Wysokość w figurach rewelacyjnie opisana - to matematyka świetnie zrozumiana i solidnie opanowana - cz.2

W poprzednim odcinku pisałem o tym jak trójkąty jeżdżą po szynach... a teraz pokażę coś więcej. Wspomniałem o tym, że kolejne rozważania będą dotyczyły trójkąta prostokątnego i rozwartokątnego. No i jak zapowiedziałem, tak też i będzie!

Wiemy już to, czym jest wysokość w trójkącie (definicja) oraz powody dla których nowa koncepcja będzie nam dawała większe możliwości niż tradycyjne ujęcie tematu. Dzisiaj powiemy sobie o tym jak te wysokości wyznaczamy w pozostałych rodzajach trójkątów, gdzie się przecinają wszystkie z nich oraz przy okazji podam kilka wskazówek dotyczących tego jak najprościej wyznaczyć dowolną wysokość. Słowem, to będzie ciekawe dokończenie trójkątów, którego nie chciałem dokładać do poprzedniej części, aby nie przeładować odbiorcy przekazu zbyt dużą dawką dosyć nietypowych informacji. A więc do boju... albo do szyn panowie i panie!

Gwiezdne wojny - przygotowanie do bitwy - TRÓJKĄTY w akcji! czyli reaktywacja i kontyunacja

Właśnie teraz mamy okazję przyjrzeć się temu w jaki sposób będzie wyglądała wysokość w trójkącie prostokątnym i rozwartokątnym.

Oto pierwszy z omawianych na dziś trójkątów: PROSTOKĄTNY.

Okazuje się, że jedna z wysokości w trójkącie biegnie po jednym boku prostopadłym, zaś druga po drugim. Można zatem powiedzieć, że w każdym trójkącie prostokątnym dwie wysokości pokrywają się z jego bokami wychodzącymi z wierzchołka kąta prostego. Inaczej mówiąc oba prostopadłe odcinki trójkąta są jednocześnie jego wysokościami. Dodam, że w tym wypadku prostopadłe wysokości zostały narysowane (zielonym kolorem) obok odcinka, tak aby były lepiej widoczne. W praktyce obie z nich oczywiście pokrywają się z omawianymi bokami.

Natomiast trzecia z wysokości biegnie tak samo jak klasycznie opuszczona z wierzchołka na podstawę (w trójkącie ostrokątnym). Łatwo zauważyć, że ta wysokość dzieli figurę na dwa trójkąty prostokątne. To w uproszczeniu tak, jakbyśmy z wierzchołka budynku zrzucili linę (prostopadle do podstawy), po której następnie chcielibyśmy zjechać na podłogę (podstawę), tak aby wydostać się na zewnątrz.

Kolejny z omawianych trójkątów: ROZWARTOKĄTNY.

Wiemy doskonale, że w trójkącie rozwartokątnym, jeden z kątów musi być większy od kąta prostego. Inaczej mówiąc jeden kąt jest rozwarty, a oba pozostałe to kąty ostre. I analogicznie jak w poprzednim (ostatnim) przykładzie, wysokość opuszczona z kąta rozwartego opada z tego wierzchołka na podstawę... tak jak zwisająca lina przymocowana do haka.

Następny rysunek ukazuje nam sytuację w której wysokość będzie opuszczana z wierzchołka kąta ostrego. W obu wypadkach wysokość (lina) będzie opadała na przedłużenie podstawy (podłogi). Co bardzo istotne, w takim układzie wysokość ma tylko jeden punkt styczności w trójkącie, gdyż drugi (koniec odcinka) jest wyznaczany jako przecięcie się odcinka z przedłużeniem podstawy. Czyli to o czym mówiłem w poprzednim odcinku - wysokość trójkąta nie zawsze musi być zawarta w trójkącie, chociaż nadal jest dla niego wysokością!

Dodam jeszcze, że na bazie tej koncepcji (i rysunku, który przedstawia trójkąt pomiędzy szynami bądź pudełkiem), można układać bardzo ciekawe zadania związane z obliczaniem odcinków, obwodów i pól figur. Pozornie takie zadania są trudne bądź też bardzo trudne, ale w praktyce ukazują one na ile naprawdę rozumiemy sens pojęcia wysokości.

Uchylę rąbka tajemnicy, mówiąc iż w kolejnej odsłonie pokrótce sprawdzimy (wyjaśnimy) o co chodzi w punktach przecięcia wysokości w każdym rodzaju trójkąta. Będę chciał również pokazać to w jaki sposób bardzo ładnie można dzięki nim przejść do zagadnienia wysokości w czworokątach. Ale o tym już niebawem. Na razie jeszcze pobawmy się chwilę w analizę wysokości trójkątów.

WYSOKOŚCI prowadzone z wierzchołków w trójkącie przedstawione zostały w tabeli. Z tego można wyciągnąć następujące wnioski:

1) Im bardziej powiększamy jeden z kątów w trójkącie (zakładając, że oba pozostałe są ostre) tym dalej wychodzi jego punkt przecięcia wysokości - w kierunku od środka na zewnątrz. I tak w trójkącie ostrokątnym jest zawsze w jego środku (tzn. wewnątrz), w prostokątnym - dokładnie w wierzchołku kąta prostego, zaś w rozwartokątnym - nad kątem rozwartym. Przy okazji dodam, że punkt przecięcia wysokości w trójkącie nazywa się ortocentrum. 

2) Każdy trójkąt ma zawsze 3 wysokości. Chodzi o wysokości, które są prowadzone od każdego z wierzchołków do przeciwległej podstawy. Jest to pewien skrót myślowy, gdyż na rysunkach widzieliśmy po kilkanaście wysokości w przypadku każdego trójkąta. Jednak zostały one ukazane po to, aby zrozumieć istotę wysokości, a nie tylko formalne jej wyznaczenie od każdego wierzchołka.

3) Wysokość musi zawsze być zawarta pomiędzy dwiema szynami, które z kolei są równoległe do podstawy na którą spada (opada) wysokość. Jeśli nie jest spełniony ten warunek, wówczas nie jest to wysokość. Przy okazji można podkreślić, że koncepcja szyn pozwala na bardzo szybkie sprawdzenie czy wyznaczony odcinek jest wysokością w trójkącie. I to bez względu na to z jakiego wierzchołka wychodzi i na którą podstawę pada.

4) Wysokość w trójkącie może być prowadzona do podstawy albo tak zwanej przedłużonej podstawy. Tutaj chyba wszystko jest jasne. Zarówno podstawa jak i przedłużona podstawa muszą być wspomnianymi szynami, które są do siebie równoległe.

Na koniec krótkie podsumowanie i wskazówki. Jak najprościej wyznaczyć dowolną wysokość w trójkącie?

1) Rysujemy szyny. W zależności od tego jak chcemy wyznaczyć wysokość (to znaczy czy prowadzimy od wierzchołka do podstawy czy też odwrotnie), to musimy wiedzieć jaka jest podstawa leżąca naprzeciwko wierzchołka. Przedłużamy ją z obu stron, a następnie prowadzimy prostą równoległą do podstawy, która przechodzi przez obrany wierzchołek.

2) Kolejny krok to poprowadzenie prostej prostopadłej do obu szyn, która będzie przechodzić przez wierzchołek. Początek i koniec tej wysokości zostanie wyznaczony poprzez punkty styczności prostej z podstawą i wierzchołkiem z którego chcemy ją wyznaczyć. Na koniec dobrze jest ją oznaczyć kolorem, aby była dobrze widoczna.

3) W przypadku konstrukcji wysokości w trójkącie rozwartokątnym należy pamiętać o tym, że tylko wysokość, która wychodzi z wierzchołka kąta rozwartego będzie opadać na (oryginalną) podstawę. W przypadku pozostałych dwóch wysokości, konieczne będzie przedłużenie podstawy do której będzie opadać wysokość z wierzchołka kąta ostrego. Zastosowanie koncepcji szyn w tego typu konstrukcji w największym zakresie pomoże nam ją poprawnie narysować, bez konieczności obracania zeszytu czy obiektu (trójkąta).

Podsumowanie: przy okazji klasyfikacji trójkątów pojawia się możliwość zrozumienia tego w jaki sposób będziemy wyznaczali w nich wysokości. Do tego dochodzi również szansa na to, aby nieco pobawić się w rysowanie wysokości w każdym rodzaju trójkąta. Dobrze jest pracować dwutorowo. Przykładowo najpierw zacząć od narysowania trójkąta, a potem otulić go równoległymi szynami (pudełkiem), które go ładnie zamkną. Następnie po zakończonych ćwiczeniach warto odwrócić proces. Teraz zaczynamy rysować szyny (lub pudełko), zaś w nich wstawiamy różne trójkąty i wyznaczamy wszystkie możliwe wysokości (czyli 3 rodzaje trójkątów i w każdym z nich 3 różne wysokości, tzn. takie, które wychodzą z różnych wierzchołków).

Dzięki takim ćwiczeniom może okazać się, że pojawią się kolejne spostrzeżenia, wnioski i co za tym idzie następne pytania. Niebawem będzie przejście do czworokątów i gwarantuję, że solidnie opanowana koncepcja wysokości w trójkątach sprawi, iż te same operacje wykonywane na figurach o czterech kątach... nagle będą wydawały się banalnie proste. A co za tym idzie, będziemy mogli jeszcze lepiej zrozumieć istotę tego jak obliczyć obwód oraz pole w przypadku czworokątów, które nie są tymi o których uczymy się w szkole na lekcjach matematyki.

Czy to naprawdę możliwe?! Tak, już wkrótce udowodnię, że koncepcja szyn (pudełka) nie jest tylko moim kaprysem lub chwilową modą. Dopiero w ciekawszych zadaniach i analizie będzie można zobaczyć jej prawdziwą siłę. Do tego czasu gorąco polecam i zalecam co najmniej kilkukrotne przestudiowanie wszystkich części i wypisywanie wszystkich spostrzeżeń, wniosków oraz pytań. To one właśnie dają nam jak najbardziej pełne zrozumienie zagadnienia.