Z uwagi na to, że dzielenie pisemne sprawia uczniom wiele problemów... postanowiłem się bliżej przyjrzeć temu zagadnieniu.
Przede wszystkim warto podkreślić, że w obecnych czasach (gdzie niemal wszyscy mają pod ręką smartfona) konieczność wykonywania dzielenia na liczbach większy niż 3-4 cyfrowe raczej zanika. Znacznie bardziej istotne jest to, aby znać naprawdę solidnie chociażby tabliczkę mnożenia.
Tradycyjne ujęcie pisemnego dzielenia, które przez kilka stuleci nadal się nie zmienia... pomimo, że wielu śmiałków podważa teorię, że jakoś płaska ta Ziemia (jako planeta układu słonecznego).
Przede wszystkim warto podkreślić, że w obecnych czasach (gdzie niemal wszyscy mają pod ręką smartfona) konieczność wykonywania dzielenia na liczbach większy niż 3-4 cyfrowe raczej zanika. Znacznie bardziej istotne jest to, aby znać naprawdę solidnie chociażby tabliczkę mnożenia.
Tradycyjne ujęcie pisemnego dzielenia, które przez kilka stuleci nadal się nie zmienia... pomimo, że wielu śmiałków podważa teorię, że jakoś płaska ta Ziemia (jako planeta układu słonecznego).
Zamiast tradycyjnego sposobu dzielenia pisemnego, proponuję przyjrzeć się takiemu, które może na początku dziwić, a nawet wydawać się mocno niezrozumiałe. Jednak dobrze jest chociażby spróbować na własnej skórze i przekonać się czy nam to pasuje.
Zobaczmy to na prostym przykładzie (kolejny będzie do samodzielnej analizy i wykonania). Najpierw porównajmy ten sam przykład samodzielnie, a za chwilę zobaczymy w jaki sposób jego ewolucja może przyspieszyć i uprościć nam proces dzielenia.
Zobaczmy to na prostym przykładzie (kolejny będzie do samodzielnej analizy i wykonania). Najpierw porównajmy ten sam przykład samodzielnie, a za chwilę zobaczymy w jaki sposób jego ewolucja może przyspieszyć i uprościć nam proces dzielenia.
Przykład pierwszy. Ustalmy wynik działania: 428061402 : 3 = ?
Zaczynamy od pierwszej cyfry pod kreską i stopniowo przechodzimy w prawą stronę aż do zakończenia dzielenia na każdej z nich (zakładamy, że to dzielenie bez reszty).
1. Czy w 4 mieści się 3? Tak, dokładnie jeden raz, więc nad kreską wpisujemy 1. Pozostaje reszta 1, którą wpisujemy za naszą badaną 4, ale przed kolejną cyfrą, którą jest 2.
2. Teraz patrzymy na drugą cyfrę (2) i jednocześnie przed nią na małą cyfrę 1. Obie tworzą liczbę 12. I znowu to samo pytanie: ile 3 mieści się w 12? Otóż dokładnie 4, co wpisujemy nad kreską. I widzimy, że ne ma reszty, więc wpisujemy "=" przed kolejną badaną cyfrą (w naszym przykładzie jest to 8).
3. Wpisany znak "=" oznacza zero, ale aby potem nam się nie robiły "podwójne zera" (małe zero a za nim duże), więc zapisujemy jako znak równości. Jest to w tym przypadku równoznaczne z brakiem reszty.
4. Teraz badamy naszą 8. Mieści się w niej dwa razy trójka (wpisujemy 2 nad kreską), więc zostaje nam reszta 2, którą oczywiście przepisujemy (przed duże zero).
5. Teraz mamy małą dwójkę i duże zero, a wiemy, że to razem liczba 20. No i dalej dzielimy. Ile trójek mieści się w 20? Tak, dokładnie 6 (nad kreską) i zostaje reszta 2 (przed kolejną badaną liczbę).
6. Następna badana przez nas liczba składa się z dwóch cyfr: małej dwójki i dużej szóstki. 26:3=8 i zostaje reszta 2. Dlatego 8 wpisujemy nad kreskę, zaś resztę 2 przenosimy na początek kolejnej (dużej) cyfry (które razem ze sobą tworzą następną liczbę).
7. I już powoli zmierzamy do końca. Teraz 21 dzielimy na 3 i wychodzi nam 7 (nad kreską). A co z resztą? Otóż nie ma reszty, bo 21 jest wielokrotnością trójki. Brak reszty to nasz "=", który wpisujemy przed 4.
8. Jeśli mamy "=4", to tak jakbyśmy mieli "04" - w obu wypadkach to liczba jednocyfrowa czyli 4. No to mieścimy nasze trójki w czwórce. Zmieści się tylko jedna trójka i pozostanie reszta 1. Stąd nad kreską wpiszemy 1, a przed następną cyfrą będzie reszta 1.
9. Jeśli widzimy małą jedynkę i duże zero, to widać z daleka, że to dycha na dzielenie czeka. 10:3=3 i reszta 1.
10. Wpisujemy jedynkę przed ostatnią badaną cyfrę 2 i mamy 12. Natomiast 12:3=4 (nad kreskę) i nie ma reszty. Oznacza to, że zakończyliśmy dzielenie, bo nie ma już żadnej badanej cyfry do podzielenia. A przy okazji można powiedzieć, że udowodniliśmy, że liczba 428061402 jest wielokrotnością 3. Dlaczego? Otóż dlatego, że dzieli się bez reszty (jak kto woli, z resztą zerową).
Myślę, że uważne przeanalizowanie powyższego przykładu powinno dać poczucie tego, że jest to naprawdę proste. Jedyne co jest konieczne to otwartość na nowe (inne) sposoby i dobra znajomość i umiejętność określania wielokrotności, a co za tym idzie także reszty. Potem można już śmigać i sprawdzać jak to nam będzie szło w praktyce. Pamiętajmy, że trening czyni mistrza!
Poniżej przykład w którym wystarczy przeanalizować krok po kroku każdą operację - podobnie jak w poprzednim zadaniu. Najlepiej jest to zrobić na kartce papieru i kontrolować każdy krok. Jeśli damy radę wszystkie etapy przejść poprawnie, to i wynik również nam się odwdzięczy. Tak czy inaczej dopóki nie uzyskamy wprawy, bardzo dobrym pomysłem jest sprawdzenie wyniku na kalkulatorze.
Przykład drugi. Ustalmy wynik działania: 14010030503 : 7 = ?
Podsumowanie: warto poszukiwać oraz tworzyć nowe sposoby i metody oraz algorytmy, które potem będziemy mogli sprawdzać w praktyce. To, że przez 30, 40 czy 50 lat posługiwaliśmy się jedynie słusznym algorytmem, nie musi oznaczać, że w 21 wieku również musimy dalej to powielać. Zwłaszcza, że po pierwszej nie ma takiej konieczności (potrzeby), a po drugie pamiętajmy, że matematyka ma sprawiać przyjemność, a nie kojarzyć się z niekończącymi się słupkami obliczeń. No i po trzecie, jak wskazują badania oraz obserwacja w rzeczywistości - coraz więcej dzieci i młodzieży ma poważne problemy z myśleniem matematycznym. Jeśli odejmiemy im niepotrzebnych rachunków, to jest szansa, że przynajmniej odrobinę odczarujemy piętno matematyki w której nikt nie wie co i w jakim celu liczymy... ale ważne, że rozwiązaliśmy kolejny tysiąc zadań.
Jestem przeciwny takiemu podejściu, więc jako forma buntu i jednocześnie głosu (wołania) na pustyni... w kolejnym odcinku pokażę ciekawe podejście dotyczące mnożenia pisemnego. Jeśli matematyka ma być nudna oraz monotonna, to dla mnie przestaje to być ten przedmiot (obszar), który sprawia, że umysł zostaje oczarowany przez niewidzialne relacje między obiektami, które otaczają nas na każdym kroku, chociaż nie zawsze zdajemy sobie z tego sprawę.
DODATEK SPECJALNY (EDIT): Przy okazji jak ktoś chce zobaczyć dzielenie przez liczby dwucyfrowe, to również jest to możliwe. Poniżej dwa przykłady - nieco inaczej (bardziej przejrzyście?!) zapisane, ale istota wciąż pozostaje taka sama. Pamiętajmy, że zwykle dzielenie przez liczby dwucyfrowe realizujemy na niewielkich wartościach, a przy większych liczbach (i dzielnikach) zwykle posługujemy się kalkulatorem. To na wypadek, gdyby ktoś zapytał czy ten sposób działa przy dzieleniu przez liczby 6, 8 czy 12-cyfrowe :).
Przykład 1: 428061408 : 12 = 35671784
Przykład 2: 94061412 : 18 = 5225634
Na koniec podaję jeszcze przykłady do samodzielnego rozwiązania. Najpierw trzeba za pomocą cech podzielności sprawdzić, które z nich dzielą się bez reszty (te, których suma wszystkich cyfr daje liczbę podzielną przez 3), a następnie wybieramy te liczby i testujemy na nich nową metodę dzielenia. Życzę powodzenia i radości z poznawania i odkrywania matematyki w nowej odsłonie!
Jestem przeciwny takiemu podejściu, więc jako forma buntu i jednocześnie głosu (wołania) na pustyni... w kolejnym odcinku pokażę ciekawe podejście dotyczące mnożenia pisemnego. Jeśli matematyka ma być nudna oraz monotonna, to dla mnie przestaje to być ten przedmiot (obszar), który sprawia, że umysł zostaje oczarowany przez niewidzialne relacje między obiektami, które otaczają nas na każdym kroku, chociaż nie zawsze zdajemy sobie z tego sprawę.
DODATEK SPECJALNY (EDIT): Przy okazji jak ktoś chce zobaczyć dzielenie przez liczby dwucyfrowe, to również jest to możliwe. Poniżej dwa przykłady - nieco inaczej (bardziej przejrzyście?!) zapisane, ale istota wciąż pozostaje taka sama. Pamiętajmy, że zwykle dzielenie przez liczby dwucyfrowe realizujemy na niewielkich wartościach, a przy większych liczbach (i dzielnikach) zwykle posługujemy się kalkulatorem. To na wypadek, gdyby ktoś zapytał czy ten sposób działa przy dzieleniu przez liczby 6, 8 czy 12-cyfrowe :).
Przykład 1: 428061408 : 12 = 35671784
Powyżej dowód na to, że niektóre dzieci naprawdę wykorzystują ten sposób, aby ułatwić sobie rachunki!
Na koniec podaję jeszcze przykłady do samodzielnego rozwiązania. Najpierw trzeba za pomocą cech podzielności sprawdzić, które z nich dzielą się bez reszty (te, których suma wszystkich cyfr daje liczbę podzielną przez 3), a następnie wybieramy te liczby i testujemy na nich nową metodę dzielenia. Życzę powodzenia i radości z poznawania i odkrywania matematyki w nowej odsłonie!
Dziękuję za inspirację Marzenie (z jednej z grup miłośników i/lub nauczycieli matematyki), która pokazała tego rodzaju przykład w dyskusji o tym dlaczego mamy takie trudności z dzieleniem pisemnym. Zaciekawiło mnie to do tego stopnia, że nieco go rozwinąłem i właśnie teraz dzielę się nim ze wszystkimi chętnymi.
Przy okazji składam również podziękowania dla Agatki (Mistrzyni Matematycznej), która dopinguje mnie do tego, aby tworzyć ciekawe materiały dla dzieci jak też inspirować ambitnych i poszukujących nauczycieli, którzy matematyki nauczać w ciekawszy sposób by chcieli! :)...
Mam nadzieję, że krótkie zaprezentowanie powyższego sposobu pobudzi do dalszej inspiracji lub chociażby przyjrzenia się temu jak można uprościć i ulepszyć obecne (tradycyjne) sposoby. Pamiętajmy, że współcześnie nie wszystkie dzieci są w stanie wykonywać poprawnie i szybko aż cztery operacje, które można określić jako mieszczenie, mnożenie, odejmowanie i przepisywanie (dopisywanie) kolejnej cyfry. ["Dzielę/Mieszczę, Mnożę, Odejmuję... i następną cyfrę szybko Dopisuję]. Można (a wręcz trzeba!) przecież im w tym pomóc, aby mogły cieszyć się matematyką w znacznie bardziej przyjaznej i ciekawej formie, prawda? :)
A co z dzieleniem przez liczby np. dwucyfrowe, trzycyfrowe itp.?
OdpowiedzUsuńDziękuję za komentarz Lucy. Myślę, że to w kolejnym odcinku pokażę jak robić dzielenie przy nieco większych liczbach (tzn. dzielić przez 2 lub 3-cyfrowe).
UsuńGeneralnie biorąc schemat jest ten sam, tylko trzeba zrobić drobne poprawki. Od razu dodam, że przy dzieleniu przez liczby 3 cyfrowe lub większe... konieczna będzie bardzo dobra znajomość tabliczki mnożenia i umiejętność określania ile pełnych części zawiera się w danej liczbie (np. 186:38 może być już nieco trudniejsze niż 86:7).
Super metoda. Obiecałam moim dzieciom że znajdę sposób na dzielenie i jest! ���� Dziękuję ��
OdpowiedzUsuńTaką metodę zaprezentował nam uczeń kl.4, który wrócił z Irlandii. Tam właśnie tylko tak, dzieci uczą się dzielenia pisemnego.
OdpowiedzUsuńW takim razie wiemy już, że nie musimy ani siebie ani dzieci męczyć tradycyjną metodą, która pokutowała w naszej edukacji przez co najmniej 40-50 lat. Pamiętajmy, że matematyka nie może być katowaniem, lecz musi dążyć do tego, aby była zrozumiała, fajna, ciekawa, wciągająca i dająca radość.
UsuńDziękuję za komentarz i zaakceptowanie tej metody. Matematyka jest wszechświatowa, więc w dobie tego jakie możliwości komunikacji i podróżowania mamy dziś... warto pamiętać o tym, aby otworzyć się na nowości i niezbędne zmiany :).
Popieram:)
UsuńŚwietny sposób. Dziękuję. Jeszcze inne podejście do dzielenia proponuje pan Mirosław Dąbrowski w książce "Pozwólmy dzieciom myśleć". Sprawdziłam z moimi trzecioklasistami i byli zadowoleni. Pozdrawiam Beata Kucab
OdpowiedzUsuńBardzo się cieszę, że dzieci mogą mieć możliwość wyboru jednego z kilku sposobów! :). Zwłaszcza dlatego, że ten tradycyjny jest moim zdaniem archaiczny i zbyt nudny.
UsuńDziękuję za testowanie różnych sposobów i uczenie dzieci na różne sposoby.
Dziękuję za dodanie odwagi w stosowaniu tej metody. Do tej pory uczyłam dzielić tą metodą niewielką grupę uczniów. Teraz rozszerzę zakres działań. U mnie w ten sposób dzieliła uczennica z Nowej Zelandii. W naszej szkole nadaliśmy jej nazwę "Nowa Zelandia" albo "słupek bez słupka".
OdpowiedzUsuńWarto pamiętać, że dzięki temu sposobowi dzieci nie muszą przepełniać swojej pamięci roboczej, a dzięki temu unikamy błędów. Do tego moim zdaniem jest to bardziej efektywne zastosowanie czegoś co obecnie realizujemy za pomocą elektronicznych liczydeł (kalkulatorów, które są w każdej komórce czy smartfonie).
UsuńMożna również zachęcić dzieci do stosowania "nowej metody" za pomocą opowieści rozpoczynającej się w taki oto sposób: "Dawno, dawno temu, gdy jeszcze nikt w domu nie miał Internetu..." ;)
To nie jest nowość na świecie. Uczę dwóch chłopców, którzy tylko tak byli uczeni dzielenia w Portugalii. Dobrze by było wprowadzić to u nas. Dzieciaki zachwycone bo mniej pisania :)
OdpowiedzUsuńOwszem, na świecie to nie jest nowość, ale u nas raczej traktuje się to jak UFO - niby nie ma, a jednak wszyscy po cichu gdzieś o tym mówią ;).
UsuńI też jestem tego zdania, że dobrze byłoby to wprowadzić. I nawet nie tyle, że mniej pisania, ile bardziej mniej możliwości robienia błędów ;). Zamiast żonglować 5-6 piłeczkami, można przecież dwoma, prawda?
Dziękuję za podzielenie się swoim doświadczeniem.
też znam i stosuję ten sposób, jest super
OdpowiedzUsuńBardzo się cieszę, że jest coraz więcej nauczycieli, którzy stosują bardziej efektywne metody nauczania (w tym wypadku liczenia). Dzięki temu jest szansa, że mniej dzieci zniechęci się do matematyki, traktując ją jako zło konieczne.
UsuńNie ukrywam, że jestem szczęśliwy z tego powodu, że nauczyciele, którzy odwiedzają mojego bloga, mogą znaleźć coś fajnego dla siebie, czym potem podzielą się ze swoimi uczniami :).
Co w przypadku, gdy wynik nie jest liczbą całkowitą, tylko znajduje się też coś po przecinku?
OdpowiedzUsuńWtedy postępujemy tak samo jak w tradycyjnym dzieleniu. Rozdzielamy części całkowite, stawiając przecinek w momencie, gdy nie mamy możliwości dzielenia (doszliśmy do ostatniej cyfra liczby którą dzielimy). A potem tak samo jak w normalnym trybie dzielenia - dopisujemy 0 do każdego wyniku reszty i dalej dzielimy dotąd aż się nie zakończy dzielenie albo do tego miejsca do którego potrzebujemy. W praktyce bardzo rzadko potrzebujemy ręcznie dzielić liczby, które mają więcej niż 3-4 miejsca po przecinku. To tak jak jeżdżeniu na koniu: teoretycznie można się poruszać takim środkiem transportu, ale każdy wybiera raczej pojazdy mechaniczne (rower, rolki, motor, samochód, autobus, pociąg, etc.).
UsuńZobaczmy prosty przykład: Dzielimy 1224 przez 7
W ostatnim kroku mamy liczbę 34 (ostatnią czwórkę z dzielnej dopisujemy wcześniej do reszty "3", otrzymując 34), które dzielimy przez 7 i otrzymujemy 4 (całości) i reszta 6 (różnica między 34 i 28).
I w tym momencie wydzieliliśmy wszystkie części/cyfry liczby 1224, więc u góry stawiamy przecinek i dalej postępujemy tak samo jak w tradycyjnym dzieleniu "w słupku". Czyli dopisujemy 0 do naszej reszty 6, co daje nam 60. A tę liczbę z kolei dzielimy dalej przez 7 i otrzymujemy 8 (całości), które wpisujemy nad naszą poziomą kreską, a nasza reszta to 4 (60 - 7*8).
I potem dalej mamy ten sam krok. Do 4 dopisujemy 0, co daje nam 40. A tę liczbę z kolei dzielimy dalej przez 7 i otrzymujemy 5 (całości), które wpisujemy nad naszą poziomą kreską, a nasza reszta to (40 - 7*5).
I na ten moment mamy wynik 174,85 (więcej miejsc po przecinku raczej nie trzeba liczyć, bo niemal we wszystkich zadaniach egzaminacyjnych operuje się na liczbach, które mają nie więcej niż 2-3 cyfry po przecinku).
Dlatego tak naprawdę zależy od tego jak daleko chcemy rozwijać liczbę, która jest wynikiem dzielenia z resztą. Jeśli potrzeba to robić w niższych klasach, to po ostatniej wydzielonej liczbie (z tej pierwotnej) jeśli została reszta to wpisujemy resztę jako ułamek z dzielną. Można to zrobić na dwa sposoby.
W naszym przykładzie jeśli dzielimy 1224 przez 7 = 174 reszty 6 albo 174 i 6/7 (z uwagi na to, że dzieliliśmy przez 7, stąd ta siódemka w mianowniku).
Pytanie czy teraz wszystko jest absolutnie przejrzyste czy też pozostały jeszcze jakieś niejasności lub wątpliwości?
Może warto wyraźnie podkreślić, że to nowoczesne dzielenie w swojej istocie jest IDENTYCZNE jak to starodawne (tradycyjne), tylko zmienia się forma w której nie ma nadmiaru informacji. Ów brak natłoku informacji sprawia, że dzieci lepiej radzą sobie z tego rodzaju dzieleniem, bo nic ich nie rozprasza i nie mają przed sobą kilkudziesięciu operacji oraz liczb w jednym zapisie (nie mówiąc o długości zapisu, który sprawia, że wydaje się on nie mieć końca i jest też bardzo nieporęczny).
Co zalecam? Przećwiczenie nowoczesnego dzielenia na różnych przykładach najpierw wyłącznie liczbach, które dają dzielenie bez reszty. Potem na liczbach przy których jest dzielenie z resztą, ale nie dłuższe niż 2-3 cyfrowe... a potem można już dowolne. W ten sposób krok po kroku przechodzimy na kolejne szczeble trudności bez poczucia, że kompletnie nie wiadomo co i jak się dzieje.