Potęgi razem z pierwiastkami - pozornie trudne zagadnienia... i już wszelkie trudności za nami - cz.5

Pierwiastkowanie to działanie odwrotne do potęgowania. Czyli w tej odsłonie będziemy sprawdzali co się dzieje gdy chcemy obliczyć pierwiastek z danej liczby. Od razu dodam, że będę posługiwał się w kilku miejscach oryginalną koncepcją, której prawdopodobnie nie ma nigdzie indziej używanej. Niemniej będę wyjaśniał najlepiej jak to tylko możliwe, więc wystarczy tylko uważnie czytać i myśleć nad tym co przekazuję.

Przy okazji dodam, że tym razem artykuł można przeczytać na 2 sposoby. Pierwszym jest tradycyjny czyli od początku do samego końca, zaś drugi to ... doczytanie do pierwszego nagłówka, przeskoczenie do nagłówka drugiego i doczytanie do podsumowania, a potem powrót do pierwszego nagłówka i dokończenie artykułu. W ten sposób pierwiastki mogą jeszcze lepiej się utrwalić, ponieważ stopień zrozumienia tego artykułu jest związany z zasobem wiedzy czytelnika i tym, które zagadnienia lepiej mu wchodzą do głowy jako pierwsze. Dlatego można czytać na dwa sposoby bez obaw, że nic się nie zrozumie.

W przypadku potęgowania mieliśmy do czynienia z 3 elementami: podstawą potęgi, wykładnikiem oraz wartością (wynikiem działania). Jeśli chodzi o pierwiastkowanie to będzie również taki sam podział. Przy każdej wartości pierwiastka musimy wiedzieć o tym jaka jest wartość podpierwiastkowa oraz jaki jest stopień pierwiastka. Ten pierwszy element odpowiada na pytanie jaką liczbę będziemy rozkładać (rozbijać), zaś ten drugi - na ile tych samych czynników. Wynik natomiast pierwiastkowania będzie nam mówił jaka była podstawa potęgowania. Można zatem powiedzieć, że to takie nieco bardziej oryginalne znajdowanie (zgadywanie) pierwotnej liczby, która była mnożona przez siebie tyle razy, aż dała liczbę podpierwiastkową.

PRZEŁOM W MATEMATYCE - czyli koncepcja potęg i pierwiastków w postaci trójkąta

Zobaczmy na przykładach jak się ma do siebie potęgowanie i pierwiastkowanie. Uprzedzam, że jest to raczej koncepcja nietypowa (oryginalna), ponieważ chodzi o to, aby znacznie lepiej przedstawić istotę pierwiastka i działania zwanego pierwiastkowaniem.

Jak zrozumieć znaczenie treści w tabeli poniżej? Przede wszystkim narysujmy wyraźnie trójkąt równoboczny i pisząc (czytając) od lewej strony mamy: podstawę potęgi, na górze wierzchołka trójkąta - wykładnik potęgi, na końcu trójkąta - wartość końcową. I pewnie już przypominamy sobie, że tak to właśnie jest w przypadku potęgowania.

Teraz przejdźmy do pierwiastkowania. Wiemy, że jest to działanie odwrotne, więc spróbujmy również przeczytać nasze wartości w odwrotnym kierunku - od prawej do lewej. I tak - mamy najpierw liczbę podpierwiastkową (liczba ppw), na wierzchołku jest stopień pierwiastka (odpowiednik naszego wykładnika potęgi), a na samym końcu po lewej stronie mamy wynik pierwiastkowania (tak, to odpowiednik podstawy potęgi).

W tym momencie musimy rzucić okiem na poniższe tabele, które pokazują co się dzieje w przypadku potęgowania i pierwiastkowania dla liczby 2, 3 i 4.

TABELA 1: dwójka w przełomowej koncepcji trójkąta - potęgowanie (od lewej do prawej)

TABELA 2: dwójka w przełomowej koncepcji trójkąta - pierwiastkowanie (od prawej do lewej)

TABELA 3: trójka w przełomowej koncepcji trójkąta - potęgowanie (od lewej do prawej)

TABELA 4: trójka w przełomowej koncepcji trójkąta - pierwiastkowanie (od prawej do lewej)

TABELA 5: czwórka w przełomowej koncepcji trójkąta - potęgowanie (od lewej do prawej)

TABELA 6: czwórka w przełomowej koncepcji trójkąta - pierwiastkowanie (od prawej do lewej)

Pierwszy wiersz zawiera wykładniki potęg dla każdego potęgowania, a jednocześnie są to stopnie pierwiastków, gdy czytamy od tyłu (tzn. od prawej do lewej). Drugi wiersz to pełen zapis potęgi albo pierwiastka, a ostatni wiersz - wynik końcowy albo dla potęgowania albo pierwiastkowania. W tym wypadku kolor każdej liczby ma ogromne znaczenie, więc analizując zapis w tabeli warto na to zwrócić uwagę.

Omówimy sobie teraz znaczenie dwóch elementów, które muszą zostać bardzo dobrze zrozumiane. Są nimi liczba podpierwiastkowa (liczba ppw) oraz stopień pierwiastka.

Liczba podpierwiastkowa mówi nam o tym na jakiej liczbie będziemy przeprowadzać operację (liczba wyjściowa). Jej odpowiednikiem w potęgowaniu jest podstawa potęgi.

Z kolei stopień pierwiastka informuje nas o tym na ile jednakowych czynników mamy rozdzielać liczbę wyjściową (ppw). I pewnie już domyślamy się, że odpowiednikiem stopnia pierwiastka jest wykładnik potęgi.

I właśnie na tych dwóch elementach będziemy przeprowadzać operację, której rezultatem będzie wynik końcowy (wartość pierwiastka).

Znowu konieczne będzie pewne założenie, które pomoże nam solidnie zrozumieć podstawy. Chodzi o to, abyśmy pomyśleli o tym, że stopień pierwiastka na razie musi być dodatnią liczbą naturalną (czyli całkowitą nieujemną różną od zera). Dlaczego? Otóż łatwo jest zrozumieć rozbijanie liczby na kilka części w której każda jest identyczna.

Teraz spróbujmy sobie porozmawiać o stopniu pierwiastka. W jaki sposób on działa i jaka jest jego funkcja? Stopień pierwiastka mówi o tym, na ile czynników mamy rozbijać liczbę podpierwiastkową (ppw).

Czynniki muszą być zawsze identyczne oraz ich iloczyn musi być równy liczbie od której wychodzimy (ppw).

Przykładowo weźmy liczbę 4. Jaka będzie wartość pierwiastka stopnia pierwszego z tej liczby? W tym wypadku będzie to dokładnie ta sama liczba. Dlaczego? Ponieważ pierwszy stopień pierwiastka pełni tę samą funkcję jak pierwszy stopień (wykładnik) potęgi - w obu przypadkach nic nie zmienia z liczby wyjściowej.

Dlaczego zatem zastosowałem zapis liczby w której mamy pierwszy stopień pierwiastka? Są ku temu dwa powody. Pierwszy to spójność z poprzednimi częściami w których pokazywałem liczbę podnoszoną do potęgi pierwszej, a drugi to dopełnienie tego czego brakuje w literaturze przedmiotu. Nie jest to oczywiście nic niezwykłego ani przełom w matematyce, ale dodanie tej brakującej cegiełki, której brak może utrudniać zrozumienie istoty pierwiastka.

ROZKŁAD LICZBY na dwa czynniki - czyli o potęgowaniu i pierwiastkowaniu w stopniu drugim

I teraz analiza kilka prostych przykładów.

Weźmy liczby 4, 9, 16, 25 i 36. Jaką wartość uzyskamy, gdy będziemy chcieli spierwiastkować każdą z nich w stopniu drugim? Oto prosty zapis, który powinien wszystko wyjaśniać.

Jak rozbić 4, 9, 16, 25 i 36 na dwa czynniki, których iloczyn daje liczbę wyjściową?

Z tego wniosek, że wynikiem pierwiastkowania jest ta liczba, która musiała być podstawą potęgowania. Są nimi odpowiednio: 2, 3, 4, 5 i 6. Zapisujemy to w ten sposób:

Na tym zakończmy pierwszą część poświęconą pierwiastkom. Ponownie zalecam proste ćwiczenia na liczbach całkowitych dodatnich, aby sprawdzić które z nich możemy pierwiastkować. W kolejnej odsłonie powiemy sobie o ograniczeniach związanych z tym procesem, których nie było przy potęgowaniu (jest jedno, ale na razie nie jest ono dla nas istotne). Proszę pobawić się liczbami 2, 3, 4 i mnożyć je przez siebie (2x2x2, 3x3x3, 4x4x4) oraz rozbijać tym samym stopniem pierwiastka jaki był w wykładniku potęgi (liczbie czynników w procesie mnożenia).

I najważniejsze: nie bójmy się popełniać błędów oraz zadawać pytań. Dzięki temu nasz proces potęgowania znacznie przyspieszy i jeszcze pełniej zrozumiemy jego związek z potęgowaniem. Pierwiastkowanie jest nieco bardziej wymagające od potęgowania, ale jest na tyle łatwe, że powoli będziemy przechodzili przez kolejne szczeble wtajemniczenia, aby wszystko stało się jasne.

Podsumowanie: pierwiastkowanie to działanie odwrotne do potęgowania. Polega ono na znalezieniu wyniku naszego pierwiastka (jest nim podstawa potęgi), na podstawie liczby podpierwiastkowej... wiedząc o tym na ile czynników iloczynu została ona rozbita (mówi o tym stopień pierwiastka i jednocześnie wykładnik potęgi). Być może brzmi nieco naukowo, ale wystarczy zobaczyć i na spokojnie przeanalizować powyższe przykłady, aby przekonać się, że tylko używane pojęcia są trochę dziwnie brzmiące. Proces pierwiastkowania zostanie jeszcze pokazany w innym ujęciu (bardziej praktycznym) w kolejnej odsłonie. W ten sposób będziemy mogli jednocześnie upiec dwie pieczenie przy jednym ogniu.

Potęgi razem z pierwiastkami - pozornie trudne zagadnienia... i już wszelkie trudności za nami - cz.4

W poprzednim artykule sprawdziliśmy to co się dzieje, gdy wykładnik potęgi zmienia się z dodatniego na ujemny. W przypadku, gdy jest on dodatni otrzymujemy pewną liczbę, a gdy będzie on ujemny, wówczas będzie to liczba odwrotna do niej. Dziś pogłębimy jeszcze bardziej naszą wiedzę.

O czym myślę? Mianowicie o tym, że gdy mamy 4^2, wtedy odwrotną liczbą będzie 4^-2. Zobaczmy, że przy liczbach przeciwnych przypomina to liczby dodatnie i ujemne, które leżą po przeciwnych stronach osi liczbowej. Jeśli mamy liczbę 16, wówczas przeciwna do niej to -16. Jednak w przypadku potęgowania w którym mamy wykładnik dodatni oraz ujemny, mamy nieco inaczej: 16 oraz 1/16. Dlaczego? Otóż dlatego, że przeciwne znaki wykładników oznaczają odwrotne wartości liczb.

Rysunek 1. W taki oto sposób następuje przeskakiwanie potęg dodatnich (w prawo) i ujemnych (w lewo).

Rysunek 2. W taki oto sposób następuje przeskakiwanie potęg dodatnich (w prawo) i ujemnych (w lewo). Dodatkowa forma wyrażenia tego samemu pomysłu.

Zobaczmy na tabelę, która pokazuje to w takiej postaci w której wszystko powinno być dosyć przejrzyste i zrozumiałe. To pewne podsumowanie tego co do tej pory poznaliśmy.

Rysunek 3. To już było w poprzednim odcinku, ale teraz jeszcze łatwiej dostrzec w jaki sposób następuje przeskakiwanie potęg dodatnich (w prawo) i ujemnych (w lewo).

Co teraz? Otóż zastanowimy się co będzie się działo, gdy podstawa będzie liczbą całkowitą, ale ujemną, a potem także ułamkiem (i to też ujemnym!). Czyli zajmiemy się sytuacją w której w podstawie będziemy mieć ułamki, które mogą być ujemne i jeszcze do tego będziemy mogli je podnosić do potęgi... ujemnej!

Podstawa potęgi to liczba całkowita i jednocześnie ujemna (wykładnik dodatni)

Weźmy na początek liczbę -3. Sprawdzamy teraz co się będzie z nią działo w kolejnych krokach potęgowania.

(-3)^1, (-3)^2, (-3)^3, (-3)^4, (-3)^5.

Wyniki będą teraz nieco dziwne, ale w pełni logiczne i uzasadnione.

(-3) = -3 (MINUS)
(-3)*(-3) = 9
(-3)*(-3)*(-3) = -27 (MINUS)
(-3)*(-3)*(-3)*(-3) = 81
(-3)*(-3)*(-3)*(-3)*(-3) = -243 (MINUS)

Zaczęliśmy od pierwszej potęgi, a potem nasza liczba w każdej kolejnej potędze, przeskakiwała z minusa na plus, czyli mniej więcej tak MPMPM (gdzie M=minus, zaś P=plus).

A teraz zobaczmy co jest takiego ciekawego co sprawia, że raz liczba jest dodatnia a raz ujemna. Zależy to od stopnia potęgi. Gdy mieliśmy stopień pierwszy liczba była ujemna, w drugim - dodatnia, w trzecim znowu ujemna, zaś w czwartym - ponownie dodatnia.

Teraz przypomnijmy sobie czym był podział na liczby parzyste i nieparzyste. Ktoś pamięta? Oczywiście! To proste, bo wiemy, że liczby parzyste to takie, które dzielą się przez dwa (bez reszty), zaś nieparzyste, to te które nie dzielą się przez dwa (ponieważ mają resztę). Wybranymi parzystymi liczbami będą przykładowo: 2, 4, 6, 8, a nieparzyste to: 1, 3, 5, 7. No i teraz fundamentalne pytanie - a co z zerem? Zobaczmy, że gdybyśmy wracali "co dwa" od ósemki, wtedy będziemy mieli 8, 6, 4, 2 i właśnie 0. Z tego wniosek, że zero należy do liczb parzystych. Jak ważne to jest okaże się za chwilę.

Wniosek z naszych rozważań jest taki: gdy wykładnik potęgi jest parzysty, wtedy liczba (wartość) jest zawsze dodatnia, natomiast gdy jest nieparzysty, wówczas są dwie możliwe opcje:
a) jeśli podstawa potęgi jest dodatnia, wtedy wartość również jest dodatnia
b) jeśli podstawa potęgi jest ujemna, wtedy wartość również jest ujemna

Teraz zerknijmy na tabelę w której zobaczymy to tak, aby dotarło do umysłu i zakodowało się w nim w obszarze odpowiedzialnym za zapisywanie obrazów (a jeszcze lepiej – zależności).

Rysunek 4. Takie relacje warto dostrzegać, aby zrozumieć w jaki sposób następuje przeskakiwanie potęg dodatnich (w prawo) i ujemnych (w lewo)... ale dla liczby ujemnej (podstawa to liczba -4).

Teraz przyjrzyjmy się temu co się stanie w przypadku, gdy będziemy przechodzili na wykładnik ujemny.

Podstawa potęgi to liczba całkowita i jednocześnie ujemna (wykładnik ujemny)

Zacznijmy tym razem od (-3)^0, i przejdźmy dalej na wykładnik ujemny.

W poprzednim odcinku przekonaliśmy się, że wykładnik ujemny i dodatni rozdziela wykładnik zerowy, który sprawia, że każda liczba podniesiona do potęgi zerowej staje się jednością (jedynką).

(-3)^-1, (-3)^-2, (-3)^-3, (-3)^-4, (-3)^-5,

Wyniki tym razem nie powinny być dziwne, ale tak jak poprzednio - w pełni logiczne i uzasadnione.

1/(-3) = -1/3 (MINUS)
1/(-3)*(-3) = 1/9
1/(-3)*(-3)*(-3) = -1/27 (MINUS)
1/(-3)*(-3)*(-3)*(-3) = 1/81
1/(-3)*(-3)*(-3)*(-3)*(-3) = -1/243 (MINUS)

Zauważmy w tym momencie coś co wcześniej było wyraźnie podkreślone. Powtórzmy to raz jeszcze i zapamiętajmy na zawsze - ujemny wykładnik odwraca naszą liczbę. Dlatego wyniki są identyczne jak w poprzednich potęgach, tyle że odwrócone. Znaki przy liczbach nie zmieniły się w żaden inny sposób aniżeli ten, który przed chwilą omawialiśmy.

Przy parzystych wykładnikach potęg (podstawa potęgi to liczba ujemna) będą w wyniku plusy, zaś przy nieparzystych - minusy. Z uwagi na to, że wykładniki potęg -2 i -4 są parzyste, więc wartość (wynik) musi być dodatnia. Jeśli natomiast chodzi o wykładniki -3 i -5, to wiemy, że są  są one nieparzyste, więc w takim wypadku wartość (wynik) musi być ujemna.

Teraz tabelka będzie więcej niż konieczna. Bez niej może być nieco trudniej wszystko poukładać sobie na właściwych półkach.

Rysunek 5. TABELA UNIWERSALNA - zależność wartości znaku od podstawy oraz wykładnika potęgi (dodatni lub ujemny). Ukazano wszystkie możliwe warianty.

Z tabeli wynika, że jeśli podstawa jest dodatnia, to bez względu na to do jakiej potęgi podnosimy liczbę, to jej wartość również będzie dodatnia.

Natomiast jeśli podstawa jest ujemna, to wartość liczby pozostanie nadal ujemna tylko wtedy, gdy wykładnik będzie nieparzysty. I to bez względu na to do jakiej potęgi podnosimy, pod warunkiem, że w wykładniku jest dowolna całkowita liczba nieparzysta.

W podręcznikach do matematyki może to wyglądać w taki sposób: jeśli liczbę ujemną podnosimy do potęgi o wykładniku nieparzystym, wówczas wynikiem tego działania będzie liczba ujemna. Dla mnie jest to trochę zbyt naukowo zapisane (pomimo, że w pełni poprawnie), więc spróbujmy inaczej.

Można zatem sformułować prostą i krótką rymowankę. Proponuję nieco inną formę, aby łatwiej było tę regułę zapamiętać. Jedna z możliwych wersji może być przykładowo taka:

Przy podstawie ujemnej i wykładniku nieparzystym, dostajesz wartość (liczbę) ujemną - to jest fakt oczywisty!

I co jest niesamowite to fakt, że w tym momencie możemy uznać, że wszystkie najważniejsze własności potęg już omówiliśmy. Dodam, że powyższa tabela jest na tyle uniwersalna, że działa również w przypadku, gdy za podstawę weźmiemy dowolny ułamek.

Przypominam jedynie że w wykładniku musi być liczba całkowita, bo gdy nie będzie taka, wówczas dochodzi jeszcze operacja pierwiastkowania. A tej na razie jeszcze nie znamy, ale już coraz bliżej, abyśmy się z nią zapoznali.

Rysunek 6. Dodatnia i ujemna liczba całkowita jako podstawa potęgi + wykładnik dodatni oraz ujemny (ukazanie pełnego zakresu zależności na konkretnym przykładzie).

Rysunek 7. Dodatnia i ujemna liczba będąca ułamkiem jako podstawa potęgi + wykładnik dodatni oraz ujemny (ukazanie pełnego zakresu zależności na konkretnym przykładzie).

Dwie powyższe tabele powinny wszystko rozjaśnić, chociaż wymagają uważnego przestudiowania. Pokazują one po jednym przykładzie wszystkie możliwe opcje, które nas interesują:

1. Liczba dodatnia całkowita podnoszona do potęgi dodatniej i ujemnej.
2. Liczba ujemna całkowita podnoszona do potęgi dodatniej i ujemnej.
3. Ułamek (zwykły) dodatni podnoszony do potęgi dodatniej i ujemnej.
4. Ułamek (zwykły) ujemny podnoszony do potęgi dodatniej i ujemnej.


Myślę, że ten wykład należy co najmniej dwukrotnie przestudiować, aby wszystko dobrze utrwalić. Zwłaszcza istotne jest to, aby szybko dostrzegać i dobrze rozumieć zależności, które zostały zawarte w tabelach. Idealnym rozwiązaniem będzie poćwiczenie tego tematu na wybranych kilku liczbach, podobnie jak to zostało pokazane w ostatnich dwóch tabelach. W ten sposób pewne relacje jeszcze lepiej się utrwalą. Bo akurat to jest podsumowanie potęgowania, więc można to potraktować jak taki podwójny wykład nieco upchany w jednym artykule.

Podsumowanie: potęgowanie zwraca nam wartość dodatnią bądź ujemną w zależności od tego jaka jest podstawa potęgi. Jeśli jest nią liczba dodatnia, to bez względu na to jaki będzie wykładnik (całkowity dodatni czy ujemny), to wynikiem będzie nadal liczba dodatnia. Z kolei w przypadku, gdy podstawą będzie liczba ujemna, wówczas ujemną otrzymujemy tylko wtedy, gdy wykładnik jest liczbą nieparzystą. W przeciwnym razie wyjdzie nam liczba dodatnia. No i dochodzi do tego jeszcze zapamiętanie, że przy wykładniku ujemnym odwracamy liczby i w sumie to wszystko co trzeba wiedzieć, aby mieć podstawy związane z potęgowaniem. Chodzi o podstawę potęgi ze zbioru liczb całkowitych bądź też wymiernych (ułamki) dla wykładnika będącego dowolną wartością ze zbioru liczb całkowitych.

Potęgi razem z pierwiastkami - pozornie trudne zagadnienia... i już wszelkie trudności za nami - cz.3

Dziś powiemy sobie co nieco na temat tego jaki jest jego związek potęgowania z dodawaniem. Do tego przyjrzymy się również temu czym jest mnożenie i dzielenie oraz przypomnimy sobie pojęcie liczby odwrotnej. To wszystko powinno pomóc nam ułożyć sobie kolejną cegiełkę w budowli naszego matematycznego domu.

W poprzednim odcinku dowiedzieliśmy się tego czym jest potęgowanie oraz czym jest podstawa i wykładnik potęgi. Przypomnę krótko, że podstawa potęgi mówi nam o tym jaką liczbę będziemy mnożyli, zaś wykładnik podpowiada ile razy będziemy taką operację wykonywali.

W tym artykule przyjrzymy się temu co się będzie działo, gdy wykładniki będą liczbami całkowitymi dodatnimi lub ujemnymi.

Ostatnim przykładem, który analizowaliśmy była zabawa z czwórką. Były to wartości 4^1, 4^2 i 4^3. Wiemy, że wykładnik mówi nam ile razy pojawia się dana liczba (podstawa) jako iloczyn tych samych czynników. I tak w przypadku 4^1 = 4, 4^2 = 4*4 = 16 i 4^3 = 4*4*4 = 64. Oznacza to, że jeśli mamy w wykładniku jedynkę, wtedy wartość będzie równa podstawie (nic nie mnożymy), przy dwójce będzie mnożenie dwóch identycznych liczb (podstaw), a mając trójkę, będzie konieczne trzykrotne pomnożenie tych samych liczb podstawy.

Wniosek z tego jest taki, że wraz ze wzrostem wykładnika - zwiększa się (proporcjonalnie) liczba czynników, czyli liczb (podstawy), które mnożymy przez siebie.

I teraz istotna uwaga. Tak naprawdę gdy przed daną liczbą (wartością) nie ma żadnego znaku, to uznajemy, że jest ona dodatnia. Inaczej mówiąc przyjmujemy, że +3 to po prostu 3, zaś +5 to 5. Ba! Jest to tak oczywiste, że nawet się nad tym nie zastanawiamy! To jednak ważne, jak się zaraz zresztą okaże.

Przypomnijmy sobie oś liczbową. Pomyślmy również w ten sposób, że zwiększanie liczby (wartości) to przesuwanie jej w prawo, zaś zmniejszanie - w lewo. No dobrze, ale jaki to ma związek z potęgowaniem? Wiemy już, że wraz ze wzrostem wykładnika, zwiększeniu ulega liczba czynników (tych samych liczb, które mnożymy przez siebie), prawda?

Zastanówmy się jednak, co się stanie, gdy liczbę w wykładniku zaczniemy po prostu zmniejszać. Otóż wraz ze zmniejszaniem się liczby wykładnika będzie coraz mniej czynników. Do tej pory analizowaliśmy tylko taką sytuację w której najmniejszym wykładnikiem była jedynka. W takiej sytuacji pamiętamy, że wtedy mamy liczbę, która jest naszą wyjściową (podstawą potęgi).

Zaobserwujmy pewien schemat i poszukajmy związku (zależności), który będzie pokazywał co się dzieje przy zmniejszaniu się wykładnika.

Weźmy na początek nieco większą liczbę. Niechaj będzie nią 4^6 czyli 4096. Schodzimy z potęgami od większej do mniejszej (tabelę czytamy od prawej do lewej). Zatem:

TABELA nr 1. (P-L) Zmniejszanie się potęg z jednoczesnym zmniejszaniem wartości.

Teraz zauważmy, że przy każdym obniżeniu (zmniejszeniu) wykładnika potęgi, dzielimy daną liczbę przez podstawę (u nas jest nią 4). Dlatego dalej będzie to wyglądać w taki oto sposób (znów tabelę czytamy od prawej do lewej).

TABELA nr 2. (P-L) Zmniejszanie się potęg z przekroczeniem wykładnika zerowego.

Wynika z tego prosty fakt, że w momencie, gdy dochodzimy do zerowego wykładnika potęgi, wówczas nasza liczba staje się jednością (jedynką). A co się dzieje dalej? Otóż później tak jak w lustrze odbijają się te same liczby (z prawej), tylko zapisane jako ułamki zwykłe (po lewej). Różnica jest taka, że w każdej z liczb po lewej mamy w liczniku jedynkę, a w mianowniku lustrzaną liczbę.

Czym są liczby odwrotne i jak je łatwo zrozumieć? Najprościej mówiąc, liczby odwrotne, to te, które mają odwrócone liczniki z mianownikami. W naszym przypadku jeśli mamy liczbę 4, wówczas odwrotnością jest 1/4, a dla 16 odwrotna liczba to oczywiście 1/16. Dlaczego? Otóż dlatego, że czwórkę traktujemy jako 4/1, więc gdy odwrócimy ją do góry nogami, wówczas powstanie właśnie jej odwrotność czyli 1/4. Prawda, że proste?

Gdybyśmy na podstawie powyższych rozważań narysowali prosty schemat, wtedy okazałoby się, że zero w wykładniku potęgi daje nam liczbę równą jedności (jedynkę). A ta jedność właśnie rozdziela wykładniki dodatnie (po prawej) od ujemnych (po lewej).

TABELA nr 3. Graficzne przedstawienie przechodzenia wykładnika z części dodatniej do ujemnej.

A jak przedstawia się proces, który ukazuje zasadę na podstawie której możemy ustalić co się dzieje z wartościami liczb potęgowanych? Proszę bardzo, zobaczmy to na rysunku. Ostrzegam, że prostota wyjaśnienia może lekko przerazić.

TABELA nr 4. Uniwersalny schemat dotyczący przeciwnych wykładników i odwrotnych wartości.

I teraz zapewne nasze oczy znowu się nieco szerzej otwierają, a źrenice mocno poszerzają. Tak, to właśnie najczęściej tego brakuje w wyjaśnianiu istoty potęgowania dla wykładnika całkowitego dodatniego i ujemnego.

No dobrze, ale czy ten schemat naprawdę działa? Tak. Działa dla wszystkich liczb? Tak. Czy działa również dla ułamków, które będą w podstawie? Tak. Czy ten schemat działa tylko dla wykładnika całkowitego? Ustalmy, że tak. Dlaczego w tym wypadku nie do końca jasna odpowiedź? Otóż dzieje się tak, ponieważ w przypadku jeśli wykładnik nie będzie liczbą całkowitą, wtedy będzie trzeba zarówno potęgować jak i pierwiastkować. A z uwagi na to, że jeszcze nie zakończyliśmy w pełni zagadnienia potęg (nie rozpoczynając pierwiastków), więc musimy odrobinę poczekać na to czym są i na czym polegają pierwiastki. A potem wszystko ze sobą pięknie połączymy i powstanie... matematyka jakiej dotychczas nie znaliście.

Tak więc na chwilę obecną bierzemy pod uwagę tylko wykładnik całkowity, zgoda? Natomiast jako podstawa potęgi - na razie liczby dodatnie całkowite. W kolejnej odsłonie wrócimy do tego tematu i go poszerzymy a przy okazji powiemy sobie coś więcej. Co takiego? Otóż zastanowimy się co będzie się działo, gdy podstawa będzie liczbą całkowitą, ale ujemną, a potem także ułamkiem (i to też ujemnym!). Czyli zajmiemy się sytuacją w której w podstawie będziemy mieć ułamki, które mogą być ujemne i jeszcze do tego będziemy mogli je podnosić do potęgi... ujemnej! A jakże! Jak szaleć, to na całego, prawda?

Chciałbym, aby za moich czasów matematyka była tak cudownie piękna, spójna, logiczna, wciągająca... i mega prosta! Myślę, że dzięki moim artykułom jest szansa, że przynajmniej dla moich czytelników będzie o niebo łatwiejsza. Chcę wam bowiem pokazywać i wyjaśniać matematykę jakiej jeszcze nie znacie. Bo ja takiej matematyki niestety nigdy nie znałem.

Podsumowanie: temat potęgowania, który pozornie jest bardzo trudny, nagle okazuje się być zadziwiająco prosty. Uważam, że dzieje się tak, ponieważ jeśli dane zagadnienie nie jest wyjaśniane za pomocą dobrych koncepcji, wówczas staje się niezrozumiałe. Natomiast w przypadku, gdy dany temat wydaje się być trudny, to najczęściej oznacza to, że niestety, ale jest niewystarczająco dobrze wyjaśniony. Stoję na stanowisku, że potęgowanie jest o tyle proste, że przy odrobinie ćwiczeń i solidnej metodyce... będzie niemal dla wszystkich proste jak bułka z masłem!

Potęgi razem z pierwiastkami - pozornie trudne zagadnienia... i już wszelkie trudności za nami - cz.2

W poprzedniej części uchyliłem rąbka tajemnicy dotyczącej tego czym zamierzam zajmować się w kilku najbliższych odcinkach poświęconych zagadnieniom potęg i pierwiastków.

Artykuł ten będzie składał się z dwóch części - PIERWSZE KROKI oraz POTĘGOWANIE. Osoby, które chcą natychmiast przejść do istoty potęgowania zachęcam do przeczytania tylko części drugiej. Natomiast tych, którzy chcą sobie przypomnieć i odświeżyć wiedzę z najniższego etapu (edukacja wczesnoszkolna), zachęcam do przeczytania całości - od początku aż do końca.

Na wstępie zaczniemy od przypomnienia absolutnych podstaw. Może to się wydać zbędne, ale zapewniam, że wnioski z tych oczywistych opisów będą nam bardzo przydatne do pełnego zrozumienia kolejnych elementów zagadnień, które w pewnym momencie stanowią przeszkodę nie do przejścia dla wielu dzieci. A wcale tak być nie musi, co za chwilę udowodnię i będę przekonywał w kolejnych odsłonach. A więc zaczynamy!

PIERWSZE KROKI - czyli na czym polega istota dodawania i odejmowania oraz dlaczego są one działaniami odwrotnymi

Pierwszym elementem z którym spotykają się dzieci na swojej drodze odkrywania świata są obiekty, które są wokół nich. Zaczynają je intensywnie testować, sprawdzając co się z nimi stanie jeśli zostaną poddane różnym pomysłom, które dziecko będzie realizowało.

Weźmy za przykład dowolne liczmany (obiekty, którymi można swobodne manipulować). Mogą to być żetony, patyczki czy też zakrętki a nawet kasztany czy klocki. Dziecko bierze żetony i gromadzi je w kupkę (grupuje), nie do końca uświadamiając sobie, że właśnie je do siebie dodaje. Jeśli znudzi mu się część z nich i będzie chciało się ich pozbyć, wówczas odkłada bądź odrzuca je od siebie... a matematycznie oczywiście odejmuje.

No i teraz przechodzimy na formę zapisu matematycznego. I tak, umawiamy się, że dodawanie zapisujemy jako plus ("+"), zaś odejmowanie jako mius ("-"). Przechodzimy do naszego procesu dodawania i odejmowania.

Najprostszy i zarazem fundamentalny zapis to suma (jako proces, czyli działanie) dwóch elementów, która daje określoną wartość (suma jako wynik działania). Zauważmy, że w takim układzie mamy 3 elementy. Przy działaniu 4+2=6, widzimy, że dodajemy do 4 kasztanów (klocków, żetonów) jeszcze 2. Możemy powiedzieć też, że do 2 dodajemy 4. Bez względu na to jak to zrobimy, to i tak całość naszego zbioru będzie liczyć 6 elementów.

Natomiast jeśli chcemy odwrócić działanie, wówczas nadal wykonujemy operację na dwóch elementach, zaś trzeci stanowi wynik tego działania. Zatem zapis 6-2=4 mówi nam o tym, że mieliśmy 6 zakrętek, następnie odejmujemy (odrzucamy, odkładamy) od nich dwie, więc na końcu tego działania pozostaje nam jedynie cztery.

Teraz spójrzmy na pierwsze zagadnienie, które jest pozornie mega proste, ale mam wrażenie, że nie zawsze dobrze zrozumiane (nie mam na myśli poziomu mechanicznego, lecz zrozumienie jego istoty). Zauważmy bowiem, że dodawanie jest przemienne, bo suma obu składników daje nam tę samą wartość, bez względu na to od której zaczniemy dodawać. Zatem kolejność w której łączymy (gromadzimy) ze sobą elementy nie ma znaczenia. Zarówno 4+2 jak i 2+4 daje nam 6.

No dobrze, ale co z tego wynika? Z całym szacunkiem, ale to bardzo ważny element w całej układance. Jeśli bowiem uświadomimy sobie, że odejmowanie jest odwrotną czynnością (operacją) do dodawania, to jesteśmy już o kolejny krok do pełniejszego zrozumienia. W przypadku odejmowania mamy jednak dwa warianty: możemy od 6 odejmować 2 albo 4 (6-2 lub 6-4). Inaczej mówiąc od sumy zbioru możemy odjąć albo pierwszy albo drugi element zbioru. No i logiczne jest to, że jeśli odejmiemy pierwszy to zostanie nam drugi. Analogicznie gdy odejmiemy od całości drugi element, to będziemy mieli tylko pierwszy. Z uwagi na to, że pierwszy element nie jest równymi drugiemu, więc pamiętajmy, że odejmowanie nie jest przemienne. Jest różnica czy odejmujemy od 6 dwa czy cztery - wynik będzie odmienny.

Teraz kolej na następną istotną część. Bierzemy dowolne liczmany (kasztany, zakrętki, żetony, patyczki czy kostki) i ćwiczymy operację dodawania oraz odejmowania. Chodzi o to, aby mieć bardzo dobrze utrwalone to, że: 4+2=6, bo 6-2=4. Analogicznie 2+4=6, więc 6-4=2.

Warto to dobrze przećwiczyć, aby w kolejnych etapach brak zrozumienia tego procesu nie zakłócił możliwości objęcia nieco bardziej wymagających koncepcji.


POTĘGOWANIE - czyli na czym polega istota mnożenia tych samych elementów i jak to przedstawić w postaci graficznej

Przechodzimy dalej. Co by się stało, gdybyśmy dodawali do siebie te same obiekty (elementy)? Otóż już dawno poradzono sobie z tym problemem. Zamiast zapisywać 3+3+3+3+3, 2+2+2+2, 1+1+1, możemy powiedzieć ile razy występuje ten sam element i zapisać to w skróconej postaci, wykorzystując mnożenie. Tak więc w pierwszym przykładzie grupujemy trójki, wiec mamy 5x3, w kolejnej dwójki - 4x2, a w ostatniej jedynki 3x1.

Wniosek? Dodawanie tych samych elementów nazywamy mnożeniem. Trzeba wyraźnie podkreślić, że chodzi o identyczne elementy (zbiory o tej samej liczebności), które do siebie dodajemy. Będzie to ważne przy analizie błędów podczas potęgowania. Czyli wniosek jest taki, że skrócone (sprytne) dodawanie to mnożenie.

Teraz zastanówmy się nad tym, co by się stało, gdybyśmy chcieli przez siebie mnożyć te same elementy? Inaczej mówiąc będziemy mnożyć daną liczebność zbioru (np. 4 kasztany w kupce) przez tę samą liczbę (czyli czterokrotnie w naszym przypadku). I właśnie na tym polega sprytne (skrócone) mnożenie!

Weźmy za przykład trójkę. Spróbujmy kilka razy pomnożyć ją przez samą siebie. Działanie, które polega na mnożeniu tych samych liczb przez siebie nazywamy potęgowaniem. Używając śmiesznej metafory, potęgowanie to taki dziadek dla wnuczka (dodawanie), którego ojcem jest mnożenie.

Podobnie jak w dodawaniu i odejmowaniu, również w potęgowaniu mamy trzy elementy. Ostatnim z nich jest wynik (wartość), a pozostałe to podstawa i wykładnik.

Podstawa potęgi mówi nam o tym jaką liczbę będziemy mnożyli, zaś wykładnik podpowiada ile razy będziemy taką operację wykonywali.

Teraz zobaczmy istotę potęgowania, która zostanie przedstawiona w możliwie najprostszej i zarazem ciekawej formie. Narysujmy trójkąt - najlepiej równoboczny lub maksymalnie do niego zbliżony (chociaż może być też taki, który jest prostokątny i zarazem równoramienny - połowa kwadratu). Jak doskonale wiemy i pamiętamy każdy trójkąt ma trzy wierzchołki.

Następnym krokiem będzie to, aby od każdego wierzchołka narysowanego trójkąta, poprowadzić przerywaną (albo ciągłą) linię. Na końcu każdej linii rysujemy identyczny trójkąt. A co dalej? Otóż wiemy, że potęgowanie to rozmnażanie tego samego, więc dalej kopiujemy trójkąty raz jeszcze.

Graficzne przedstawienie potęgowania na przykładzie liczby 3, zakodowanej jako trójkąt (trzy wierzchołki)

Zobaczmy co takiego powstało z naszego rysunku. Zróbmy krótkie omówienie i podsumowanie tego co widzimy.

Gdy za pierwszym razem narysowaliśmy trójkąt (poziom pierwszy), to razem mieliśmy dokładnie 3 wierzchołki. Dlaczego akurat trzy? Ponieważ chcieliśmy badać jak się będzie zachowywała trójka jeśli chodzi o potęgowanie. Pójdźmy dalej. Drugie rozmnożenie trójkątów spowodowało, że na danym poziomie (u nas jest to poziom drugi) mamy już 9 wierzchołków. Z kolei przejście na poziom trzeci sprawiło, że mamy na nim aż 27 wierzchołków.

Jaki z tego wyciągniemy wniosek? Otóż podstawa potęgi mówi nam o liczbie, którą będziemy potęgować. U nas ta liczba (trójka) była zakodowana graficznie - chodziło bowiem o liczbę wierzchołków w trójkącie, czyli 3. Natomiast wykładnik lub też stopień potęgi jest to nic innego niż poziom na którym zatrzymaliśmy się w naszym procesie potęgowania - a w przypadku wyjaśniania ambitnemu 5-latkowi - rysowania (trójkątów).

Tabela potęgowa dla liczby 3 - zakodowanej jako trójkąt: najważniejsze właściwości potęgowania jak na dłoni

Mam nieodparte wrażenie, że w tym momencie dużo może się rozjaśnić i być może nawet... źrenice oczu mogą się mocno poszerzyć.

Zerknijmy jeszcze na drugi przykład. Weźmiemy sobie na warsztat czwórkę i dla zabawy (oraz prostoty) zakodujemy ją jako kwadrat. A wiemy doskonale, że każdy kwadrat jest identyczny (jeśli chodzi o właściwości), więc będziemy mogli tak samo go rozmnażać jak zrobiliśmy to z trójkątem chwilę wcześniej.

Graficzne przedstawienie potęgowania na przykładzie liczby 4, zakodowanej jako kwadrat (cztery wierzchołki)

Wnioski z tego przykładu są oczywiście te same, chociaż wartości w tabeli ulegną odpowiednim zmianom. Proces i ilustracja potęgowania pozostaje niezmienna. Nie jest to oczywiście jedyny sposób, ale na pewno oryginalny i łatwy do zrozumienia dla każdego dziecka (także 8-9 latka).

Tabela potęgowa dla liczby 4 - zakodowanej jako kwadrat: najważniejsze właściwości potęgowania jak na dłoni

Na tym kończymy ten wykład. W kolejnym odcinku będziemy dalej zgłębiali potęgowanie i zastanowimy się co ma tak naprawdę wspólnego z dodawaniem. Wiemy, że potęgowanie to sprytne (skrócone) mnożenie, ale gdzie tu miejsce na dodawanie? Niebawem tajemnica się wyjaśni. Chętnych do samodzielnego odkrywania kolejnych wniosków zapraszam do wykonania koniecznej pracy. Powiada się, że jeden rysunek jest wart tysiąca słów. Jeśli dany rysunek zawiera solidną koncepcję, która została odpowiednio zrozumiale wyjaśniona, wówczas to powiedzenie może nie być tylko pustym frazesem...

Podsumowanie: Potęgowanie to sprytne mnożenie, którego istotą jest rozmnażanie tego co jest podstawą. To mniej więcej tak jak epidemia wirusa, która rozprzestrzenia się w zastraszającym tempie. Zrozumienie istoty dodawania i odejmowania będzie przydatne na kolejnych etapach zrozumienia potęgowania. Na chwilę obecną warto dobrze przeanalizować powyższą koncepcję zaprezentowaną jako nietypowe rysunki (drzewka). To będzie procentowało w kolejnych etapach, gdy pojawią się bardziej wymagające koncepcje, które tak naprawdę wcale nie będą trudne.

Potęgi razem z pierwiastkami - pozornie trudne zagadnienia... i już wszelkie trudności za nami - cz.1

Otwieram kolejną serię, ponieważ mam już opracowany pomysł na to, aby wyjaśnić zagadnienia, które sprawiają duże kłopoty dzieciom. Jednym z takich tematów jest potęgowanie oraz pierwiastkowanie. Uważam, że nie są one dobrze opanowane, ponieważ stosujemy do ich tłumaczenia zbyt mało twórcze, różnorodne... i trzeba to w końcu przyznać - wyjątkowo słabe idee. Na marginesie podkreślę, że w szachach słabe idee bardzo szybko sprawiają, że zawodnik zatrzymuje się na danym poziomie. Dlatego jestem absolutnie przekonany, że być może dobrze byłoby to w końcu zmienić i pokazać, że można inaczej. Pokazać matmę jakiej nie znasz...

 

No dobrze, ale co w takim razie będzie można znaleźć w tej serii? Na pewno będą solidne podstawy oraz kilka ciekawych pomysłów wraz z zaznaczeniem i analizą błędów, które często popełniają uczniowie. Trudno jest mi podać szczegółowy plan tego co będę chciał krok po kroku zrealizować, ale w dużym uproszczeniu będę chciał się zająć następującymi elementami:

1. Potęgowanie - czym tak naprawdę jest i jaki jest jego związek z dodawaniem.
2. Pierwiastkowanie - czym tak naprawdę jest i jaki jest jego związek z odejmowaniem.
3. Potęgowanie i pierwiastkowanie w stopniu drugim.
4. Potęgowanie i pierwiastkowanie w stopniu trzecim.
5. Czym jest wykładnik oraz podstawa potęgi.
6. Czym jest liczba podpierwiastkowa oraz stopień pierwiastka.
7. Jaka jest relacja między potęgowaniem i pierwiastkowaniem.
8. W jakim celu odróżniamy potęgi (wykładniki) parzyste od nieparzystych.
9. W jakim celu odróżniamy pierwiastki (stopnie pierwiastków) parzyste od nieparzystych.
10. Sposoby przedstawiania procesu potęgowania i pierwiastkowania.
11. Tabela potęgowa i pierwiastkowa od 11 do 19.
12. Wzory dotyczące potęgowania i pierwiastkowania.
13. Notacja wykładnicza - z czym tak naprawdę się ją podjada.
14. Przykładowe zadania dotyczące potęgowania i pierwiastkowania.
15. Ciekawe sztuczki oraz koncepcja kameleona.
16. Analiza błędów oraz profilaktyka.
17. Legenda szachowa i grosz do grosza.
18. Podsumowanie i najważniejsze zalecenia.

Jak widać powyżej... jest to tylko grubszy zarys tego czym zamierzam się niebawem zająć (myślę, że dość przejrzysty). Chcę powyższe elementy dobrze omówić i przy okazji pokazać jak można je fajnie oraz ciekawie zaprezentować.

Ile artykułów będzie koniecznych, aby to dobrze wyjaśnić i pokazać przykłady, które będą mogły pogłębić zrozumienie tych zagadnień? Szacuję, że niezbędne będzie co najmniej 6-8 wykładów, ale wcale się specjalnie nie zdziwię, gdy dojdę do magicznej dziesiątki... i uznam, że jestem dopiero w połowie. Bardzo zależy mi na tym, aby było to na tyle solidne opracowanie (seria), aby mogła stanowić bardzo dobrą pomoc i wsparcie dla każdego nauczyciela - zwłaszcza tego, który takiej ściągawki najbardziej potrzebuje. Jest bowiem dość prosta i zadziwiająca zależność - im lepiej (pełniej) rozumie dane zagadnienie nauczyciel... tym większa szansa, że będzie mógł je wyjaśnić swojemu uczniowi... wystarczająco dobrze.

Postaram się również przemycać ciekawe elementy, które sprawią, że omawiane zagadnienia będą miał więcej życia. Na pewno kilka sposobów przedstawienia tematu będzie zaskakujących, a być może nawet i szokujących. Dodam jeszcze na koniec, że nad tym zagadnieniem pracowałem około dwóch lat (z przerwami oczywiście), więc myślę, że powoli coś mi świta w głowie, więc tym bardziej chciałbym się podzielić. Wierzę bowiem, że dopiero konieczność opublikowania czegoś co wymaga sporego nakładu pracy i twórczego podejścia... może pokazać (przede wszystkim mnie samemu) na ile dobrze (dogłębnie) zaczynam rozumieć ten temat. W szkole nie miałem okazji się go nauczyć, więc myślę, że czas najwyższy, abym mógł innym wyjaśnić to czego mi nie wyjaśniono.

Na koniec dodam, że będą także elementy mocno humorystyczne. Jakie? Chociażby takie jak uwolnienie ptaszka spod daszka czy też przyjazny kameleon na gałęzi, który stopień zagmatwania... dość mocno nam zawęzi!

BIBLIOTEKA NAUCZYCIELA MATEMATYKI: Matemagicy - czyli jak ze wszystkiego wyczarować matematykę

Kolejną interesującą pozycją, która jest warta opisania może być książka Johnny'ego Balla - Matemagicy - jak ze wszystkiego wyczarować matematykę. Czy rzeczywiście matematyka jest tak powszechna, że możemy ją dostrzec gdziekolwiek się obejrzymy? Przekonajmy się zatem czy naprawdę tak właśnie jest!

Okładka książki: Matemagicy - czyli jak ze wszystkiego wyczarować matematykę (Johnny Ball)

Wystarczy dodać, że patronat nad wydaniem sprawuje National Geographic i już będzie wiadomo, że będzie coś o odkrywaniu oraz poszukiwaniu. I rzeczywiście tak jest. Zanim jednak zgłębimy się w to co sprawia, że ta bajka dla dzieci nieco starszych zostanie opisana przez pryzmat plusów i minusów, to zerknijmy najpierw na jej zawartość. Na początek oczywiście tradycyjne krótkie wprowadzenie i spis treści.

Autor we wstępie mówi o tym, że same liczby nie stanowią fundamentu matematyki. Chodzi o to, aby wykorzystywać je w takim celu, aby było nam łatwiej żyć. Dlatego wedle słów Johnnego: Liczby służą nam nie tylko do liczenia, lecz także mierzenia. Bez nich nie dalibyśmy rady niczego zaplanować, zaprojektować ani zbudować. Nie moglibyśmy też badać świata ani dokonywać przełomowych odkryć naukowych.... Poznamy metamagików - tych wszystkich ludzi w dziejach, którzy wykorzystywali czarodziejską moc liczb do odkrywania sensu otaczających nas zjawisk oraz sekretów Wszechświata. Opowieść ta wiedzie z przeszłości wprost w teraźniejszość, ukazując dzisiejsze sekrety mierzenia absolutnie wszystkiego. I to jest właśnie esencja tego czym wypełniona jest niniejsza pozycja.

Po krótkim wstępie mamy ładnie opracowany spis treści. Jest on podzielony na trzy epoki: świat starożytny, epoka wielkich odkryć oraz współczesne pomiary. Pierwsza część zawiera 39 strony, druga zaledwie 16 stron, zaś ostatnia - 32. Kolejne dwie strony to odpowiedzi oraz podziękowania i źródła zdjęć oraz indeks. Łącznie jest to 90 stron, nie licząc kilku końcowych pustych żółtych stron.

Dzięki niej dowiemy się jak mierzono czas i powierzchnię, trochę o planetach nas otaczających, nawigacji na morzu, czy też sporządzaniu map świata. Do tego dochodzi także wyjaśnienie tego czym jest ciepło i zimno, czym jest energia, światło czy ciśnienie a także czym są fale, duże i małe liczby oraz miary dziwne i niesamowite. Słowem - bardzo duży przekrój tego wszystkiego, co otacza nas na co dzień... i jednocześnie nie zastanawiamy się dlaczego tak się dzieje.

Książka pokazuje nasz otaczający świat w kontekście wszystkich najciekawszych wynalazków, które stale wykorzystujemy, często wcale nie zdając sobie z tego sprawy. Pomimo, że książka została wydana w 2012 roku, to jednak niemal wszystkie zagadnienia pozostają nadal aktualne.

Ta pozycja najbardziej przydatna będzie dla dzieci w wieku 9-12 lat, które są ciekawe świata i chcą wiedzieć w jaki sposób on działa. Myślę, że jest to niezwykle wciągająca lektura, ponieważ ukazuje świat przez pryzmat matematyki.

A jakie są braki lub wady tej książki? Otóż wcale nie ma ich wiele. Najdrobniejsze z nich to brak przetłumaczonego na nasz język nagłówka (str.74) czy też błędny numer strony w spisie treści w punkcie ważenie (jest str.48 zamiast 38).

Tego czego najbardziej jednak brakuje w tej pozycji, to nieco większej liczby doświadczeń czy łamigłówek, a przede wszystkim - końcowego testu (quiz). Z uwagi na to, że to według mnie jedyne istotne braki, zatem ocena końcowa dla tej książki wynosi 9/10. Można powiedzieć, że gdyby nie to, że autor nie skupia się na liczbach, lecz na wyjaśnianiu zjawisk i wciąganiu czytelnika do świata ciekawości, to ocena byłaby o co najmniej stopień niższa. Dodam jeszcze, że książka jest kolorowa, wydana na cienkim papierze kredowym i bez problemu się rozkłada.

 

Podsumowanie: Na koniec jako podsumowanie można przytoczyć opis podany na ostatniej strony książki: Przyłącz się do Johnny'ego Balla i przeżyj pełną emocji przygodę, towarzysząc mu w niezwykłej podróży przez matematykę od starożytnych matemagików po współczesną naukę. Przedstawiona w tej książce fascynująca historia liczb i pomiarów pokazuje, jak ludzie odsłaniali ukryte wszędzie matematyczne wzorce oraz odkrywali, że wszystko działa dzięki matematyce.

Moim zdaniem w taki właśnie sposób powinna być przemycana i wyjaśniania matematyka w pierwszych latach nauki. Co prawda takie zajęcia wymagają od nauczyciela (bądź rodzica) solidnego przygotowania i dość rozległej wiedzy, ale gwarancją jest to, że każde dziecko rozpali swoją ciekawość i jak najszybciej będzie chciało samodzielnie odkrywać świat i poszukiwać sposobów jego zrozumienia. Ta pozycja może stanowić świetne wprowadzenie do świata nauki, którego jedną z osi jest matematyka.

Rola i znaczenie błędów w nauce matematyki i nie tylko - cz.2

W poprzedniej części wyjaśniłem to jakie informacje niesie ze sobą błąd i co powoduje. Tym razem zastanowimy się nad tym co sprawia, że nasze błędy są niezbędnym elementem rozwoju.

Zacznijmy od akceptacji tego, że w drodze do mistrzostwa niezbędne jest popełnianie błędów. Sztuką jest wyciąganie z nich wniosków oraz świadoma praca nad tym, aby dawały nam one możliwość wspinania się na kolejny poziom.

Błędy mogą być bardzo wartościową wskazówką do tego, co jest nam trudno przyjąć. Mogą nam pokazywać, że jeszcze nie opanowaliśmy danego zagadnienia lub nie mamy wystarczających umiejętności, do tego, aby móc płynnie i swobodnie poruszać się w danych obszarze.

Prawdopodobnie jeden z najbardziej popularnych błędów na świecie - absolutna klasyka matematyki

Jak to przejawia się w matematyce? Pokażę na przykładzie. Załóżmy, że zaczynamy wyjaśnianie tematu dodawania liczb w zbiorze naturalnym. I mamy dwa jabłka, do tego dokładamy jeszcze trzy, więc razem mamy ich pięć. Zapis jest prosty: 2+3=5. No dobrze, a gdy do 7 jabłek dodamy 3? Tak, otrzymamy 10, ponieważ suma 7 i 3, to właśnie tyle! Teraz zadajmy sobie pytanie - czy moglibyśmy od 7 jabłek odjąć 10? A czy od 2 możemy odjąć 5? Jeśli odpowiedzią jest to, że "tak się nie da", wówczas popełniamy błąd. Otóż można i należy jedynie stwierdzić, że w obecnej chwili oraz bez dodatkowych pojęć... nie wiemy jak tego dokonać. Niemniej przychodzi kolejny etap w którym dziecko poznaje liczby całkowite i wtedy okazuje się, że jednak się da. Dlaczego? Dlatego, że 5-2 oraz 2-5 to w sumie to samo działanie (odejmowanie), tylko jego wynik będzie "po drugiej stronie lustra". Jest ono realizowane w tym samym kierunku, chociaż wynik będzie po drugiej stronie zera. Tak samo jak 10-7 oraz 7-10. Zobaczmy, że odległością między tymi liczbami jest stale wartość trzy. Raz trójka jest dodatnia, a raz ujemna. Niemniej za każdym razem jest to ta sama trójka.

I jak teraz to wyjaśnić dziecku? Wystarczy w tym momencie pokazać i wytłumaczyć to czym jest winda, jak działa termometr okienny czy też wskazać odniesienie do poziomu morza. Zobacz Marysiu: jeśli mamy 10 stopni i temperatura zmniejszy się o 7, wówczas będzie 3 stopnie (zaznaczamy pierwszy punkt). A jeśli byłoby 7 stopni i spadła by o kolejne 10? Co wtedy? Tak, wówczas przechodzi przez pewną granicę, która rozdziela liczby (wartości) dodatnie i ujemne. Stąd wynikiem będzie -3 i zaznaczamy drugi punkt. I teraz wystarczy tylko dokładnie przyjrzeć się temu w jakiej odległości od zera (granicy) są 3 i -3. Okazuje się, że są dokładnie tak samo oddalone od zera! A jeśli niebawem przypomnimy ten przykład, to wystarczy dodać, że zarówno w górę jak i w dół obie trójki są oddalone o 3 jednostki. Stąd właśnie wartość bezwzględna dla 3 i -3 jest taka sama.

Myślę, że teraz wyraźnie widać w jaki sposób popełnienie błędu bez wyciągnięcia wniosków, będzie wpływało na hamowanie procesu rozwoju dziecka, prawda?

No dobrze, to ładne i ciekawe rozważanie teoretyczne. Pytanie jednak jak u mnie przejawiają się błędy i co mi one dają? Pozwolę sobie opisać ten fascynujący temat na własnym przykładzie.

Weźmy pierwszy z brzegu przykład. Fascynowało mnie to dlaczego dzieci popełniają błędy w przypadku zadań związanych z polami figur. Przede wszystkim mylą wzory w których jest "przez dwa" z tymi w których nie ma. Postawiłem sobie proste pytanie - dlaczego? I okazało się, że sam również tego nie rozumiałem, ponieważ wiedzę dotyczącą wzorów miałem podaną w szkole na zbyt często stosowanej uczniowskiej zasadzie "trzy zet" - zapamiętaj, zalicz, zapomnij.

I z uwagi na to, że chcę nie tylko samemu tę dziurę w wiedzy załatać, ale również pomóc nauczycielom w tym, aby mogli jeszcze lepiej uczyć swoich uczniów... więc zgłębiłem temat. Na pierwszy ogień poszedł temat trójkątów. Wiadomo, że trójkąty są lekkie, łatwe i przyjemne, więc co mogło w nich stanowić jakikolwiek problem? Otóż była nim wysokość! Tak, coś co wydaje się banalne i oczywiste... było dla mnie poważnym problemem i zarazem wyzwaniem. Podjąłem decyzję, że przyjrzę się tej wysokości i spróbuję wejść w rolę dziecka, które zupełnie nie rozumie dlaczego są akurat trzy wysokości w każdym trójkącie (!) oraz czemu niektóre z nich są w środku trójkąta, inne idą po jego bokach, a jeszcze kolejne wychodzą poza trójkąt!

W ten oto sposób powstała seria: "Wysokość w figurach rewelacyjnie opisana - to matematyka świetnie zrozumiana i solidnie opanowana". Poniżej podaję linki do tych poszczególnych części, bo za chwilę będę o nich opowiadał (w telegraficznym skrócie oczywiście). O tym w jaki sposób mój proces zgłębiania tematu coraz bardziej otwierał przede mną kolejne drzwi.

Oto odnośniki (linki) do pięciu części serii dotyczącej wysokości w figurach płaskich.

1) część 1: https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2019/01/wysokosc-w-figurach-rewelacyjnie.html

2) część 2: https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2019/01/wysokosc-w-figurach-rewelacyjnie_28.html

3) część 3: https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2019/02/wysokosc-w-figurach-rewelacyjnie.html

4) część 4: https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2019/03/wysokosc-w-figurach-rewelacyjnie.html

5) część 5: https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2019/03/wysokosc-w-figurach-rewelacyjnie_24.html


Na początku postanowiłem przyjrzeć się temu co by się stało, gdybyśmy wykorzystali koncepcję szyn (torów) do tego, aby mieścić w niej nasze wysokości. Okazało się, że zastosowana koncepcja jest rewelacyjna, ponieważ teraz doskonale rozumiem dlaczego wyznaczamy ją z wierzchołka do podstawy. Musiałem zdefiniować wysokość i wyjaśnić (przede wszystkim sobie!) to jaka jest jest rola.

W kolejnej odsłonie przyjrzałem się innemu elementowi: w jaki sposób będzie wyglądała wysokość w trójkącie prostokątnym i rozwartokątnym. Z uwagi na to, że miałem już wszystkie niezbędne informacje, więc postanowiłem zebrać je w jednym miejscu w postaci tabeli. Nastąpiła kolejna wielka chwila, ponieważ zrozumiałem co się dzieje z punktem przecięcia wysokości (tzw. ortocentrum) w zależności od tego jak bardzo rozwiera się trójkąt. Okazało się, że w trójkącie ostrokątnym przecięcie jest w środku trójkąta, w prostokątnym - w wierzchołku kąta prostego, zaś rozwartokątnym - poza nim (nad największym kątem). Poza tym zrobiłem krótkie podsumowanie i podałem wskazówki. Teraz wiem jak najprościej wyznaczyć dowolną wysokość w trójkącie.

Trzecie podejście było konieczne, ponieważ wiedziałem już o wysokościach w trójkątach, ale musiałem mieć pewność, że rozumiem ją również na przykładzie czworokątów. I poszedłem o krok dalej, bo zastosowałem koncepcję szyn (pudełka) do tego, aby zobaczyć na ile będzie pomocna w wyjaśnianiu tego jak powstają czworokąty. Znów okazało się, że pójście o krok dalej daje pozwala mi otworzyć kolejne drzwi. Byłem mocno i zarazem mile zaskoczony tym, że nie da się niepoprawnie narysować danej figury, wykorzystując koncepcje szyn oraz wskazówki, którymi należy się kierować konstruując daną figurę. Rezultatem tych poszukiwań była moja wisienka na torcie. Tak, to właśnie tabela, która wyraźnie i prosto pokazuje, jakie właściwości ma każda z figur i która z nich należy do innej grupy. Przyznam, że akurat z tego odkrycia i dobrego opracowania jestem cholernie dumny. Czemu? Otóż dlatego, że to jedna z nielicznych tabel, która może w bardzo prosty sposób pomóc dzieciom utrwalić to czy prostokąt jest równoległobokiem zaś trapez prostokątem. I co mega ważne - jest to opracowane nie tylko poprawnie, ale również w postaci fajnej zabawy z dwiema kostkami.

Czwarta część dała mi impuls do tego, aby odkryć co takiego wiąże z tymi figurami. Powiem tylko, że zaprezentowałem pewien pomysł na to jak można pokazać i wyjaśnić sens powstawania wzorów na obliczanie pól figur. Ten artykuł akurat był dość krótki, ponieważ poprzedni był bardzo dogłębny i zrozumiałem, że nie muszę już rozpisywać się o czymś, co jest w tym momencie w pełni zrozumiałe jak też intuicyjne. Przy okazji mimochodem doszło do mnie to dlaczego jednostkami, które używamy do określenia pola... są jednostki kwadratowe, a nie powiedzmy, trójkątne.

Ostatnia część została opracowana po to, aby powiedzieć co nieco na temat specjalnych trójkątów równoramiennych. Podczas wielokrotnej analizy takich figur jak kwadrat, równoległobok oraz romb... magicznie pojawiały mi się w polu świadomości dziwne obiekty, których nie potrafiłem nazwać, chociaż stale je dostrzegałem. No i szybko powstały jak Feniks z popiołów - półkwadratus i półrombus. I to właśnie one dostały swoje pięć minut, aby zabłysnąć.

Zwieńczeniem całości był zestaw propozycji twórczych ćwiczeń dla dzieci - rysowanie, układanie, rozcinanie, łączenie i wnioski. Jestem przekonany, że na bazie tych właściwości można zaprojektować bardzo ciekawe i rozwijające twórczość ćwiczenia. Dodałem do tego również to, że jeśli tylko damy dzieciom odpowiednie warunki do rozwoju, wówczas ich ciekawość samodzielnie będzie je prowadzić w kierunku tego co ich pociąga. Wystarczy tylko stworzyć odpowiednie warunki i zachęcać do tworzenia, sprawdzania, opisywania, odkrywania i wnioskowania.

Po tym krótkim opisie wrócę do tego co jest sednem tego artykułu. W pewnym momencie zdałem sobie sprawę, że mam pewne braki oraz zrozumiałem to, że błędy, które popełniają dzieci... mają swoją przyczynę. Postanowiłem zatem poszukać tego co może sprawić, że uda się wyeliminować te błędy. Niemniej, aby dojść do tych koncepcji i wniosków, które zaprezentowałem w serii o wysokości, musiałem popełnić wiele błędów. Wystarczy powiedzieć, że minął rok od chwili, gdy obiecałem jednej z osób, że zajmę się tym zagadnieniem na poważnie. I w końcu po wielu przemyśleniach oraz analizach i próbach, odważyłem się na to, aby podzielić się tym czego nie rozumiałem. Dziesiątki razy musiałem moje koncepcje sprawdzać i co chwilę coś mi się rozpadało. Gdybym miał oszacować, to podejrzewam, że na stworzenie powyższej serii poświęciłem co najmniej 60-80 godzin. Teraz czytelnik może się lekko zdziwić, bo wydaje się przecież, że napisanie kilku artykułów to kwestia 10-15 godzin pracy, prawda? W moim wypadku cała praca łącznie z opracowywaniem grafik, tabel i wizualnej strony tekstu (artykułów) zamknęła się w około 100 godzinach.

Błędy w moim wypadku stale pokazywały (i nadal oczywiście pokazują!) mi to, że muszę wziąć pod uwagę informacje, które one mi przekazują. Za każdym razem próbowałem przyglądać się temu dlaczego się one pojawiają i co takiego chcą mi przekazać. Bez błędów nie byłbym w stanie stworzyć tego czym się podzieliłem, a co za tym idzie - nie byłbym o kolejny krok do przodu jeśli chodzi o moją matematyczną edukację w kierunku mistrzostwa (pełni zrozumienia).

Wnioski, które chciałem przekazać w tym artykułu są takie:
1. Błędy są integralną częścią i absolutnie niezbędnym elementem rozwoju.
2. Z każdego błędu wyciągajmy odpowiednie wnioski.
3. Zachęcajmy dzieci do tego, aby chciały odkrywać i tworzyć.
4. Twórzmy optymalne warunki do rozwoju, poprzez wyjaśnianie i docenianie błędów.
5. Pokazujmy na własnym przykładzie, to że im lepsze wnioski wyciągamy, tym lepsze błędy popełniamy.
6. Dawajmy poczucie bezpieczeństwa oraz wspierajmy do tego, aby popełniać wartościowe błędy.

Mam nadzieję, że w pierwszej odsłonie opisałem krótko to dlaczego błędy są niezbędne w naszym rozwoju. W tym miejscu na własnym przykładzie pokazałem jak to działa i jakie przynosi owoce (rezultaty). W kolejnych odsłonach będę przekonywał i pokazywał w jaki sposób można dawać dzieciom radość oraz poczucie sprawczości, wolności tworzenia oraz rozwijania swojego potencjału.

PODSUMOWANIE: Zdaję sobie sprawę, że kilka początkowych artykułów może wydawać się w niezbyt dużym stopniu matematycznymi, ale spieszę zapewnić, że po omówieniu powyższych solidnych podstaw (zobacz punkty we wnioskach), będę również pokazywał typowo matematyczne błędy i to w jaki sposób możemy je eliminować i na co najbardziej trzeba zwracać uwagę. Na razie jednak chcę zbudować solidne fundamenty teoretyczne, które mogą być stosowane do każdej aktywności, aby potem przejść do obszaru matematycznej edukacji. Dobrze jest bowiem mieć ogólny zarys tego z czym jest związana tematyka błędów, aby później nie musieć zadawać sobie trochę dziwnych pytań - chociażby takich jak "czy nie lepiej jest od razu podać gotowego rozwiązania" lub też stwierdzić, że "wystarczy tylko rozwiązywać tysiące zadań". Tego bowiem absolutnie chciałbym uniknąć.