NWW i NWD - co o tym wiemy oraz z czym to się je (1)

Bardzo często zdarza nam się sytuacja w której trzeba dodać dwa ułamki o różnych mianownikach. Wiemy, że nie możemy tego zrobić dopóki nie znajdziemy wspólnego mianownika. Najlepiej, aby był to przy okazji najmniejszy wspólny mianownik, bo wtedy można praktycznie wszystkie rachunki przeprowadzić w głowie. Co wtedy zrobić? Otóż z pomocą przychodzi nam zastosowanie tego czym jest Najmniejsza Wspólna Wielokrotność (NWW). Jeśli ją wyznaczymy dla obu mianowników, wówczas znajdziemy ich wspólnego przyjaciela, który powie nam do jakiej postaci (mianownika) trzeba sprowadzić te ułamki.

Nie tak rzadko mamy również do czynienia ze skracaniem ułamków, tak aby były one w jak najprostszej postaci. Wiadomo bowiem, że im mniejsze liczby, tym łatwiej liczyć i zarazem mniejsza szansa na błąd w rachunkach. No i być może nie wszyscy zdają sobie w pełni sprawę z tego, że przy każdej operacji skracania wykorzystujemy koncepcję o nazwie Największy Wspólny Dzielnik (NWD).

W tym odcinku powiemy sobie o tym w jaki sposób wyznaczać te jakże istotne elementy, a w kolejnym spotkaniu pokażę do czego i w jaki sposób stosujemy te nieco tajemniczo brzmiące nazwy. Zatem najwyższy czas na wykład!

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) liczb naturalnych a i b - to najmniejsza liczba różna od zera, która jest jednocześnie wielokrotnością liczby a i liczby b.

W przypadku obliczania minimalnej wielokrotności chodzi o możliwość znajdowania wspólnego mianownika dla różnych ułamków. Co uzyskamy w ten sposób? Otóż dzięki temu (sprowadzeniu ich do wspólnych części) będzie możliwe dodawanie i odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach (gdy mają różne mianowniki, wówczas nie jest to możliwe).

Największy wspólny dzielnik (NWD) dwóch liczb całkowitych - to największa liczba naturalna, która dzieli obie te liczby bez reszty.

W przypadku wyznaczania największego wspólnego dzielnika, chodzi najczęściej o możliwość skracania ułamków. Inaczej mówiąc dzięki temu będziemy mogli doprowadzać je do najprostszej postaci (tak zwanych ułamków nieskracalnych). I to się nazywa skracanie jednym strzałem! (jak kto woli za jednym zamachem).

Przejdźmy teraz do sedna. Wiemy, że NWD i NWW będą opierały się o liczby całkowite. Warto podkreślić, że rozpatrujemy w zasadzie tylko jeden przypadek. Jest nim sytuacja w której obie liczby są różne od siebie (jedna większa bądź mniejsza od drugiej).

Natomiast w kolejnym podziale mamy sytuację w której: a) jedna z liczb jest wielokrotnością drugiej (bardzo rzadki przypadek) albo b) żadna z liczb nie jest wielokrotnością drugiej (najczęstsze przypadki, gdy żadna z nich nie daje się zmieścić w drugiej całkowitą ilość razy; przykładowo 6 nie mieści się w 20, tak samo jak 7 w 30).

Jeśli jedna z liczb jest wielokrotnością drugiej, wówczas NWW dla obu z nich wyznacza ta większa. Przykład to liczby 40 i 120. W tym wypadku NWW(40,120)=120. Natomiast dla NWD jest dokładnie odwrotnie - wyznacza je ta mniejsza liczba. Zatem NWD(40,120)=40. W praktyce jest to bardzo rzadko spotykane. Dlaczego? Otóż z uwagi na to, że w zasadzie nie wymaga żadnego wysiłku (wystarczy zapamiętać powyższe zasady, które są niezmienne dla dowolnych przypadków).

Tak więc widzimy, że w praktyce najczęściej będziemy mieli do czynienia z przypadkiem w którym obie liczby są różne i jednocześnie żadna z nich nie jest wielokrotnością pozostałej. Jeśli na warsztat weźmiemy sobie liczby 16 i 52, wówczas widzimy, że nie ma takiej liczby całkowitej przez którą można pomnożyć 16 (mniejszą), aby powstała liczba 52 (większa). Można zatem powiedzieć, że 52 nie jest wielokrotnością 16.

I teraz pojawia się kluczowe pytanie: Jak wówczas należy szukać (wyznaczać) NWD i NWW? Otóż jest na to kilka sposobów. Ja postaram się je opisać za pomocą dwóch tabeli. Zerknijmy zatem na przykłady i ich krótkie wyjaśnienie.

TABELA nr 1

TABELA nr 2

W pierwszej tabeli widzimy w poszczególnych kolumnach: numer liczby, ich wartości, rozkład na czynniki pierwsze, wypisanie tych samych elementów (kolor żółty), a następnie określenie ich NWD. Natomiast ostatnie dwie kolumny pokazują jak z rozkładu drugiej z nich wykreśliliśmy (usunęliśmy) to co stanowiło przed chwilą NWD, tak aby w ostatniej kolumnie zapisać iloraz pierwszej liczby przez to co zostało z drugiej. Przy odrobinie wysiłku wszystko powinno być jasne (szczególnie jak dobrze się rozpoznaje i łączy ze sobą kolory).

Druga tabela przedstawia to samo, ale z nieco innego ujęcia. Myślę, że możemy się umówić, że ten obrazek jest dla minimalistów i osób, które cenią tradycję. Widzimy dwie liczby (36 i 120), które zostały rozłożone na czynniki pierwsze (kolumny 2 i 4). Następnie zostały obrysowane w kółko elementy rozkładu wspólne dla obu liczb. I w ostatnim wierszu widzimy NWD jako iloraz liczb zaznaczonych w kółku (będących na różowym polu). Natomiast NWW to najpierw wykreślenie tych liczb wspólnych (różowe pola), a następnie zapisanie ilorazu wszystkich pozostałych elementów obu liczb (zielone pola).

A jaki będzie łatwy sposób zapamiętania tego jak wyznaczamy NWD a jak NWW? Oto mała ściągawka.

WYZNACZANIE NWD dla dwóch liczb:

1. Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze.
2. Zaznaczamy w kółko wszystkie identyczne czynniki rozkładu dla obu liczb.
3. Wynikiem jest iloczyn wszystkich tych samych czynników w dowolnej liczbie.
4. Obliczamy wartość końcową (jako końcowy wynik mnożenia czynników).

Przykład: Liczby 12 i 42. Rozkładem liczby 12 jest 12=2*2*3, zaś 42=2*3*7, zatem wspólne elementy rozkładu dla obu liczb to 2*3 czyli 6. Czyli w skrócie mamy: NWD(12,42)=6.

WYZNACZANIE NWW dla dwóch liczb:

1. Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze.
2. Zaznaczamy w kółko wszystkie identyczne czynniki rozkładu dla obu liczb.
3. Wykreślamy identyczne czynniki w dowolnej liczbie.
4. Wypisujemy jako iloczyn wszystkie pozostałe [tj. niewykreślone] czynniki obu liczb*.
5. Obliczamy wartość końcową (jako końcowy wynik mnożenia czynników).

* - można także wypisać (jako iloczyn) pozostałe czynniki z wykreślonej liczby (o ile takie zostaną) i całą drugą liczbę. Wynik będzie ten sam. Niektórzy uważają to za znaczne uproszczenie, co może być dla wielu osób pomocne.

Przykład: Liczby 12 i 42. Rozkładem liczby 12 jest 12=2*2*3, zaś 42=2*3*7, zatem wykreślamy wspólne elementy rozkładu w jednej liczbie, (u nas będzie to 2*3) i resztę elementów zapisujemy w postaci ilorazu. Zapisując matematycznie będzie to wyglądało w ten sposób: 2*2*3*7=84. Drugi sposób to oczywiście 12*7=84 (cała pierwsza liczba pomnożona przez pozostałe czynników drugiej po wykreśleniu wspólnych elementów), co w skrócie kodujemy jako NWW(12,42)=84.

Na koniec zapamiętajmy, że najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) niemal zawsze jest liczbą większą aniżeli obie badane. Wyjątkiem jest sytuacja w której jedna z liczb jest wielokrotnością drugiej (np. 36 dla 12 czy też 126 i 252 jak w pierwszej tabeli). Wówczas ta większa zawsze stanowi NWW dla obu z nich, zaś ta mniejsza to rzecz jasna NWD.

To tak w telegraficznym skrócie. Wierzę, że pomoże to znacznie rozjaśnić ten temat, który jest trochę pomijany w procesie edukacji szkolnej. W drugiej odsłonie zajmiemy się tym po co tak naprawdę są nam potrzebne te magiczne NWW i NWD. Wbrew pozorom mają one swoje zastosowanie, które zamierzam już niebawem przybliżyć. A do tego czasu dobrze byłoby nieco poćwiczyć, więc załączam karty pracy (wpisujemy własne liczby według powyższych przykładów omówionych w artykule).

TABELA nr 3

TABELA nr 4

Uwaga: w przypadku gdy obie liczby badane są takie same, wówczas zarówno NWW jak i NWD są tymi samymi wartościami (dowolną z badanych liczb). W praktyce jednak tego typu przykład niemal nigdy nie występuje, gdyż nie wymaga z naszej strony żadnego wysiłku (myślenia).

PS. Jeśli kogoś zainteresował temat to dodam, iż dość często do wyznaczania NWD stosuje się tak zwany Algorytm Euklidesa. Jest on prostym i szybkim algorytmem (sposobem) obliczania największego wspólnego dzielnika dwóch (zwłaszcza dużych) liczb całkowitych. Jest wiele dobrze opracowanych materiałów (i przy okazji bardzo łatwo dostępnych) w sieci Internet. Osobom zainteresowany polecam samodzielnie zgłębić temat.

Specjalne cechy podzielności - przełomowe odkrycie albo wyjaśnione tajemnice

Dzielenie i określanie podzielności przez 3 i 9 wydaje się być dość łatwe, ale w praktyce wiele dzieci ma problemy z obliczeniami w zakresie 100 (tak, tak - tabliczka mnożenia), więc dobrze byłoby im w tym jakoś pomóc. Jak tego dokonać? Poniżej pokażę przełomowe odkrycie, które pozornie znają wszyscy, a jakby nikt nie stosuje (?!).

Otóż najkrócej mówiąc - istnieje jedna zasada, która w prosty sposób pozwala na określenie czy dana liczba jest podzielna przez 3 lub przez 9. I dodam, że jest ona jeszcze łatwiejsza niż ta przekazywana w szkole... chociaż dokładniej mówiąc jest jej niezwykle sprytnym przedłużeniem (!).

Na czym polega postęp i odkrycie związane z podzielnością? Otóż nikt głośno nie mówi o tym, że proces można powtarzać tyle razy, aż dojdziemy do ostatecznej wersji (?!). Ja tego nie słyszałem i nikt z uczniów (w tym ludzi dorosłych), których o to pytałem... również nie ma o tym bladego pojęcia!

CECHA PODZIELNOŚCI PRZEZ 3:

Przykładowo jeśli mamy liczbę 963963963, to jeśli efektywnie zliczymy, wówczas suma cyfr wynosi 6x9= 54. I teraz nie dzielimy tej liczby przez 3, tylko robimy jeszcze raz to samo, czyli kolejne sumowanie cyfr, dotąd aż uzyskamy liczbę jednocyfrową. Zatem z liczby 54 (po dodaniu jej wszystkich cyfr) uzyskujemy (jednocyfrową) liczbę 9. A teraz już wiadomo, że 9 jest podzielna przez 3, więc z tego wniosek, że pierwotna liczba jest również podzielna przez 3.

CECHA PODZIELNOŚCI PRZEZ 9:

Zobaczmy teraz liczbę 45729063531, której suma cyfr wynosi 5x9= 45. I teraz znowu nie dzielimy tej liczby przez 9, tylko robimy jeszcze raz to samo, czyli jeszcze jedno sumowanie cyfr. Zatem z liczby 45 (po dodaniu jej wszystkich cyfr) uzyskujemy liczbę 9. I tak jak poprzednio wiadomo, że jeśli ta końcowa jednocyfrowa liczba 9 jest podzielna przez 9, wówczas pierwotna liczba również jest podzielna przez 9.

Poniżej w tabeli zebrałem przykładowe wartości (liczby), które pokazują, że pomysł jest bardzo prosty, a zarazem ogromnie efektywny. W obu tabelach pokazałem wyłącznie liczby podzielne przez 3 bądź 9, tak aby maksymalnie skrócić wykład. Przykłady do sprawdzenia siebie będą na końcu.

Dlaczego to przełomowe odkrycie zasługuje na Medal Fieldsa? Otóż dlatego, że dzięki zastosowaniu tej metody poprawność określania podzielności liczby (w naszym wypadku przez 3 i 9) wzrośnie do poziomu bliskiego 100%! Dlaczego? Ponieważ w przypadku podzielności przez 3, końcowa wartość sumy cyfr musi dawać 3, 6 lub 9, natomiast w przypadku podzielności przez 9... musi to być jedynie 9. Widzimy, że wystarczy tylko sprowadzić dowolną liczbę do postaci tylko jednej cyfry! Czy można oczekiwać czegoś więcej?! Przecież tę czynność będzie potrafił wykonać nawet 6-8 latek, prawda?

Postęp jest moim zdaniem potężny, ponieważ przy prawidłowym sumowaniu można stwierdzić, że do oceny podzielności przez 3 mamy tylko 3 możliwości, zaś dla 9 - wyłącznie jedną. Nie muszę chyba wspominać jakie ogromne znaczenie ma to dla dzieci, które mają trudności z rachunkami oraz opanowaniem tabliczki mnożenia.

Pojawia się pytanie czy w badaniu większości liczb wystarczy podwójne sumowanie. W praktyce szkolnej (aż do poziomu matury lub wyższego poziomu konkursów matematycznych) okazuje się, że jak najbardziej wystarcza. Otóż w obu wypadkach (podzielność przez 3 i 9) pierwsza wartość sumy (kolumna A) nie może przekroczyć 99, do tego aby nie była potrzebna dodatkowa (kolumna B jako ostatnia).

Jeśli przyjrzymy się bliżej, to zrozumiemy, że maksymalna wartość pierwszej sumy jest na tyle duża, że można śmiało powiedzieć, że pozwala na zbadanie absolutnie każdej liczby 11-cyfrowej (zapisanej wyłącznie dziewiątkami), a w praktyce nawet 16-18 cyfrowych (jeśli będą występowały cyfry nie większe niż 4 lub 5 w przynajmniej co drugiej cyfrze danej liczby). Przykładowo liczby: 182736455463728190, 45544554455454455445 bez problemu mogą zostać ocenione za pomocą tej metody. W skrócie - wartość pierwszej sumy nie może przekroczyć 99, co niemal zawsze wystarcza.

Z kolei w drastycznych przypadkach można sprawdzać takie niesamowicie długie kolosy jak chociażby ten: 108 217 326 435 544 654 763 872 981 090. Tak, tak! - otóż nawet 30-cyfrowa liczba jest bez problemu możliwa do oceny względem jej podzielności... i to za pomocą zaledwie podwójnego sumowania! Czyż to nie wspaniałe? Czy to nie jest w pełni wystarczające? Przy okazji można sprawdzić tę ostatnią liczbę (czy jest podzielna przez 3 lub 9)... a dla ciekawego umysłu i wprawnego oka odnaleźć algorytm za pomocą którego została zapisana. A jeśli znajdzie się ktoś kto chce mieć ogromną radość, to niechaj spróbuje ją przeczytać... ostrzegam, że będzie niesamowita zabawa!

Magiczna tabela - do wykorzystania jako sprawdzenie podzielności wybranych liczb przez 3

Magiczna tabela - do wykorzystania jako sprawdzenie podzielności wybranych liczb przez 9

Podsumowując: efektywne sposoby czekają na nas tuż za rogiem. Całą sztuką jest to, aby poszukiwać ich oraz odkrywać, a także mieć odwagę tworzenia i błądzenia. Dzięki temu można łatwo odkrywać takie sposoby wyjaśniania i uczenia matematycznych zagadnień o jakim nie śniło się naukowcom w XXI wieku! Życzę wszystkim powodzenia w poszukiwaniach i odkryciach!... i przy okazji dziękuję mojej Mistrzyni Agacie za niezwykłą inspirację, luźne i wszechstronne dyskusje, rozmowy i wymianę pomysłów oraz zachęcanie do odkrywania piękna matematyki i dzielenia się nią z innymi! :)

PS. Jeśli jesteś nauczycielem to spróbuj tę metodę pokazać, wyjaśnić jak też solidnie przećwiczyć ze swoimi uczniami (powyżej są przykłady do zastosowania na lekcjach) i uważnie patrz na radość oraz postępy dzieci, które w końcu zaczną wierzyć w swoje możliwości. Jeśli zacznie ci się serce radować, to już będziesz wiedział/a dlaczego tak bardzo fascynuje mnie poszukiwanie i dzielenie się najbardziej efektywnymi metoda i sposobami pracy ;) :).