sobota, 14 lipca 2018

Miniatury Matematyczne dla inspiracji są fantastyczne (2) - co znajdziemy w numerze 2 (SP)

Z uwagi na wakacyjny okres, dobrze jest trochę odpocząć od wysiłku umysłowego. Można jednak poczytać o tym co ciekawego znajdziemy w numerze drugim Miniatur Matematycznych. Ten zeszyt jest nieco grubszy od poprzednika, więc z pewnością będzie znacznie więcej przykładów do wykorzystania. Przekonajmy się dla kogo najbardziej będzie odpowiedni ten zeszyt (nota bene: formalnie nie jest to czasopismo, lecz "wydawnictwo książkowe"; dziękuję Mirosławowi Majewskiemu za zwrócenie uwagi na tę kwestię).

Na początek przytoczę opis numeru ze strony wydawcy:
https://www.aksjomat.torun.pl/pl/p/Miniatury-matematyczne-2-SP/207

Przekazujemy drugi tomik z serii "Miniatury Matematyczne". Tematem przewodnim tej książeczki są liczby całkowite i różne zagadnienia z nimi związane. Znajdziecie w niej ciekawe i nieszablonowe teksty matematyczne, nie wykraczające jednak poza Wasze możliwości, a także takie, które Was zabawią, a nawet zadziwią (igraszki arytmetyczne).

Mamy nadzieję, że lektura tych tekstów zaowocuje jeszcze lepszymi wynikami w konkursie "Kangur Europejski" i pomoże Wam przygotować się do innych zawodów matematycznych.

Wiele problemów zawartych w miniaturach wykorzystywanych było z dobrym skutkiem podczas zajęć Międzyszkolnych Kół Matematycznych prowadzonych przez Toruński Oddział Towarzystwa Matematycznego.

Spodziewamy się, że zawartość tego tomiku może pomóc kolegom nauczycielom w budzeniu i rozwiązywaniu uzdolnień matematycznych swoich wychowanków
...


Tyle tytułem wprowadzenia. Teraz kolej na moją opinię na temat tej pozycji. Zaznaczę, iż opisuję wydanie drugie (poprawione) opublikowane w roku 2017.

Miniatury matematyczne są wydawane na dobrej jakości papierze w formacie A5 (co odpowiada rozmiarowi zwykłej kartki z zeszytu szkolnego). W drugim numerze mamy 76 strony. Co możemy znaleźć w tym zeszycie? Oto najważniejsze jego elementy:

Część 1: O liczeniu i ważeniu.
Na początek możemy zobaczyć krótki opis tego w jaki sposób Archimedes postanowił policzyć ilość ziaren piasku we wszechświecie. Dalej widzimy problem Mendelejewa (kojarzonego z tablicą pierwiastków chemicznych) w którym mamy do czynienia z odważnikami i ważeniem. Kolejno temat zapamiętywania rysunku znaków "x" zakodowanych w tabeli 5x5 i tajemniczą liczbę zakodowaną w tablicy. Wszystkie trzy tematy nawiązują do zapisu liczb w systemie pozycyjnym dziesiątkowym i dwójkowym. Na koniec tej części mamy jeszcze artykuł "od arytmetyki do algebry", który opisuje trzy gry arytmetyczne oraz sprytną pułapkę związaną z dzieleniem przez zero.

Część 2: Igraszki matematyczne.
W tej odsłonie przekonamy się o tym, że cudowne dziewiątki i sprytne mnożenie może być wyjątkowo ciekawe! Mamy po trzy przykłady sztuczek w których możemy dostrzec zależności, które mogą zadziwić swoją wizualną prostotą i pięknem. Mamy w tych przykładach do czynienia z dodawaniem, odejmowaniem i mnożeniem, a na koniec również potęgowaniem kwadratowym (dla liczb dwucyfrowych, których pierwsza lub druga cyfra to 5).

Część 3: Podzielność.
Tutaj z pewnością pasjonaci dzielenia i dowodzenia będą mogli odkryć to jak głębokim tematem może być reszta z dzielenia, największy wspólny dzielnik (NWD) i najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW). Przykłady zawarte w tym artykule z pewnością mogą pokazać jak głębokie i trudne problemy mogą być rozwiązane "w dziecinnie prosty sposób" za pomocą żelaznych reguł logiki. Różnorodność zapewnia 30 zaprezentowanych i krótko wyjaśnionych przykładów.

Część 4: Liczby pierwsze.
Czym są liczby pierwsze? Wiadomo, że zajmowali się nimi matematycy od bardzo dawna. Sposobem prostym i bardzo przyciągającym uwagę można pokazać sito Eratostenesa przez które wyciekają liczby złożone, a zostają te, które zwiemy pierwszymi. Do tego widzimy dowód uczonego Euklidesa na to, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele (z wykorzystaniem metody sprowadzenia do sprzeczności). Dalej mamy podane 17 zadań w których trzeba uzasadnić to czy dana liczba (lub grupa liczb) jest pierwsza czy też złożona.

Część 5: Igraszki matematyczne.
Kontynuacja wcześniej rozpoczętego wątku. Tym razem zagadnienia odgadywania czyjegoś wieku (3 przykłady), zagadki typu "pomyśl zanim odpowiesz" (2) i przedziwne symetrie (4). Ostatnia koncepcja pokazuje niezwykłe i zarazem ukryte niespodzianki w iloczynach i kwadratach liczb. Z pewnością doskonale tutaj widać, iż lustrzane odbicie może dotyczyć także liczb!

Część 6: Równania diofantyczne.
Zagadnienie rozwiązywania równań lub układów równań w liczbach całkowitych lub naturalnych - właśnie takie rozważania są zawarte w tej części opracowania. Pomimo pozornie prosto wyglądających przykładów, te przekształcenia mogą być dość wymagające, więc warto mieć to na uwadze. Kto lubi przekształcać i podstawiać kolejne wyrażenia będzie mógł poczuć się jak ryba w wodzie. Mamy do dyspozycji 15 przykładów z których większość ma załączone rozwiązanie, zaś pozostałe rozwiązania są przedstawione w ostatniej części.

Część 7: O smoku, zbójach i rybakach.
Ta miniatura przedstawia zestaw zadań o bardzo różnorodnej tematyce, które dotykają liczb całkowitych (6 zadań). Natomiast druga odsłona zawiera grupę zadań dotyczącą pewnych zagadnień ekstremalnych związanych z liczbami naturalnymi (20 zadań). I na dodatek jest jeszcze grupa problemów poświęcona własnościom liczb naturalnych (18 zadań). Myślę, że te przykłady są na tyle oryginalne (jak kto woli - abstrakcyjne), że bez problemu mogłyby powalić wielu maturzystów poziomu podstawowego. Podejrzewam, że jedynie osoby mocno zafascynowane matematyką będą w stanie docenić tego typu zagadnienia.

Część 8: Rozwiązania igraszek matematycznych.
Jak sama nazwa wskazuje dołączone zostały rozwiązania z części piątej. Pomimo nietypowej natury zadań, rozwiązania są przedstawione w przystępnej formie. Wystarczy uważnie przeczytać i przeanalizować rozumowanie autorów. Większość powinna zostać zrozumiana bez specjalnego wysiłku.

To tyle w kwestii formalnej. Tak właśnie wygląda zawartość tego numeru... z mojej perspektywy i w bardzo dużym skrócie. Teraz czas na moje wrażenia. Jakie jest tym razem moje ogólne wrażenie całości?

Osobiście spodobały mi się takie części jak: o ważeniu i liczeniu, igraszki matematyczne (obie odsłony), omówienie sita Eratostenesa (jako zabawa na wypisanie liczb pierwszych w zakresie do 100)... i tyle. Podejrzewam, że mogą one również zaciekawić osoby nie mające zawodowego kontaktu z matematyką. Mam na myśli rodziców czy też osoby, które umieją i lubią wyjaśniać oraz pokazywać innym proste sztuczki matematyczne. Reszta materiału jest przeznaczona dla osób, które potrzebują inspiracji oraz wyzwania matematycznego. Myślę, że będą nimi głównie nauczyciele, którzy prowadzą kółka matematyczne bądź przygotowują uczniów do konkursów matematycznych (chociażby wspomnianego na wstępie "Kangura Matematycznego").

Na koniec dodam, że powyżej wspomniana zawartość numeru może być wykorzystana na zajęciach z dziećmi w klasie 4-6. Pozostała część przeznaczona jest dla uczniów minimum 7-8 klasy SP. Podkreślam wyraźnie, że szczególnie istotne będzie w tym wypadku dobre opracowanie tych zagadnień. Moim zdaniem konieczna jest odpowiednia metoda wyjaśnienia oraz naprowadzania umysłów dzieci, tak aby samodzielnie były w stanie jak najwięcej odkrywać i wyciągać prawidłowe wnioski. Dzięki temu nawet te abstrakcyjne treści mogą wzbudzać zaciekawienie czy też uaktywniać uzdolnienia matematyczne wśród dzieci zainteresowanych matematyką.

czwartek, 12 lipca 2018

Miniatury Matematyczne dla inspiracji są fantastyczne (1) - co znajdziemy w numerze 1 (SP)

W poprzednim artykule tej serii napisałem takie oto podsumowanie: Miniatury Matematyczne to szczególnie wartościowe czasopismo, które jest adresowane do szerokiego grona odbiorców. Mogą z niego korzystać nie tylko dzieci, ale i rodzice. W przypadku nauczycieli taka lektura i jej wykorzystanie na zajęciach powinna być standardem i jednocześnie znakiem rozpoznawczym najlepszych belfrów.

Dodałem na zachętę również: W miarę możliwości będę chciał opisywać poszczególne numery tego czasopisma, ponieważ uważam, że jest ono ogromną pomocą dla każdej grupy wiekowej: począwszy od uczniów szkoły podstawowej, kończąc na uczniach szkoły średniej. Podkreślę, że nie będzie to pełny i obszerny opis zawartości czasopisma, lecz raczej zwrócenie uwagi na najciekawsze perełki, które według mnie zasługują na uznanie.

Wiedziałem, że nie będzie to zadanie ani łatwe, ani krótkie ani tym bardziej lekkie (chociaż na pewno bardzo przyjemne!). Słowo się rzekło, kobyła u płotu. Zatem zaczynamy! Chcę jeszcze zaznaczyć wyraźnie, że nie jestem zawodowym matematykiem, więc recenzje będą pisane z punktu widzenia osoby, która uwielbia matematykę chociaż za bardzo jej nie rozumie. Warto to mieć na uwadze, aby potem nie czuć rozczarowania w zetknięciu z rzeczywistością.

Na początek przytoczę opis numeru ze strony wydawcy:
https://www.aksjomat.torun.pl/pl/c/Dla-szkoly-podstawowej/47

Organizowany od 1991 roku Międzynarodowy Konkurs Matematyczny „Kangur Europejski” zyskuje z roku na rok coraz większą popularność, szczególnie w kategorii "Maluch". Organizatorów cieszy masowość tego konkursu i ożywienie, jakie wnosi on w budzenie zainteresowań matematycznych. Pragniemy podtrzymać tę dobrą atmosferę dostarczając młodym uczniom zainteresowanym matematyką dodatkowego bodźca.

Być może spełni tę rolę seria książeczek „Miniatury Matematyczne”, której pierwszy tomik przekazujemy w Wasze ręce. Znajdziecie w nim ciekawe i nieszablonowe teksty matematyczne, nie wykraczające jednak poza Wasze możliwości.

Mamy nadzieję, że lektura tych tekstów zaowocuje jeszcze lepszymi wynikami w konkursie „Kangur Europejski” i pomoże Wam przygotować się do innych zawodów matematycznych. Wiele problemów zawartych w miniaturach wykorzystywanych było, z dobrym skutkiem, podczas zajęć Międzyszkolnych Kół Matematycznych prowadzonych przez Toruński Oddział Polskiego Towarzystwa Matematycznego.

Spodziewamy się, że zawartość tej książeczki może pomóc kolegom nauczycielom w budzeniu i rozwijaniu uzdolnień matematycznych swoich wychowanków
.

Tyle tytułem wprowadzenia. Teraz kolej na moją opinię na temat tej pozycji. Zaznaczę, iż opisuję wydanie drugie (poprawione) opublikowane w roku 2017 (pierwsze wydanie datowane jest na rok 1995, co pozwala zobaczyć jaki szmat czasu wydawane jest czasopismo).

Miniatury matematyczne są wydawane na dobrej jakości papierze w formacie A5 (co odpowiada rozmiarowi zwykłej kartki z zeszytu szkolnego). W numerze pierwszym mamy 64 strony. Co możemy znaleźć w tym zeszycie? Oto najważniejsze jego elementy:

Część 1: Liczyć - co to znaczy?
W tej odsłonie mamy bardzo ciekawy opis tematu "od zbioru do liczby". Można go z powodzeniem wykorzystać do zrozumienia i wyjaśnienia tego dlaczego posługujemy się systemem dziesiętnym, czym jest pozycja w liczbie, jak odróżnić znaczenie liczby od cyfry oraz historyczny rys tego jak liczyli nasi praprzodkowie. Ten mini tekst może być świetnym wprowadzeniem w tajemnice systemu liczenia.

Następnym tematem jest zamiana podstawy systemu liczenia wraz z wyjaśnieniem tego gdzie stosujemy systemy pozycyjne i w jaki sposób można je wykorzystywać do kodowania informacji. Myślę, że ten krótki wykład może być świetną inspiracją do przeprowadzenia ciekawych zajęć na temat systemu dwójkowego, a kolejno do nauki innych systemów (w tym chociażby trójkowy, piątkowy czy siódemkowy). Jest również wyjaśnione tow jaki sposób zamieniać wartości pomiędzy różnymi systemami (przykładowo między dwójkowym i trójkowym).

Część 2: Czy mnożenie jest takie trudne?
W ramach tego opracowania mamy: kwadraty babilońskie, arytmetykę rybaków egipskich, mnożenie w prostokącie i mnożenie na palcach. W skrócie powiem, że pierwsze dwa tematy zahaczają o zabawę liczbami - każda liczba naturalna daje się przedstawić w postaci sumy kwadratów (co najwyżej) czterech liczb naturalnych oraz każda liczba naturalna może być przedstawiona jako suma potęg liczby 2. Z kolei mnożenie "w prostokącie" to nic innego jak graficzne przedstawienie mnożenia w pamięci dwóch liczb dwucyfrowych na zasadzie "zaokrąglania". No i mamy na dokładkę klasyczne mnożenie "na palcach". Ten sposób powinien znać każdy - szczególnie dzieci, które mają trudności z tabliczką mnożenia.

Część 3: W czarodziejskim świecie liczb.
Tutaj znajdziemy kilka bardzo ciekawych zabaw z liczbami i ich niezwykłe właściwości. Przykładowo jak z mnożenia przez 9 i dodawania od dwójki do dziewiątki otrzymywać liczby 11, 111, 1111..., fenomen ułamka 1/7 czy też zapis liczby 100, tak aby każda cyfra wystąpiła dokładnie jeden raz (z wykorzystaniem różnych znaków działań). Dalej wciągają nas tematy liczby Szeherezady, odgadywanie pomyślanej liczby czy też daty urodzin kolegi i zabawa w detektywa (wykrywanie "Czarnego Piotrusia").

Część 4: Jak zmierzono obwód Ziemi.
W tym miejscu posłuchamy krótkiej opowieści o tym jak Eratostenes (tak, tak - dokładnie ten sam od "sita Eratostenesa") zmierzył obwód Ziemi. Najbardziej zadziwia dokładność pomiaru, który uzyskał uczony w stosunku do dzisiejszych obliczeń.

Część 5: Geometria Małego Księcia.
Jeśli chcemy zobaczyć w jaki sposób trójkąt może mieć trzy kąty proste i jak wyglądał dialog Małego Księcia z autorem (Antoine), to może to być świetne wprowadzenie w geometrię sferyczną. Jestem pewien, że może to pokazać inne perspektywy i zarazem otworzyć drzwi do kolejnych poziomów matematycznych tajemnic.

Część 6: Geometria kartki papieru.
Ta część jest tak fajna, że moim zdaniem powinna być obowiązkowa dla każdego ucznia od klasy trzeciej. Zawiera bowiem składanie (kartki) papieru, którą Chińczycy i Japończycy podnieśli do rangi sztuki. Mowa oczywiście o origami. Jakie konstrukcje mamy do dyspozycji? Otóż w kolejności nauczymy się jak złożyć: kwadrat, trójkąt równoboczny i równoramienny, romb, deltoid (popularnie zwany latawcem) i jeszcze figury foremne - pięciokąt, ośmiokąt i sześciokąt. Tutaj mamy dowód na matematykę w najbardziej przyjaznej postaci - samodzielne składanie kartki, aby uzyskać określoną figurę.

Część 7: Układanka.
Co by się stało, gdyby pewien bogaty maharadża postanowił wybudować ogromny pałac? Otóż to! Kolejna rewelacyjna część, która pokazuje jak ważne praktyczne problemy mogą być rozwiązywane we współpracy z królową nauk - Matematyką! Mamy do dyspozycji trójkątne i kwadratowe kafelki i teraz czeka na układanie podłogi. Zabawa matematyką bez odczuwania jakiejkolwiek ingerencji i katowania liczeniem?! Tak, to możliwe, a nawet obowiązkowe! W tej odsłonie mamy pokazane jak można układać kolejne n-kąty: pięcio, sześcio aż po jedenastokąt. I co ważne - mamy również wyjaśnienie matematyczne związane z tym na czym polega szczelne układanie parkietu za pomocą figur płaskich. Dzięki temu możemy bardzo praktycznie odczuć temat posadzek, parkietów i podłóg wypełnionych wielokątami foremnymi czy też innych figur "falistych".

Część 8: Kwadrat - wyróżniony prostokąt.
I jeszcze jeden mały bonus. Zabawa zapałkami (patyczkami) w której celem jest uaktywnienie twórczego potencjału za pomocą matematycznych wskazówek. Jak bowiem można ułożyć z 12 zapałek figury, które mają równe obwody a pola mają 9 kwadratów? ("zapałczanych"). To znakomite wprowadzenie do tematu obwodu i pola kwadratu i prostokąta.

Do tego dochodzi wyjaśnienie algebraiczne i geometryczne, więc można przechodzić do kolejnych zagadek. Wśród nich są chociażby takie:
- który z czworokątów o danym obwodzie ma największe pole?
- który z wielokątów o danej liczbie boków i tym samym obwodzie ma największe pole?
- który z wielokątów foremnych o tym samym obwodzie posiada największą powierzchnię?
- jaka z figur geometrycznych o ustalonym obwodzie posiada największą powierzchnię?


Część 9: Zestawy do ćwiczeń.
Tutaj zostały dołączone dwie strony symboli i cyfr, które mają za zadanie pomóc w tworzenie zbiorów i oznaczania liczb różnymi symbolami. Jest to dodatek do pierwszej części.

Tak właśnie tak wygląda zawartość tego numeru... z mojej perspektywy i w bardzo dużym skrócie. Najbardziej spodobały mi się części w których można bardzo łatwo przemycać zabawę z jednoczesną nauką matematyki. Mam na myśli takie części jak: geometria składania papieru (6), układanka (7) i kwadrat - wyróżniony prostokąt (8). Z kolei ciekawym pomysłem jest ukazania różnych sposobów mnożenia, więc tutaj z pomocą przyjdzie nam część druga (czy mnożenie jest takie trudne). W przypadku czarodziejskiego świata liczb (3), to można śmiało powiedzieć, że stanowi znakomitą inspirację do tego, aby bawić się liczbami i odkrywać ich tajemnice. Najbardziej wymagający będzie z pewnością temat systemów pozycyjnych, więc akurat ta część wymaga dobrego przygotowania i opracowania planu działania (scenariusza zajęć).

A jakie jest moje ogólne wrażenie całości? Jako osoba, która obcuje z matematyką w pełni hobbistycznie, uważam że ten zeszyt jest dobrą okazją do tego, aby zawodowi matematycy (mam na myśli nauczycieli) mogli przygotowywać rozbudowane, twórcze i ciekawe zajęcia. Dodam, że bardzo dobrym pomysłem jest wcześniejsze przygotowanie i przećwiczenie danego tematu, ponieważ dzięki temu zajęcia będą realizowane bardziej płynnie (a i nauczyciel uniknie stresu i niespodzianek).

Pomysły i krótkie opracowania tematów mogą być znakomitą inspiracją do tego, aby pokazywać matematykę z innej strony. Im bardziej praktyczna i możliwa do "ręcznego sprawdzenia", tym lepiej. Dobrze jest również pamiętać o tym, aby dziecko miało okazję samodzielnie testować swoje pomysły i oceniać rezultaty swojego działania. W przypadku składania kartek można wspomnieć o tym, że ciekawym dodatkiem jest podzielenie ich liniami na dodatkowe figury i pokolorowanie różnymi kolorami lub symbolami. Dzięki temu połączymy zabawę z pracą, czyli przyjemne z pożytecznym. Jeśli uczymy się matematyki wcale o niej nie myśląc (odczuwając radość i zaspokajając swoją ciekawość), wówczas możemy być pewni, że podążamy prawidłową ścieżką.

Na koniec dodam, że ten zawartość tego numeru może być wykorzystana na zajęciach z dziećmi w klasie 4-6. Niemniej części, które najbardziej mi się spodobały mogą z powodzeniem być zrealizowane z dziećmi poziomu 2-3 klasy SP. Przy okazji dodam, że stosunek zawartości czasopisma do ceny jest bardzo dobry. Za niewielką kwotę możemy mieć dostęp do inspirujących pomysłów na niezwykle twórcze i ciekawe zajęcia.

Szczególnie istotne jest to, że Miniatury Matematyczne to jedno z nielicznych przyjaznych czasopism promujących i popularyzujących matematykę w taki sposób, aby była fascynującą aktywnością, a nie męką, torturami czy katowaniem (niestety tak postrzega matematyczną rzeczywistość duża część populacji - zarówno najmłodsza jak i dużo starsza). Dlatego gorąco polecam lekturę tych zeszytów również rodzicom czy też samym dzieciom, które szczególnie interesują się tajemnicami matematyki... w jej najbezpieczniejszym i przyjaznym wydaniu. Przy okazji może to być proste i dobre wyjaśnienie skąd akurat taki nietypowy tytuł serii.

czwartek, 5 lipca 2018

Tabliczka mnożenia zawiera niezwykłe koncepcje warte docenienia

Wielu rodziców oraz nauczycieli zastanawia się nad tym w jaki sposób można z pozornie jałowego tematu zrobić ciekawe zajęcia na którym będzie okazja do tego, aby poćwiczyć mięśnie umysłu. Jednym z takich zagadnień jest popularna, a często także nielubiana tabliczka mnożenia. Gdyby jednak pokazać ją od zupełnie innej strony, to jestem absolutnie przekonany, że dzieci mogłyby ją polubić i odkrywać w niej niezwykłe tajemnice. O jakich tajemnicach mówię? Zobaczmy poniżej...

Grażyna Jabłońska pokazuje różne własności tabliczki mnożenia (link do pracy autorki podany zostanie na końcu). Można zobaczyć pomysł na twórczą tabliczkę w postaci wielokrotności liczb, ciągów liczbowych czy nawet jako symetrie. Pomysł jest nie tylko prosty, ale moim zdaniem rewelacyjny! Autorka podzieliła się tym co pozornie każdy wie lub czuje, ale w praktyce niemal nikt tego nie stosuje. A przecież tabliczka mnożenia zawiera niezwykłe koncepcje warte docenienia...

Myślę, że w tym wypadku jeden rysunek będzie więcej warty niż tysiące słów. Oto miniatury tej pracy.
 






Tytuł pracy: Tabliczka mnożenia inaczej. Opis: Różne własności tabliczki mnożenia, zapisana w postaci wielokrotności liczb, ciągów liczbowych, uwidocznione symetrie. Autor: Grażyna Jabłońska, Data publikacji: 2008-06-02. Link do publikacji: http://www.45minut.pl/publikacje/18242/

Dodam, że chętni odkrywania matematycznych tajemnic i zagadek również w starszym wieku mogą poszukiwać sposobów rozwiązania problemu tabliczki mnożenia. Na poniższych zdjęciach zadanie polegało na tym, aby bez użycia kalkulatora i telefonu (Internetu) policzyć sumę wszystkich liczb, które mamy w tabliczce mnożenia (jako wyniki iloczynu dwóch liczb). Pomimo początkowych trudności dorośli uratowali honor i znaleźli prosty oraz prawidłowy sposób na to, aby podać końcowy wynik.

A gdyby tak o właśnie te liczby ze sobą dodać, to może by wtedy nam wyszła suma?

 
No to sprawdźmy ten sposób i zobaczymy co nam z tego wyjdzie! Najwyżej poprawimy!

Podsumowanie: W zależności od poziomu danego dziecka, ta praca może być wykorzystana przy omawianiu różnych zagadnień. Moim zdaniem dobrym pomysłem jest przećwiczenie na sobie tych własności tabliczki mnożenia, a potem umiejętne naprowadzanie dziecka na prawidłową drogę. Dzięki temu możliwe jest odkrywanie ukrytych zależności między poszczególnymi elementami tabliczki mnożenia. Im więcej sposobów na twórczą naukę, tym więcej radości z poznawania jej tajemnic. Pamiętajmy, że w matematyce chodzi przede wszystkim o tworzenie strategii rozwiązania zadania (problemu), a nie jedynie podawanie wyniku końcowego. Za każdym razem staram się powtarzać, że jeśli określimy prawidłową drogę, to zawsze dojdziemy do zamierzonego (pożądanego) celu. To ćwiczenie może być świetnym sprawdzianem związanym z umiejętnością kombinowania i tworzenia różnych sposób zliczania. Bardzo łatwo potem będzie wprowadzić i omówić temat ciągów (zwłaszcza arytmetycznego).

sobota, 30 czerwca 2018

Miniatury Matematyczne - ciekawie podawana matematyka do umysłu głęboko przenika

Wiele osób postrzega matematykę jako nudną, suchą oraz trudną, a nawet niezrozumiałą. Niestety bywają przypadki w których jest ona nie tylko tak postrzegana (odbierana), ale i przekazywana. Można jednak inaczej. Jak? Twórczo, fachowo, ciekawie oraz bardzo praktycznie. Co należy zrobić, aby matematykę w ten sposób doświadczać? Jest wiele opcji. Jedną z nich jest lektura niezwykłego czasopisma jakim jest seria o wdzięcznej nazwie Miniatury Matematyczne. Moim zdaniem to obecnie lider na rynku wydawniczym pod względem cech o których wyżej wspomniałem. Zobaczmy zatem czym wyróżnia się to czasopismo.

Oto w jaki sposób piszą o tej uroczej serii Olga i Małgorzata Mikołajczyk (cytat ze strony: http://www.matematyka.wroc.pl/polecamy/ksiazki). Oto fragment recenzji:

To seria niedużych książeczek zawierających zadania i łamigłówki opracowane z myślą o uczestnikach konkursu Kangurek (stamtąd pochodzi część wykorzystanych w książkach zadań). Zainteresują z pewnością wszystkich uczniów lubiących rozwiązywanie ciekawych zagadek. Są też świetną pomocą do pracy na kółku matematycznym lub zielonej szkole. Do wszystkich zadań zamieszczono odpowiedzi i wskazówki lub pełne rozwiązania.

Seria miniatur matematycznych dla uczniów starszych (kl. IV-VI SP, GM i LO) ukazuje się od 2001 roku. Miniatury dla dzieci młodszych wychodzą dopiero od roku 2012. Co rok wychodzi jedna książeczka dla każdej kategorii wiekowej.


To oczywiście tak w dość dużym skrócie. Dla chętnych podaję linki do opisów poszczególnych kategorii.

Miniatury matematyczne dla SP (klas I-III)
http://www.matematyka.wroc.pl/czasopismaksiazki/miniatury-matematyczne-dla-klas-iiii-sp

Miniatury matematyczne dla SP (klasy IV-VI)
http://www.matematyka.wroc.pl/czasopismaksiazki/miniatury-matematyczne-dla-sp

Miniatury matematyczne dla GM (gimnazjum)
http://www.matematyka.wroc.pl/czasopismaksiazki/maniatury-matematyczne-dla-gim

Miniatury matematyczne dla LO (liceum i technikum)
http://www.matematyka.wroc.pl/czasopismaksiazki/maniatury-matematyczne-dla-lo


W skrócie wydawca (AKSJOMAT) tak opisuje swoje czasopismo (cytat z opisu pierwszego numeru):

Organizowany od 1991 roku Międzynarodowy Konkurs Matematyczny „Kangur Europejski” zyskuje z roku na rok coraz większą popularność, szczególnie w kategorii "Maluch". Organizatorów cieszy masowość tego konkursu i ożywienie, jakie wnosi on w budzenie zainteresowań matematycznych. Pragniemy podtrzymać tę dobrą atmosferę dostarczając młodym uczniom zainteresowanym matematyką dodatkowego bodźca.

Być może spełni tę rolę seria książeczek „Miniatury Matematyczne”, której pierwszy tomik przekazujemy w Wasze ręce. Znajdziecie w nim ciekawe i nieszablonowe teksty matematyczne, nie wykraczające jednak poza Wasze możliwości.

Mamy nadzieję, że lektura tych tekstów zaowocuje jeszcze lepszymi wynikami w konkursie „Kangur Europejski” i pomoże Wam przygotować się do innych zawodów matematycznych. Wiele problemów zawartych w miniaturach wykorzystywanych było, z dobrym skutkiem, podczas zajęć Międzyszkolnych Kół Matematycznych prowadzonych przez Toruński Oddział Polskiego Towarzystwa Matematycznego.

Spodziewamy się, że zawartość tej książeczki może pomóc kolegom nauczycielom w budzeniu i rozwijaniu uzdolnień matematycznych swoich wychowanków
.

Przy okazji można sobie przejrzeć opisy poszczególnych numerów i sprawdzić, który z nich należy do danej kategorii. Poniżej link do wydawnictwa:

https://www.aksjomat.torun.pl/pl/c/Miniatury-Matematyczne/29


W miarę możliwości będę chciał opisywać poszczególne numery tego czasopisma, ponieważ uważam, że jest ono ogromną pomocą dla każdej grupy wiekowej: począwszy od uczniów szkoły podstawowej, kończąc na uczniach szkoły średniej. Podkreślę, że nie będzie to pełny i obszerny opis zawartości czasopisma, lecz raczej zwrócenie uwagi na najciekawsze perełki, które według mnie zasługują na uznanie.

Podsumowanie: Miniatury Matematyczne to szczególnie wartościowe czasopismo, które jest adresowane do szerokiego grona odbiorców. Mogą z niego korzystać nie tylko dzieci, ale i rodzice. W przypadku nauczycieli taka lektura i jej wykorzystanie na zajęciach powinna być standardem i jednocześnie znakiem rozpoznawczym najlepszych belfrów.

Pomysłów oraz różnorodnych zagadnień jest bowiem w tej serii tak dużo, że spokojnie wystarczy na kilkadziesiąt zajęć w ramach kółka matematycznego. W chwili obecnej (lipiec 2018) zostały wydane 63 numery. Miejmy nadzieję, że autorzy i wydawnictwo będą kontynuowali tę tradycję jeszcze przez długie, długie lata.

Z mojej strony składam słowa uznania, za wydawanie tej serii i popularyzowanie piękna nauki jaką jest bez wątpienia Królowa Nauk - czyli matematyka.

piątek, 15 czerwca 2018

Dlaczego reszta z dzielenia daje wiele okazji do przemyślenia

... bo zbliża nas do pełnego zrozumienia i solidnego utrwalenia!

Wiele dociekliwych osób zastanawia się dlaczego w cechach podzielności nie ma liczby 0 ani 1. Przecież to też liczby, więc czemu nikt się nimi nie zajmuje?

Otóż powód jest prozaiczny - dzielenie przez 1 nie zmienia wartości. Inaczej mówiąc każda liczba podzielona przez 1 jest nadal tą samą liczbą. To mniej więcej tak jakbyśmy biegli w miejscu (chociażby na bieżni). W pełni odczuwamy ruch, ponieważ nasze ciało je wykonuje, ale w stosunku do ziemi pozostajemy cały czas w tym samym miejscu.

A jeśli chodzi o zero? W przypadku podzielności przez zero jest inna bajka. Mianowicie dzielenie przez zero jest niewykonalne. Spróbujmy przeprowadzić proste rozumowanie.

Przykładowo mając 12 cukierków możemy je podzielić (po równo) na:
a) 12 osób, wtedy każda otrzymuje po 1 cukierku,
b) 6 osób, wtedy każda otrzymuje po 2 cukierki,
c) 4 osoby, wtedy każda otrzymuje po 3 cukierki,
d) 3 osoby, wtedy każda otrzymuje po 4 cukierki,
e) 2 osoby, wtedy każda otrzymuje po 6 cukierków,
f) 1 osobę, wtedy każda (w tym wypadku jedyna) otrzymuje po 12 cukierków (czyli dostaje wszystkie słodycze).

I teraz doszliśmy do naturalnej granicy poniżej której już nie możemy zejść. Nie da się podzielić cukierków na zero osób. Dlaczego? Ponieważ nie miałby kto tych cukierków dostać! Można łatwo zapamiętać tę regułę: Nie dzielimy przez zero, bo wychodzi error ("error", to po angielsku słowo oznaczające błąd). Z tego wniosek, że nie ma cechy podzielności przez zero, ponieważ taki podział jest niewykonalny (niedozwolony).

Pojawia się jednak dodatkowe pytanie. A co jeśli zero zechcemy podzielić przez inną liczbę? Ile wtedy będziemy mieli dzielników? Otóż zero ma nieskończenie wiele dzielników. Co to oznacza? Tylko tyle, że nasze zero możemy podzielić przez każdą liczbę (oprócz zera!) i wynikiem zawsze będzie zero. Przykładowo: 0:2 = 0, 0:10 = 0, 0:25 = 0. Jeśli ktoś chce zrozumieć dlaczego jest to możliwe i czemu wynikiem jest zero, niechaj pomyśli co się dzieje, gdy dzielimy "udawane cukierki" w ręku na dwie osoby. Każda dostaje tyle samo, ale z uwagi na to, że nic nie mieliśmy, więc z pustego nawet Salomon nie naleje. Słowem jeśli nic nie mamy, to dzieląc się tym z innymi... nasi obdarowani dostaną tyle samo.

Natomiast w przypadku liczby 1 mamy tylko jeden dzielnik. Inaczej mówiąc, jedynka dzieli się tylko przez 1, bo dzieląc przez każdą inną liczbę otrzymamy resztę. Zobaczmy, że 1:1 = 1 (brak reszty), ale już 1:2 = 0 r 2 (czyli zero całości i reszty 2). Jedną pizzę kroimy na dwie części i nie mamy żadnej całości, ale za to mamy dwa równe kawałki (to właśnie ta matematyczna reszta).

Zbierając wszystkie wnioski widzimy, że:
- nie ma cechy podzielności przez 0, ponieważ żadna liczba nie dzieli się przez 0 (bo wychodzi error),
- nie ma cechy podzielności przez 1, ponieważ każda liczba dzieli się przez 1 (wynikiem jest zawsze wyjściowa liczba).

Z kolei w przypadku, gdybyśmy chcieli:
- sprawdzić ile dzielników ma liczba 0 - czyli na ile części (bez reszty) możemy podzielić 0, wówczas okazuje się, że ma nieskończenie wiele dzielników (oprócz zera),
- sprawdzić ile dzielników ma liczba 1 - czyli na ile części (bez reszty) możemy podzielić 1, wówczas okazuje się, że ma tylko jeden dzielnik (jest nią ta sama jedynka).

Z pewnością tabela powinna wszystko rozjaśnić. Zapamiętajmy, że przy mnożeniu (iloczyn) kolejność elementów (czynników) nie ma znaczenia, ale w przypadku dzielenia (iloraz) spowoduje odwrotność wyniku. No i przez jakiś powtarzajmy jak mantrę: Nie dzielimy przez zero, bo wychodzi error. To powinno szybko zostać zakodowane w umyśle, aby wykluczyć to działanie.


Widzimy wyraźnie, że kończąc omawianie tematu cech podzielności automatycznie wkraczamy w zagadnienie wielokrotności, dzielników oraz reszty z dzielenia. Tym jednak zajmiemy się następnym razem.

Podsumowanie: cechy podzielności dwóch niesfornych liczb (zera i jedynki) mogą początkowo wydawać się nieco niezrozumiałe. Dobrze jest jednak kilkukrotnie do nich podejść (przeczytać i przemyśleć na spokojnie więcej niż raz), tak aby w końcu weszły nam do głowy. Będą one również miały specjalne miejsce przy omawianiu tematu liczb pierwszych i złożonych. Wówczas obecna wiedza powinna jeszcze lepiej nam się ułożyć.

Dodam na marginesie, że zrozumienie istoty (niedozwolonego) dzielenia przez zero jest konieczne do tego, aby wykluczyć (ominąć) nieprawidłowe rozwiązania w przypadku chociażby równań wymiernych. Jeśli teraz nie zostanie to dobrze zrozumiane, to później może sprawiać pewne kłopoty.

Wyjaśnienie mechanizmu dzielenia i nagle wszystko się zmienia

...bo kolejne cechy podzielności dają nam wiele do przemyślenia!

Czasami dociekliwe umysły dzieci zastanawiają się nad tym jak to jest z tymi nietypowymi cechami podzielności. Być może warto rzucić odrobinę światła w stronę ciemności, aby to zagadnienie stało się znacznie bardziej zrozumiałe. Zwłaszcza, że nie są to specjalnie trudne rozważania, a z pewnością mogą pomóc w opanowywaniu kolejnych elementów matematycznej sztuki.

Spróbujmy zatem przyjrzeć się kilku cechom podzielności, które najczęściej w edukacji szkolnej są albo pomijane milczeniem albo niewystarczająco wyjaśniane. Poniżej pokrótce wyjaśnię tworzenie i sprawdzanie cech podzielności przez: 4, 12, 15 i 25.

Jak podzielić liczbę przez 4? Jak sprawdzić czy jest podzielna przez 4 niekoniecznie uzyskując wynik końcowy? Pokażę prostą sztuczkę i mam nadzieję, że wszystko będzie odrobinę prostsze.


Pamiętajmy jeszcze o tym, że jeśli liczba wyjściowa nie jest parzysta, to automatycznie nie jest podzielna przez 4. Stąd wniosek, że rozpatrujemy tylko te liczby, których ostatnia cyfra to: 0, 2, 4, 6 lub 8. Jeśli po podzieleniu przez 2 dana liczba jest parzysta, wówczas wyjściowa liczba jest "podwójnie parzysta", a więc musi być podzielna przez 4. Prawda, że proste?

Jeśli chodzi o podzielność przez 12 to musi to być liczba podzielna jednocześnie przez 3 i 4. A czemu nie przez 6 i 2? Powody są co najmniej dwa. Pierwszy i najważniejszy jest taki, że można znaleźć bardzo łatwe obalenie. Mianowicie liczba 18 nie jest podzielna przez 12, pomimo że dzieli się zarówno przez 6 jak i przez 2. Drugim powodem jest to, że w rozkładzie liczby 12 na czynniki pierwsze mamy: 2*2*3, więc trójka musi być osobno, zaś iloczyn obu dwójek (tych samych czynników) daje nam czwórkę. Warto to wziąć pod uwagę. Celem utrwalenia i lepszego zrozumienia materiału proponuję sprawdzenie (opracowanie) cechy podzielności przez 18. Pojawia się pytanie - czy każda liczba jest podzielna przez 18 jeśli jest jednocześnie podzielna przez 6 i 3 czy też przez 9 i 2? Odpowiedź będzie analogiczna jak powyżej.

Natomiast w przypadku liczby podzielnej przez 15 jest już bardzo łatwo, gdyż wiemy, iż musi spełniać warunek podzielności przez 3 i 5. Czemu akurat w ten sposób? Odpowiedź jest prosta: z uwagi na to, że liczba 15 ma tylko taki rozkład na czynniki pierwsze. Na marginesie dodam, że innym rozkładem liczby 15 jest 1*15, ale nic on nam nie daje, bo każda liczba jest podzielna przez 1... i nadal musimy stworzyć drugą cechą podzielności... przez 15.

Z kolei jeśli chodzi o podzielność przez 25, to każda liczba będzie podzielna przez 25 jeśli dwiema jej ostatnimi cyframi będą: 25, 50, 75 lub 00. W przypadku liczby jednocyfrowej (albo mniejszej niż 25) to żadna z nich nie będzie podzielna przez 25. Wyjątkiem jest zero, które jest podzielne przez każdą liczbę oprócz zera! Każdy już powinien doskonale wiedzieć, że (istotnym) rozkładem liczby 25 jest tylko 5*5, więc nie możemy stworzyć krótszej cechy podzielności aniżeli powyższa.

Podsumowanie: cechy podzielności są dość ważne, gdyż dzięki ich dobrej znajomości w przyszłości będzie możliwość wykonywania istotnych operacji (logicznych) na liczbach bez ich fizycznego rozkładania (znajdowania końcowego wyniku ilorazu). Poza tym dzięki temu przy ułamkach jak i potęgach oraz pierwiastkach będziemy mogli wspomagać się umiejętnościami z tego zakresu. Warto podkreślić, że w praktyce wystarczy poznanie i zrozumienie około 10-12 podzielności, aby być w stanie płynnie posługiwać się tą wiedzą w innych zagadnieniach matematyki. Niektóre cechy podzielności są albo dość trudne albo w praktyce niemal nieużywane. Oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie, aby chętni samodzielnie zgłębiali ten temat.

środa, 13 czerwca 2018

Dlaczego reszta z dzielenia jest niemożliwa do obalenia

...bo każdy umysł w potężny komputer przemienia!

Nauka cech podzielności może być fajną zabawą. Szczególnie wtedy, gdy temat jest opracowany solidnie oraz dzieci (uczniowie) mogą samodzielnie dochodzić do odkrywania ukrytych tajemnic matematycznych jakimi są relacje wynikające z dzielenia. Dobrze jest pokrótce przypomnieć to czym jest dzielenie i na czym polega reszta. Najprościej zrobić to na cukierkach, monetach, owocach czy też kulkach (albo kostkach). Dzięki temu będzie doskonale widoczne i zrozumiałe to czym jest owa reszta - sierotka, która nie znalazła innych przyjaciół, które razem z nią tworzyłyby całość.

Teraz przejdźmy do tego czym jest owa podzielność. Wiemy, że można dzielić przez różne liczby, ale czy można odgadnąć (bez żmudnego liczenia) czy dana liczba dzieli się bez reszty? Z resztą czy bez... oto jest pytanie! Zresztą sami się o tym przekonajmy!

Zobaczmy na czym polegają niesamowite sztuczki związane z podzielnością liczb. Dodam, że można je znaleźć praktycznie w każdym podręczniku czy też w całym wirtualnym świecie - jak kto woli w Internecie. Poniżej moja wersja podzielności.

Przez 2: liczba, której ostatnia cyfra to: 0, 2, 4, 6 lub 8.
Przez 3: liczba, której suma cyfr daje liczbę będącą podzielną przez 3.
Przez 9: liczba, której suma cyfr daje liczbę będącą podzielną przez 9.
Przez 5: liczba, której ostatnia cyfra to: 0 lub 5.
Przez 10: liczba, której ostatnia cyfra to 0.
Przez 20: liczba, której przedostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6 lub 8, a ostatnia cyfra to 0.
Przez 4: liczba, której dwie ostatnie cyfry to liczba podzielna przez 4.
Przez 6: liczba, która jest jednocześnie podzielna przez 2 i 3.

Wszyscy doskonale wiedzą, że takie lub podobne definicje są bez problemu do odnalezienia w różnych źródłach. Jednak pozostaje pewien niedosyt, ponieważ niektóre zagadnienia pozostają bez odpowiedzi. Spróbuję nieco uchylić rąbka tajemnicy.

W przypadku podzielności przez 2 można w skrócie powiedzieć, że musi być to liczba parzysta. W takim wypadku nie jest konieczne wypisywanie kilku możliwości, które przybiera liczba parzysta. Tak samo jest w przypadku podzielności przez 20: można zapisać to w taki sposób, że przedostatnia cyfra ma być parzysta, zaś ostatnia musi być zerem.

Jeśli chodzi o podzielność przez 4, to najprostszy sposób jest taki, że zakrywamy wszystkie wcześniejsze cyfry i pozostawiamy jedynie ostatnie dwie. I wtedy jest już łatwo - dwucyfrową liczbę dość szybko można w pamięci sprawdzić czy jest podzielna przez 4. A dalsza historia jest już prosta. Jeśli mamy liczbę dwucyfrową, która jest podzielna przez 4 (niechaj to będzie przykładowo 28), wówczas możemy przed nią dopisywać dowolną liczbę cyfr i nadal każda w ten sposób utworzona będzie podzielna przez 4.

Podzielność przez 6 jest bardzo dobrze widoczna w tabeli (zobacz poniżej). Jeśli bowiem dana liczba jest podzielna przez 2, wówczas wstawiamy "+". Następnie sprawdzamy czy jest również podzielna przez 3... i jeśli jest to również wpisujemy "+". A to z automatu sprawia, że jest podzielna przez 6. Inaczej mówiąc, jeśli w obu rubrykach (kratkach) mamy plusy, wtedy wpisujemy plusa dla danej liczby w odpowiedniej rubryce (kolumnie) z tytułem "przez 6".

Najrzadziej jednak jest odkrywana tajemnica podzielności przez 3 i 9. Jak to?! Przecież wszystkie podręczniki podają to jak byk! A no właśnie nie do końca! Czemu? Otóż niemal nikt nie podaje tego, że ta podzielność może być wielokrotnie stosowana! Jak kto rozumieć? Otóż zobaczmy na przykładzie. Czy liczba 123123123 jest podzielna przez 3? Sprawdźmy jej sumę cyfr. Wychodzi dokładnie 18. Każdy wie, że 18 jest podzielna przez 3, a więc nasza wyjściowa liczba 123123123 też jest podzielna przez 3.

A teraz weźmy większą liczbę. Niechaj będzie to liczba 369369369. Suma jej cyfr to 54. Tutaj znowu można szybko sprawdzić, że jest podzielna przez 3. A gdybyśmy mieli ocenić liczbę 999999999666666333 (9 dziewiątek, 6 szóstek i 3 trójki), to czy też to będzie tak proste? Zobaczmy. Otóż suma cyfr tej liczby to 81+36+9, a zatem 126. I tutaj już konieczne byłoby dzielenie przez 3 liczby 126 albo na kalkulatorze albo pisemnie. A gdyby dodać sumę cyfr tej ostatniej liczby i wtedy zobaczyć czy jest podzielna przez 3? Suma cyfr liczby 126 to 9. A podzielność tej jest nawet do sprawdzenia na palcach! Wniosek? Możemy sobie w tym wypadku pomagać wielokrotnie sumując cyfry i sprawdzając czy da nam ona liczbę podzielną przez 3.

Czyż matematyka nie jest banalnie prosta? A gdyby w przypadku podzielności przez 9, również możliwe byłoby użycie tej sztuczki? Liczba 9999666333 jest podzielna przez 9, ponieważ suma jej cyfr daje liczbę 63, zaś suma liczby 63 daje 9. No a 9 jest podzielna przez samą siebie, prawda? Magia czy może po prostu tajemnice o których nie wszyscy powszechnie mówią?

Myślę, że teraz najwyższy czas na to, aby nieco poćwiczyć. Poniżej mamy tabelę do wypełnienia za pomocą "+" oraz "-". Plusa wpisujemy wówczas, gdy dana liczba (w wierszu) jest podzielna przez konkretną liczbę (w kolumnie), zaś minusa, gdy nie jest. A jak już to zrobimy to możemy sobie (skopiować) wydrukować następną przykładową kartę w której samodzielnie wymyślamy liczby i wpisujemy je w pierwszą kolumnę. W drugiej kolumnie ("S") mamy możliwość wpisania sumy ocenianej liczby, tak aby nie popełniać prostych błędów wynikających z dekoncentracji (bo uwaga jest skupiona na procesie sprawdzania).



Na koniec warto zadać sobie serię pytań. Pytania do lekcji na temat (cech) podzielności mogą wyglądać chociażby tak:

1) Czy wynik dzielenia obu liczb naturalnych (np. 24:3) może być liczbą mieszaną? Czy może zawierać resztę? Jeśli może być reszta to jaka? Czy reszta może być równa dzielnikowi lub od niej większa?

2) W jaki sposób można udowodnić, że dana liczba (X) jest podzielna przez 5, jeśli wiemy, że po jej podzieleniu otrzymamy wynik 12?

3) Czym jest wielokrotność w stosunku do dzielenia (a nawet dzielnej)?

4) Dlaczego w cechach podzielności nie ma liczby 0 ani 1?

5) Jak sprytnie zliczać sumę cyfr, aby otrzymana liczba była bezbłędna? Jak sprawić, aby szansa popełnienia błędu była jak najbardziej znikoma (chodzi o tak zwane minimalizowanie błędu)?

6) Na podstawie tabeli opracuj samodzielnie cechę podzielności przez 15, 25 i 100. Jakie niezbędne informacje musimy do tego wykorzystać? Dlaczego trudniej jest zrozumieć cechę podzielności przez 15 aniżeli przez 25? Z czego wynika owa trudność?

To oczywiście tylko przykładowe pytania, które mają wyzwolić ciekawość i inspirację do dalszych poszukiwań.

Podsumowanie: sztuką jest takie dopasowywanie procesu nauki oraz narzędzi, sposobów i metod pracy, aby w umysłach wyzwolić poczucie twórczości, samodzielności oraz poczucie sprawstwa... przy okazji pozwalając dzieciom na odkrywanie, przeżywanie, doświadczanie jak też podejmowanie decyzji i branie odpowiedzialności za własny rozwój. Temu właśnie może służyć temat cech podzielności liczb, zwłaszcza jeśli zostanie odpowiednio przygotowany.

Przykładem ciekawej lekcji może być wpisywanie liczb, które będą datami urodzenia ważnych dla nas osób czy też wydarzeń historycznych. Wreszcie można zabawić się w to, aby bez wpisywania liczb pomyśleć co zrobić, aby dopiero po wpisaniu mogła spełniać jednocześnie kilka cech podzielności. A co zrobić, aby spełniała wszystkie? Takie właśnie pytania powinny obowiązkowo pojawiać się w procesie odkrywania niezwykłych zależności, które wydają się niewiarygodne i nieodgadnione na pierwszy rzut oka. Pamiętajmy o tym, że jak dotąd umysł ludzki pozostaje najpotężniejszym superkomputerem, który potrafi tworzyć cuda.