Wysokość w figurach rewelacyjnie opisana - to matematyka świetnie zrozumiana i solidnie opanowana - cz.4

W dzisiejszej odsłonie zobaczymy co się wiąże z tymi figurami i dlaczego ich podział oraz wysokości będą nam bardzo pomocne, gdy będziemy odkrywali wzory pozwalające obliczać ich pola. Mam nadzieję, że powoli staje się jasne to, że przy dobrych i ciekawych sposobach nauki, matematyka może być nie tylko ciekawa, ale również piękna i odkrywana za pomocą dobrej zabawy!...

Skąd się biorą wzory na trójkąty i czworokąty?

Na początek trzeba wyjaśnić dlaczego pole wyrażamy w jednostkach kwadratowych. Często bowiem dzieci nie wiedzą czy mają zapisać na końcu obliczeń - "centymetr", "centymetr kwadratowy" czy być może jeszcze inne oznaczenie? Pole to pewien obszar, którym możemy pokryć daną figurę... identycznymi kwadratami! Tak! Stąd właśnie nazwa "jednostki kwadratowe" (a nie chociażby jednostki trójkątne). Warto zaznaczyć, że w przypadku pola, które nie wyraża się liczbą całkowitą, dany obszar figury może zawierać też pewną część kwadratu. Inaczej mówiąc pole nie każdej z figury można za pomocą całych identycznych kwadratów. To jednak mało istotny szczegół.

Można zatem powiedzieć, że pole danej figury, to liczba identycznych kwadratów, które zmieszczą się w danej figurze. Inaczej mówiąc, pole wyrażamy w jednostkach kwadratowych. Dlaczego? Ponieważ kwadraty są najbardziej pasującymi figurami, które można łatwo dopasowywać i kroić na mniejsze części. Nic nie stoi jednak na przeszkodzie, aby spróbować pobawić się w to, żeby zmierzyć obszar (pole) figury za pomocą trójkątów prostokątnych (połówka kwadratu) lub nawet równobocznych. Jedyny warunek jest taki, że figury za pomocą których mierzymy pole innej figury, muszą być jednakowe.

POLA FIGUR JAKO ODNIESIENIE DO PROSTOKĄTA

Jak obliczamy pole w trójkącie? Otóż najprościej biorąc w przypadku trójkąta mamy do czynienia tak naprawdę z połową prostokąta.

I teraz gdybyśmy chcieli dowiedzieć się ile małych kwadratów mieści się w takim prostokącie, wówczas wystarczyłoby podstawę pomnożyć przez wysokość. Nieco ściślej mówiąc - długość podstawy mnożymy przez długość wysokości - obie z nich muszą być nam znane.

Przykładowo jeśli długość podstawy wynosi 8 kwadratów, a wysokość to 4 kwadraty, wtedy pole całej figury wynosi 8x4=32 kwadraty. I jeśli każdy taki kwadrat ma bok o długości jednego centymetra, wtedy pole będzie wyrażane w centymetrach kwadratowych. Oczywiście gdybyśmy mierzyli kwadratami o długości jednego metra, wtedy otrzymany wynik byłby w metrach kwadratowych. Prawda, że proste? Inaczej mówiąc, mierzymy kwadratami większymi lub mniejszymi, ale za każdym razem tej samej wielkości.

No dobrze. Wiemy już jak obliczać pole prostokąta, ale co z naszym trójkątem? Jeśli podzielimy nasz prostokąt wzdłuż przekątnej, wtedy otrzymamy dwa identyczne trójkąty. Czyli pole trójkąta jest połową pola prostokąta, który powstał z przekrojenia prostokąta za pomocą przekątnej. W takim układzie pole trójkąta będzie miało wartość: 32/2=16.

Wniosek z naszej analizy jest następujący: pole trójkąta jest połową pola prostokąta. I właśnie dlatego we wzorze będziemy mieli albo "podzielić przez 2", albo "pomnożyć przez 1/2".

Wzory na pole trójkąta zapisujemy w taki sposób: P = (a*h)/2 lub P = 1/2 *a*h.


Zapamiętajmy, że wzór na pole trójkąta obowiązuje dla dowolnego trójkąta. Musimy tylko wiedzieć jaka jest wysokość oraz ile wynosi podstawa. Przypominam, że wysokość zawsze musi być prostopadła do podstawy.

Teraz przyjrzyjmy się uważnie powyższym trójkątom. Pole każdego z trójkątów jest identyczne! Dlaczego? Otóż zarówno podstawa jak i wysokość w każdym z nich są takie same. Dobrze jest to pokazać na przykładach w których od pola "pełnego trójkąta" odejmujemy pole dorysowanego trójkąta... i otrzymujemy potwierdzenie tego, że pola trójkątów o tych samych podstawach i wysokościach są sobie równe.

Wniosek: przy trójkątach, które mają taką samą podstawę i wysokość, nie ma znaczenia ich rodzaj (ostrokątne, prostokątne czy rozwartokątne) - pole każdego z nich będzie takie samo.

POLE PROSTOKĄTA

Jak już wspomnieliśmy przy okazji tematu pola trójkąta, pole prostokąta otrzymujemy poprzez pomnożenie podstawy przez daną wysokość. Inaczej mówiąc, mnożymy przez siebie długości dwóch sąsiednich boków, które są do siebie prostopadłe. I bez znaczenia jest to, który jest wysokością, a który podstawą - wynik i tak będzie taki sam (wynika to z cechy przemienności mnożenia).

Pole = Podstawa x wysokość (P = a*h)

POLE KWADRATU

Wiemy już, że kwadrat to prostokąt o równych bokach. Jego wzór jest taki sam jak wzór na pole prostokąta.

Pole = Podstawa x wysokość (P = a*h)

Jednak z uwagi na to, że każdy bok w kwadracie jest równy, zatem łatwiej jest zapisać ten wzór jako: P = a*a lub w skrócie P = a^2

POLE RÓWNOLEGŁOBOKU

W przypadku pola równoległoboku, obliczenia są takie same jak przy polu prostokąta. Również potrzebujemy znać podstawę oraz wysokość, która jest prostopadła do obu podstaw. Pamiętajmy, że jeśli ramiona nie są prostopadłe do podstaw (są tylko wtedy, gdy równoległobok jest prostokątem albo kwadratem), wówczas nie są one wysokościami. Zatem znając tylko podstawę i długość ramienia... nie możemy obliczyć pola.

Pole = Podstawa x wysokość (P = a*h)

POLE ROMBU

Z uwagi na to, że romb jest szczególnym przypadkiem równoległoboku (o wszystkich bokach równych), więc jego wzór jest taki sam jak wzór na pole równoległoboku.

Pole = Podstawa x wysokość (P = a*h)

Warto jednak podkreślić, że romb ma jeszcze jedną ciekawą właściwość - podobnie jak w kwadracie, przekątne w rombie zawsze przecinają się (w połowie) pod kątem prostym. Ta właśnie cecha sprawia, że można jego wzór zapisać jeszcze innym sposobem. Jakim? Za pomocą wykorzystania właściwości przekątnych, które dzielą romb na 4 identyczne trójkąty prostokątne. Stąd właśnie powstaje wzór: P = (e*f)/2

W tym wypadku jeśli podstawą jest wartość e, wtedy wysokość jest dwukrotnie krótsza (f/2). I odwrotnie działa to na tej samej zasadzie. Jeśli za podstawę weźmiemy f, wtedy wysokość jest również dwukrotnie krótsza (e/2). W ten sposób możemy (powinniśmy) rozciąć nasz romb wzdłuż przekątnej i sprawdzić, że możemy tak złożyć pozostałe dwa trójkąty, aby powstał prostokąt. I to bez względu na to którą przekątną weźmiemy jako podstawę. Bardzo dobrym pomysłem jest właśnie to, aby pobawić się w rozcinanie i doświadczalnie (samodzielnie) sprawdzić skąd powstaje wzór (każdej z figur, nie tylko rombu!).

POLE TRAPEZU

Na koniec powiedzmy sobie skąd się bierze wzór na pole trapezu. Zwykle sprawia on najwięcej problemów - przede wszystkim w przypadku zrozumienia jak i łatwego (trwałego) zapamiętania.

Spróbujmy narysować klasyczny trapez różnoramienny (nie mający kątów prostych). Co by się stało gdybyśmy identyczny trapez (obrócony do góry nogami) dokleili obok tego już narysowanego? Wówczas powstałby równoległobok. I zobaczmy, że podstawą naszego nowej figury jest suma długości obu podstaw trapezu (a+b). Wysokość jest taka sama jak w każdej figurze (h), bo biegnie prostopadle od jednej ku drugiej podstawie. I teraz gdybyśmy zapisali wzór naszego równoległoboku to byłby on taki: P=(a+b)*h. Natomiast nas interesuje pole jednego trapezu, który jest połową powyższej figury. Co zrobić? Otóż trzeba całość podzielić na dwie równe części. Zatem końcowa postać wzoru na trapez to: P=[(a+b)*h]/2. Prawda, że jest to znacznie łatwiejsze, gdy wiemy skąd to się bierze?

Pole deltoidu (popularnie zwanego latawcem) można już samodzielnie opracować. Z uwagi na to, że jest on bardzo rzadko wykorzystywany w praktyce, więc pozwolę sobie go pominąć.

To co powyżej zaprezentowałem to tylko pewien pomysł na to jak można pokazać i wyjaśnić sens powstawania wzorów na obliczanie pól figur. Wiemy już w jaki sposób powstają figury, teraz dowiedzieliśmy jak obliczać ich pole, a w kolejnym odcinku dowiemy się jak można twórczo podejść do tematu tworzenia figur i ich przekształcania. Pokażę w jaki sposób można poświęcić co najmniej godzinę zajęć na to, aby bawić się figurami, a przy okazji poznawać ich właściwości i doświadczać ich zmian. Tak więc niebawem będzie dobra zabawa, bo już wiemy co się dzieje z naszymi trójkątami i czworokątami.


Podsumowanie: Pola figur powinny zostać sprawdzone za pomocą różnych pomysłów. Najważniejsze jest to, aby dzieci mogły doświadczać tego czego się uczą i samodzielnie poszukiwać, tworzyć i oceniać różne pomysły i koncepcje. Rola nauczyciela nie sprowadza się do podawania wiedzy, lecz do tworzenia warunków w których to dzieci ją tworzą i przy okazji odkrywają tajemniczy świat obiektów i relacji między nimi. Każde dziecko uwielbia doświadczać poczucia sukcesu, odkrywania tajemnic i tworzenia ważnych oraz ciekawych pomysłów, które mają szanse przenieść do miękkiej rzeczywistości. Stąd potrzeba zapewnienia kartki, nożyczek, plasteliny, linijki czy innych narzędzi. Dzięki rozcinaniu, odwracaniu oraz łączeniu, dziecko doświadcza fizycznie tego, co potem w jego umyśle zostaje zapisane. Stąd niezbędne są różnorodne, wartościowe ćwiczenia, które pomogą w zrozumieniu istoty doświadczanego świata.


Dodatkowa literatura, która może być wykorzystana w pracy z dziećmi. Obie z nich mogą stanowić ciekawą propozycję, która pokazuje to w jaki sposób lekcja może wyglądać ciekawiej, zaś uczniowie mogą z niej wynieść znacznie więcej.

1) Katarzyna Makowska. Praca z uczniem zdolnym i słabym na matematyce (2010, ZNP, 68 stron)
2) Katarzyna Makowska. Jak inspirować myślenie matematyczne ucznia w szkole podstawowej (2009, ZNP, 80 stron)

Obie książki mają bardzo ładnie wyjaśnione w jaki sposób twórczo i ciekawie opracować i przeprowadzić lekcje matematyki. Są w nich także scenariusze zadań oraz załączniki, które na pewno pomogą zainspirować się do tego, na czym polega zrealizowanie bardzo dobrej, ciekawej, twórczej i rozwojowej lekcji.