środa, 3 lipca 2019

Potęgi razem z pierwiastkami - pozornie trudne zagadnienia... i już wszelkie trudności za nami - cz.5

Pierwiastkowanie to działanie odwrotne do potęgowania. Czyli w tej odsłonie będziemy sprawdzali co się dzieje gdy chcemy obliczyć pierwiastek z danej liczby. Od razu dodam, że będę posługiwał się w kilku miejscach oryginalną koncepcją, której prawdopodobnie nie ma nigdzie indziej używanej. Niemniej będę wyjaśniał najlepiej jak to tylko możliwe, więc wystarczy tylko uważnie czytać i myśleć nad tym co przekazuję.

Przy okazji dodam, że tym razem artykuł można przeczytać na 2 sposoby. Pierwszym jest tradycyjny czyli od początku do samego końca, zaś drugi to ... doczytanie do pierwszego nagłówka, przeskoczenie do nagłówka drugiego i doczytanie do podsumowania, a potem powrót do pierwszego nagłówka i dokończenie artykułu. W ten sposób pierwiastki mogą jeszcze lepiej się utrwalić, ponieważ stopień zrozumienia tego artykułu jest związany z zasobem wiedzy czytelnika i tym, które zagadnienia lepiej mu wchodzą do głowy jako pierwsze. Dlatego można czytać na dwa sposoby bez obaw, że nic się nie zrozumie.

W przypadku potęgowania mieliśmy do czynienia z 3 elementami: podstawą potęgi, wykładnikiem oraz wartością (wynikiem działania). Jeśli chodzi o pierwiastkowanie to będzie również taki sam podział. Przy każdej wartości pierwiastka musimy wiedzieć o tym jaka jest wartość podpierwiastkowa oraz jaki jest stopień pierwiastka. Ten pierwszy element odpowiada na pytanie jaką liczbę będziemy rozkładać (rozbijać), zaś ten drugi - na ile tych samych czynników. Wynik natomiast pierwiastkowania będzie nam mówił jaka była podstawa potęgowania. Można zatem powiedzieć, że to takie nieco bardziej oryginalne znajdowanie (zgadywanie) pierwotnej liczby, która była mnożona przez siebie tyle razy, aż dała liczbę podpierwiastkową.


PRZEŁOM W MATEMATYCE - czyli koncepcja potęg i pierwiastków w postaci trójkąta

Zobaczmy na przykładach jak się ma do siebie potęgowanie i pierwiastkowanie. Uprzedzam, że jest to raczej koncepcja nietypowa (oryginalna), ponieważ chodzi o to, aby znacznie lepiej przedstawić istotę pierwiastka i działania zwanego pierwiastkowaniem.

Jak zrozumieć znaczenie treści w tabeli poniżej? Przede wszystkim narysujmy wyraźnie trójkąt równoboczny i pisząc (czytając) od lewej strony mamy: podstawę potęgi, na górze wierzchołka trójkąta - wykładnik potęgi, na końcu trójkąta - wartość końcową. I pewnie już przypominamy sobie, że tak to właśnie jest w przypadku potęgowania.

Teraz przejdźmy do pierwiastkowania. Wiemy, że jest to działanie odwrotne, więc spróbujmy również przeczytać nasze wartości w odwrotnym kierunku - od prawej do lewej. I tak - mamy najpierw liczbę podpierwiastkową (liczba ppw), na wierzchołku jest stopień pierwiastka (odpowiednik naszego wykładnika potęgi), a na samym końcu po lewej stronie mamy wynik pierwiastkowania (tak, to odpowiednik podstawy potęgi).

W tym momencie musimy rzucić okiem na poniższe tabele, które pokazują co się dzieje w przypadku potęgowania i pierwiastkowania dla liczby 2, 3 i 4.

TABELA 1: dwójka w przełomowej koncepcji trójkąta - potęgowanie (od lewej do prawej)

TABELA 2: dwójka w przełomowej koncepcji trójkąta - pierwiastkowanie (od prawej do lewej)


TABELA 3: trójka w przełomowej koncepcji trójkąta - potęgowanie (od lewej do prawej)

TABELA 4: trójka w przełomowej koncepcji trójkąta - pierwiastkowanie (od prawej do lewej)


TABELA 5: czwórka w przełomowej koncepcji trójkąta - potęgowanie (od lewej do prawej)

TABELA 6: czwórka w przełomowej koncepcji trójkąta - pierwiastkowanie (od prawej do lewej)

Pierwszy wiersz zawiera wykładniki potęg dla każdego potęgowania, a jednocześnie są to stopnie pierwiastków, gdy czytamy od tyłu (tzn. od prawej do lewej). Drugi wiersz to pełen zapis potęgi albo pierwiastka, a ostatni wiersz - wynik końcowy albo dla potęgowania albo pierwiastkowania. W tym wypadku kolor każdej liczby ma ogromne znaczenie, więc analizując zapis w tabeli warto na to zwrócić uwagę.

Omówimy sobie teraz znaczenie dwóch elementów, które muszą zostać bardzo dobrze zrozumiane. Są nimi liczba podpierwiastkowa (liczba ppw) oraz stopień pierwiastka.

Liczba podpierwiastkowa mówi nam o tym na jakiej liczbie będziemy przeprowadzać operację (liczba wyjściowa). Jej odpowiednikiem w potęgowaniu jest podstawa potęgi.

Z kolei stopień pierwiastka informuje nas o tym na ile jednakowych czynników mamy rozdzielać liczbę wyjściową (ppw). I pewnie już domyślamy się, że odpowiednikiem stopnia pierwiastka jest wykładnik potęgi.

I właśnie na tych dwóch elementach będziemy przeprowadzać operację, której rezultatem będzie wynik końcowy (wartość pierwiastka).

Znowu konieczne będzie pewne założenie, które pomoże nam solidnie zrozumieć podstawy. Chodzi o to, abyśmy pomyśleli o tym, że stopień pierwiastka na razie musi być dodatnią liczbą naturalną (czyli całkowitą nieujemną różną od zera). Dlaczego? Otóż łatwo jest zrozumieć rozbijanie liczby na kilka części w której każda jest identyczna.

Teraz spróbujmy sobie porozmawiać o stopniu pierwiastka. W jaki sposób on działa i jaka jest jego funkcja? Stopień pierwiastka mówi o tym, na ile czynników mamy rozbijać liczbę podpierwiastkową (ppw).

Czynniki muszą być zawsze identyczne oraz ich iloczyn musi być równy liczbie od której wychodzimy (ppw).

Przykładowo weźmy liczbę 4. Jaka będzie wartość pierwiastka stopnia pierwszego z tej liczby? W tym wypadku będzie to dokładnie ta sama liczba. Dlaczego? Ponieważ pierwszy stopień pierwiastka pełni tę samą funkcję jak pierwszy stopień (wykładnik) potęgi - w obu przypadkach nic nie zmienia z liczby wyjściowej.

Dlaczego zatem zastosowałem zapis liczby w której mamy pierwszy stopień pierwiastka? Są ku temu dwa powody. Pierwszy to spójność z poprzednimi częściami w których pokazywałem liczbę podnoszoną do potęgi pierwszej, a drugi to dopełnienie tego czego brakuje w literaturze przedmiotu. Nie jest to oczywiście nic niezwykłego ani przełom w matematyce, ale dodanie tej brakującej cegiełki, której brak może utrudniać zrozumienie istoty pierwiastka.


ROZKŁAD LICZBY na dwa czynniki - czyli o potęgowaniu i pierwiastkowaniu w stopniu drugim

I teraz analiza kilka prostych przykładów.

Weźmy liczby 4, 9, 16, 25 i 36. Jaką wartość uzyskamy, gdy będziemy chcieli spierwiastkować każdą z nich w stopniu drugim? Oto prosty zapis, który powinien wszystko wyjaśniać.

Jak rozbić 4, 9, 16, 25 i 36 na dwa czynniki, których iloczyn daje liczbę wyjściową?


Z tego wniosek, że wynikiem pierwiastkowania jest ta liczba, która musiała być podstawą potęgowania. Są nimi odpowiednio: 2, 3, 4, 5 i 6. Zapisujemy to w ten sposób:


Na tym zakończmy pierwszą część poświęconą pierwiastkom. Ponownie zalecam proste ćwiczenia na liczbach całkowitych dodatnich, aby sprawdzić które z nich możemy pierwiastkować. W kolejnej odsłonie powiemy sobie o ograniczeniach związanych z tym procesem, których nie było przy potęgowaniu (jest jedno, ale na razie nie jest ono dla nas istotne). Proszę pobawić się liczbami 2, 3, 4 i mnożyć je przez siebie (2x2x2, 3x3x3, 4x4x4) oraz rozbijać tym samym stopniem pierwiastka jaki był w wykładniku potęgi (liczbie czynników w procesie mnożenia).

I najważniejsze: nie bójmy się popełniać błędów oraz zadawać pytań. Dzięki temu nasz proces potęgowania znacznie przyspieszy i jeszcze pełniej zrozumiemy jego związek z potęgowaniem. Pierwiastkowanie jest nieco bardziej wymagające od potęgowania, ale jest na tyle łatwe, że powoli będziemy przechodzili przez kolejne szczeble wtajemniczenia, aby wszystko stało się jasne.

Podsumowanie: pierwiastkowanie to działanie odwrotne do potęgowania. Polega ono na znalezieniu wyniku naszego pierwiastka (jest nim podstawa potęgi), na podstawie liczby podpierwiastkowej... wiedząc o tym na ile czynników iloczynu została ona rozbita (mówi o tym stopień pierwiastka i jednocześnie wykładnik potęgi). Być może brzmi nieco naukowo, ale wystarczy zobaczyć i na spokojnie przeanalizować powyższe przykłady, aby przekonać się, że tylko używane pojęcia są trochę dziwnie brzmiące. Proces pierwiastkowania zostanie jeszcze pokazany w innym ujęciu (bardziej praktycznym) w kolejnej odsłonie. W ten sposób będziemy mogli jednocześnie upiec dwie pieczenie przy jednym ogniu.

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

Jeśli chcesz, aby twoja wiadomość nie została odrzucona przez system jako spam (usunięte), to podpisz się swoim imieniem lub pseudonimem. Dziękuję :)