Wysokość w figurach rewelacyjnie opisana - to matematyka świetnie zrozumiana i solidnie opanowana - cz.3

Dzieci często mają poważne problemy ze zrozumieniem nie tylko wysokości, ale i istoty pola oraz tego skąd się biorą dane figury.

Spróbujmy zatem przyjrzeć się temu jak powstają figury. Zobaczymy też czym się różnią, a na koniec wszystko będziemy mogli zobaczyć w tabelce. Taka forma powinna być nie tylko wartościowa, ale również może być wykorzystana do dobrej zabawy! O tym już za chwilę.

Zaczynamy nasze rysowanie w którym będziemy odkrywali właściwości poszczególnych figur. Będziemy przyglądali się: prostokątowi, kwadratowi, równoległobokowi, rombowi i trapezowi.

Za każdym razem rysujemy na początek szyny (podstawy). Przypominam, że są to dwie proste równoległe, które dla wygody najlepiej rysować poziomo (jedna nad drugą).

PROSTOKĄT

Szyny (podstawy) są równe, a dodatkowo leżą nad sobą bez przesunięcia. Ramiona są innej długości niż podstawy. Zauważmy, że w tym wypadku nie da się inaczej połączyć ramiona z podstawami. Jedyne wyjście to połączenie ich za pomocą odcinków prostopadłych! Tak, w ten sposób uzyskujemy prostokąt. I od razu widzimy, że jest to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste. W końcu sama nazwa mówi "prosto-kąt"!

KWADRAT

Szyny (podstawy) są równe, a dodatkowo leżą nad sobą bez przesunięcia. Ramiona są tej samej długości co podstawy (ramiona równe podstawom). Zobaczmy, że w tym wypadku proces rysowania jest taki sam jak poprzednio. Jedyna różnica jest taka, że musimy skrócić podstawy, tak aby były takiej samej długości jak ramiona. I dzięki temu widzimy, że kwadrat to prostokąt, który ma wszystkie boki równe.

RÓWNOLEGŁOBOK

Zastanówmy się teraz co by się stało, gdybyśmy zrobili to samo co przed chwilą, ale z jedną istotną różnicą. Mianowicie przesuwamy jedną z podstaw tak, aby były względem siebie przesunięte. Nadal są równoległe, ale już nad każdym punktem jednej z nich nie ma w pionie odpowiadającego jej punktu. Co teraz się stanie?

Po narysowaniu szyn (podstaw), przesuwamy jedną z nich względem drugiej. I teraz znowu łączymy wierzchołki ze sobą. Ramiona są innej długości niż podstawy. I co powstaje? Otóż widzimy, że powstał równoległobok. Jak definiujemy tą figurę? Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych nazywamy równoległobokiem.

Zobaczmy bowiem, że zarówno podstawy jak i ramiona są do siebie równoległe. No i znowu nazwa figury sama za siebie mówi: "równo-legło-bok". Tyle, że trzeba zapamiętać, iż ta figura ma mieć obie pary boków równoległe. Prawda, że proste?

ROMB

Szyny (podstawy) są równe, a dodatkowo leżą nad sobą lekko przesunięte (nie ważne w którą stronę). Tym razem ramiona są tej samej długości co podstawy (ramiona równe podstawom). I widzimy, że z równoległoboku zaczyna się robić nieco inna figura, którą nazywamy rombem. Czym jest romb? To równoległobok, który ma wszystkie boki równe.

Na koniec pozostaje nam jeszcze jedna figura do sprawdzania i opisania. Jest nią oczywiście trapez (deltoidu w ogóle nie bierzemy pod uwagę).

TRAPEZ

Zauważmy, że we wszystkich powyższych przypadkach zarówno podstawy jak i ramiona były sobie równe (niekiedy wszystkie z nich były tej samej długości). Co by się jednak stało gdybyśmy zdecydowali o tym, że podstawy nie są sobie równe? Zobaczmy w praktyce co się stanie.

Szyny (podstawy) nie są równe, i tym razem przesunięcie podstaw nie ma znaczenia. Trapez to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych (u nas podstawami są oczywiście szyny). Jeśli ramiona będą tej samej długości, wówczas zawsze będziemy mieli do czynienia z trapezem równoramiennym. Co bardzo ważne, łatwo to sprawdzić.

Są na to dwa sposoby, aby przekonać się, że przed nami trapez równoramienny:
1) jeśli z dłuższej podstawy narysujemy (poprowadzimy) wysokość, która przetnie krótszą podstawę w połowie, czyli podzieli ją na dwa równe odcinki [można również odwrócić tę czynność] lub
2) jeśli z początku i końca krótszej podstawy narysujemy (poprowadzimy) dwie wysokości, które przetną dłuższą podstawę, tak aby oba "odcięte" odcinki (na dłuższej podstawie) były sobie równe

W obu wypadkach powstanie trapez równoramienny. Warto to przećwiczyć praktycznie (na kartce) i sprawdzić oba sposoby. Zapewniam, że dzięki temu łatwiej będzie zrozumieć kolejne zależności w figurach jak też ich podziale.

W przypadku, gdy poprowadzona wysokość ze środka dłuższej podstawy, nie przetnie w połowie krótszej, wówczas mogą powstać jeszcze dwa rodzaje trapezów. Najczęściej będzie to trapez różnoramienny, gdy żaden z końców podstawy nie leży prostopadle względem drugiej (tj. idealnie jeden nad drugim). Natomiast jeśli jeden z końców podstawy będzie idealnie leżał nad drugim, wówczas poprowadzona wysokość będzie jednocześnie ramieniem trapezu, który będzie nazywamy trapezem prostokątnym.

I ważna uwaga: trapez nie może mieć jednego kąta prostego ani trzech kątów prostych. Może mieć albo dwa albo cztery. Jeśli ma dokładnie dwa kąty proste, wówczas jest (klasycznym) trapezem prostokątnym. W bardzo rzadkim przypadku, gdy trapez ma wszystkie kąty proste (oba ramiona są jednocześnie wysokościami), wtedy jest to prostokąt (gdy ramiona nie są równe podstawom), bądź kwadrat (gdy zarówno podstawy jak i ramiona są równe). Inaczej mówiąc, zarówno prostokąt jak i kwadrat są trapezami prostokątnymi. Pamiętajmy jednak, że w przypadku, gdy autor wspomina o trapezie prostokątnym, to niemal zawsze ma na myśli trapez mający dwa kąty proste (jedno ramię prostopadłe do podstaw). Niemniej to już taka niepisana zasada, ale z matematycznego punktu widzenia wcale tak być nie musi.

Na koniec wisienka na torcie, czyli tabelka, która wyraźnie i prosto pokazuje, jakie właściwości ma każda z figur i która z nich należy do innej grupy.

Jak się bawić tą tabelą? Otóż najpierw warto zerknąć na szare pola. Dlaczego? Otóż dlatego, iż tam właśnie są ukryte definicje figur. Inaczej mówiąc, znajdują się one na przecięciu tej samej poziomej i pionowej cyfry (tak samo jak pola na szachownicy). Przykładowo jeśli weźmiemy poziomo cyfrę 3 to obok niej mamy błękitny równoległobok. Natomiast w piątej kolumnie również mamy trójkę, tyle że w nawiasie. I na przecięciu obok tych trójek (poziomej i pionowej) mamy szare pole. To znaczy, że równoległobok (pozioma trójka) ma dwie pary boków równoległych (pionowa trójka). W przypadku gdybyśmy zapomnieli definicję rombu, to szukamy dwóch czwórek (szare pole). Prawda, że proste?

I teraz nasza najważniejsza część, czyli zabawa połączona z nauką. Jedna z osób pyta, a druga odpowiada na pytania. Oczywiście co jakiś czas następuje zmiana ról. Można do tego wykorzystać kostki od gry. Jak grać w tą grę? Otóż jedna osoba rzuca dwiema kostkami na raz albo każda po jednej. Jeśli przykładowo wypadnie 2 i 5, wtedy mamy już gotowe pytanie. Można też odwrócić kolejność czyli gdy wypadnie 2 i 5, to traktujemy jak 5 i 2 (kolejność w pytaniach ma duże znaczenie). Natomiast w przypadku gdy wypadnie szóstka, można powtórzyć rzut lub umówić się, że szóstka oznacza jedną z cyfr od 1 do 5.

Przykładowe pytania mogą wyglądać w ten oto sposób: "czy 2 ma 5?" (czy każdy kwadrat ma przynajmniej jedną parę boków równoległych), "czy 5 ma 2?" (czy każdy trapez ma dwie pary boków równoległych) albo również "czego nie ma jedynka?" (każdy prostokąt), na co pada odpowiedź - "2 i 4" (czyli nie ma zawsze wszystkich katów prostych i boków równych, czy też dwóch par boków równoległych i wszystkich boków równych).

W przypadku ostatniej figury czyli trapezu, bierzemy tylko pod uwagę 3 rodzaje najczęściej spotykanych trapezów: różnoramienny, równoramienny i klasyczny prostokątny (2 kąty proste). Myślę, że to oczywiste, ale chcę, aby było wyraźnie podkreślone.

Podsumowanie: koncepcja szyn może nam pomagać nie tylko w pokazywaniu czym jest wysokość, ale również wspierać w zrozumieniu sensu tworzonych figur i późniejszego zapamiętywania ich właściwości. Dobrze jest wszystkie przykłady samodzielnie wykonać, tak aby doświadczać na własnej skórze tego o czym traktuje artykuł.

Dodatkowo niezbędne jest powtórzenie wiadomości na temat klasyfikacji figur - najlepiej poprzez formę zabawy (gry w kostki lub innego typu rekwizyty). Dzięki temu będziemy wiedzieli jakie figury możemy brać pod uwagę, a jakie musimy wykluczać.

W kolejnej odsłonie zobaczymy co się wiąże z tymi figurami i dlaczego ich podział oraz wysokości będą nam bardzo pomocne, gdy będziemy odkrywali wzory pozwalające obliczać ich pola. Mam nadzieję, że powoli staje się jasne to, że przy dobrych i ciekawych sposobach nauki, matematyka może być nie tylko ciekawa, ale również piękna i odkrywana za pomocą dobrej zabawy!