czwartek, 20 marca 2025

Matma jakiej nie znasz po 7 latach - blisko ćwierć miliona wyświetleń - mały jubileusz i krótkie podsumowanie




Z uwagi na to, że niebawem minie 7 lat od momentu opublikowania pierwszego postu na blogu, to chciałbym pokrótce wspomnieć o tym co się wydarzyło przez ten czas w telegraficznym skrócie. Postaram się zmieścić w możliwie najkrótszym oknie czasowym.


Przede wszystkim blog został założony w takim celu, aby wszystkie cenne informacje oraz pomysły, którymi dzieliłem się na grupach edukacyjnych (w tym także tych o charakterze typowo związanych z matematyką) po prostu nie zginęły w czeluściach Internetu. Obecnie mija około 10 lat od chwili, gdy zacząłem szukać rozwiązania problemu związanego z tym, że dzieci i młodzież nie lubiły matematyki. Dla mnie to było nie do pomyślenia, że młodzież wręcz przeklina zarówno matematykę jak i czasami także swoich nauczycieli, tylko dlatego, że owa matematyka niszczy ich marzenia o dalszym studiowaniu i rozwijaniu pasji, która nie musi przecież mieć dużo wspólnego z matematyką, prawda?


Najpierw zacząłem analizować kwestie związaną z tym, że uczniowie uczą się matematyki przez 13-14 lat (w zależności od modelu szkoły, obecnie nie mamy już gimnazjów), a nie są w stanie napisać matury z matematyki na poziomie 30% (taki jest próg zaliczenia). Było to dla mnie szokujące, bo oznaczało to, że albo zadania na maturze są kosmicznie trudne (a dodam, że cały czas mówię o maturze podstawowej) albo też uczniowie mają tak niski poziom kompetencji matematycznych, że po ponad dekadzie nauki dalej nie są w stanie ogarnąć solidnych podstaw matematycznych. Tak czy inaczej zaczęło mnie to poważnie martwić.


Po kilku latach analiz doszedłem do wniosku, że coś musi być niezrozumiałego w tym, że uczniowie uciekają od tej matematyki, a do tego pisanie dla nich matury z matematyki to jest jedno z najbardziej traumatycznych wydarzeń w ich życiu. Chwila, chwila! Czy ja powiedziałem stresujących czy traumatycznych? No właśnie. Nie przejęzyczyłem się.


Od roku 2014 do 2019 analizowałem treści w ramach podstawy programowej obowiązującej w szkole średniej (ponadpodstawowej), a do tego przeprowadziłem eksperyment związany z tym, że przyjrzę się uważnie podręcznikom oraz treściom jak też zadaniom, które miały w tak negatywny sposób oddziaływać na zdecydowanie zbyt dużą część młodzieży. Po tym czasie stwierdziłem, że o ile treści na tym etapie edukacyjnym są zdecydowanie zbyt abstrakcyjne dla młodzieży, to coś pewnie jeszcze za tym się kryć musi. Otóż, gdy coraz bardziej intensywnie czytałem komentarze i artykuły dotyczące nauczania matematyki w szkole średniej, to doszedłem do jakże odkrywczego wniosku, że skoro nauczyciele matematyki narzekają na zbyt niski poziom uczniów na początku kolejnego etapu nauki, to problem musi leżeć wcześniej!


Z uwagi na powyższe odkrycie, zdecydowałem, że nadszedł czas na to, aby sprawdzić czy matematyka uczona w ramach podstawy programowej w szkole podstawowej jest na tyle trudna, że dzieci i już praktycznie młodzież, nie są w stanie jej zrozumieć na wystarczającym poziomie, aby nauczyciele w szkole średniej nie rwali włosów z głowy? Tym razem okazało się, że analiza zagadnień oraz tego w jaki sposób są one prezentowane w podręcznikach, raczej nie będzie gwarancją tego, że dzieci wszystko zrozumieją na takim poziomie jaki jest niezbędny, aby w szkole średniej można było z nimi pracować na przyzwoitym poziomie.


Dlatego od mniej więcej roku 2019 analizowałem treści w ramach podstawy programowej obowiązującej w szkole podstawowej (nadal to robię) i wyraźnie widzę, że jest sporo tematów, które są zbyt trudne dla współczesnych dzieci. Po 6 latach stwierdzam, że nie tylko część zagadnień (np. dowodzenie i duża część zadań tekstowych) jest poza realnymi możliwościami dzieci kończących szkołę podstawową, ale także jako nauczyciele i edukatorzy zbyt często używamy metod i sposobów nauki, które dziś nie będą w stanie sprawić, że dzieci zrozumieją to, co niezbędne, aby ich poziom matematyczny był wystarczająco dobry.


No i w końcu wpadłem na pomysł, aby moje pomysły i tłumaczenia matematycznych zagadnień zebrać w jednym miejscu do którego każdy będzie miał dostęp, a pomysły jak też opis przebiegu zajęć mogły dać wszystkich nauczycielom i edukatorom, niezbędne narzędzie do tego, aby mogli tłumaczyć i wyjaśniać matematykę w taki sposób w jaki dzieci będą mogły ją zrozumieć. Nie muszę chyba dodawać, że matematyka, która jest przekazywana poprzez hermetyczny język, bez przejścia na poziom rozumowania dzieci, to tak naprawdę strata czasu. Często porównuję to do tego, gdybyśmy byli na wykładach po chińsku, kompletnie nie znając tego języka: skutek czy jak kto woli rezultat będzie taki sam.



Tak naprawdę to wcale nie byłem przekonany do tego, aby założyć bloga i pisywać na nim artykuły. Dlaczego? Po pierwsze dlatego, że po prostu nie wiedziałem jak się prowadzi bloga od strony technicznej. Po drugie: nie miałem pewności czy będę w stanie ułożyć na blogu wszystkie elementy matematyczne tak, aby były wystarczająco widoczne i jednocześnie zrozumiałe dla wszystkich. Po trzecie: nie za bardzo wierzyłem, że będę w stanie dotrzeć do kogokolwiek poza mną, moim kotem i babcią, czyli nie dowierzałem, że ktokolwiek będzie chciał czytać to co będę publikował. W jedno w co niezłomnie wierzyłem i nadal wierzę, to kwestia tego, że naprawdę wiem w jaki sposób wyjaśniać matematyczne zagadnienia w sposób ciekawy, inny, bardziej zrozumiały, przejrzysty, bardziej intuicyjny czy też po prostu ludzki. Byłem przekonany jednocześnie, że moje kalectwo jeśli chodzi o używanie technologii, sprawi że pomimo wartości merytorycznej wygląd będzie po prostu odstraszał każdego, kto nawet przypadkowo znajdzie się na moim blogu.


Tak czy inaczej, po wielu miesiącach wewnętrznej bitwy ze sobą i z myślami, postanowiłem że przynajmniej spróbuję. Jeśli spieprzę, to będę miał dowód na to, że wiem jak uczyć matematyki lepiej, ale nie potrafię przekazać w atrakcyjnej formie. Bałem się, że nie będę mógł odpowiednio wyrażać symboli i wzorów matematycznych, więc wszystko będzie wyglądać jak psu z gardła wyjęte. Potem w mojej pustej głowie pojawiła się jakże genialna myśl związana z tym, że przecież nie będę miał odpowiednich narzędzi do tego, aby powiedzmy narysować odpowiednie figury geometryczne oraz wszystkie relacje między nimi, za pomocą strzałek, odcinków czy też innych istotnych oznaczeń. I jak teraz na to patrzę z perspektywy tego, że moje obawy były tak oderwane od rzeczywistości, to zastanawiam się kto mi zhakował umysł. Niestety to byłem ja sam, za co teraz biję się w piersi i ostrzegam innych, którym podobne niestworzone pomysły biegają po głowie.

No i w końcu postanowiłem, że czas ruszyć i zaakceptowałem to, że jak coś spieprzę, to zawsze albo mogę to zmienić i poprawić albo przynajmniej będę miał doświadczenie związane z tym, czego się jeszcze muszę nauczyć i co przygotować, abym mógł przekazywać moje pomysły dla nauczycieli, którzy na nie czekali! I ta myśl o tym, że są tysiące dzieci, które chciałby zrozumieć matematykę, ale ich nauczyciele jeszcze nie dotarli do wystarczająco dobrych i prostych sposobów wyjaśniania różnych zagadnień, sprawiała że parłem do przodu. Wiedziałem, że nie piszę tego dla siebie, tylko dla tych, którzy czuli się nie tyle skrzywdzeni przez los, ile przez matematykę lub ich nauczyciela matematyki. Bez względu na to, który z powodów był prawdziwy, a który kompletnie od czapy, konieczne było rozpoczęcie procesu tworzenia i publikowania.



Pierwszy artykuł opublikowałem 23 maja 2018 roku, a jego tytuł brzmi: "Matematyka ciekawi i inspiruje... zaczynamy". Była to zapowiedź tego, czego można będzie się spodziewać w mojej przestrzeni w której będę publikował, a która to będzie dostępna dla każdego, kto będzie chciał czytać o tym w jaki sposób matematykę można lepiej uczyć i mówiąc po młodzieżowemu - łatwiej ogarnąć. Z technicznych kwestii to mogę dodać, że musiałem wybrać platformę na której będę publikował (blogspot), a do tego będzie konieczny tytuł bloga oraz logo. Co do tytułu, to spośród około 60 możliwych propozycji, które wypisałem, szukałem tego tytułu bloga, który najbardziej będzie opisywał to, co jest moim celem: pokazanie matematyki jakiej wielu uczniów, ale i nauczycieli... nie zna! No i w końcu wybór padł na "matma jakiej nie znasz". Niektórzy mogą powiedzieć, że przecież to jest igranie z ogniem, bo nauczyciele matematyki są bogami, którzy posiedli nadzwyczajny dar rozumienia całego wszechświata, więc z matematyki wszystko każdemu są w stanie bez problemy wytłumaczyć. Okazuje się jednak, że ja miałem naprawdę dość duże doświadczenie związane z bezpośrednim kontaktem z dziećmi i młodzieżą, którzy mi wyjaśniali to w jaki sposób w szkole ich nauczyciel wyjaśniał dane zagadnienia oraz na ile oni cokolwiek z tego zrozumieli. Nie muszę podkreślać, że brałem pod uwagę to, że jeśli uczeń w czasie lekcji nie jest skupiony, to nauczyciel może stawać na głowie, a pomimo tego, uczeń dalej niewiele będzie rozumiał. Tak czy inaczej miałem okazję uczyć różne dzieci, które były na tak niskim poziomie matematycznych kompetencji, że często się pytałem do której chodzą klasy, bo większość nauczycieli po kilku spotkaniach z takimi uczniami, wnioskowałaby o przeniesienie ich 2 lub niekiedy nawet 3 klasy niżej (na wcześniejszy etap edukacji). W skrócie mówiąc, wiedziałem że jeśli nie będę w stanie wyjaśniać matematycznych koncepcji w taki sposób, żeby zrozumiał nawet mój pies lub kot, to nie będę w stanie nic sensownego przekazać później nauczycielom, którzy mają owym dzieciom nalać magicznie matematycznego oleju do głowy. Oczywiście tego oleju, który wycisną na bazie moich artykułów w których będę hojnie dzielił się pomysłami i przykładowymi pytaniami do zajęć.


Potem kolejne artykuły poszły już w miarę płynnie. Pięć dni później wrzuciłem pierwszy merytoryczny artykuł związany z czymś co jest banalne, ale jednocześnie nie wszyscy o tym wiedzą. Było i cały czas jest to w większym lub mniejszym stopniu nawiązanie do tego o czym wcześniej wspomniałem: pokażę wam matmę jakie nie znacie! No i byłem przekonany, że tak zwane oczywiste rzeczy, są w większości oczywiste, ale niestety dla nauczycieli a nie dla uczniów. Nauczyciel, który kilka lub kilkanaście lat powtarza i uczy danego zagadnienia, staje się w nim niemal ekspertem, więc w pewnym momencie uznaje, że to jest tak banalne, że każdy to musi znać. Tak czy inaczej magiczne właściwości dwóch cyfr - 0 i 1 w akcji, musiały zostać ujawnione, wyjaśnione jak też przyswojone. Wiedziałem także, że muszę używać takich sposobów, aby dotrzeć do tych, którzy będą chcieli to dalej wykorzystywać. Jedną z takich sztuczek było i nadal jest rymowanie oraz poszukiwanie nietypowych fraz, które będą się dobrze kojarzyć i zapadną w pamięć.


No i następne artykuły pojawiały się coraz częściej na blogu. Oczywiście miałem wiele pomysłów na to, które zagadnienia i w jaki sposób mam opisać, aby były zrozumiałem, prosto wyjaśnione a jednocześnie możliwe do praktycznego zastosowania czy też chociażby trwałego zapamiętania. Przyznam, że w moim magicznym zeszycie na przestrzeni ostatniej dekady, zapisywałem różne pomysły i sposoby na to, aby wyjaśnić to co w podręczniku, ale znacznie lepiej, łatwiej i przystępniej. Niekiedy takie wyzwania byłem w stanie ukończyć po kilku tygodniach, ale bywały też i takie tematy, że musiałem próbować je złamać (podobnie jak szyfr Enigmy!), testując dziesiątki różnych sposobów. Rekordem jeśli dobrze kojarzę był czas poświęcony na wymyślenie i opracowanie tabeli związanej z najważniejszymi własnościami czworokątów: ich definicje jak też wszystkie kluczowe cechy w kontekście ich kątów oraz boków. Zajęło mi to jakieś 3 lata, ponieważ chciałem, aby dzieci mogły mieć jedną tabelę w której wszystko zostanie tak przedstawione, że będą mogły bez problemu zrozumieć wszystkie własności czworokątów, mając jednocześnie możliwość porównywania ich między sobą. To jest tabela z której jest dumny do dziś dnia. A co z tymi pomysłami w zeszycie? Nic. Po prostu zapisywałem je, a potem jak pojawiła się potrzeba, aby je zebrać do kupy, to przy wpisywaniu je na listę jeden po drugim, okazało się, że jest ich około stu! Mówiąc wprost - wystarczająco na to, aby spokojnie wystarczyło na powiedzmy 60-70 artykułów.


Tworzenie i publikowanie artykułów szło mi tak dobrze, że w pewnym momencie postanowiłem, że wezmę się za coś, co jest kompletną czarną magią dla uczniów, a nauczyciele kompletnie nie wiedzą jak to tłumaczyć uczniom - dowodami i dowodzeniem. Wydawało mi się, że skoro mam kilka zbiorów zadań z takimi zadaniami i książką, która opisuje w jaki sposób dowodzić dane kwestie, to przecież mogę takie książki przeczytać, przenalizować i na bazie tego podzielić się z nauczycielem magicznym eliksirem, który sprawi, że dzieci będą dowodziły tak, że każdy prawnik na sali sądowej będzie się przyglądał zachwytem. Po latach zrozumiałem, że są to zagadnienia na tyle trudne, że sam je ledwie rozumiem, więc ich tłumaczenie nauczycielom, aby mogli owe wyjaśnienia przelać do głów uczniów... raczej nie będzie możliwe.


W pewnym momencie zrozumiałem, że matematyka to nie tylko konkretne zagadnienia, ale także i książki, które mogą być pomocne zarówno w pracy nauczyciela jak i edukatora (może nim być rodzic lub ktoś kto formalnie nie jest nauczycielem po studiach, ale zajmuje się pomaganiem w nauce dzieciom i młodzieży). No i na pierwszy ogień poszła recenzja książki: Matematyka w 30 sekund - czyli 30 fascynujących zagadnień matematycznych wyjaśnionych w pół minuty. Szybko zorientowałem się, że dobrze byłoby, aby była to jakaś seria, więc nadałem jej nazwę BIBLIOTEKA NAUCZYCIELA MATEMATYKI, aby każdy natychmiast wiedział, że to recenzja książki, a nie artykuł merytoryczny.


Dalej praca szła dość intensywnie i miałem dużo pomysłów oraz inspirację do tego, aby pisać i dzielić się z innymi, tak długo jak długo będę w stanie to realizować. Pomyślałem o tym, że zagadnienia potęg i pierwiastków, pomimo że formalnie są bardziej intensywnie realizowane w szkole średniej, ale jednak występują jako podstawy w szkole podstawowej. Z uwagi na to zdecydowałem, że trzeba będzie się nimi zająć właśnie po to, aby dzieci rozumiały ich sens jak też wiedziały w jaki sposób można je zrozumieć. Tak się rozpędziłem, że powstała z tego seria 10 artykułów w którym omawiam dość dogłębnie wszystkie najważniejsze kwestie z nimi związane. Wydaje mi się, że wyszło dość dobrze, chociaż na pewno można byłoby jeszcze sporo ulepszyć.


Kolejno chciałem podgonić recenzję książek związanych z matematyką, ale takich, które mogłyby być także polecane dla osób, które nie specjalizują się w nauce matematyki. Było tak głównie dlatego, że w grupie edukacji domowej było wiele osób, które poszukiwały takich pozycji dla swoich bardziej zdolnych czy też bardzo ciekawych świata dzieci. Stąd napisałem i opublikowałem recenzję kilkunastu książek, w tym także takich, które mówią o nauczaniu i wspieraniu dzieci w rozwijaniu ich potencjału. W międzyczasie pojawiły się bardzo ładnie ilustrowane ekonomikony, którymi dzieliła się Magdalena Cyrczak-Skibniewska. Poprosiłem ją o zgodę na to, aby w jednym miejscu wkleić najważniejsze z tych przepięknych i prostych w zrozumieniu infografik, które wyjaśniały najważniejsze kwestie z ekonomii, ale w taki sposób, że każdy mógł je dobrze zrozumieć, a przy okazji jestem pewien, że mogą być wykorzystywane także na zajęciach z matematyki.


Potem powoli rozwijała się pandemia oraz lockdown sprawił, że świat mocno się zmienił. Przy okazji opublikowałem stosunkowo dużo z tego co planowałem, a że nie bardzo wiedziałem co jeszcze sensownego mógłbym przekazać światu matematycznemu (i oczywiście nauczycielom), to postanowiłem, że opracuję coś na kształt złotych zasad i porad, które sprawią, łatwiej będzie osiągać sukcesy w matematyce. To był czas w którym w wielu miejscach zastanawiano się w jaki sposób uczeń powinien funkcjonować, aby mieć niejako drogowskaz, który pomoże mu w podążaniu prawidłową drogą. 10 złotych zasad i porad - czyli wujek Tomek podpowiada jak osiągnąć matematyczny sukces, to tytuł artykułu, który pojawił się we środę, 20 kwietnia 2022 roku. W tamtym czasie cieszył się dużym uznaniem i wielu nauczycieli powiedziało, że właśnie czegoś takiego potrzebowali, ale nie bardzo wiedzieli gdzie mogą to znaleźć. No to tym bardziej utwierdziło mnie w przekonaniu, że artykuły na moim blogu nie czytam tylko ja, mój kot i moja babcia.


Kolejny milowy krok, to zaproszenie od Profesora Romana Lepperta do debaty (9 listopada 2022 roku) dotyczącej palącego tematu, który wybrzmiewał w kontekście badań nad logicznym myśleniem oraz wynikami dzieci w testach PISA z matematyki. Dyskusja była naprawdę potrzebna, a jej tytuł wyjątkowo trafny: O co chodzi z tą matematyką?
Do udziału w tej debacie zostały zaproszone pasjonatki, które zajmują się matematyką i mają naprawdę sporo do powiedzenia:
1) Doktor nauk społecznych Zuzanna Jastrzębska-Krajewska - kierującą Fundacją Wspomagania Rozwoju Dzieci Edyty Gruszczyk-Kolczyńskiej, znaną z prowadzenia profilu na Facebooku pod nazwą "Pani Zuzia";
2) Aleksandra Jakubczak - prowadząca profil "Odczaruj matematykę - przestrzeń pozytywnej edukacji";
3) Ewa Czajka - prowadzącą stronę "Matma prosta i półprosta";


Dodam, że to była jedna z najbardziej gorących oraz intensywnych debat związanych z matematyką, które były publicznie dostępne. Nie tylko my w wirtualnym studio byliśmy mocno zaskoczeni, ale także prowadzący - Profesor Roman Leppert, nie krył niedowierzania związanego z tym jak mocno ta dyskusja rozkręciła się na czacie. Wystarczy powiedzieć, że głos zabierali na czacie niemal wszyscy, którzy interesują się edukacją i wspierają ją w różnorodny sposób, a do tego w ciągu 2 godzin pojawiło się ponad 600 komentarzy. Profesor żartował nawet, że obawia się czy serwery na Facebooku na pewno wytrzymają taki napór ze strony wszystkich zainteresowanych. Tak czy inaczej ta dyskusja rezonuje we mnie do dziś dnia i wywołuje za każdym razie inne kierunki poszukiwań odpowiedzi na to jakże proste, aczkolwiek bogate w możliwości zgłębienia pytanie.


Następnie na początku roku 2023 miałem okazję wystąpić na międzynarodowej konferencji matematycznej (online), w której wybrani goście prezentowali swoje pomysły na matematykę. Z uwagi na to, że angielski akurat mam na dość przyzwoitym poziomie, to wystarczyło tylko nauczyć się matematycznych terminów, aby podzielić się tym w jaki sposób matematyka może być uczona naprawdę fajnie i ciekawie. Wszystko opisałem w artykule pod tytułem: Prezentacja rewolucyjnego podejścia do czworokątów - czyli dlaczego nigdy nie uczono nas tego w szkole. W skrócie dodam, że w mojej prezentacji zawarłem najważniejsze koncepcje nad którymi pracowałem przez ostatnie 4 lata.


Od lutego 2023 roku do końca lipca 2024 nastąpiła konieczna półtoraroczna przerwa, więc w tym czasie mogłem nieco naładować akumulatory i zająć się innymi sprawami, które wówczas poważnie spędzały mi sen z powiek (chociażby awaria komputera, utrata wielu istotnych danych na dysku, kwestie zdrowotne, etc.).


No i już pod koniec lipca roku 2024, opublikowałem kolejny artykuł, ponieważ znalazłem następne tematy, które mogę w taki sposób omówić, aby inni mogli mieć z nich pożytek. Mianowicie rozpocząłem serię pod tytułem "Matematyka jest fajna - magia okręgu i koła - czyli kto wszystkie tajemnice odkryć i zbadać zdoła", w której badam najciekawsze i najprostsze właściwości związane z figurą, która nie jest wielokątem. Na ten moment są już opublikowane cztery artykuły w tej serii, które przekonują, że zarówno okrąg jak i czworokąty mogą mieć między sobą coś więcej niż się wydaje na pierwszy rzut oka.



Tak mniej więcej w telegraficznym skrócie mógłbym opisać wybrane punkty na osi czasu, od początku bloga do dnia dzisiejszego. Oczywiście to nie są wszystkie najważniejsze momenty, lecz wybrane przeze mnie, aby pokazać coś na kształt widoku z loku ptaka. Teraz weźmy na dokładkę nieco danych, które mogą pokazać moją pracę i przygodę z tworzeniem oraz publikowaniem artykułów na blogu, od strony typowo matematycznej.



Na dzień dzisiejszy strona została wyświetlona blisko ćwierć miliona razy. Czytelnicy pozostawili na niej 161 komentarzy (dodam, że na przełomie tych kilku lat kilkadziesiąt komentarzy została skasowanych, bo niestety nie spełniały wymogów związanych z tym jaki jest cel bloga: a nie jest nim chociażby reklamowanie swoich firm lub oszustw). Z kolei jeśli chodzi o dziesiątkę najbardziej popularnych artykułów na blogu, to dzielenie pisemne w całkiem nowej odsłonie uzyskało ponad 18 tysięcy wyświetleń, za nim kolejność wykonywania zadań (blisko 15 tysięcy) jak też potęgi razem z pierwiastkami (nieco ponad 10 tysięcy). Resztę można sobie zobaczyć na obrazku na którym widać pozostałe tytuły wraz z liczbami odsłon.




Z technicznych kwestii dodam, że od wielu lat używam fantastycznego programu do tego, aby moje obrazy matematyczne wyglądały naprawdę dobrze (i to setki razy dziennie, a nie tylko do potrzeb związanych z blogiem). Jest nim program FastStone Capture (FSC), który jest spełnieniem moich marzeń jeśli chodzi o program w którym mogę zrobić najważniejsze operacje związane z edytowaniem obrazów, dodawaniem różnych elementów takich jak strzałki, różne ramki, odcinki, emoji, podświetlenia tekstu, etc. Program jest tak dobry, że nie wyobrażam sobie pracy bez niego, bo spełnia wszystkie moje potrzeby, a jeśli mam oczekiwania odnośnie opcji, których mi brakuje, to piszę do autora (Andrew Lu) i ten odpisuje mi co i jak może na to poradzić. Rewolucją jest dla mnie opcja "Zapisz wszystko jako (nazwa)", bo dzięki temu mogę zapisać powiedzmy 300 zrzutów ekranu (popularnych screenshotów) w ciągu kilkunastu sekund! Ten program wygląda bardzo niepozornie, ale dla mnie to jest kosmicznie dobry pomocnik. Mogę nie tylko zrzucać dowolne ekrany (w tym przewijane!), ale także edytować je w taki sposób w jaki potrzebuję, bez potrzeby kupowania potężnych programów graficznych lub też uczenia się ich przez kilka lat, aby mieć w nich dobre rozeznanie. Przy okazji ten program ma w sobie również wbudowaną nagrywarkę ekranu (screen recorder), która oferuje takie możliwości, że pierwotnie gdy kupowałem ten program (jakieś 7 lat temu), to nie wierzyłem, że w takiej cenie autor oferuje coś tak potężnego. Dla porównania: większość programów typu nagrywarka ekranu (screen recorder) kosztuje 3-5 krotnie więcej aniżeli ten program, a ich możliwości są albo takie same albo niekiedy nawet gorsze, bo coś się albo zawiesza bądź też ich obsługa jest daleka od przyjaznej i intuicyjnej.



Dlatego w tym miejscu dziękuję wszystkim, którzy mnie wspierają w tej podróży matematycznej oraz podziękowania kieruję właśnie do Andrew Lu - twórcy programu FastStone Capture (FSC), który towarzyszy mi od momentu publikacji pierwszego artykułu. Szczerze mówiąc, to autor nie wiedział o tym, bo podzieliłem się z nim dopiero kilka dni temu, gdy pisałem prośbę odnośnie kolejnych opcji, które ułatwiałyby mi pracę. Gorąco polecam ten program każdemu, kto potrzebuje bardzo wydajnego, małego i taniego programu, którym można obrabiać praktycznie wszystkie obrazki jak też nagrywać wszystko to co pojawia się na ekranie (ja często nagrywam różne clipy, które przeglądam na YouTube lub Facebooku). Dodam, że moje podziękowania dla autora i zareklamowanie tego fantastycznego programu programu nie są sponsorowane przez nikogo. Po prostu chcę, aby każdy wiedział, że za moim sukcesem (a nim jest to, że dobijamy do blisko ćwierć miliona odsłon) stoją różne osoby i często są to osoby, które są w cieniu, bo nie potrzebują żadnego rozgłosu i uwagi. Przy okazji może się okaże, że są także tacy ludzie, którzy potrzebują identycznego narzędzia jakie ja stosuję od 7 lat i ogromnie sobie cenię, bo mogę dzięki niemu zrobić wszystko czego potrzebuję. W takiej sytuacji wszyscy wygrywamy (ja bo się cieszę, że poleciłem świetny program, osoba która go będzie używała i będzie ułatwiała jak też przyspieszała swoją pracę, oraz autor programu, bo będzie miał feedback, że jego praca nad tym programem jest doceniana przez innych, którzy korzystają z niego i są zadowoleni!).

LINK do strony autora (kilka fajnych różnych programów): Faststone.org
LINK do program FastStone Capturehttps://www.faststone.org/FSCaptureDetail.htm


poniedziałek, 3 marca 2025

Matematyka jest fajna - magia okręgu i koła - czyli kto wszystkie tajemnice odkryć i zbadać zdoła (4)


W poprzednich odcinkach mieliśmy okazję sprawdzić co się dzieje, gdy chcemy wpisać lub opisać czworokąty w okręgu lub na okręgu.

Okazało się, że złota reguła (suma kątów przeciwległych równa 180) jak też diamentowa reguła (suma boków równa sobie) były odpowiedzialne za to, aby stworzyć twierdzenie, które będzie określać to od czego zależy czy dany czworokąt będziemy mogli wpisać w okrąg lub na okręgu opisać.

No i można powiedzieć, że wykorzystaliśmy do tego kąty oraz boki. Pytanie jednak co z wierzchołkami? Czy one w jakikolwiek sposób mogą się nam przydać do czegokolwiek związanego z okręgiem? Czy da się coś wymyślić, co może pomóc nam w tym, aby utrwalić niektóre właściwości czworokątów w oparciu o ich wpisanie w okrąg? Otóż okazuje się, że jest to możliwe.


CZTERY PUNKTY NA OKRĘGU DZIĘKI KTÓRYM ODGADNIESZ JAKI CZOWOROKĄT ZOSTAŁ WPISANY W OKRĄG

Wymyśliłem zadanie polegające na tym, że wykorzystamy wierzchołki oraz powiemy sobie o łukach i cięciwach występujących w okręgu. Dodam, że zadanie jest o tyle kreatywne, nietypowe i chyba także nowatorskie, że początkowo może się wydawać nieco dziwne. Wierzę jednak, że z czasem jednak powinniśmy dostrzec jego wartość.



Zadanie polega na tym, aby narysować na okręgu 4 wierzchołki w taki sposób, żeby można było wpisać następujące rodzaje czworokątów: 1) prostokąt, 2) kwadrat, 3) trapez równoramienny oraz 4) czworokąt nieregularny (* wykluczamy z rozważań deltoid, zwany popularnie "latawcem")

Cały pomysł polega na tym, żeby jedynie na podstawie narysowanych wierzchołków określić jaki czworokąt został wpisany w okrąg. I chodzi o to, aby tworząc powyższe figury (wpisując je w okrąg), dostrzegać pewne zależności związane z odległością wierzchołków od siebie oraz związkiem między cięciwą oraz łukiem okręgu.


W jaki sposób stwierdzić jednak który łuk jest dłuższy jeśli nie mamy narzędzia do mierzenia łuków, które są krzywymi, a nie prostymi? Otóż są do tego pewne sposoby. Jednym z nich jest zrozumienie tego, że długość łuku w danym okręgu jest taka sama, gdy odpowiednie cięciwy są sobie równe. Przy czym im dłuższa cięciwa, tym dłuższy łuk oraz im krótsza cięciwa, tym krótszy łuk. Zapamiętajmy także, że najdłuższą cięciwą jest średnica okręgu.

Na podstawie powyższego wiemy już, że tak naprawdę wystarczy porównywać długość odcinków między poszczególnymi (sąsiadującymi) wierzchołkami, które tworzą bok czworokąta. Dzięki temu automatycznie wiemy, które z łuków pomiędzy dwoma najbliższymi punktami (wierzchołkami) są krótsze, a które dłuższe.


No to niebawem zerkniemy na poszczególne obrazki, które pomogą nam w zrozumieniu tego w jaki sposób można zrealizować ciekawą lekcję, pomagającą w utrwaleniu właściwości wybranych czworokątów.

Kolejne obrazki będą przedstawiały cztery punkty, które leżą na okręgu, a których połączenie sprawi, ze powstanie czworokąt. Pamiętajmy o tym, że nie wszystkie czworokąty można wpisać w okrąg (to już powinno być jasne z poprzedniego artykułu, na końcu którego mamy tabelkę, która to wyraźnie pokazuje). Te punkty są wyznaczane na dwa sposoby: poprzez cięciwy, które się przecinają lub przez te, które nie mają punktu przecięcia. Przy okazji groty strzałek wskazują punkty na okręgu, których połączenie tworzy określony czworokąt wpisany w okrąg.

No i teraz pytania, które powinni nasi uczniowie albo sami zadawać albo my je zadajemy, w tym samym celu: aby odkrywać kolejne właściwości i przekształcać (zapisywać) je jako wnioski.


PYTANIA ZWIĄZANE Z CZWOROKĄTAMI WPISANYMI W OKRĄG - CIĘCIWY: DŁUGOŚĆ i POŁOŻENIE

1) W jaki sposób cięciwy są ułożone w stosunku do siebie? (równolegle czy nie?)

2) Które narysowane cięciwy są tej samej długości i co to w praktyce oznacza? (bez względu na to czy się przecinają czy nie)

3) Co się dzieje, gdy cięciwy są tej samej długości i są jednocześnie równoległe?

4) Co się dzieje, gdy cięciwy są tej samej długości i NIE są jednocześnie równoległe?

5) Co się dzieje, gdy cięciwy są różnej długości i są jednocześnie równoległe?

6) Co się dzieje, gdy cięciwy są różnej długości i NIE są jednocześnie równoległe?

7) Jeśli cięciwy przecinają się to w jakich proporcjach?

8) Co się dzieje, gdy obie cięciwy przecinają się w połowie?

9) Co się dzieje, gdy obie cięciwy przecinają się w tych samych proporcjach, ale nie w połowie?

10) Co się dzieje, gdy dokładnie trzy cięciwy (będące bokami czworokąta) są identycznej długości?


Myślę, że to będzie bardzo ciekawe ćwiczenie, które z pewnością pomoże odkrywać właściwości wybranych czworokątów na nowo. Jeśli ktoś potrzebuje pełnego omówienia tego jak się mogą układać przekątne w czworokątach regularnych, to mam dwie dobre wiadomości. Pierwsza jest taka, że kilka lat temu napisałem artykuł na ten temat, a druga - w artykule są dokładnie omówione wszystkie możliwości razem z tabelami, które uczniowie mogą samodzielnie uzupełniać, odkrywając właściwości przekątnych w czworokątach. Nie muszę chyba dodawać, że wspomniany artykuł może być niezależną jednostką i służyć do nauki o przekątnych lub chociażby utrwalenia tego zagadnienia, prawda? Oto link do niego:

Proste i ich magiczne właściwości - odkrywamy i tworzymy ciekawe zależności (3)


Teraz zerknijmy na obiecane poszczególne obrazy, w których połączenie wierzchołków sprawi, że otrzymamy: 1) prostokąt, 2) kwadrat, 3) trapez równoramienny (2 rodzaje) oraz 4) czworokąt nieregularny (* jak już było wspomniane na początku, z rozważań całkowicie wykluczamy deltoid).


  
 
 
 
 


Czas na porównanie długości łuków oraz tego, po czym rozpoznać jaka figura powstanie na bazie czterech punktów, będących wierzchołkami czworokąta wpisanego w okrąg.

Mamy dokładnie 4 wierzchołki czworokąta (punkty na okręgu), które tworzą cztery łuki. Pamiętajmy, że im większa długość łuku, tym dłuższa cięciwa, czyli bok czworokąta.

Teraz zastanówmy się jak ich długość oraz ułożenie wpływa na stworzenie danego czworokąta wpisanego w okrąg. Od razu podkreślę, że w każdym wypadku wymienianych cech, wystarczy wybrać sobie dowolną z nich (a, b lub c), aby stwierdzenie związane z konkretnym czworokątem było prawdziwe.


CECHY (REGUŁY) ZWIĄZANE Z CZWOROKĄTAMI WPISANYMI W OKRĄG - ŁUKI (BOKI): DŁUGOŚĆ i POŁOŻENIE

Najprościej będzie rozpocząć od czworokąta nieregularnego, bo znajdziemy w nim:
a) wszystkie łuki (boki) różnej długości
b) brak jakiejkolwiek pary przeciwległych łuków równej długości

Z kolei w przypadku trapezu równoramiennego, to znajdziemy w nim:
a) jedną parę przeciwległych łuków (boków) równej długości, nierównoległych do siebie
b) jedną parę przeciwległych łuków (boków) różnej długości, równoległych do siebie
c) 3 dowolne łuki równej długości (wtedy oba ramiona oraz podstawa są równej długości)

Teraz przechodzimy do prostokąta, w którym znajdziemy:
a) 2 pary przeciwległych łuków (boków): każda para odpowiednio równej długości
b) 1 parę przeciwległych łuków równej długości, równoległych do siebie (druga para łuków tej samej długości, ale różnej od pierwszej)

I ostatnim przypadkiem jest oczywiście kwadrat, w którym znajdziemy wszystkie (cztery) łuki (boki) równej długości.

Jeśli ktoś potrzebuje, to na podstawie powyższych punktów (i podpunktów) można stworzyć pracę w parach, gdzie jedna osoba odczytuje losowo jeden z 8 możliwych cech, a jej partner ma za zadanie na kartce napisać jaka to figura. Przykładowo, gdy Adam mówi do Marysi (przypominam, że cały czas mówimy o czworokątach wpisanych w okrąg): "znajdziemy w nim jedną parę przeciwległych łuków (boków) różnej długości, równoległych do siebie", to Adam właśnie przeczytał cechę związaną z trapezem równoramiennym, zaś "znajdziemy w nim jedną parę przeciwległych łuków równej długości, równoległych do siebie (druga para łuków tej samej długości, ale różnej od pierwszej)", to wiadomo, że chodzi cechę prostokąta.


PRZYKŁADOWE AKTYWNOŚCI ZWIĄZANE Z CZWOROKĄTAMI WPISANYMI W OKRĄG:
PUNKTY (wierzchołki), CIĘCIWY (boki) oraz CECHY (tworzenia)


Dodatkowo, to co można wykorzystać, to kwestia tego, że te cechy mogą być przećwiczone na różne sposoby. Przykładowo dwie osoby komunikują się ze sobą wzajemnie i w ten sposób sprawdzamy:

a) która zdobędzie więcej punktów za prawidłowe odpowiedzi (odpowiedzi mogą być różnie punktowane, w zależności od skali trudności zadania),

b) dana osoba rysuje dany czworokąt (jej partner ma podać wszystkie jej cechy wspomniane w danej figurze)

c) dana osoba rysuje dwie jedynie cięciwy (można ustalić czy będą się one przecinały czy nie, czy też bierzemy wszystkie możliwości pod uwagę)

d) dana osoba rysuje 4 punkty na okręgu (wierzchołki czoworokąta), a jej partner ma ustalić jaka to figura zadając jak najmniej pytań (odpowiedzi TAK/NIE)

e) dana osoba rysuje 2 punkty na okręgu (wierzchołki czoworokąta), a jej partner ma dorysować pozostałe 2 punkty na okręgu (wierzchołki czoworokąta), tworząc dany czworokąt, jednocześnie wyjaśniając z jakiej reguły (cechy) skorzystał

f) dana osoba rysuje 2 (lub 3) punkty na okręgu (wierzchołki czworokąta), a jej partner ma dorysować pozostałe punkty (2 lub 1) na okręgu (wierzchołki czworokąta), tworząc dany czworokąt, jednocześnie wyjaśniając z jakiej reguły (cechy) skorzystał oraz uzupełniając (słownie) wszystkie pozostałe reguły (cechy) danego czworokąta


Jestem przekonany, że ten arsenał możliwości pozwoli dostosować zadania odpowiednio do możliwości każdej grupy, a nawet dla indywidualnych uczniów: w zależności od ich obecnych umiejętności, posiadanej wiedzy, zrozumienia czy też szybkości pracy (rozpoznawania definicji, kształtów, odcinków, etc.). Oczywiście można również zrezygnować z punktów i wykorzystać te pytania jako narzędzia do sprawdzenia siebie, gdzie uczeń wypełnia czyta i wypełnia kartę pracy, a jego kolega pomaga mu w tym, aby mógł dowiedzieć się jakie są prawidłowe odpowiedzi. Potem role się odwracają i druga osoba czyta tej pierwszej prawidłowe odpowiedzi, a ona samodzielnie zaznacza te, które ma poprawnie.

No i na koniec można z dziećmi przećwiczyć to czym jest cięciwa, promień, średnica, obwód oraz jakie są najbardziej istotne różnice pomiędzy nimi. Dla bardziej zaawansowanej (lub ambitnej) grupy można przejść do tego czym jest pole koła i w jaki sposób określamy (i obliczamy) wycinek koła. Wszystko zależy od tego jakie mamy możliwości jak i potrzeby oraz na ile nasi uczniowie chcą i mają ochotę popracować, aby dowiedzieć się jeszcze więcej.


PODSUMOWANIE: w tym artykule mieliśmy okazję przekonać się w jaki sposób można wykorzystać zagadnienie czworokąta wpisanego w okrąg, w kontekście wykorzystania jego wierzchołków jako zabawa w rysowanie 4 punktów na okręgu, a potem na jej bazie - odkrywanie, odgadywanie jak też sprawdzanie różnych właściwości.

Wierzę, że odpowiednie przygotowanie materiału na zajęcia na bazie tego artykułu może dostarczy wiele okazji do tego, aby dzieci mogły nie tylko utrwalić dane zagadnienia związane z własnościami czworokątów, ale dodatkowo przekonać się o tym, że nawet pozorne wierzchołki na okręgu, mogą dać możliwość zobaczenia wielu elementów w nowym świetle.

Warto pamiętać, aby przy uczniach słabiej radzących sobie z pracą wymagającą więcej analizy bądź umiejętności rysowania, zaczynać od zadań najłatwiejszych i stopniowo zwiększać skalę trudności. Im więcej "małych sukcesów" dane dziecko doświadczy, tym bardziej będzie chętne do tego, aby mierzyć się z zadania o większej skali trudności.

Dobrze jest również pytać dzieci jak doświadczyły danych aktywności: które z zadań były dla nich łatwe, trudne, ciekawe czy też nudne. Dzięki temu można jeszcze bardziej je modyfikować, tak aby mieć wachlarz możliwości zależny od danej grupy (klasy) czy też poszczególnych dzieci (zwłaszcza tych, które nie są zbyt biegłe w matematyce). Mam cichą nadzieję, że to wszystko sprawi, że kolejne matematyczne zagadnienie będzie zrozumiałe, ciekawe a jednocześnie dające poczucie radości odkrywania!

wtorek, 4 lutego 2025

Matematyka jest fajna - magia okręgu i koła - czyli kto wszystkie tajemnice odkryć i zbadać zdoła (3)



W poprzednim spotkaniu mieliśmy okazję przyjrzeć się temu, co sprawia, że czworokąt można wpisać w okrąg. Okazało się, że decydują o tym kąty wewnętrzne czworokąta, ale w odpowiedniej relacji. Jakiej? Otóż czworokąt można wpisać w okrąg jeżeli jest spełniony warunek: sumy dwóch par przeciwległych kątów dają wartość 180 stopni. To była nasza złota reguła. Dziś poszukamy kolejnej, tym razem diamentowej. Mianowicie poszukamy co i jak jest odpowiedzialne za to, że czworokąt można również opisać na okręgu.

Wszyscy gotowi? Można zaczynać? No to lecimy!

Zastanówmy się teraz jakie cechy muszą spełniać inne czworokąty, aby możliwe było opisanie ich na okręgu.

Mamy w zasadzie dwa pomysły, które za to odpowiadają: albo są nimi kąty wewnętrzne albo długości boków czworokąta. Skoro poprzednio reguła odnosiła się do kątów, to może tym razem będzie odnosiła się do boków (ich (długości)? Sprawdźmy.

Gdybyśmy chcieli opisać jeden z wielokątów foremnych zwany kwadratem na okręgu, to okazuje się, że bez problemu możemy to zrobić. Jeśli jednak chcielibyśmy to samo zrobić z prostokątem, wtedy okazuje się, że nie jest to możliwe (pomijamy przypadek w którym prostokąt jest kwadratem). Dlaczego? Otóż prostokąt ma dwie pary boków równoległych, ale jeśli narysujemy jedną parę boków równoległych, wówczas rysując kolejne boki, które są do nich prostopadłe, a przy okazji są styczne do okręgu... okaże się, że za każdym razem wyjdzie nam kwadrat! Prostokąta nie da się w ten sposób narysować!

Jaki z tego wniosek? Okazuje się tym razem, że miara kątów nie gra kluczowej roli, bo pomimo, iż w prostokącie są one identyczne, to wpisanie go w okrąg nie jest możliwe. Dlatego podążając dalej, dochodzimy do tego, że trzeba jednak sprawdzić długości boków. Co z tymi bokami musi być, aby za każdym razem wpisanie czworokąta było możliwe?




Zerknijmy na początek na kwadrat opisany na okręgu. Widać wyraźnie, że jeśli obie pary równoległych boków będą jednocześnie do siebie prostopadłe, to wszystkie boki będą miały tę samą długość. Inaczej mówiąc ów czworokąt spełnia definicję kwadratu, który ma wszystkie kąty proste i wszystkie boki równej długości. Na ten moment zauważmy i zapamiętajmy, że suma obu par przeciwległych boków jest sobie równa.

Podążajmy dalej. Kto wie? Być może na przykładzie trapezu równoramiennego szybko odkryjemy ogólną (diamentową) regułę, która zapewnia możliwość opisania dowolnego czworokąta na okręgu.

Pierwsza możliwość - porównanie sumy miar obu przeciwległych kątów.




Okazuje się, że w tym wypadku szybko dostrzeżemy, że również w trapezie równoramiennym, obie sumy miar przeciwległych kątów sumują się do 180 stopni. No i teraz mamy dylemat. W prostokącie mieliśmy tę samą właściwość, ale pomimo tego nie mogliśmy go opisać na okręgu. Tutaj mamy do czynienia z trapezem równoramiennym, który akurat można opisać na okręgu. Czyżby to oznaczało, że nasza reguła raz działa a raz nie działa? O co chodzi? Czyżby jakiś błąd w Matrixie? Szukamy dalej.

Zobaczmy co wykaże analiza kątów w trapezie prostokątnym opisanym na okręgu.




Tym razem doskonale widać, że obie sumy miar przeciwległych kątów nie sumują się do 180 stopni. Dlaczego? To proste. Każdy z przeciwległych kątów w stosunku do obu kątów prostych... również musiałby być kątem prostym. A w tym wypadku można bez problemu dostrzec, że jeden z nich jest kątem ostrym (wtedy ich suma jest mniejsza od 180 stopni), a drugi rozwartym (wtedy ich suma jest większa od 180 stopni). Inaczej mówiąc, jedna z sum par kątów przeciwległych jest większa, a druga mniejsza od 180 stopni. Oznaczałoby, że mamy kolejny dowód na to, że reguła oparta o porównywanie sumy miar obu przeciwległych kątów, po prostu nie działa.

Zerknijmy szybko na rysunek trapezu różnobocznego opisanego na okręgu.




Natychmiast rzuca się w oczy, że przynajmniej jedna para sum kątów przeciwległych nie daje wartości 180 stopni. Dlaczego? Otóż bez liczenia wiadomo, że jeśli dodamy do siebie dwa kąty rozwarte, to nigdy nie otrzymamy wartości kąta półpełnego. Reszta wniosków jest identyczna z poprzednią analizą odnoszącą się do trapezu prostokątnego: reguła oparta o porównywanie sumy miar obu przeciwległych kątów, po prostu nie działa.

No i jeszcze kolej na ostatniego naszego bohatera - romb!




Tym razem jest jeszcze ciekawiej, bo doszło do tych samych wniosków jakie mieliśmy przy analizie trapezu równoramiennego! Romb również można opisać na okręgu, zaś obie sumy miar przeciwległych kątów sumują się do 180 stopni. Znowu zadajemy sobie pytanie: jak to jest? Czyżby to oznaczało, że nasza reguła raz działa a raz nie działa? Nie! Widzimy po prostu, że nie możemy za każdym razem stwierdzić, że czworokąt można opisać na okręgu, gdy będziemy porównywali sumy par przeciwległych kątów! Tylko tyle i aż tyle!

Po tych szybkich testach, wniosek jest prosty. Sprawdzamy teraz co się dzieje, gdy dokonamy porównania sumy długości obu przeciwległych boków.


Druga możliwość - porównanie sumy długości obu przeciwległych boków.

Zerknijmy na poprzednie rysunki, ale teraz sprawdzamy sumy długości obu przeciwległych boków. I tak oto mamy:

1) w kwadracie opisanym na okręgu (12+12) = (12+12), 24=24, sumy równe

2) w rombie opisanym na okręgu (12,5+12,5) = (12,5+12,5), 25=25, sumy równe

3) w trapezie równoramiennym opisanym na okręgu (12,5+12,5) = (10+15), 25=25, sumy równe

4) w trapezie prostokątnym opisanym na okręgu (12,5+12) = (11+13,5), 24,5=24,5, sumy równe

5) w trapezie różnobocznym opisanym na okręgu (12,5+13,8) = (15,3+11,0), 26,3=26,3, sumy równe

Co to oznacza? Otóż mamy sytuację w której porównanie sumy długości obu przeciwległych boków, w każdym czworokącie opisanym na okręgu, dały w każdym przypadku te same wartości.


Teraz możemy sformułować naszą diamentową regułę. Brzmi ona następująco:

Czworokąt można opisać na okręgu jeżeli jest spełniony warunek: sumy długości dwóch par przeciwległych boków są sobie równe.

Zanim nastąpi podsumowanie warto przyjrzeć się jeszcze jednej ciekawej zależności. Mianowicie z naszej analizy wynika, że ze znanych czworokątów tylko prostokąta i równoległoboku nie można opisać na okręgu. Pojawia się jednak pytanie: dlaczego?

Spróbujmy to sprawdzić na rysunku, na którym najpierw narysujemy jedną parę równoległych boków tej samej długości, a potem do nich drugą parę także równoległych boków, ale prostopadle do nich (druga para boków tej samej długości, ale innej niż poprzednie boki).




Okazuje się, że w przypadku prostokąta druga para boków nie ma (dwóch) punktów styczności z okręgiem, czyli nie można opisać go na okręgu.

A co w takim razie z równoległobokiem? Tutaj też sprawdzamy na rysunku. Rysujemy jedną parę równoległych boków tej samej długości, a potem do nich drugą parę także równoległych boków, ale nieprostopadłe do nich (druga para boków tej samej długości, ale innej niż poprzednie boki).



Okazuje się, że w przypadku równoległoboku druga para boków także nie ma (dwóch) punktów styczności z okręgiem, czyli nie można opisać go na okręgu.

Mówiąc nieco żartobliwie można powiedzieć i przy okazji zapamiętać: prostokąta i "kopniętego prostokąta" (czyli równoległoboku) nie da się opisać na okręgu, ale już kwadrat i "kopnięty kwadrat" (czyli romb) bez problemu można opisać na okręgu. To może być szczególnie pomocne do zapamiętania, nawet pomimo tego, że są to nieoficjalne nazwy równoległoboku i rombu.


* UWAGA: przyjmujemy na potrzeby tego zadania (ćwiczenia) brak badania wyjątków jeśli chodzi o czworokąty. Przykładowo istnieje romb, który ma wszystkie kąty proste, ale wtedy jest on kwadratem. Tak samo przykładowo istnieje trapez równoramienny, który ma wszystkie kąty proste, ale wtedy jest on prostokątem (lub kwadratem). Mam nadzieję, że teraz będzie to w pełni jasne.


Na tym powoli kończymy wprowadzenie do zagadnienia czworokątów opisanych i wpisanych w okrąg.

Oto, co takiego musimy zapamiętać z tych trzech odcinków: można wymienić w kilku punktach:

1) Dowolny czworokąt można wpisać w okrąg jeśli spełnia złotą regułę (kątów): suma obu par przeciwległych kątów, daje wartość 180 stopni.

2) Dowolny czworokąt można opisać na okręgu jeśli spełnia diamentową regułę (boków): suma długości obu par przeciwległych boków jest równa.

3) Dowolny czworokąt można zarówno wpisać w okrąg (złota reguła) jak i opisać na okręgu (diamentowa reguła), jeśli każdy z nich spełnia jednocześnie oba wymagane warunki.

4) Dowolny wielokąt foremny można zarówno wpisać w okrąg jak i opisać na okręgu (poszerzenie i generalizacja wniosków z dwóch reguł).

W tym momencie tabela będzie bardzo dobrze prezentować, to co odkryliśmy. Przy okazji dzięki niej możemy stworzyć kolejne pytania jako utrwalenie materiału i dalsze drogi poszukiwania.




Przykładowe pytania do czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu:

1) które rodzaje czworokątów przeważają w tabeli jeśli chodzi o porównanie wpisanych i opisanych na okręgu? Z czego to może wynikać?

2) dlaczego kwadrat w obu kolumnach ma oznaczenia kolorem żółtym, a nie zielonym? Co to oznacza i z czego wynika?

3) ile jest rodzajów czworokątów, których da się jednocześnie wpisać w okrąg i opisać na okręgu?

4) ile jest rodzajów czworokątów, których nie da się jednocześnie wpisać w okrąg i opisać na okręgu?

5) ile jest rodzajów czworokątów, które da się wpisać, ale nie da się opisać na okręgu?

6) ile jest rodzajów czworokątów, które da się opisać, ale nie da się wpisać w okrąg?

7) od czego zależy który z nieokreślonych czworokątów da się wpisać w okrąg, a który opisać na okręgu?


Osobom, które są zainteresowane znacznie głębszym eksplorowaniem tego zagadnienia, polecam zerknąć na pytania stworzone przez model AI (Leo). Dodam, że są to treści poszerzone, więc niektóre z nich mogą wymagać znacznie większej wiedzy, zależności oraz głębszego zrozumienia (czy też po prostu odpowiednich wzorów). Przy okazji warto zaznaczyć, że nasza obecna wersja modelu AI rozpędziła się dość mocno, bo w pytaniu była mowa o odkrywaniu właściwości czworokąta, natomiast pytanie numer 13 odnosi się do trójkąta. Niemniej co najmniej połowa wygenerowanych pytań ma sens (można również śmiało pominąć pytania 16 i 17).




Drobna inspiracja i zachęta dla nauczycieli (oraz bardziej ambitnych uczniów lubiących większe wyzwania), którzy chcą ułatwić i polepszyć swoją pracę.

Powyżej wkleiłem coś o czym warto pomyśleć w kontekście efektywnej nauki (i nauczania). Zwłaszcza adresuję to proste opracowanie (wygenerowaną ściągawkę z pytań) do nauczycieli matematyki, bo obecne możliwości zastosowania technologii bazującej na sztucznej inteligencji (AI), szczególnie do zadań nie wymagających logicznego myślenia (chociażby tak zwane zadania z treścią lub zadania tekstowe) są naprawdę na przyzwoitym (wysokim?!) poziomie (podstawowe zastosowania są najczęściej także bezpłatne). Uważam, że dzięki temu można sobie nie tylko ułatwić pracę, ale przede wszystkim nie tracić energii i czasu na realizowanie mechanicznych czynności.

niedziela, 26 stycznia 2025

Matematyka jest fajna - magia okręgu i koła - czyli kto wszystkie tajemnice odkryć i zbadać zdoła (2)




Ostatnio odkrywaliśmy właściwości związane ze znajdywaniem środka okręgu lub koła.

Wiemy już, że każdy czworokąt możemy wpisać w okrąg, wtedy gdy przekątne danego czworokąta przecinają się w połowie i są tej samej długości.


Zatem z uwagi na spełnienie tej właściwości mamy pewność, że kwadrat i dowolny prostokąt może zostać wpisany w okrąg. Dlaczego? Właśnie dlatego, że punkt przecięcia ich przekątnych jest jednocześnie środkiem okręgu, a każdy odcinek biegnący od środka okręgu do wierzchołka czworokąta jednocześnie ma tę samą długość, będąc promieniem okręgu.


Zastanówmy się teraz jakie cechy muszą spełniać inne czworokąty, aby możliwe było wpisanie ich w okrąg.

Mamy w zasadzie dwa pomysły, które za to odpowiadają: albo są nimi kąty wewnętrzne albo długości boków czworokąta. Teraz kolej na to, żeby się dowiedzieć, które z nich i w jaki sposób działają, żeby dobrze zrozumieć i jednocześnie zapamiętać, to co istotne.

I tutaj natychmiast możemy dodać, że wszystkie wielokąty foremne zawsze mogą być wpisane w okrąg. Przy okazji warto podkreślić, że spełniają one oba warunki związane z kątami wewnętrznymi i bokami czworokąta: obie wartości są równe dla miary kątów i długości boków. Dlatego szybko je eliminujemy, a jednocześnie wiemy, że nie musimy ich już badać.


Pójdźmy dalej tym tropem. Gdybyśmy chcieli wpisać jeden z wielokątów foremnych zwany kwadratem w okrąg, to okazuje się, że bez problemu możemy to zrobić. Jeśli jednak chcielibyśmy to samo zrobić z rombem, wtedy okazuje się, że nie jest to możliwe (pomijamy przypadek w którym romb jest kwadratem). Jaki z tego wniosek? Okazuje się, że długość boków nie gra kluczowej roli, bo pomimo, iż w rombie są one identycznej długości, to wpisanie go w okrąg nie jest możliwe. Dlatego podążając dalej, dochodzimy do tego, że trzeba sprawdzić kąty wewnętrzne.


Wniosek: w sprawdzeniu tego, czy czworokąt może zostać wpisany w okrąg... musi zatem chodzić o kąty.


Weźmy zatem na warsztat trapez równoramienny, który wpiszemy w okrąg.



Co takiego możemy zaobserwować? Otóż okazuje się, że taki trapez możemy bez problemu wpisać w okrąg. Pytanie jednak dlaczego jest to możliwe? Co sprawia, że wszystkie wierzchołki możemy zawrzeć na okręgu, które połączone razem tworzą trapez równoramienny?

Okazuje się, że prowadząc prostopadłą linię do obu podstaw, która przecina je w połowie, jesteśmy w stanie znaleźć na niej punkt, od którego odległość do dowolnego punktu na obwodzie (u nas są nimi wierzchołki trapezu) jest taka sama. Inaczej mówiąc, od tego punktu możemy narysować odcinki równej długości do każdego z wierzchołków, których długość jest identyczna. A te odcinki to oczywiście promienie okręgu.



Można oczywiście wyznaczyć trapez w okręgu w następujący sposób:

1) narysuj dwa dowolne odcinki (cięciwy) prostopadłe do siebie, które są różnej długości

2) połącz ze sobą wszystkie cztery punkty na obwodzie, które są wierzchołkami trapezu równoramiennego

3) w ten sposób skonstruowałeś jeden z wielu możliwych przykładów trapezu równoramiennego


Podążajmy dalej. Na przykładzie trapezu równoramiennego szybko odkryjemy ogólną (złotą) regułę, która zapewnia możliwość wpisania dowolnego czworokąta w okrąg.

Na poniższych dwóch rysunkach widzimy nasz trapez równoramienny wpisany w okrąg. Teraz zbadajmy dwie możliwości, których analiza da nam złotą regułę, której poszukujemy.


Pierwsza możliwość - porównanie sumy długości obu przeciwległych boków.


Okazuje się, że w tym wypadku szybko dostrzeżemy, iż obie podstawy trapezu są dłuższe aniżeli oba ramiona. Tak naprawdę nie chodzi nawet o to czy jedne pary boków są dłuższe czy krótsze od drugich, tylko o to, że nie są sobie równe.


Druga możliwość - porównanie sumy miar obu przeciwległych kątów.


W tym wypadku widać gołym okiem, że obie sumy miar przeciwległych kątów sumują się do 180 stopni. Warto podkreślić w tym momencie, że w dowolnym trapezie suma kątów przy każdym z ramion jest zawsze równa 180 stopni. W naszym układzie chodzi jednak o sumę kątów przeciwległych, która musi się sumować do wartości 180 stopni, jeśli dowolny czworokąt ma być wpisany w okrąg.


Teraz możemy sformułować naszą złotą regułę. Brzmi ona następująco:

Czworokąt można wpisać w okrąg jeżeli jest spełniony warunek: sumy dwóch par przeciwległych kątów dają wartość 180 stopni.

Na koniec warto pobawić się w sprawdzanie tej reguły (najlepiej mając wcześniej przygotowane na kartce 6 lub 9 okręgów, tak aby nie tracić czasu na ich rysowanie) na przykładzie wpisywania w okrąg dowolnego*:

1) prostokąta

2) kwadratu (czy w dany okrąg można wpisać więcej niż jeden kwadrat? Uzasadnij swoją odpowiedź)

3) równoległoboku (dlaczego nie da się go wpisać?)

4) rombu (dlaczego nie da się go wpisać?)

5) trapezu równoramiennego

6) trapezu prostokątnego (dlaczego nie da się go wpisać?)

7) trapezu różnobocznego (dlaczego nie da się go wpisać?)

8) czworokąta nie będącego żadnym z powyższych (tu najlepiej sprawdzić przynajmniej 3-4 różne przykłady)


Na tej podstawie można dość szybko przekonać się praktycznie o co chodzi z tą regułą i zrozumieć dlaczego, aby wpisać dowolny czworokąt, musi zostać spełniona nasza złota reguła (dotycząca wpisywania w okrąg). Warto ją dobrze przećwiczyć, bo za jakiś czas spróbujemy się dowiedzieć co się dzieje, gdy będziemy chcieli opisywać dowolny czworokąt na okręgu. Czy to będzie ta sama reguła czy też może inna? O tym dowiemy się niebawem.

Bardzo istotne jest to, aby wyciągać jak najwięcej wniosków na bazie naszych znanych figur, które wiemy, że dają się wpisać w okrąg: prostokąta, kwadratu i trapezu równoramiennego. Na bazie analizy ich zmian można dość szybko zrozumieć czemu inne znane czworokąty nie mogą zostać wpisane w okrąg. Im więcej takich wniosków wyciągniemy, tym lepiej i dogłębniej zrozumiemy to zagadnienie.


* UWAGA: przyjmujemy na potrzeby tego zadania (ćwiczenia) brak badania wyjątków jeśli chodzi o czworokąty. Przykładowo istnieje romb, który ma wszystkie kąty proste, ale wtedy jest on kwadratem. Tak samo przykładowo istnieje trapez równoramienny, który ma wszystkie kąty proste, ale wtedy jest on prostokątem (lub kwadratem). Mam nadzieję, że teraz będzie to w pełni jasne.