Wysokość w figurach rewelacyjnie opisana - to matematyka świetnie zrozumiana i solidnie opanowana - cz.5

Tym razem powiemy sobie co nieco na temat specjalnych trójkątów równoramiennych. Wbrew pozorom jest kilka elementów, które albo nie są ujawniane albo nie są oczywiste. Uważam, że powinniśmy te tajemnice odkrywać, zwłaszcza iż mogą one być wykorzystywane do lepszego zrozumienia zagadnienia figur płaskich i istotnych relacji w nich oraz między nimi.

Trójkąty równoramienne to te, które mają dwa ramiona tej samej długości. Trzeci bok nie ma znaczenia - jego długość może być różna, ale może być także identyczna jak oba ramiona.

W obecnej odsłonie pominiemy trójkąt równoboczny, pomimo że jest także rodzajem trójkąta równoramiennego (bo można znaleźć w nim dwa ramiona tej samej długości). Jeszcze będziemy mieli kiedyś okazję przyjrzeć mu się z bliska.

Zastanówmy się co by się stało, gdybyśmy wzięli dwie figury - kwadrat i romb, a następnie rozcięli je wzdłuż przekątnych? Otóż wtedy powstałyby: półkwadratus i półrombus. Co takiego??! Zobaczmy.

PÓŁKWADRATUS powstały w wyniku przecięcia rombu wzdłuż dowolnej przekątnej

W przypadku rozcięcia kwadratu, powstaje tylko jeden rodzaj trójkąta równoramiennego. Jest to trójkąt prostokątny, który ma oba kąty ostre równej miary (po 45 stopni).

PÓŁROMBUS powstały w wyniku przecięcia rombu wzdłuż dłuższej przekątnej

PÓŁROMBUS powstały w wyniku przecięcia rombu wzdłuż krótszej przekątnej

Natomiast gdybyśmy rozcięli romb (nie będącym kwadratem) wzdłuż dowolnej przekątnej (raz jednej, raz drugiej), wtedy w wyniku rozcięcia mogą powstać dwa rodzaje trójkątów. Jeden trójkąt będzie rozwartokątny, natomiast drugi - ostrokątny. I łatwo zauważyć, że ten pierwszy powstanie wówczas, gdy przetniemy romb dłuższą przekątną, zaś ten drugi - krótszą.

ROZPOZNAWANIE TRÓJKĄTA RÓWNORAMIENNEGO

Po czym można poznać, że mamy przed sobą trójkąt równoramienny? Mam kilka propozycji związanych z tym, aby to szybko zapamiętać.

1) Jeśli rozcinamy kwadrat wzdłuż (dowolnej) przekątnej

2) Jeśli rozcinamy romb wzdłuż (dowolnej) przekątnej

3) Gdy dwa boki trójkąta mają tą samą długość

4) Gdy dwa kąty trójkąta mają tą samą miarę

5) Gdy wszystkie boki trójkąta mają tą samą długość

6) Gdy wszystkie kąty trójkąta mają tą samą miarę

W przypadku punktu 5 i 6, gdy trójkąt ma wszystkie kąty tej samej miary lub boki tej samej długości (po 60 stopni każdy), wówczas mamy do czynienia z trójkątem równobocznym. Trójkąt równoboczny jest szczególnym (wyjątkowym) przykładem trójkąta równoramiennego, ponieważ w pełni spełnia jego definicję. Inaczej mówiąc każdy trójkąt równoboczny jest trójkątem równoramiennym, ale nie każdy trójkąt równoramienny jest równobocznym.

ROZPOZNAWANIE TRÓJKĄTA PÓŁKWADRATUSA

Półkwadratus, to trójkąt mający kąt prosty i równe ramiona. Powstaje z przecięcia kwadratu dowolną przekątną.

Po czym natomiast rozpoznać półkwadratusa? Jest to trójkąt mający kąt prosty oraz:

1) ma dwa boki tej samej długości (np. 4 cm, 4 cm)

2) ma dwa kąty tej samej miary (tylko jedna możliwość: oba kąty po 45 stopni)

3) ma przynajmniej jeden kąt 45 stopni (wówczas drugi też musi być taki sam)

4) ma dwa boki, którego jeden bok ma wartość podstawową (x), a drugi większy od niego prawie 1,5 razy większy (dokładnie pierwiastek z dwóch razy większy/dłuższy od tego {x})

ROZPOZNAWANIE TRÓJKĄTA PÓŁROMBUSA

Półrombus, to trójkąt mający dwa kąty ostre i jeden rozwarty (gdy rozetniemy romb wzdłuż dłuższej przekątnej) lub też wszystkie kąty ostre (gdy rozetniemy romb wzdłuż krótszej przekątnej). Powstaje z przecięcia rombu dowolną przekątną.

Teraz zastanówmy się po czym rozpoznać półrombusa? Jest to trójkąt nie mający kąta prostego, ale mający:

1) kąt rozwarty i dwa identyczne kąty ostre (np. 100, 40, 40)

2) wszystkie kąty ostre, ale tylko dwa tej samej miary (np. 80, 80, 20)

3) kąt rozwarty i dwa boki tej samej długości (np. 100 stopni, 5cm, 5cm)

4) kąt ostry i dwa boki tej samej długości (np. 20 stopni, 5cm, 5cm)

5) dwa kąty ostre tej samej miary, ale inne niż 45 stopni (np. 40, 40)

6) wszystkie boki równe (tylko jedna opcja: trójkąt równoboczny, np. 4, 4, 4)

7) wszystkie kąty ostre tej samej miary (tylko jedna opcja: trójkąt równoboczny: 60, 60, 60)


W przypadku gdy nasz półrombus jest trójkątem równobocznym (przypadek 6 i 7), wówczas masz romb ma następujące właściwości:

a) jego pole składa się z (pola) dwóch trójkątów równobocznych

b) krótsza przekątna jest równa długości dowolnego boku rombu

c) dłuższa przekątna jest równa długości dwóch wysokości trójkąta równobocznego

d) kąty ostre w rombie mają po 60 stopni, zaś rozwarte po 120.

e) dołożenie (doklejenie) identycznego trójkąta do dowolnego boku rombu, sprawi, że powstanie specyficzny trapez równoramienny, w którym dłuższa podstawa jest 3 razy dłuższa od krótszej (lub ramienia), zaś każde z ramion trapezu jest równe krótszej podstawie

ZESTAW PROPOZYCJI TWÓRCZYCH ĆWICZEŃ DLA DZIECI - RYSOWANIE, UKŁADANIE, ROZCINANIE, ŁĄCZENIE i WNIOSKI

Na bazie tych właściwości można zaprojektować bardzo ciekawe i rozwijające twórczość ćwiczenia. Możliwości jest dość dużo i każdy samodzielnie bez trudu może sobie je stworzyć. Ja podaję przykładowe pytania, które pomogą ukierunkować nasze poszukiwania.

1) Narysuj dowolny romb i rozetnij go wzdłuż krótszej przekątnej

2) Narysuj dowolny romb i rozetnij go wzdłuż dłuższej przekątnej

3) Narysuj dowolny kwadrat i rozetnij go wzdłuż krótszej przekątnej

4) Narysuj dowolny kwadrat i rozetnij go wzdłuż dłuższej przekątnej

5) Ułóż obok siebie przylegające półrombusy i opisz to co zauważasz

a) jakie figury tworzą gdy przykładamy je najkrótszym, a jakie najdłuższym bokiem?

b) czy są różnice w przypadku układania rombusów ostrokątnych i rozwartokątnych?

c) ile co najmniej półrombusów muszą mieć kolejne (coraz większe) trójkąty, kwadraty, prostokąty, romby i trapezy?

6) Ułóż obok siebie przylegające półkwadratusy i opisz to co zauważasz

a) jakie figury tworzą gdy przykładamy je najkrótszym, a jakie najdłuższym bokiem?

b) ile co najmniej półkwadratusów muszą mieć kolejne (coraz większe) trójkąty, kwadraty, prostokąty, romby i trapezy?

7) Narysuj bardzo duży kwadrat. Następne wytnij go i rysuj przekątną, a potem rozcinaj go wzdłuż niej, zrób tak za każdy razem z figurą, która pozostała po obcięciu. Co zauważasz?

8) Narysuj bardzo duży romb mający dwa kąty rozwarte (inne niż 120 stopni). Następne wytnij go i rysuj dłuższą przekątną, a potem rozetnij go wzdłuż niej. Następnie w powstałym trójkącie narysuj wysokość i rozetnij ten trójkąt wzdłuż niej. Zrób tak za każdy razem z figurą, która pozostała po obcięciu. Co zauważasz?

9) Narysuj bardzo duży romb mający dwa kąty rozwarty (każdy po 120 stopni, czyli figura składająca się z dwóch trójkątów równobocznych). Następne wytnij go i rysuj krótszą przekątną, a potem rozetnij go wzdłuż niej. Następnie w powstałym trójkącie narysuj wysokość i rozetnij ten trójkąt wzdłuż niej. Zrób tak za każdy razem z figurą, która pozostała po obcięciu. Co zauważasz?

10) Narysuj bardzo duży trójkąt równoboczny i wytnij go (np. z kartki papieru). Następnie w powstałym trójkącie narysuj punkt, który jest połową długości każdego boku (aby go znaleźć wystarczy, że z dowolnego wierzchołka poprowadzisz wysokość do danego boku). Teraz połącz te punkty ze sobą za pomocą odcinków. Następnie wzdłuż tych narysowanych odcinków rozetnij ten trójkąt. Weź dowolną (jedną) z powstałych w ten sposób figur i postępuj tak samo. Co zauważasz?

11) Narysuj bardzo duży kwadrat i wytnij go (np. z kartki papieru). Następnie w powstałym kwadracie narysuj punkt, który jest połową długości każdego boku. Teraz połącz te punkty ze sobą za pomocą odcinków. Następnie wzdłuż tych narysowanych odcinków rozetnij ten kwadrat. Weź największą w ten sposób figur i dalej postępuj tak samo. Co zauważasz?


Podsumowanie: zagadnienie i omawianie własności trójkątów równoramiennych, rombów i kwadratów wcale nie musi być nudne. Ba! Nie musi również opierać się wyłącznie o liczenie, liczenie i obliczanie w nieskończoność. Chodzi bowiem o wyciąganie wniosków, tworzenie i odkrywanie istotnych relacji w figurach oraz pobudzanie i zaspokajanie ciekawości. Dzięki takim ćwiczeniom i zabawie, możliwe jest doświadczanie piękna matematyki bez konieczności wykonywania jakichkolwiek obliczeń!

Cyferki są ważne tylko do tego, aby dawać nam pojęcie o otaczającej nas rzeczywistości. Jeśli bowiem odkryjemy, że pola kwadratów w kwadracie mają się do siebie tak samo lub inaczej niż trójkątów w trójkącie, wówczas naturalną koleją rzeczy jest sprawdzenie jak to będzie w przypadku gdy dodamy koła.

Czy koła w trójkątach będą się szybciej zwiększać bądź zmniejszać niż w kwadratach? Co się dzieje w przypadku, gdy łączymy ze sobą trójkąty, kwadraty czy nawet trapezy? Czy możemy w ten sposób wyłożyć płytki w naszym pokoju? Tak, to właśnie dzięki takim ćwiczeniom umysł zostaje pobudzony w kierunku architektury, wystroju wnętrz, sprawdzania wytrzymałości konstrukcji, projektowaniu pomieszczeń czy innych specjalizacji.

Jeśli damy dzieciom odpowiednie warunki do rozwoju, wówczas ich ciekawość samodzielnie będzie je prowadzić w kierunku tego co ich pociąga. Wystarczy tylko stworzyć odpowiednie warunki i zachęcać do tworzenia, sprawdzania, opisywania, odkrywania i wnioskowania. Liczenie zapewnią nam maszyny, a w najgorszym wypadku programiści, którzy napiszą program, który będzie za nas wykonywał obliczenia.