby także zachodzi ta relacja? No to zobaczmy! Bierzemy z drugiej liczby resztę jej rozkładu (liczbę 2) i mnożymy ją przez całkowitą pierwszą liczbę (126). I co otrzymujemy? Tak! To właśnie ta sama wartość, która przed chwilą została obliczona. No dobrze, ale dlaczego to się nazywa metoda łańcuszkowa? Otóż dlatego, że za pomocą łańcuszka łączymy te liczby i dzięki temu mamy pewność, że końcowa wartość będzie dobrze zapisana (i miejmy nadzieje również obliczona).

Jako ćwiczenia dodatkowe proponuję poćwiczyć:
1. Rozkład liczb na czynniki pierwsze.
2. Rozrysowywanie kółek i zbiorów i na tej podstawie wyznaczanie NWD i NWW.
3. Metodę łańcuszkową i na tej podstawie wyznaczanie NWD i NWW.

Gwarantuję, że po świadomym i rozumnym przerobieniu kilkunastu lub kilkudziesięciu ćwiczeń... nagle może okazać się, że te oba pojęcia są znacznie łatwiejsze aniżeli ich mało zachęcająca nazwa czy potoczne wyobrażenie o "kosmicznie trudnych" rzeczach.

Podsumowanie: podzielenie iloczynu dwóch liczb przez ich NWW daje nam NWD, zaś przez NWD daje.. NWW! Do tego zawsze zachodzi równość pomiędzy iloczynem obu liczb a iloczynem NWW i NWD. Przy okazji istnieje relacja pomiędzy kilkoma elementami tego procesu. Mianowicie sprawne posługiwanie się tabliczką mnożenia i dzielenia daje możliwość operowania na liczbach. Następnie znajomość cech podzielności zwiększa efektywność obliczeń przy rozkładzie na czynniki pierwsze. Z kolei ten rozkład daje nam możliwość spojrzenia czy wręcz prześwietlenia obu liczb tak jak na zdjęciu zrobionym za pomocą promieni rentgena. I jeśli potrafimy jeszcze odnaleźć wspólne czynniki w obu liczbach, to praktycznie mamy z głowy NWD.

A jak się dobrać do NWW? Otóż w przypadku, gdy skreślimy w jednej liczbie te same czynniki, które występują w drugiej, to pozostają wyłącznie czynniki, których iloczyn daje nam NWW. No i oczywiście można sobie życie uławić za pomocą narysowania zbiorów i używania metody łańcuszkowej. Każdy może samodzielnie zdecydować, która metoda najbardziej mu się podoba i go w pełni przekonuje. A właśnie o to chodzi, żeby odnaleźć i stosować to co nam najbardziej pasuje.

W kolejnej odsłonie powiemy sobie o przydatności tych pojęć nie tylko w matematyce, ale i w praktycznym życiu. Przy okazji przekonamy się w jaki sposób mogą być one stosowane do sensownego rozwiązywania zadań. Jak ktoś chce samodzielnie nieco pogłówkować to zapraszam do zastanowienia się nad tym dlaczego w NWD pierwsze słowo to największy (dzielnik), zaś w przypadku NWW - najmniejsza (wielokrotność). Podpowiem, aby pobawić się nieco i spróbować zamienić te słowa... i wtedy zobaczyć czy dalej oba pojęcia będą miały sens. W razie trudności nie trzeba się stresować, bo już niebawem wszystko wyjaśnię i pokażę z czym to się je.

środa, 3 października 2018

NWW i NWD - co o tym wiemy oraz z czym to się je (2)

W poprzedniej odsłonie dotyczącej tematu NWW i NWD wspomniałem o tym, że dość często do wyznaczania NWD stosuje się tak zwany algorytm Euklidesa. Jest on prostym i szybkim algorytmem (sposobem) obliczania największego wspólnego dzielnika dwóch (zwłaszcza dużych) liczb całkowitych. Być może warto poświęcić mu nieco uwagi, zwłaszcza że wydaje mi się, iż mam do zaproponowania ciekawy sposób realizacji tego algorytmu.

Algorytm Euklidesa najczęściej stosuje się do wyznaczania NWD większych liczb. Dlaczego? Przede wszystkim dlatego, że tradycyjny rozkład na czynniki pierwsze zajmie nam wówczas znacznie więcej czasu aniżeli za pomocą tego algorytmu. Pamiętajmy jednak, że oba sposoby są poprawne i można stosować je zamiennie.

W takim razie zobaczmy na czym polega ten algorytm, którego nazwa jest związana z nazwiskiem słynnego matematyka.

Oficjalna recepta na wyznaczenie NWD dla dwóch liczb za pomocą algorytmu Euklidesa:

KROK 1:
1. Wpisujemy większą liczbę w pierwszą kolumnę (dzielna).
2. Wpisujemy mniejszą liczbę w trzecią kolumnę (dzielnik).
3. Obliczamy liczbę całkowitą z dzielenia dzielnej przez dzielnik (całość).
4. W ostatniej kolumnie wpisujemy resztę z powyższego dzielenia (reszta z dzielenia).

KROK 2:
1. Dzielnik z pierwszego wiersza staje się dzielną w drugim wierszu.
2. Reszta z dzielenia z pierwszego wiersza staje się dzielnikiem w drugim wierszu.
3. Obliczamy liczbę całkowitą z dzielenia dzielnej przez dzielnik (całość).
4. W ostatniej kolumnie wpisujemy resztę z powyższego dzielenia (reszta z dzielenia).

KROK 3: Powtarzamy krok drugi (poprzedni) aż do uzyskana reszty zerowej (brak reszty).

KROK 4: Liczba, która jest przedostatnią resztą (tzn. ta poprzednia przed zerową) stanowi nasz NWD dla szukanych liczb.

Zerknijmy teraz na tabelę w której zostaną przedstawione dwa przykłady.

Przykład 1: wyznaczenie NWD dla liczb 3200 i 1408.


A teraz znacznie bardziej twórczy algorytm na wyznaczenie NWD dla dwóch liczb za pomocą algorytmu Euklidesa (jako bajka dla dzieci poziomu 10-11 lat):

KROK 1:
1. Wpisujemy większą liczbę w kolumnę o nazwie PANI. Dlaczego? Ponieważ pani ma pierwszeństwo i przechodzi w drzwiach jako pierwsza.
2. Wpisujemy mniejszą liczbę w kolumnę o nazwie PAN. Inaczej mówiąc, PAN wchodzi za PANIĄ i zamyka drzwi za nią (taki oto dżentelmen).
3. Obliczamy liczbę całkowitą z dzielenia PANI przez PANA i wpisujemy w kolumnę o nazwie całość.
4. W ostatniej kolumnie wpisujemy resztę z powyższego dzielenia (reszta z dzielenia). Można powiedzieć, że przy podziale PANI przez PANA powstaje całość, a do tego jeszcze reszta (dodatek). I ona jest bardzo ważna, bo będzie siadała na miejsce PANA.

KROK 2:
1. PAN z pierwszego wiersza wchodzi na miejsce PANI w wierszu drugim.
2. Reszta z dzielenia z pierwszego wiersza zajmuje miejsce PANA także w wierszu drugim.
3. Postępujemy tak jak poprzednio - czyli powtarzamy punkty 3 i 4 z poprzedniego kroku.

KROK 3: Powtarzamy krok drugi (poprzedni) aż do uzyskana reszty zerowej (brak reszty).

KROK 4: Liczba, która jest przedostatnią resztą (tzn. ta poprzednia przed zerową) stanowi nasz NWD dla szukanych liczb.

W naszym pierwszym przykładzie NWD dla liczb 3200 i 1408, to 128. Warto zobaczyć poniżej, że przy pomocy tradycyjnego rozkładu również otrzymamy tę samą wartość (liczbę). Różnica polega na tym, że nie zawsze jest tak łatwo ręcznie przeprowadzić rozkład obu liczb (w drugim przykładzie będzie to bardziej widoczne). Stąd bardziej efektywny sposób, czyli zastosowanie algorytmu Euklidesa.


Przykład 2: wyznaczenie NWD dla liczb 2618 i 1615. Całość procesu przebiega analogicznie jak w poprzednim przypadku. Warto zwrócić uwagę na to, że pomimo dłuższego rozpisania, za pomocą algorytmu Euklidesa będziemy mogli szybciej odnaleźć NWD.

 
Jeśli już dobrze opanujemy wyznaczenie NWD dla dwóch liczb, wówczas znacznie łatwiejsze będzie znajdywanie NWW.

Wiele osób słyszało o tym, że NWW jest definiowana wzorem, ale raczej wolą od niego trzymać się z daleka. Dlaczego? Otóż wydaje się on dość niezrozumiały, ale za chwilę zobaczymy, że... w rzeczywistości jest prosty jak drut!

Oto wzór na wyznaczanie Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności: NWW(a,b) = a*b / NWD(a,b). Wygląda naprawdę świetnie, prawda? (a i b, to dowolne liczby całkowite).

A teraz spróbujemy przełożyć to zagadnienie z języka matematycznego na język 5-letniego dziecka. Niemożliwe?! No to przekonajmy się czy aby na pewno!

Jeżeli mamy dwie liczby całkowite, to obliczenie NWW wymaga tylko dwóch kroków:
1. Znajdujemy (wyznaczamy) NWD. Jak już wiemy możemy go zrealizować albo rozkładając podane liczby na czynniki pierwsze (dla małych liczb) albo za pomocą algorytmu Euklidesa (dla dużo większych liczb). Wybór oczywiście należy do nas.
2. Mnożymy przez siebie obie liczby, a następnie dzielimy przez wyznaczoną przed chwilą wartość NWD.

Zobaczmy na kilku przykładach jak prosto to wygląda. Ostrzegam, że jeśli nadal wierzysz, iż wyznaczanie NWW lub NWD jest naprawdę trudne, to po przejrzeniu tego rysunku możesz naprawdę potrzebować kilka głębszych oddechów...


Tak, to aż tak trudne. Ja również przecierałem wiele razy oczy ze zdziwienia. Jeśli to wyjaśnienie na powyższych przykładach zrobiło na tobie wrażenie, to znaczy, że moja praca okazała się wartościowa i zarazem przydatna.


Podsumowanie: Teraz zapewne zastanawiasz się do czego będą przydatne te NWW i NWD. Przecież o nich raczej nie słyszałeś, więc podejrzewasz, że to materiał na tyle abstrakcyjny, że nie warto sobie nim zaprzątać głowy. Czy tak rzeczywiście jest postaram się przekonać cię w następnym odcinku. Okazuje się bowiem, że tak niewinny i często zupełnie pomijamy temat może mieć więcej znaczenia i zastosowań praktycznych niż podpowiada nam intuicja.

Do spotkania następnym razem... ale zanim to nastąpi, to wcześniej serdecznie zachęcam do kilkukrotnego przeczytania tego zagadnienia (obu części) jak też do poćwiczenia na wybranych przykładach. Dzięki temu kolejna odsłona będzie miała dla ciebie jeszcze więcej sensu i wartości.

Poniżej podrzucam moim zdaniem ciekawe i przydatne bądź też wartościowe linki:

1. Najmniejsza wspólna wielokrotność - można wstawiać własne liczby i sprawdzać czy są zgodne z twoim rozwiązaniem.
http://www.math.edu.pl/narzedzia.php?opcja=nww

2. Największy wspólny dzielnik - można wstawiać własne liczby i sprawdzać czy są zgodne z twoim rozwiązaniem.
http://www.math.edu.pl/narzedzia.php?opcja=nwd

3. Algorytm Euklidesa - to taka mała ściągawka, która omawia w skrócie to co mi zajmuje 2-3 razy więcej miejsca.
http://www.math.edu.pl/algorytm-euklidesa

4. Algorytm Euklidesa - klasyczne ujęcie algorytmy przez Mistrza Matemaksa (czyli Michał Budzyński przedstawia).
https://www.matemaks.pl/algorytm-euklidesa.html

5. Obliczanie NWD i NWW w nieco pogłębionym wydaniu. Można porównać opracowanie na podanej stronie z moim na tym blogu.
https://matematyka.opracowania.pl/obliczanie_nwd_i_nww/

piątek, 28 września 2018

NWW i NWD - co o tym wiemy oraz z czym to się je (1)

Bardzo często zdarza nam się sytuacja w której trzeba dodać dwa ułamki o różnych mianownikach. Wiemy, że nie możemy tego zrobić dopóki nie znajdziemy wspólnego mianownika. Najlepiej, aby był to przy okazji najmniejszy wspólny mianownik, bo wtedy można praktycznie wszystkie rachunki przeprowadzić w głowie. Co wtedy zrobić? Otóż z pomocą przychodzi nam zastosowanie tego czym jest Najmniejsza Wspólna Wielokrotność (NWW). Jeśli ją wyznaczymy dla obu mianowników, wówczas znajdziemy ich wspólnego przyjaciela, który powie nam do jakiej postaci (mianownika) trzeba sprowadzić te ułamki.

Nie tak rzadko mamy również do czynienia ze skracaniem ułamków, tak aby były one w jak najprostszej postaci. Wiadomo bowiem, że im mniejsze liczby, tym łatwiej liczyć i zarazem mniejsza szansa na błąd w rachunkach. No i być może nie wszyscy zdają sobie w pełni sprawę z tego, że przy każdej operacji skracania wykorzystujemy koncepcję o nazwie Największy Wspólny Dzielnik (NWD).

W tym odcinku powiemy sobie o tym w jaki sposób wyznaczać te jakże istotne elementy, a w kolejnym spotkaniu pokażę do czego i w jaki sposób stosujemy te nieco tajemniczo brzmiące nazwy. Zatem najwyższy czas na wykład!

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) liczb naturalnych a i b - to najmniejsza liczba różna od zera, która jest jednocześnie wielokrotnością liczby a i liczby b.

W przypadku obliczania minimalnej wielokrotności chodzi o możliwość znajdowania wspólnego mianownika dla różnych ułamków. Co uzyskamy w ten sposób? Otóż dzięki temu (sprowadzeniu ich do wspólnych części) będzie możliwe dodawanie i odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach (gdy mają różne mianowniki, wówczas nie jest to możliwe).

Największy wspólny dzielnik (NWD) dwóch liczb całkowitych - to największa liczba naturalna, która dzieli obie te liczby bez reszty.

W przypadku wyznaczania największego wspólnego dzielnika, chodzi najczęściej o możliwość skracania ułamków. Inaczej mówiąc dzięki temu będziemy mogli doprowadzać je do najprostszej postaci (tak zwanych ułamków nieskracalnych). I to się nazywa skracanie jednym strzałem! (jak kto woli za jednym zamachem).

Przejdźmy teraz do sedna. Wiemy, że NWD i NWW będą opierały się o liczby całkowite. Warto podkreślić, że rozpatrujemy w zasadzie tylko jeden przypadek. Jest nim sytuacja w której obie liczby są różne od siebie (jedna większa bądź mniejsza od drugiej).

Natomiast w kolejnym podziale mamy sytuację w której: a) jedna z liczb jest wielokrotnością drugiej (bardzo rzadki przypadek) albo b) żadna z liczb nie jest wielokrotnością drugiej (najczęstsze przypadki, gdy żadna z nich nie daje się zmieścić w drugiej całkowitą ilość razy; przykładowo 6 nie mieści się w 20, tak samo jak 7 w 30).

Jeśli jedna z liczb jest wielokrotnością drugiej, wówczas NWW dla obu z nich wyznacza ta większa. Przykład to liczby 40 i 120. W tym wypadku NWW(40,120)=120. Natomiast dla NWD jest dokładnie odwrotnie - wyznacza je ta mniejsza liczba. Zatem NWD(40,120)=40. W praktyce jest to bardzo rzadko spotykane. Dlaczego? Otóż z uwagi na to, że w zasadzie nie wymaga żadnego wysiłku (wystarczy zapamiętać powyższe zasady, które są niezmienne dla dowolnych przypadków).

Tak więc widzimy, że w praktyce najczęściej będziemy mieli do czynienia z przypadkiem w którym obie liczby są różne i jednocześnie żadna z nich nie jest wielokrotnością pozostałej. Jeśli na warsztat weźmiemy sobie liczby 16 i 52, wówczas widzimy, że nie ma takiej liczby całkowitej przez którą można pomnożyć 16 (mniejszą), aby powstała liczba 52 (większa). Można zatem powiedzieć, że 52 nie jest wielokrotnością 16.

I teraz pojawia się kluczowe pytanie: Jak wówczas należy szukać (wyznaczać) NWD i NWW? Otóż jest na to kilka sposobów. Ja postaram się je opisać za pomocą dwóch tabeli. Zerknijmy zatem na przykłady i ich krótkie wyjaśnienie.

TABELA nr 1

TABELA nr 2

W pierwszej tabeli widzimy w poszczególnych kolumnach: numer liczby, ich wartości, rozkład na czynniki pierwsze, wypisanie tych samych elementów (kolor żółty), a następnie określenie ich NWD. Natomiast ostatnie dwie kolumny pokazują jak z rozkładu drugiej z nich wykreśliliśmy (usunęliśmy) to co stanowiło przed chwilą NWD, tak aby w ostatniej kolumnie zapisać iloraz pierwszej liczby przez to co zostało z drugiej. Przy odrobinie wysiłku wszystko powinno być jasne (szczególnie jak dobrze się rozpoznaje i łączy ze sobą kolory).

Druga tabela przedstawia to samo, ale z nieco innego ujęcia. Myślę, że możemy się umówić, że ten obrazek jest dla minimalistów i osób, które cenią tradycję. Widzimy dwie liczby (36 i 120), które zostały rozłożone na czynniki pierwsze (kolumny 2 i 4). Następnie zostały obrysowane w kółko elementy rozkładu wspólne dla obu liczb. I w ostatnim wierszu widzimy NWD jako iloraz liczb zaznaczonych w kółku (będących na różowym polu). Natomiast NWW to najpierw wykreślenie tych liczb wspólnych (różowe pola), a następnie zapisanie ilorazu wszystkich pozostałych elementów obu liczb (zielone pola).

A jaki będzie łatwy sposób zapamiętania tego jak wyznaczamy NWD a jak NWW? Oto mała ściągawka.

WYZNACZANIE NWD dla dwóch liczb:

1. Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze.
2. Zaznaczamy w kółko wszystkie identyczne czynniki rozkładu dla obu liczb.
3. Wynikiem jest iloczyn wszystkich tych samych czynników w dowolnej liczbie.
4. Obliczamy wartość końcową (jako końcowy wynik mnożenia czynników).

Przykład: Liczby 12 i 42. Rozkładem liczby 12 jest 12=2*2*3, zaś 42=2*3*7, zatem wspólne elementy rozkładu dla obu liczb to 2*3 czyli 6. Czyli w skrócie mamy: NWD(12,42)=6.

WYZNACZANIE NWW dla dwóch liczb:

1. Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze.
2. Zaznaczamy w kółko wszystkie identyczne czynniki rozkładu dla obu liczb.
3. Wykreślamy identyczne czynniki w dowolnej liczbie.
4. Wypisujemy jako iloczyn wszystkie pozostałe [tj. niewykreślone] czynniki obu liczb*.
5. Obliczamy wartość końcową (jako końcowy wynik mnożenia czynników).

* - można także wypisać (jako iloczyn) pozostałe czynniki z wykreślonej liczby (o ile takie zostaną) i całą drugą liczbę. Wynik będzie ten sam. Niektórzy uważają to za znaczne uproszczenie, co może być dla wielu osób pomocne.

Przykład: Liczby 12 i 42. Rozkładem liczby 12 jest 12=2*2*3, zaś 42=2*3*7, zatem wykreślamy wspólne elementy rozkładu w jednej liczbie, (u nas będzie to 2*3) i resztę elementów zapisujemy w postaci ilorazu. Zapisując matematycznie będzie to wyglądało w ten sposób: 2*2*3*7=84. Drugi sposób to oczywiście 12*7=84 (cała pierwsza liczba pomnożona przez pozostałe czynników drugiej po wykreśleniu wspólnych elementów), co w skrócie kodujemy jako NWW(12,42)=84.

Na koniec zapamiętajmy, że najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) niemal zawsze jest liczbą większą aniżeli obie badane. Wyjątkiem jest sytuacja w której jedna z liczb jest wielokrotnością drugiej (np. 36 dla 12 czy też 126 i 252 jak w pierwszej tabeli). Wówczas ta większa zawsze stanowi NWW dla obu z nich, zaś ta mniejsza to rzecz jasna NWD.

To tak w telegraficznym skrócie. Wierzę, że pomoże to znacznie rozjaśnić ten temat, który jest trochę pomijany w procesie edukacji szkolnej. W drugiej odsłonie zajmiemy się tym po co tak naprawdę są nam potrzebne te magiczne NWW i NWD. Wbrew pozorom mają one swoje zastosowanie, które zamierzam już niebawem przybliżyć. A do tego czasu dobrze byłoby nieco poćwiczyć, więc załączam karty pracy (wpisujemy własne liczby według powyższych przykładów omówionych w artykule).

TABELA nr 3

TABELA nr 4

Uwaga: w przypadku gdy obie liczby badane są takie same, wówczas zarówno NWW jak i NWD są tymi samymi wartościami (dowolną z badanych liczb). W praktyce jednak tego typu przykład niemal nigdy nie występuje, gdyż nie wymaga z naszej strony żadnego wysiłku (myślenia).

PS. Jeśli kogoś zainteresował temat to dodam, iż dość często do wyznaczania NWD stosuje się tak zwany Algorytm Euklidesa. Jest on prostym i szybkim algorytmem (sposobem) obliczania największego wspólnego dzielnika dwóch (zwłaszcza dużych) liczb całkowitych. Jest wiele dobrze opracowanych materiałów (i przy okazji bardzo łatwo dostępnych) w sieci Internet. Osobom zainteresowany polecam samodzielnie zgłębić temat.

środa, 26 września 2018

Specjalne cechy podzielności - przełomowe odkrycie albo wyjaśnione tajemnice

Dzielenie i określanie podzielności przez 3 i 9 wydaje się być dość łatwe, ale w praktyce wiele dzieci ma problemy z obliczeniami w zakresie 100 (tak, tak - tabliczka mnożenia), więc dobrze byłoby im w tym jakoś pomóc. Jak tego dokonać? Poniżej pokażę przełomowe odkrycie, które pozornie znają wszyscy, a jakby nikt nie stosuje (?!).

Otóż najkrócej mówiąc - istnieje jedna zasada, która w prosty sposób pozwala na określenie czy dana liczba jest podzielna przez 3 lub przez 9. I dodam, że jest ona jeszcze łatwiejsza niż ta przekazywana w szkole... chociaż dokładniej mówiąc jest jej niezwykle sprytnym przedłużeniem (!).

Na czym polega postęp i odkrycie związane z podzielnością? Otóż nikt głośno nie mówi o tym, że proces można powtarzać tyle razy, aż dojdziemy do ostatecznej wersji (?!). Ja tego nie słyszałem i nikt z uczniów (w tym ludzi dorosłych), których o to pytałem... również nie ma o tym bladego pojęcia!

CECHA PODZIELNOŚCI PRZEZ 3:

Przykładowo jeśli mamy liczbę 963963963, to jeśli efektywnie zliczymy, wówczas suma cyfr wynosi 6x9= 54. I teraz nie dzielimy tej liczby przez 3, tylko robimy jeszcze raz to samo, czyli kolejne sumowanie cyfr, dotąd aż uzyskamy liczbę jednocyfrową. Zatem z liczby 54 (po dodaniu jej wszystkich cyfr) uzyskujemy (jednocyfrową) liczbę 9. A teraz już wiadomo, że 9 jest podzielna przez 3, więc z tego wniosek, że pierwotna liczba jest również podzielna przez 3.

CECHA PODZIELNOŚCI PRZEZ 9:

Zobaczmy teraz liczbę 45729063531, której suma cyfr wynosi 5x9= 45. I teraz znowu nie dzielimy tej liczby przez 9, tylko robimy jeszcze raz to samo, czyli jeszcze jedno sumowanie cyfr. Zatem z liczby 45 (po dodaniu jej wszystkich cyfr) uzyskujemy liczbę 9. I tak jak poprzednio wiadomo, że jeśli ta końcowa jednocyfrowa liczba 9 jest podzielna przez 9, wówczas pierwotna liczba również jest podzielna przez 9.

Poniżej w tabeli zebrałem przykładowe wartości (liczby), które pokazują, że pomysł jest bardzo prosty, a zarazem ogromnie efektywny. W obu tabelach pokazałem wyłącznie liczby podzielne przez 3 bądź 9, tak aby maksymalnie skrócić wykład. Przykłady do sprawdzenia siebie będą na końcu.



Dlaczego to przełomowe odkrycie zasługuje na Medal Fieldsa? Otóż dlatego, że dzięki zastosowaniu tej metody poprawność określania podzielności liczby (w naszym wypadku przez 3 i 9) wzrośnie do poziomu bliskiego 100%! Dlaczego? Ponieważ w przypadku podzielności przez 3, końcowa wartość sumy cyfr musi dawać 3, 6 lub 9, natomiast w przypadku podzielności przez 9... musi to być jedynie 9. Widzimy, że wystarczy tylko sprowadzić dowolną liczbę do postaci tylko jednej cyfry! Czy można oczekiwać czegoś więcej?! Przecież tę czynność będzie potrafił wykonać nawet 6-8 latek, prawda?

Postęp jest moim zdaniem potężny, ponieważ przy prawidłowym sumowaniu można stwierdzić, że do oceny podzielności przez 3 mamy tylko 3 możliwości, zaś dla 9 - wyłącznie jedną. Nie muszę chyba wspominać jakie ogromne znaczenie ma to dla dzieci, które mają trudności z rachunkami oraz opanowaniem tabliczki mnożenia.

Pojawia się pytanie czy w badaniu większości liczb wystarczy podwójne sumowanie. W praktyce szkolnej (aż do poziomu matury lub wyższego poziomu konkursów matematycznych) okazuje się, że jak najbardziej wystarcza. Otóż w obu wypadkach (podzielność przez 3 i 9) pierwsza wartość sumy (kolumna A) nie może przekroczyć 99, do tego aby nie była potrzebna dodatkowa (kolumna B jako ostatnia).

Jeśli przyjrzymy się bliżej, to zrozumiemy, że maksymalna wartość pierwszej sumy jest na tyle duża, że można śmiało powiedzieć, że pozwala na zbadanie absolutnie każdej liczby 11-cyfrowej (zapisanej wyłącznie dziewiątkami), a w praktyce nawet 16-18 cyfrowych (jeśli będą występowały cyfry nie większe niż 4 lub 5 w przynajmniej co drugiej cyfrze danej liczby). Przykładowo liczby: 182736455463728190, 45544554455454455445 bez problemu mogą zostać ocenione za pomocą tej metody. W skrócie - wartość pierwszej sumy nie może przekroczyć 99, co niemal zawsze wystarcza.

Z kolei w drastycznych przypadkach można sprawdzać takie niesamowicie długie kolosy jak chociażby ten: 108 217 326 435 544 654 763 872 981 090. Tak, tak! - otóż nawet 30-cyfrowa liczba jest bez problemu możliwa do oceny względem jej podzielności... i to za pomocą zaledwie podwójnego sumowania! Czyż to nie wspaniałe? Czy to nie jest w pełni wystarczające? Przy okazji można sprawdzić tę ostatnią liczbę (czy jest podzielna przez 3 lub 9)... a dla ciekawego umysłu i wprawnego oka odnaleźć algorytm za pomocą którego została zapisana. A jeśli znajdzie się ktoś kto chce mieć ogromną radość, to niechaj spróbuje ją przeczytać... ostrzegam, że będzie niesamowita zabawa!

Magiczna tabela - do wykorzystania jako sprawdzenie podzielności wybranych liczb przez 3


Magiczna tabela - do wykorzystania jako sprawdzenie podzielności wybranych liczb przez 9

Podsumowując: efektywne sposoby czekają na nas tuż za rogiem. Całą sztuką jest to, aby poszukiwać ich oraz odkrywać, a także mieć odwagę tworzenia i błądzenia. Dzięki temu można łatwo odkrywać takie sposoby wyjaśniania i uczenia matematycznych zagadnień o jakim nie śniło się naukowcom w XXI wieku! Życzę wszystkim powodzenia w poszukiwaniach i odkryciach!... i przy okazji dziękuję mojej Mistrzyni Agacie za niezwykłą inspirację, luźne i wszechstronne dyskusje, rozmowy i wymianę pomysłów oraz zachęcanie do odkrywania piękna matematyki i dzielenia się nią z innymi! :)

PS. Jeśli jesteś nauczycielem to spróbuj tę metodę pokazać, wyjaśnić jak też solidnie przećwiczyć ze swoimi uczniami (powyżej są przykłady do zastosowania na lekcjach) i uważnie patrz na radość oraz postępy dzieci, które w końcu zaczną wierzyć w swoje możliwości. Jeśli zacznie ci się serce radować, to już będziesz wiedział/a dlaczego tak bardzo fascynuje mnie poszukiwanie i dzielenie się najbardziej efektywnymi metoda i sposobami pracy ;) :).

niedziela, 26 sierpnia 2018

Kolejność wykonywania działań - czyli co nieco o porządku w obliczeniach oraz poziomach w działaniach

Dzieci często miewają problemy z prawidłowym realizowaniem obliczeń. Wyniki ich działań (obliczeń) bywają zupełnie różne od tego co uznajemy za poprawne. Z czego to się bierze? Jak temu zapobiec? Na te pytania postaram się odpowiedzieć w poniższym artykule.

Powodem takiego stanu rzeczy są przede wszystkim:
1. Braki w poprawnym opanowaniu podstawowych działań.
2. Błędne zrozumienie zagadnienia kolejności wykonywania działań.

Jak temu zaradzić? Przede wszystkim trzeba zacząć od podstawy. Jest nią poprawne opanowanie podstawowych działań takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Jeśli zostanie to opanowane, wówczas przechodzimy do problemu z kolejnością wykonywania działań.

Z czego biorą się trudności w tym temacie? Moim zdaniem jest kilka przyczyn. Najbardziej istotną jest ta, że dzieci nie rozumieją pojęcia priorytetów i hierarchii.

Weźmy najpierw poziomy stosowanych działań. Wychodzimy od najwyższego piętra (4) i schodzimy coraz niżej aż do najniższego (1). Dzięki tej koncepcji (poziomy) widzimy, że nie ma możliwości popełnienia błędu w tak prosty sposób jak tradycyjnie.

Najpierw sprawdzamy (uważnie patrzymy) czy nasze wyrażenie zawiera nawiasy. Jeśli nie, wówczas przechodzimy na niższy poziom. Pytamy zatem czy występuje potęgowanie, potem czy mamy mnożenie lub dzielenie, a na samym końcu czy jest dodawanie bądź odejmowanie.

I teraz najważniejsza reguła, którą trzeba dobrze zrozumieć. W przypadku gdy pojawią się dwa działania na jednym poziomie, wówczas stosujemy konwencję (umowę) polegającą na tym, że wykonujemy je tak jak zapisujemy zdania lub poszczególne słowa - w kolejności występowania od lewej do prawej.

Jest jeszcze jedna reguła, która nie występuje tak często, ale jednak może się zdarzyć. Chodzi mianowicie o nawiasy. Jeśli pojawią się więcej niż dwa nawiasy, wówczas zaczynamy nasze obliczenia od tych, w środku których już nie znajdziemy innych nawiasów.



I teraz chyba najciekawsza część - czyli przykłady jak można ten temat pokazywać i nauczać w praktyce (warto zerknąć na dwie powyższe tabele).

1. Wypisujemy obok siebie dwie liczby od 2 do 19 (im mniejsze tym lepiej).
2. Pomiędzy te liczby wpisujemy znak dodawania.
3. Powtarzamy te same czynności (kroki 1 i 2 na identycznych liczbach) i zapisujemy obok.
4. Zapisujemy na końcu pierwszej kolumny *2 i na początku drugiej 2*.
5. Następnie bierzemy w kółko to działanie, które jest wyżej w hierarchii poziomów.
6. Wykonujemy stosowne obliczenia, krok po kroku.
7. Porównujemy wyniki w obu kolumnach.
8. Wspólnie omawiamy wnioski.
9. Pracujemy nad kolejną tabelą i przykładami.
10. Sprawdzamy umiejętności uczniów i w razie konieczności omawiamy błędy.





 

 

 

W kolejnych tabelach mamy widoczne następne (bardziej złożone) działania, które coraz bardziej podwyższają poprzeczkę uczniom. Warto zaznaczyć, że uczniowie powinni samodzielnie tworzyć przykłady i odkrywać różnice pomiędzy zmianą znaku w tym samym układzie liczb. Dobrym pomysłem jest łączenie uczniów w pary, aby każdy z nich mógł wykonywać te same czynności, ale naprzemiennie. Pierwszy z nich może brać w kółko działania, które trzeba wykonać jako pierwsze, zaś drugi obliczać wynik. Dobrze jest też używać zakreślacza w kolorze żółtym, zielonym i pomarańczowym. W zależności od koloru można się umówić, że pierwszy z nich będzie oznaczał działanie z najwyższego poziomu, kolejny z niższego, a ostatni z najniższego (oczywiście w ramach konkretnych przykładów).

Dobrze jest także przećwiczyć podobne przykłady w tabeli, tak aby każdy miał okazję zrobić swój przykład (samodzielnie). Dopiero po opanowaniu powyższych tabel (tj. zadań w nich zawartych) można przejść do trudniejszych zadań. Takie ćwiczenia bez trudu można odnaleźć w podręczniku czy ćwiczeniach do danego poziomu nauczania (zeszyt ćwiczeń lub zbiór zadań).

Wskazane jest również w początkowej fazie nauki, aby nie brać przykładów zbyt trudnych. Bazowanie na niewielkich wartościach sprawi, że uczniowie nie będą się gubili (wykładali) na tabliczce mnożenia lub na operacjach rachunkowych, lecz będą mieli okazję zrozumieć istotę kolejności wykonywania działań. I na koniec podkreślę, że jeśli uczniowie nie znają jeszcze pojęcia liczb ujemnych, wówczas należy tak dobrać przykłady, aby nie uzyskiwać wartości mniejszych od zera.

W zależności od poziomu i umiejętności uczniów można (a nawet trzeba) jednocześnie tworzyć i zapisywać z nimi zadania tekstowe, które będą odpowiadały działaniom z tabeli (i odwrotnie). Dzięki temu będą mieli dodatkową szansę na to, aby zrozumieć sens zapisywanych wyrażeń i zmianę w zapisie, która prowadzi do zmiany w wyniku.

Oczywiście przedstawiony przeze mnie sposób jest jednym z wielu. Są różne podejścia oraz materiały, które pozwolą na szersze spojrzenie na to zagadnienie. Wystarczy nieco poszperać w zasobach sieci Internet, aby odnaleźć wiele różnych propozycji (w tym filmy na YouTube) dotyczących wyjaśnienia tego tematu.


Podsumowanie: Zbigniew Semandeni w pierwszym rozdziale (Matematyka w edukacji początkowej - podejście konstruktywistyczne) w książce Matematyczna edukacja wczesnoszkolna - teoria i praktyka, podkreśla bardzo wyraźnie pewną myśl, którą przytaczam w całości (1.20.9, str. 98). Brzmi ona następująco: "Uczniom często wydaje się, że reguły najpierw się mnoży, a potem dodaje są takimi samymi prawami matematycznymi jak np. przemienność dodawania. Otóż różnica jest fundamentalna. Przemienność dodawania jest prawem nauki, stwierdzonym przez matematyków, którzy nie mogą go zmienić, tak już jest. Natomiast reguły kolejności wykonywania działań dotyczą wypracowanej w historycznym rozwoju nauki konwencji dotyczącej sposoby pisania znaków matematycznych na papierze i ich odczytywania (podobnie jak np. to, że dodawanie oznacza się krzyżykiem + oraz że licznik ułamka pisze się u góry, a mianownik u dołu, pod kreską)" [koniec cytatu]

piątek, 17 sierpnia 2018

Wyjaśnienie mechanizmu dzielenia i nagle wszystko się zmienia (2)

W poprzedniej odsłonie mówiłem o tym, że aby liczba była podzielna przez 4, to musi być "podwójnie parzysta". Co to oznacza? Otóż wyjściowa liczba (ta, którą sprawdzamy) musi być parzysta, a po podzieleniu na 2 nadal musi być parzysta. Wydaje się, że już jesteśmy sporo do przodu, ponieważ nie musimy znać wszystkich wielokrotności liczby 4 (tych od 0 do 96). Jednak za każdym razem musimy realizować dzielenie, aby być pewnym czy liczba jest podzielna przez 4 (czy jest "podwójnie parzysta"). I tak w przypadku badania liczb: 34, 42, 86, 54 i 74 dopiero po podzieleniu na dwa widzimy, że ich ilorazy są nieparzyste. Natomiast liczby 28, 92, 68, 60... widzimy, że dają parzysty iloraz, a więc są podzielne przez 4.

Pytanie jednak czy można pójść o krok dalej? Co by było, gdyby nie było konieczności wykonywania żadnych operacji związanych z dzieleniem czy mnożeniem, aby określić czy liczba jest podzielna przez 4? Czy wówczas pięciolatek byłby w stanie bez problemu znajdować takie liczby? To może warto pomóc temu dziecku, aby te z kolejnych poziomów edukacji również mogli skorzystać?

Doskonale wiemy, że jeśli chodzi o podzielność przez 4, to najprostszy sposób jest taki, że zakrywamy wszystkie wcześniejsze cyfry i pozostawiamy jedynie ostatnie dwie. I wtedy jest już łatwo - dwucyfrową liczbę dość szybko można w pamięci sprawdzić czy jest podzielna przez 4. A dalsza historia jest już prosta. Jeśli mamy liczbę dwucyfrową, która jest podzielna przez 4 (niechaj to będzie przykładowo 28), wówczas możemy przed nią dopisywać dowolną liczbę cyfr i nadal każda w ten sposób utworzona będzie podzielna przez 4.

No tak. Co by jednak było gdyby tak w ogóle nie sprawdzać w pamięci dzielenia? Spróbujmy. Zerknijmy na tabelę i reguły.

Reguła zerowa (wejścia). Liczba nie jest podzielna przez 4 jeśli jej ostatnia cyfra jest nieparzysta. Tak więc każda liczba, która kończy się na 1, 3, 5, 7 lub 9 jest już na wejściu (input) wykluczana.

Tak więc mamy tylko dwie reguły do zapamiętania i zastosowania.

Reguła #1 - jeśli ostatnia cyfra to 0, 4 lub 8, to przed nią ma być parzysta cyfra (reguła: P0, P4, P8) [parzysta wielokrotność 4].
Reguła #2 - jeśli ostatnia cyfra to 2 lub 6, to przed nią ma być nieparzysta cyfra (reguła: N2, N6) [nieparzysta niewielokrotność 4].

Jak to rozumieć? Otóż jeśli liczba kończy się według reguły pierwszej, wówczas przed nią musi być parzysta cyfra. Inaczej mówiąc jeśli nasza sprawdzana (dwuznakowa) liczba zacznie się dowolną parzystą, wówczas jeśli kończy się na 0, 4 lub 8, to na pewno jest podzielna przez 4. Przykładami niechaj będą: 20, 24, 28 (dwójki), 40, 44, 48 (czwórki), 60, 64, 68 (szóstki), 80, 84, 88 (ósemki).

Natomiast reguła druga mówi nam o tym, że jeśli mamy ostatnią cyfrę 2 lub 6, wówczas przed nią musi znaleźć się nieparzysta cyfra, aby liczba była podzielna przez 4. Wymieńmy je zatem: 12, 16 (jedynki), 32, 36 (trójki), 52, 56 (piątki), 72, 76 (siódemki), 92, 96 (dziewiątki).

Teraz można zerknąć na tabelę, która pokazuje w praktyce to co przed chwilą zostało omówione.


Najpierw wypisujemy wszystkie liczby które chcemy zbadać (kolumna nr 1), następnie zapisujemy tylko dwie ostatnie cyfry jako liczbę, i kolejne kolumny to przedostatnia i ostatnia cyfra (w osobnych kolumnach). Pod koniec mamy regułę oceny liczby i końcowy wniosek - czy liczba jest czy nie jest podzielna przez 4.

Omówiliśmy zatem wszystkie możliwości poza jedną. Liczba może być nie tylko dwucyfrowa lub dłuższa, lecz także jednocyfrowa (wtedy liczba pokrywa się z symbolem cyfry). Są nimi takie liczby (cyfry) jak: 0, 4 i 8. Gdyby je zapisać sprytnie jako "dwucyfrowe" poprzedzając je zerem, wówczas wyglądałyby tak: 00, 04 i 08. A jak już pamiętamy będą one zgodne z regułą mówiącą o parzystej wielokrotności (czyli regule pierwszej), a więc również podzielne przez 4.

Gdyby ktoś pomyślał, że te reguły są trudne do przyswojenia dla dzieci, to spieszę z wyjaśnieniem, że wystarczy je odpowiednio zakodować, tak aby miło w uszach zabrzmiały. Przykładowe wersje mogą wyglądać w taki oto sposób (to oczywiście tylko jako inspiracja).

Reguła #1: Parzysta wielokrotność czwórki (0, 4 lub 8) wymaga przed nią parzystej przyjaciółki. Ciekawie dla dzieci może brzmieć taka wersja: "Na końcu zero, czwórka lub ósemka szukają przed sobą parzystego ziomka".

Reguła #2: Nieparzysta niewielokrotność czwórki (2 lub 6) wymaga przed nią nieparzystej przyjaciółki. Można także i bardziej finezyjnie: "Gdy masz liczbę zakończoną o dwa lewo (lub w prawo) od naszej czwóreczki, to szukasz przed nią nieparzystej połóweczki".

Podsumowanie: są różne sposoby na to, aby radzić sobie z wyzwaniami i problemami matematycznymi. Warto pamiętać o tym, aby poszukiwać różnorodnych rozwiązań, a nie skupiać się na problemie. Dzięki temu jest duża szansa, że przejdziemy na wyższe szczeble naszego zrozumienia. Można oczywiście dzieciom pokazać to zagadnienie na dziesiątki sposobów, włącznie z wypisaniem wszystkich wielokrotności i ćwiczenie z nimi poprzez zapamiętywanie dotąd aż je wszystkie opanują. Czy jednak nie stać nas na bardziej twórcze i znacznie ciekawsze rozwiązania?

sobota, 14 lipca 2018

Miniatury Matematyczne dla inspiracji są fantastyczne (2) - co znajdziemy w numerze 2 (SP)

Z uwagi na wakacyjny okres, dobrze jest trochę odpocząć od wysiłku umysłowego. Można jednak poczytać o tym co ciekawego znajdziemy w numerze drugim Miniatur Matematycznych. Ten zeszyt jest nieco grubszy od poprzednika, więc z pewnością będzie znacznie więcej przykładów do wykorzystania. Przekonajmy się dla kogo najbardziej będzie odpowiedni ten zeszyt (nota bene: formalnie nie jest to czasopismo, lecz "wydawnictwo książkowe"; dziękuję Mirosławowi Majewskiemu za zwrócenie uwagi na tę kwestię).

Na początek przytoczę opis numeru ze strony wydawcy:
https://www.aksjomat.torun.pl/pl/p/Miniatury-matematyczne-2-SP/207

Przekazujemy drugi tomik z serii "Miniatury Matematyczne". Tematem przewodnim tej książeczki są liczby całkowite i różne zagadnienia z nimi związane. Znajdziecie w niej ciekawe i nieszablonowe teksty matematyczne, nie wykraczające jednak poza Wasze możliwości, a także takie, które Was zabawią, a nawet zadziwią (igraszki arytmetyczne).

Mamy nadzieję, że lektura tych tekstów zaowocuje jeszcze lepszymi wynikami w konkursie "Kangur Europejski" i pomoże Wam przygotować się do innych zawodów matematycznych.

Wiele problemów zawartych w miniaturach wykorzystywanych było z dobrym skutkiem podczas zajęć Międzyszkolnych Kół Matematycznych prowadzonych przez Toruński Oddział Towarzystwa Matematycznego.

Spodziewamy się, że zawartość tego tomiku może pomóc kolegom nauczycielom w budzeniu i rozwiązywaniu uzdolnień matematycznych swoich wychowanków
...


Tyle tytułem wprowadzenia. Teraz kolej na moją opinię na temat tej pozycji. Zaznaczę, iż opisuję wydanie drugie (poprawione) opublikowane w roku 2017.

Miniatury matematyczne są wydawane na dobrej jakości papierze w formacie A5 (co odpowiada rozmiarowi zwykłej kartki z zeszytu szkolnego). W drugim numerze mamy 76 strony. Co możemy znaleźć w tym zeszycie? Oto najważniejsze jego elementy:

Część 1: O liczeniu i ważeniu.
Na początek możemy zobaczyć krótki opis tego w jaki sposób Archimedes postanowił policzyć ilość ziaren piasku we wszechświecie. Dalej widzimy problem Mendelejewa (kojarzonego z tablicą pierwiastków chemicznych) w którym mamy do czynienia z odważnikami i ważeniem. Kolejno temat zapamiętywania rysunku znaków "x" zakodowanych w tabeli 5x5 i tajemniczą liczbę zakodowaną w tablicy. Wszystkie trzy tematy nawiązują do zapisu liczb w systemie pozycyjnym dziesiątkowym i dwójkowym. Na koniec tej części mamy jeszcze artykuł "od arytmetyki do algebry", który opisuje trzy gry arytmetyczne oraz sprytną pułapkę związaną z dzieleniem przez zero.

Część 2: Igraszki matematyczne.
W tej odsłonie przekonamy się o tym, że cudowne dziewiątki i sprytne mnożenie może być wyjątkowo ciekawe! Mamy po trzy przykłady sztuczek w których możemy dostrzec zależności, które mogą zadziwić swoją wizualną prostotą i pięknem. Mamy w tych przykładach do czynienia z dodawaniem, odejmowaniem i mnożeniem, a na koniec również potęgowaniem kwadratowym (dla liczb dwucyfrowych, których pierwsza lub druga cyfra to 5).

Część 3: Podzielność.
Tutaj z pewnością pasjonaci dzielenia i dowodzenia będą mogli odkryć to jak głębokim tematem może być reszta z dzielenia, największy wspólny dzielnik (NWD) i najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW). Przykłady zawarte w tym artykule z pewnością mogą pokazać jak głębokie i trudne problemy mogą być rozwiązane "w dziecinnie prosty sposób" za pomocą żelaznych reguł logiki. Różnorodność zapewnia 30 zaprezentowanych i krótko wyjaśnionych przykładów.

Część 4: Liczby pierwsze.
Czym są liczby pierwsze? Wiadomo, że zajmowali się nimi matematycy od bardzo dawna. Sposobem prostym i bardzo przyciągającym uwagę można pokazać sito Eratostenesa przez które wyciekają liczby złożone, a zostają te, które zwiemy pierwszymi. Do tego widzimy dowód uczonego Euklidesa na to, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele (z wykorzystaniem metody sprowadzenia do sprzeczności). Dalej mamy podane 17 zadań w których trzeba uzasadnić to czy dana liczba (lub grupa liczb) jest pierwsza czy też złożona.

Część 5: Igraszki matematyczne.
Kontynuacja wcześniej rozpoczętego wątku. Tym razem zagadnienia odgadywania czyjegoś wieku (3 przykłady), zagadki typu "pomyśl zanim odpowiesz" (2) i przedziwne symetrie (4). Ostatnia koncepcja pokazuje niezwykłe i zarazem ukryte niespodzianki w iloczynach i kwadratach liczb. Z pewnością doskonale tutaj widać, iż lustrzane odbicie może dotyczyć także liczb!

Część 6: Równania diofantyczne.
Zagadnienie rozwiązywania równań lub układów równań w liczbach całkowitych lub naturalnych - właśnie takie rozważania są zawarte w tej części opracowania. Pomimo pozornie prosto wyglądających przykładów, te przekształcenia mogą być dość wymagające, więc warto mieć to na uwadze. Kto lubi przekształcać i podstawiać kolejne wyrażenia będzie mógł poczuć się jak ryba w wodzie. Mamy do dyspozycji 15 przykładów z których większość ma załączone rozwiązanie, zaś pozostałe rozwiązania są przedstawione w ostatniej części.

Część 7: O smoku, zbójach i rybakach.
Ta miniatura przedstawia zestaw zadań o bardzo różnorodnej tematyce, które dotykają liczb całkowitych (6 zadań). Natomiast druga odsłona zawiera grupę zadań dotyczącą pewnych zagadnień ekstremalnych związanych z liczbami naturalnymi (20 zadań). I na dodatek jest jeszcze grupa problemów poświęcona własnościom liczb naturalnych (18 zadań). Myślę, że te przykłady są na tyle oryginalne (jak kto woli - abstrakcyjne), że bez problemu mogłyby powalić wielu maturzystów poziomu podstawowego. Podejrzewam, że jedynie osoby mocno zafascynowane matematyką będą w stanie docenić tego typu zagadnienia.

Część 8: Rozwiązania igraszek matematycznych.
Jak sama nazwa wskazuje dołączone zostały rozwiązania z części piątej. Pomimo nietypowej natury zadań, rozwiązania są przedstawione w przystępnej formie. Wystarczy uważnie przeczytać i przeanalizować rozumowanie autorów. Większość powinna zostać zrozumiana bez specjalnego wysiłku.

To tyle w kwestii formalnej. Tak właśnie wygląda zawartość tego numeru... z mojej perspektywy i w bardzo dużym skrócie. Teraz czas na moje wrażenia. Jakie jest tym razem moje ogólne wrażenie całości?

Osobiście spodobały mi się takie części jak: o ważeniu i liczeniu, igraszki matematyczne (obie odsłony), omówienie sita Eratostenesa (jako zabawa na wypisanie liczb pierwszych w zakresie do 100)... i tyle. Podejrzewam, że mogą one również zaciekawić osoby nie mające zawodowego kontaktu z matematyką. Mam na myśli rodziców czy też osoby, które umieją i lubią wyjaśniać oraz pokazywać innym proste sztuczki matematyczne. Reszta materiału jest przeznaczona dla osób, które potrzebują inspiracji oraz wyzwania matematycznego. Myślę, że będą nimi głównie nauczyciele, którzy prowadzą kółka matematyczne bądź przygotowują uczniów do konkursów matematycznych (chociażby wspomnianego na wstępie "Kangura Matematycznego").

Na koniec dodam, że powyżej wspomniana zawartość numeru może być wykorzystana na zajęciach z dziećmi w klasie 4-6. Pozostała część przeznaczona jest dla uczniów minimum 7-8 klasy SP. Podkreślam wyraźnie, że szczególnie istotne będzie w tym wypadku dobre opracowanie tych zagadnień. Moim zdaniem konieczna jest odpowiednia metoda wyjaśnienia oraz naprowadzania umysłów dzieci, tak aby samodzielnie były w stanie jak najwięcej odkrywać i wyciągać prawidłowe wnioski. Dzięki temu nawet te abstrakcyjne treści mogą wzbudzać zaciekawienie czy też uaktywniać uzdolnienia matematyczne wśród dzieci zainteresowanych matematyką.