niedziela, 9 grudnia 2018

Ułamki skończone czy nieskończone - rozpoznasz mianownik i wiesz kiedy ogon zapłonie

Po czym rozpoznać czy rozwinięcie dziesiętne ułamka będzie się ciągnęło w nieskończoność, a kiedy na pewno skończy się na danym miejscu? (cyfrze).

Mam na to fajny i prosty sposób, którego można się łatwo i szybko nauczyć. Na czym on polega? Zaraz o tym sobie powiemy.

Ułamki dziesiętne (powstałe z dzielenia dwóch liczb całkowitych) mogą mieć tylko dwa rodzaje rozwinięcia: skończone lub nieskończone okresowe. Często ciekawość dziecięca popycha umysł do tego, aby rozpoznać zasadę, która kieruje tym czy dany ułamek ma rozwinięcie skończone czy też nieskończone (czyli takie w którym cyfra lub grupa cyfr będzie się powtarzać).

Wystarczy w tym celu zapamiętać jedną prostą zasadę: mianownik takiego ułamka musi po skróceniu (jeśli da się skrócić) zawierać jedynie czynniki 2, 5 lub jednocześnie 2 i 5 (dowolna kombinacja dwójek i/lub piątek). Jeśli tak się dzieje, wówczas zawsze będzie on ułamkiem dziesiętnym o rozwinięciu skończonym.



Podsumowanie: umiejętność oceny tego czy ułamek można zapisać w postaci dziesiętnej, (tak aby podawać jego dokładną wartość) jest ważna, ponieważ łatwo będzie wówczas przekształcać go w systemie dziesiętnym bez konieczności przybliżania. Można takie ułamki spokojnie dodawać bądź odejmować (po znalezieniu podstawy dziesiętnej), wiedząc że ich wspólny mianownik będzie zawsze występował jako naturalna potęga liczby 10. Tego typu ułamkami można również bez problemu wyrażać wartości procentowe. No i na sam koniec można jeszcze dodać, iż mając pewność, że tego typu ułamki mają rozwinięcie dziesiętne skończone, zawsze operujemy na dokładnej wartości takich ułamków. Nie popełniamy wówczas żadnego błędu (przybliżenia).

wtorek, 4 grudnia 2018

Magiczne porównywanie ułamków - czyli ułamki rakietowe są do porównywania gotowe

Czasami dzieci potrzebują oryginalnego sposobu, którym można byłoby w miarę szybko i prosto porównać wartości dwóch ułamków. Czy zawsze konieczne jest ich rozszerzanie do wspólnego mianownika czy też można inaczej?

Zaproponuję koncepcję rakietowych ułamków! A więc... ułamki rakietowe do porównywania gotowe!

Podsumowanie: wykorzystywanie prostych i efektywnych sztuczek może pozwalać na to, aby matematyka stawała się coraz bardziej przyjazna, miła i przystępna. Wystarczy jedynie znajdować oryginalne koncepcje, które można stosować do tego, aby ułatwić sobie rachunki czy też uprościć proces na tyle, aby nie stanowił wyzwania. Takim przykładem może być koncepcja "ułamków rakietowych", które aż się proszą, aby je z przyjemnością wystrzelić w kosmos... nieskończonej fantazji, nieograniczonej wyobraźni oraz przede wszystkim dobrej zabawy!

poniedziałek, 3 grudnia 2018

Matematyczne pytania i odpowiedzi - czyli jak nasza ciekawość poszukuje podpowiedzi (2)

Naturalna ciekawość dzieci prowadzi do tego, że zaczynają one zadawać różne pytania, które często sprawiają, iż dorośli nie wiedzą co i jak odpowiedzieć. Być może warto od czasu do czasu poczytać sobie taki zestaw pytań i odpowiedzi, bo nigdy nie wiadomo co w umyśle poszukującego dziecka tak naprawdę siedzi. Powszechnie wiadomo, że są to takie niewygodne i trudne pytania, które w dorosłych wywołują sporo wahania oraz niedowierzania.

Temu właśnie będzie służyć seria "Kto pyta, nie błądzi". Będzie to zbiór pytań i odpowiedzi, które przynajmniej na początkowym etapie mogą służyć jako zaspokojenie ciekawości. Oczywiście warto poszukiwać pogłębionych odpowiedzi w tych zagadnieniach w których nasza ciekawość nas prowadzi.

Na początek seria pytań i odpowiedzi związana z  liczbami, które są ułamkami. Pamiętajmy zawsze o tym, że te proponowane odpowiedzi są jedynie drogowskazem, który pokazuje kierunek poszukiwań. Często bowiem na jedno pytanie można byłoby zawrzeć pogłębioną odpowiedź na kilku lub nawet kilkunastu stronach! Tak, to nie pomyłka! Razem z wyjaśnieniem niektórych zagadnień potrzebne są odpowiednie przykłady i ćwiczenia, bo dopiero dzięki nim można tak naprawdę zrozumieć istotę tego o co nas pytają inni.


Pamiętajmy, że dobra odpowiedź to taka, która sprawia, że nasz umysł domaga się dalszych odpowiedzi... i sam stawia kolejne pytania! Dlatego dobrze jest zaakceptować i zrozumieć, że niekończące się pytania to naturalna ciekawość, która zostaje zaspokojona tylko chwilowo. Dopiero dalsze samodzielne zgłębianie tematów oraz testowanie różnych pomysłów może sprawić, że zaczniemy wyciągać pewne wnioski i budować kolejne piętra naszej wiedzy i zrozumienia na fundamencie nieskrępowanych i oryginalnych pytań. Kto pyta... nie błądzi! :)

sobota, 1 grudnia 2018

NWW i NWD - co o tym wiemy oraz z czym to się je (5)

Udało nam się już dość dogłębnie poznać koncepcję tego czym jest zarówno wspólna wielokrotność (NWW) i jak wspólny dzielnik (NWD). To pierwsze pojęcie mówi o najmniejszej liczbie (wartości), zaś to drugie o największej. Dlaczego? Otóż dlatego, że wielokrotności dwóch liczb mamy nieskończenie wiele, zaś ta pierwsza wspólna, to właśnie ta najmniejsza. Natomiast w przypadku dzielnika chodzi nam o to, aby maksymalnie uprościć (zredukować, skrócić), więc poszukujemy dzielnika, który będzie największy z możliwych. To powinno być teraz w pełni oczywiste i jasne jak słońce.

I w końcu przyszła pora na zadania praktyczne.
Jak mogą wyglądać zadania w których trzeba zastosować obie koncepcje? Oto przykładowe proste łamigłówki. Mam nadzieję, że poniższe zadania będą mogły pokazać dzieciom, że tak naprawdę dość często wykorzystujemy te koncepcje, chociaż często nie zdajemy sobie z tego sprawy.


Zadania na wykorzystanie NWW

1. Jaki jest pierwszy (najbliższy) punkt wspólnego spotkania dwojga dzieci, których (równe) kroki, to odpowiednio 60 i 80 cm?

2. Bolek i Lolek budują swój własny mur z cegieł, kładąc je jedna na drugiej. Na jakiej najmniejszej wysokości (poziomie) spotkają się ich mury, gdy wiemy, że Bolek układy cegły o grubości 15 cm, zaś Lolek cegły 25 centymetrowe?

3. Ania i Basia bawią się magicznymi pieniędzmi. Są nimi banknoty 15 i 35 złotowe. Jaka jest minimalna kwota identyczna dla obu z nich, która zostanie zebrana z banknotów jednego nominału? Ania zbiera tylko banknoty o mniejszym nominale, zaś Basia – o większym.

4. Marcin i Kasia bawią się w zawody. Oboje wykorzystują do zabawy mechaniczne żaby, które stale wykonują identyczne skoki. Żaba Marcina skacze po 60 cm, zaś żaba Kasi po 80 cm. W jakiej najmniejszej odległości od początku (linii startu) spotkają się obie żaby? Ile skoków zrobi żaba Marcina, a ile żaba Kasi?

5. Ćwiczenia z matematyki są pakowane w paczki po 25 sztuk, zaś z fizyki po 60 sztuk. Każde ćwiczenia mają grubość 10 mm. Jaka jest minimalna wysokość na której zarówno paczki ćwiczeń z matematyki jak i z fizyki będą znajdowały się na tym samym poziomie? Ile musi być takich paczek matematycznych, a ile fizycznych?


Zadania na wykorzystanie NWD

1. Tomasz i Agatka zbierali monety, aż w końcu Tomasz uzbierał 650 złotych, a Agatka 350 złotych. Jakie mogą być największe identyczne banknoty (będące w użyciu), którymi można wypłacić (zamienić monety na banknoty) zebraną kwotę każdemu z nich? Ile takich banknotów otrzyma Tomasz, a ile Agatka?

2. Podłoga w łazience jest w kształcie prostokąta i ma wymiary 360 x 220 centymetrów. Jakie mogą być największe kwadratowe płytki, którymi można pokryć (wyłożyć) tę podłogę? Ile takich płytek potrzeba na pokrycie całej podłogi w łazience. Oblicz koszt zakupu płytek, wiedząc, że każda z nich kosztuje 20 złotych.

3. W hurtowni mamy 1200 czekolad mlecznych i 1600 czekolad orzechowych (wszystkie tej samej wielkości – każda z nich waży 100 gram). Jaka może być największa liczba czekolad, które zmieszczą się do pudełka, które będzie zawierało tyle samo czekolad mlecznych co orzechowych? (różne czekolady są pakowane do osobnych pudełek). Ile takich pudełek będzie potrzebnych do spakowania czekolad mlecznych, a ile do orzechowych? Jaka będzie waga jednego pudełka z czekoladami mlecznymi, a jaka dla pudełka z orzechowymi?

4. Mamy dwa zbiorniki. W jednym znajduje się sok pomarańczowy, a w drugim – sok porzeczkowy. Pierwszy zbiornik ma pojemność 420 litrów, natomiast drugi 300 litrów. Jaka jest największa pojemność zbiorników, w które możemy przelać oba soki (chodzi o identyczne zbiorniki dla każdego soku). Ile będzie ważył taki zbiornik, jeśli 1 litr soku waży 1 kg?


Powyższe zadania są raczej dość proste, więc od razu dodam, że w tym artykule pokazuję tylko te najbardziej oczywiste i zarazem życiowe zastosowania. Można bowiem spotkać w podręcznikach i ćwiczeniach znacznie bardziej różnorodne. Przykłady wybrane przeze mnie służą jedynie jako dowód na to, że „NWW i NWD to wcale nie są abstrakcyjne pojęcia, których nigdy w życiu nie będziemy mogli zastosować”.

Podsumowanie: NWW i NWD to koncepcje, które dość często używamy, ale rzadko zdajemy sobie z tego sprawę. Dopiero pokazanie zadań praktycznych i wyjaśnienie sensu tego co robimy, powinno dać poczucie, iż nie są to jedynie tematy, które przypadkowo i niepotrzebnie znajdują się w programie nauczania matematyki. Być może ta seria – a w szczególności powyższe zadania – będzie dobrą zachętą do przyjrzenia się bliżej temu zagadnieniu i pokazaniu jak można je stosować w praktycznych, życiowych sytuacjach. Dzięki temu możemy odczarować te mocno zaniedbane matematyczne sierotki.

czwartek, 15 listopada 2018

NWW i NWD - co o tym wiemy oraz z czym to się je (4)

Zanim przystąpimy do zadań związanych z wielokrotnością oraz dzielnikiem, to najpierw proponuję przyjrzeć się czemuś, co pozornie wszyscy robią, ale jakby nikt głośno i wyraźnie o tym nie mówi. To tak jakbyśmy wszyscy mieli okulary, ale nikt z nich ich nie czuł na własnym nosie i mógł zobaczyć ich w lustrze.

Wszyscy już doskonale wiemy, że NWW to najmniejsza wspólna wielokrotność. Czemu najmniejsza? Otóż dlatego, że największa nie istnieje! Jeśli znajdziemy najmniejszą wspólną wielokrotność, to potem mnożenie jej przez 2, 3, 4, 5 i tak w nieskończoność będzie pokazywało kolejne coraz większe wielokrotności. Stąd właśnie potrzeba znalezienia tej najmniejszej to najwcześniejszej.

No dobrze. Jednak pytanie w jakim celu ją wykorzystujemy?

NWW zawsze stosujemy, gdy chcemy określić wspólny mianownik dla ułamków, które mają różne mianowniki. Bez tego nie sposób ani dodawać ani odejmować ułamki, które nie mają wspólnego mianownika.

I teraz mamy 3 przypadki:

1) Mianowniki obu ułamków to liczby pierwsze.

Co wówczas? Wtedy NWW będzie po prostu ich iloczynem.

Przykładem niech będą ułamki 2/5 i 3/7. Mamy części piąte i siódme, więc obie są liczbami pierwszymi, zatem mnożymy je przez siebie: 5*7=35. I teraz, gdy mamy już wspólny mianownik, to po ich rozszerzeniu możemy już dodać bądź odjąć je od siebie.


2) Mianowniki jednego ułamka to liczba pierwsza, zaś drugiego - złożona.

W takim wypadku również musimy postąpić jak w poprzednim wypadku, ponieważ nie mają one wspólnych czynników (można to sprawdzić w rozkładzie na czynniki pierwsze).

Przykład to 3/7 + 7/12. Ustalamy wspólny mianownik jako mnożenie obu mianowników 7*12=84. Reszta identyczna jak powyżej.


3) Mianowniki obu ułamków to liczby złożone.

Wyznaczymy NWW dla dwóch liczb (mianowników).

Załóżmy, że chcemy znaleźć NWW (16,24). Co robimy? Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze w tabeli (16 = 2*2*2*2, zaś 24 = 2*2*2*3), a potem nanosimy je na dwa koła z wyróżnioną częścią wspólną. W ten sposób nie ma szans na pomylenie wartości NWW.

Zaznaczamy w obu liczbach wspólne czynniki (najlepiej wziąć je w kółeczka), a potem wpisujemy je w środkową część obu kół ("rybka"). I w jednym z kół dopełniamy pozostałe czynniki rozkładu, zaś w drugim - odpowiednio też te pozostałe.

I teraz zawartość wszystkich liczb w obu kołach (razem z liczbami w środku obu kół, czyli w naszej rybce) to nasza najmniejsza wspólna wielokrotność. Prawda, że proste?


Zerknijmy na kolejny obrazek i zobaczmy co będzie się działo dla liczb 120 i 180. Widzimy, że wspólna wielokrotność zostanie utworzona z rozkładu obu liczb w postaci dwóch kółek z częścią wspólną. Przy okazji za chwilę omówimy największy ich dzielnik, ale wprawne oko już może zobaczyć "wspólną rybkę", prawda?

Ciekawa koncepcja rybki i śmiesznych (dziwnych) okularów... jest warta co najmniej kilkuset dolarów!


Jest jeszcze jedna istotna sprawa (przypomnienie z części pierwszej). Zapamiętajmy, że najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) niemal zawsze jest liczbą większą aniżeli obie badane. Wyjątkiem jest sytuacja w której jedna z liczb jest wielokrotnością drugiej (np. 36 dla 12 czy też 252 dla 126). Wówczas ta większa zawsze stanowi NWW dla obu z nich (a ta mniejsza to przy okazji NWD). I nie ma wówczas znaczenia czy są to liczby pierwsze czy też złożone. I właśnie dlatego dla takich par liczb jak chociażby 15 i 45, 8 i 24, 20 i 60, 17 i 51, 13 i 39... z automatu ta większa liczba to nasza najmniejsza wspólna wielokrotność.

Warto o tym pamiętać, aby nie musieć niepotrzebnie tracić czasu i energii. Jeśli rozrysujemy sobie dowolną z par (zachęcam do tego), to zobaczymy, że w jednym z kół będzie jakaś liczba, a druga część koła (część poza rybką) pozostanie pusta. I jak już wiemy, wymnożenie wszystkich części w tym wypadku będzie polegało na zapisaniu jedynie tej większej liczby (wielokrotności tej wspólnej części w naszej "rybce").


Proste spojrzenie na kółka lub też nasza rybka... i wiemy już wszystko - bo NWW i NWD to pestka! Iloczyn we wszystkich kółkach (NWW) to 1680, zaś w iloczyn w rybce (NWD) to 60.

Proste spojrzenie na kółka lub też nasza rybka... i wiemy już wszystko - bo NWW i NWD to pestka! Iloczyn we wszystkich kółkach (NWW) to 768, zaś w iloczyn w rybce (NWD) to 64.

Kolej na drugą koncepcję, czyli NWD - jak doskonale pamiętamy jest to największy wspólny dzielnik. Pojawia się kolejne pytanie: w jakim celu wykorzystujemy tę koncepcję? Otóż najprościej mówiąc, najczęściej wykorzystujemy do skracania ułamków, czyli jednoczesnego dzielenia licznika i mianownika przez największą możliwą liczbę (dla obu z nich tę samą). Po takim procesie ułamek zawsze będzie miał formę nieskracalną.

Zobaczmy kilka prostych przykładów.

Jaką nieskracalną postać będą miały następujące ułamki po skróceniu przez największy dzielnik? Weźmy na warsztat takie oto ułamki: 240/420, 192/256 oraz 20/160?

I znowu wykonujemy następujące kroki - czyli określamy NWD dla obu liczb (licznika i mianownika). W jaki sposób? Oto moja recepta!

1) Robimy rozkład na czynniki pierwsze dla obu liczb (w mini-tabelach).

2) Zaznaczamy w obu liczbach wspólne czynniki (najlepiej wziąć je w kółeczka), a potem wpisujemy je w środkową część obu kół (nasza mała "rybka"). I w jednym z kół dopełniamy pozostałe czynniki rozkładu, zaś w drugim - odpowiednio też te pozostałe.

3) Obliczamy iloczyn wszystkich liczb w środkowej części obu kół (czyli w rybce - patrz dwa, trzy bądź nawet cztery poprzednie rysunki wyżej). Po jego obliczeniu już wiemy jaki będzie nasz największy wspólny dzielnik (można narysować strzałkę od rybki poniżej i zapisać wartość, aby nie zapomnieć).

4) Dzielimy nasz ułamek przez JEDEN, ale w takiej postaci, aby zarówno w liczniku jak i mianowniku była identyczna wartość NWD (tak, dokładnie ta którą przed chwilą obliczyliśmy).

5) Wykonujemy dzielenie licznika i mianownika (w poziomie) i wpisujemy końcowy wynik w postaci ułamka nieskracalnego.

EDIT: [AKTUALIZACJA] drobna poprawka - na powyższej tablicy za każdym razem zamiast NWW ma być oczywście NWD (chodzi o ostatnie dwa podpisy ułamków)


Pamiętajmy, że tak naprawdę skracanie, to sprytne dzielenie przez jeden, ale nasza jedynka zostaje zapisana poprzez ułamek o wartości NWD zarówno w liczniku jak i w mianowniku. Dzięki temu zmienia się forma, ale nie zmienia się wartość? Jak to zrozumieć? Otóż zmienia się to, że zamiast dwóch monet po 5 złotych mamy jeden banknot 10-złotowy, ale wartość była i nadal jest identyczna, prawda? No to właśnie o to chodziło! :). Mam nadzieję, że teraz jest to jasne jak słońce.

Dodam jeszcze, że większość bardziej zaawansowanych matematycznie dzieci robi operacje skracania (podobnie jak i rozszerzania) automatycznie. Ja natomiast rozebrałem to na czynniki pierwsze, stąd wrażenie, że to wszystko może wydać się albo złożone albo wręcz trudne. W praktyce do uzyskania biegłości wymagana jest tylko dobra umiejętność mnożenia i dzielenia. Reszta to tylko podążanie właściwą drogą (podanym sposobem).

Podsumowanie: jeśli mamy konieczność skrócenia ułamka, wówczas znajdujemy dla licznika i mianownika "rybkę", czyli to co jest wspólne dla obu liczb i co możemy "wykroić" z nich jednocześnie. Jeśli wykroimy jak najwięcej, wówczas nie będzie już trzeba nic dodatkowo obrabiać. Stąd właśnie największy (maksymalny) wspólny dzielnik - w skrócie NWD.

Natomiast w przypadku, gdy chcemy znaleźć wspólną część (mianownik), która będzie pozwalała nam na to, aby odejmować lub dodawać ułamki, wówczas z pomocą przychodzi nam poszukiwanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW) - czyli iloczynu pełnych dwóch kół (wraz z "rybką" w środku pomiędzy nimi). Jak ktoś chce to może to nazwać poszukiwaniem (iloczynu) okularów czy w jeszcze inny sposób (patrz wierszyk poniżej). Ważne, aby obie koncepcje były zrozumiałe, ponieważ w zadaniach praktycznych będzie to ułatwiało i przyspieszało zarówno zrozumienie jak i obliczenia.

Przy okazji jeśli ktoś jest nadal absolutnie przekonany, że ta koncepcja jest nie do opanowania (zrozumienia) dla dzieci 7-8 letnich, to spróbuję wprowadzić w stan drobnej niepewności (czy chociażby refleksji). Proszę dać dzieciom do zapamiętania taki oto przykładowy wierszyk:

NWD - poszukujesz max-dzielnika, oblicz (wyznacz) rybkę z pojemnika ("Gdy chcesz wyznaczyć max-dzielnika, to uratuj rybkę z pojemnika")

NWW - wspólna wielokrotność to nie czary-mary, narysuj dwa kółka i znajdź (oblicz) okulary! ("... rysujesz dwa kółka i masz okulary!")

Mam nadzieję, że w następnej odsłonie uda nam się w końcu przejść do zadań praktycznych. Nieskromnie dodam, że kompletnie nie podejrzewałem, że ten temat będzie wymagał więcej niż 2-3 odcinków. Niemniej wychodzi na to, że temat chyba wart jest docenienia, bo często jest pomijany lub realizowany od niechcenia. A ja nie sądzę, że zgłębiając go bardziej... mamy cokolwiek do stracenia!

poniedziałek, 12 listopada 2018

Mnożenie hinduskie jest ciekawe bo gwarantuje dzieciom radość i zabawę

Często zastanawiam się co by się stało, gdyby 9-letnie dzieci mogły bez problemu realizować to co ich koledzy w klasie 4 czy nawet 5. Co to takiego? Otóż jest to mnożenie liczb 3, 4 czy 5 cyfrowych przez podobne liczby. Zwykle unika się tematu związanego z mnożeniem 564 przez 2754, argumentując, że Jasiu, Basia czy Agatka jest jeszcze zbyt mała i nie poradzi sobie z mnożeniem pisemnym. A ja wtedy pytam: a gdyby tak Agatka już dość dobrze umiała tabliczkę mnożenia, to czy mogłaby zająć się mnożeniem takich liczb i do tego w sposób, który będzie przypominał ciekawą zabawę i dawał satysfakcję z tego, że potrafi wykonać równie prawidłowo jak jej kalkulator? No właśnie! Dlatego chcę się podzielić czymś, czego osobiście nigdy nie byłem uczony i nikt mi tego nie pokazywał. Co to takiego? Za chwilę odkryję karty na stół...

Gdy już dzieci nauczą się płynnie tabliczki mnożenia, wówczas przychodzi kolej na mnożenie liczb wielocyfrowych. Najpierw są to wartości w zakresie od 200 do 1000, ale potem już pojawiają się liczby (wyniki) co najmniej czterocyfrowe. Tradycyjny sposób mnożenia jest dobrym rozwiązaniem, ale przy uczniach o słabszej pamięci i umiejętnościach zdarza się, że zapominają o przesuwaniu rzędu po zakończeniu każdego iloczynu.

I właśnie stąd moja idea na to, aby spróbować czegoś innego. Co zatem proponuję? Otóż mnożenie hinduskie, które daje tą przewagę nad tradycyjnym sposobem, że nie wymaga dodatkowego miejsca i przy okazji nie ma konieczności przestawiania rzędów. Wystarczy tylko zwykła tabliczka mnożenia zaledwie do 81 (bo największe cyfry mnożone to dwie dziewiątki) i można wykonać praktycznie dowolne mnożenie. A co jeszcze daje dużo radości dzieciom, to fakt, że mogą mnożyć liczby 4, 6 czy nawet 8-cyfrowe przez siebie. Słowem, jest wiele zabawy i przy okazji wzrasta stopień poprawności. Myślę, że mogą to być odpowiednie argumenty za tym, aby wypróbować ten oto magiczny sposób.

Jak zatem możemy opanować ten niezwykły sposób mnożenia? Zobaczmy...

Mamy prosty przykład mnożenia dwóch liczb dwucyfrowych. Wykonajmy iloczyn dwóch liczb 24x46. Zobaczmy jak krok po kroku go wykonać - oddajmy głos autorowi, którym jest Paweł Marchel (realizator ciekawego projektu matematycznego "Matemagia", link poniżej).




  

Teraz zatem ja spróbuję pokazać jak działa mnożenie hinduskie na przykładzie większych liczb. Miejmy nadzieję, że każdy bez problemu opanuje tę metodę i będzie mógł dzięki niej odkrywać kolejne tajemnice jak i przeżywać radość oraz zafascynowanie matematyką.

Przykład 1: 467x82 = ? [38294]

Mamy dwie liczby: jedna 3-cyfrowa, zaś druga 2-cyfrowa. Wiemy zatem, że musimy utworzyć prostokąt, składający się z 6 kwadratów (3x2), które potem "rozcinamy" za pomocą przekątnych.

Następny krok, to zapisanie obu liczb: liczby 467 nad prostokątem (dłuższym bokiem), tak aby każda cyfra była dokładnie na środku kratki. Następnie to samo robimy z liczbą 82, tyle że po prawej stronie i zapisujemy jej poszczególne cyfry od góry do dołu (obok kwadratów).

Dalej jest już prosto. Wykonujemy mnożenie poszczególnych cyfr i wpisujemy je do kolejnych kratek. Pamiętajmy, że jeśli wynikiem jest liczba dwucyfrowa, wówczas pierwsza cyfra (dziesiątek) musi być wpisana w górny trójkąt, zaś druga cyfra (jednostek) w niższy. Jeśli wynikiem jest liczba jednocyfrowa, wówczas w górnym trójkącie wpisujemy 0, zaś w dolnym daną liczbę (cyfrę). A co zrobić, gdy wynikiem będzie liczba trzycyfrowa? Nic, po prostu sprawdzić czy na pewno dobrze wykonaliśmy mnożenie. Dlaczego? Otóż w przypadku mnożenia dwóch liczb jednocyfrowych wynik nie może być większy niż dwie cyfry. Ot i całe wyjaśnienie tajemnicy!

W naszym wypadku zaczynamy od prawego górnego kwadratu: 7x8, następnie, 7x2, kolejno 6x8, 6x2 i na koniec 4x8 i 4x2. W ten sposób uzyskujemy konkretne wartości, które wpisujemy w dane kwadraty (a ściślej w trójkąty, które powstały z rozcinania kwadratów).

Ostatni etap i jesteśmy już w domu! Mianowicie sumujemy zgodnie z kierunkiem strzałek (od góry do dołu i od prawej do lewej) poszczególne cyfry. I tak mamy najpierw 4, następnie 9, a w trzeciej sumie (5+8+1+8) wychodzi nam liczba dwucyfrowa, czyli 22. Wpisujemy na końcu strzałki jedynie ostatnią cyfrę (czyli 2), zaś poprzednią dwójkę dodajemy do sumy kolejnych cyfr w następnej strzałce. Przedostatnia strzałka (idziemy od prawej w lewo) to cyfry 4, 2 i 0. Ich suma to 6, ale musimy dodać zaległą (przeniesioną) dwójkę, a więc ostatecznie jest to 8. No i najkrótsza a zarazem ostatnia strzałka ma tylko jedną cyfrę, która przepisujemy (jest nią 3).

I na koniec otrzymujemy wynik: 38294. Tak, można a nawet trzeba sprawdzić na kalkulatorze czy jest to prawidłowa wartość iloczynu liczb 467 i 82. Pora na kolejny przykład.

Przykład 2: 6832x754 = ? [5151328]

Tym razem samodzielnie spróbujmy przeanalizować przykład, wzorując się na poprzednim.


Zwróćmy jeszcze uwagę na kierunek odczytywania liczby. Jeśli zapiszemy ją tak jak zalecam (pierwszą góry a drugą po prawej), wówczas odczytujemy ją zaczynając od górnego lewego kwadratu, a kończymy przechodząc w dół i w prawo aż do ostatniej cyfry. Dzięki temu nie będzie sytuacji w których uczeń zapisze wynik w postaci lustrzanej (zamiast 5151328, to wpisze 8231515).


Pamiętajmy, aby zapisywać tylko ostatnią cyfrę, a każdą z powyższych przenosić do kolejnej grupy. Przykładowo jeśli otrzymujemy z mnożenia wynik 72, wówczas wpisujemy tylko 2, zaś 7 dodajemy do kolejnego sumowania "po ukosie". Można sobie takie dodatkowe cyfry zapisywać obok tabelki w której realizujemy obliczenia. W przypadku dzieci mających trudności z tabliczką mnożenia, można zapisywać poszczególne iloczyny obok, a potem wpisywać w odpowiednie miejsca (trójkąty) w tabeli. Im większa płynność w tabliczce mnożenia, tym większa poprawność i efektywność przy tego typu mnożeniu. Warto o tym pamiętać. No i w miarę możliwości warto sprawdzać wyniki na kalkulatorze... przynajmniej do momentu osiągnięcia dużej wprawy w tym nowym sposobie mnożenia.

Jako dodatek pokażę jeszcze jak może wyglądać karta pracy (link poniżej) i na co zwrócić uwagę, aby ten sposób był maksymalnie prosty i bezbłędny. Otóż przede wszystkim zalecam zapisywanie liczb na górze (nad kratkami) i po prawej stronie kratek. Będzie to gwarantowało większą poprawność, gdyż unikniemy przypadkowego zliczania cyfr (gdy zapisujemy po lewej stronie, to często może do tego dojść).




Linki wykorzystane w artykule:
1) Karta pracy zawierająca ćwiczenie z zakresu mnożenia po hindusku. Link: http://scholaris.pl/zasob/72502

2) Opisu przykładu i trzech obrazków (poszczególnych kroków) omawianego przez Pawła Marchela. Link: http://biblioteka.soleckujawski.pl/index.php/aktualnosci/blog/item/476-listopad-miesiacem-ciekawostek

czwartek, 8 listopada 2018

Dzielenie pisemne w całkiem nowej odsłonie - przetestuj algorytm a twój umysł nagle zapłonie

Z uwagi na to, że dzielenie pisemne sprawia uczniom wiele problemów... postanowiłem się bliżej przyjrzeć temu zagadnieniu.

Przede wszystkim warto podkreślić, że w obecnych czasach (gdzie niemal wszyscy mają pod ręką smartfona) konieczność wykonywania dzielenia na liczbach większy niż 3-4 cyfrowe raczej zanika. Znacznie bardziej istotne jest to, aby znać naprawdę solidnie chociażby tabliczkę mnożenia.


Tradycyjne ujęcie pisemnego dzielenia, które przez kilka stuleci nadal się nie zmienia... pomimo, że wielu śmiałków podważa teorię, że jakoś płaska ta Ziemia (jako planeta układu słonecznego).

Zamiast tradycyjnego sposobu dzielenia pisemnego, proponuję przyjrzeć się takiemu, które może na początku dziwić, a nawet wydawać się mocno niezrozumiałe. Jednak dobrze jest chociażby spróbować na własnej skórze i przekonać się czy nam to pasuje.

Zobaczmy to na prostym przykładzie (kolejny będzie do samodzielnej analizy i wykonania). Najpierw porównajmy ten sam przykład samodzielnie, a za chwilę zobaczymy w jaki sposób jego ewolucja może przyspieszyć i uprościć nam proces dzielenia.


Przykład pierwszy. Ustalmy wynik działania: 428061402 : 3 = ?





Zaczynamy od pierwszej cyfry pod kreską i stopniowo przechodzimy w prawą stronę aż do zakończenia dzielenia na każdej z nich (zakładamy, że to dzielenie bez reszty).

1. Czy w 4 mieści się 3? Tak, dokładnie jeden raz, więc nad kreską wpisujemy 1. Pozostaje reszta 1, którą wpisujemy za naszą badaną 4, ale przed kolejną cyfrą, którą jest 2.

2. Teraz patrzymy na drugą cyfrę (2) i jednocześnie przed nią na małą cyfrę 1. Obie tworzą liczbę 12. I znowu to samo pytanie: ile 3 mieści się w 12? Otóż dokładnie 4, co wpisujemy nad kreską. I widzimy, że ne ma reszty, więc wpisujemy "=" przed kolejną badaną cyfrą (w naszym przykładzie jest to 8).

3. Wpisany znak "=" oznacza zero, ale aby potem nam się nie robiły "podwójne zera" (małe zero a za nim duże), więc zapisujemy jako znak równości. Jest to w tym przypadku równoznaczne z brakiem reszty.

4. Teraz badamy naszą 8. Mieści się w niej dwa razy trójka (wpisujemy 2 nad kreską), więc zostaje nam reszta 2, którą oczywiście przepisujemy (przed duże zero).

5. Teraz mamy małą dwójkę i duże zero, a wiemy, że to razem liczba 20. No i dalej dzielimy. Ile trójek mieści się w 20? Tak, dokładnie 6 (nad kreską) i zostaje reszta 2 (przed kolejną badaną liczbę).

6. Następna badana przez nas liczba składa się z dwóch cyfr: małej dwójki i dużej szóstki. 26:3=8 i zostaje reszta 2. Dlatego 8 wpisujemy nad kreskę, zaś resztę 2 przenosimy na początek kolejnej (dużej) cyfry (które razem ze sobą tworzą następną liczbę).

7. I już powoli zmierzamy do końca. Teraz 21 dzielimy na 3 i wychodzi nam 7 (nad kreską). A co z resztą? Otóż nie ma reszty, bo 21 jest wielokrotnością trójki. Brak reszty to nasz "=", który wpisujemy przed 4.

8. Jeśli mamy "=4", to tak jakbyśmy mieli "04" - w obu wypadkach to liczba jednocyfrowa czyli 4. No to mieścimy nasze trójki w czwórce. Zmieści się tylko jedna trójka i pozostanie reszta 1. Stąd nad kreską wpiszemy 1, a przed następną cyfrą będzie reszta 1.

9. Jeśli widzimy małą jedynkę i duże zero, to widać z daleka, że to dycha na dzielenie czeka. 10:3=3 i reszta 1.

10. Wpisujemy jedynkę przed ostatnią badaną cyfrę 2 i mamy 12. Natomiast 12:3=4 (nad kreskę) i nie ma reszty. Oznacza to, że zakończyliśmy dzielenie, bo nie ma już żadnej badanej cyfry do podzielenia. A przy okazji można powiedzieć, że udowodniliśmy, że liczba 428061402 jest wielokrotnością 3. Dlaczego? Otóż dlatego, że dzieli się bez reszty (jak kto woli, z resztą zerową).

Myślę, że uważne przeanalizowanie powyższego przykładu powinno dać poczucie tego, że jest to naprawdę proste. Jedyne co jest konieczne to otwartość na nowe (inne) sposoby i dobra znajomość i umiejętność określania wielokrotności, a co za tym idzie także reszty. Potem można już śmigać i sprawdzać jak to nam będzie szło w praktyce. Pamiętajmy, że trening czyni mistrza!


Poniżej przykład w którym wystarczy przeanalizować krok po kroku każdą operację - podobnie jak w poprzednim zadaniu. Najlepiej jest to zrobić na kartce papieru i kontrolować każdy krok. Jeśli damy radę wszystkie etapy przejść poprawnie, to i wynik również nam się odwdzięczy. Tak czy inaczej dopóki nie uzyskamy wprawy, bardzo dobrym pomysłem jest sprawdzenie wyniku na kalkulatorze.

Przykład drugi. Ustalmy wynik działania: 14010030503 : 7 = ?


Przykład został celowo dobrany, aby pokazać, że nowy algorytm jest odporny na próby oszukania poprzez liczby w których są różne haczyki i pułapki. Wystarczy tylko dobrze zrozumieć system i patrzeć na kolory, które odpowiadają mieszczeniu oraz małe cyfry, które są resztą z dzielenia. A jeśli to pojmiemy... to wierzę, że nasz matematyczny świat będzie miał więcej światła niż cienia! :)

Podsumowanie: warto poszukiwać oraz tworzyć nowe sposoby i metody oraz algorytmy, które potem będziemy mogli sprawdzać w praktyce. To, że przez 30, 40 czy 50 lat posługiwaliśmy się jedynie słusznym algorytmem, nie musi oznaczać, że w 21 wieku również musimy dalej to powielać. Zwłaszcza, że po pierwszej nie ma takiej konieczności (potrzeby), a po drugie pamiętajmy, że matematyka ma sprawiać przyjemność, a nie kojarzyć się z niekończącymi się słupkami obliczeń. No i po trzecie, jak wskazują badania oraz obserwacja w rzeczywistości - coraz więcej dzieci i młodzieży ma poważne problemy z myśleniem matematycznym. Jeśli odejmiemy im niepotrzebnych rachunków, to jest szansa, że przynajmniej odrobinę odczarujemy piętno matematyki w której nikt nie wie co i w jakim celu liczymy... ale ważne, że rozwiązaliśmy kolejny tysiąc zadań.

Jestem przeciwny takiemu podejściu, więc jako forma buntu i jednocześnie głosu (wołania) na pustyni... w kolejnym odcinku pokażę ciekawe podejście dotyczące mnożenia pisemnego. Jeśli matematyka ma być nudna oraz monotonna, to dla mnie przestaje to być ten przedmiot (obszar), który sprawia, że umysł zostaje oczarowany przez niewidzialne relacje między obiektami, które otaczają nas na każdym kroku, chociaż nie zawsze zdajemy sobie z tego sprawę.


DODATEK SPECJALNY (EDIT): Przy okazji jak ktoś chce zobaczyć dzielenie przez liczby dwucyfrowe, to również jest to możliwe. Poniżej dwa przykłady - nieco inaczej (bardziej przejrzyście?!) zapisane, ale istota wciąż pozostaje taka sama. Pamiętajmy, że zwykle dzielenie przez liczby dwucyfrowe realizujemy na niewielkich wartościach, a przy większych liczbach (i dzielnikach) zwykle posługujemy się kalkulatorem. To na wypadek, gdyby ktoś zapytał czy ten sposób działa przy dzieleniu przez liczby 6, 8 czy 12-cyfrowe :).



Przykład 1: 428061408 : 12 = 35671784

 


Przykład 2: 94061412 : 18 = 5225634

 



Powyżej dowód na to, że niektóre dzieci  naprawdę wykorzystują ten sposób, aby ułatwić sobie rachunki!


Na koniec podaję jeszcze przykłady do samodzielnego rozwiązania. Najpierw trzeba za pomocą cech podzielności sprawdzić, które z nich dzielą się bez reszty (te, których suma wszystkich cyfr daje liczbę podzielną przez 3), a następnie wybieramy te liczby i testujemy na nich nową metodę dzielenia. Życzę powodzenia i radości z poznawania i odkrywania matematyki w nowej odsłonie!


Dziękuję za inspirację Marzenie (z jednej z grup miłośników i/lub nauczycieli matematyki), która pokazała tego rodzaju przykład w dyskusji o tym dlaczego mamy takie trudności z dzieleniem pisemnym. Zaciekawiło mnie to do tego stopnia, że nieco go rozwinąłem i właśnie teraz dzielę się nim ze wszystkimi chętnymi.

Przy okazji składam również podziękowania dla Agatki (Mistrzyni Matematycznej), która dopinguje mnie do tego, aby tworzyć ciekawe materiały dla dzieci jak też inspirować ambitnych i poszukujących nauczycieli, którzy matematyki nauczać w ciekawszy sposób by chcieli! :)...

Mam nadzieję, że krótkie zaprezentowanie powyższego sposobu pobudzi do dalszej inspiracji lub chociażby przyjrzenia się temu jak można uprościć i ulepszyć obecne (tradycyjne) sposoby. Pamiętajmy, że współcześnie nie wszystkie dzieci są w stanie wykonywać poprawnie i szybko aż cztery operacje, które można określić jako mieszczenie, mnożenie, odejmowanie i przepisywanie (dopisywanie) kolejnej cyfry. ["Dzielę/Mieszczę, Mnożę, Odejmuję... i następną cyfrę szybko Dopisuję]. Można (a wręcz trzeba!) przecież im w tym pomóc, aby mogły cieszyć się matematyką w znacznie bardziej przyjaznej i ciekawej formie, prawda? :)