Proste i ich magiczne właściwości - odkrywamy i tworzymy ciekawe zależności (1)

Na początku nauki zagadnień z działu geometrii dowiadujemy się o punkcie, półprostej, prostej i odcinku. Następnie pojawia się temat związany z dwiema prostymi. I wydaje się, iż pozornie proste linie, a jednak wiąże się z nimi wiele ciekawych relacji i zależności. Spróbujmy przyjrzeć się bliżej temu co tak naprawdę za nimi jest ukryte.

Generalnie dwie proste mogą mieć: nieskończenie wiele punktów wspólnych (pokrywają się), brak punktów wspólnych (są równoległe, ale nie pokrywają się) oraz jeden punkt wspólny, gdy nie są w stosunku do siebie równoległe, to znaczy przecinają się ze sobą.

1. Proste, które pokrywają się.

Jednym z nietypowym przypadków jest sytuacja w której dwie proste (A i B) pokrywają się. Oznacza to, że wszystkie punkty należące do pierwszej prostej, jednocześnie należą również do drugiej.

2. Proste, które nie pokrywają się.

Z kolei jeśli proste nie pokrywają się to mamy dwie możliwości:
a) proste nie przecinają się
b) proste przecinają się w jednym punkcie

I teraz zakładając, że mamy dwie proste, które nie przecinają się, możemy założyć, że muszą mieć jakieś specjalne właściwości, które sprawiają, iż rzeczywiście nie spotykają się w żadnym punkcie wspólnym.

Porównujemy długości obu odcinków. Jeśli są równe wówczas badane proste są do siebie prostopadłe. W praktyce bardzo dobrym pomysłem jest narysowanie obu odcinków (pionowe strzałki na rysunku) jak najdalej od siebie. Dlaczego? Ponieważ jeśli proste byłyby niemal równoległe, wówczas narysowanie dwóch pionowych strzałek ("wysokości") bardzo blisko siebie wykaże jedynie minimalną różnicę, a ta w praktyce może zostać uznana za zerową (tak, tak - właśnie błąd pomiaru się kłania).

Zerknijmy na powyższe rysunki. Po lewej stronie widzimy prostokąt, więc czerwone strzałki (wysokości) są równe... w dowolnym miejscu pomiaru. Natomiast po prawej stronie widzimy dwa trapezy nałożone na siebie. I uważnie przyjrzyjmy się czerwonym strzałkom. I dalej od siebie są oddalone, tym łatwiej zauważyć różnicę długości między nimi. Tak naprawdę wystarczy porównać jedynie dwie, ale na rysunku celowo pokazuję trzy, żeby jeszcze lepiej dostrzec różnice między nimi. Doskonale widać, iż każda ze strzałek jest różnej długości, więc oznacza to, że proste od których idą ... na pewno nie są równoległe.

Kiedy dwie proste nigdy się nie przecinają? Jest tylko jeden przypadek: wówczas, gdy są do siebie równoległe (przypadek, gdy się pokrywają wykluczamy).

I teraz pytanie po czym rozpoznać, że proste A i B nigdy się nie spotkają (nie przetną). Oto prosty sposób na to, aby to sprawdzić.

1. Rysujemy pierwszą prostą prostopadłą od prostej A (odcinka) w kierunku drugiej prostej (odcinka) B.

2. Rysujemy drugą prostą prostopadłą od prostej A (odcinka) w kierunku drugiej prostej (odcinka) B.

Teraz w skrócie powiedzmy sobie jakie są zastosowania prostych równoległych w praktyce. Oto kilka najczęściej spotykanych zastosowań.

1. Dzięki zapewnieniu równoległości dwóch prostych (szyny), tory kolejowe mogą ciągnąć się w nieskończoność. Mamy przy pewność, że dzięki temu pociąg się nie wykolei.

2. Układając pudełka na sobie, mamy gwarancję, że możemy je układać jedne na drugich, bez obawy, że same spadną (przesuną się).

3. W przypadku półek na książki, mamy pewność, że w każdym miejscu regału możemy wkładać książki o tej samej (maksymalnej) wysokości obok siebie.

4. Blat stołu, który jest równoległy do poziomu (podłogi), zapewnia, iż przedmioty położone na nim płasko... same nie przesuną się w dowolną stronę. Prosty eksperyment polega na tym, aby położyć idealną kulę i jeśli nie stoczy się w żadną stronę, wówczas mamy tak zwany poziom.

5. Dzięki poziomicy możemy sprawdzić czy powierzchnia jest równoległa w stosunku do poziomu (podłogi). Gdybyśmy wybudowali wieżowiec bez zapewnienia równoległości poszczególnych pięter, wówczas szybko okazałoby się, że w pewnym momencie mamy "krzywą wieżę".

6. Jeśli budujemy autostradę lub drogę dwupasmową i dobrze wyznaczymy proste równoległe, wówczas nie ma możliwości, aby nałożyły się na siebie, bądź tez zupełnie się rozminęły.

7. Równoległość zapewnia równomierne rozłożenie sił na danej powierzchni (tutaj najlepiej zapytać o to fizyka, aby dogłębnie i zrozumiale wyjaśnił ten temat).

Na koniec oryginalne zadanie (ciekawostka i zagadka) do przemyślenia i sprawdzenia.

Czy możliwe jest sprawdzenie równoległości dwóch prostych (A i B) za pomocą odcinków, które nie są równoległe do żadnej z prostych A oraz B? Jeśli tak, to jakie warunki muszą zostać spełnione? I dodatkowe zapytanie: dlaczego nikt nie wykorzystuje tego sposobu? Jakie ma zalety a jakie wady? W jakich warunkach lepiej jest go zastosować w stosunku do tradycyjnego?

W następnym odcinku przyjrzymy się prostym nierównoległym, które przecinają się w jednym punkcie. Przy okazji płynnie przejdziemy do tego czym są przekątne w figurach i jakie mają właściwości oraz wpływ na to jaką figurę tworzą. Dzięki temu może się nieco wyjaśnić istota tego dlaczego i w jaki sposób akurat manipulowanie patyczkami stworzy prostokąt, kwadrat, równoległobok, romb a nawet deltoid.

Podsumowanie: dwie proste mogą dawać wiele ciekawych możliwości testowania różnych hipotez. Dobrze jest bawić się nimi oraz odkrywać i zapisywać istotne relacje i zależności, tak aby na bazie tych wniosków budować coraz większy obraz tego co jest ich istotą i jak można dalej tę wiedzę wykorzystać. Pomoże to w zrozumieniu kolejnych tematów i ułatwi rozpoznawanie tego czego nie widać na pierwszy rzut oka... tam gdzie trzeba od razu dostrzegać ważne elementy.