Figury podobne są jak trójkąty ozdobne – kształt ten sam, ale inna skala… i to właśnie nas na kolana powala

W przypadku figur podobnych dochodzi wiele dodatkowych elementów, które pozornie niewiele zmieniają, ale w praktyce mogą nieźle namieszać w głowie. Wydaje mi się, że jeśli przyjrzymy się im nieco bliżej, to może się okazać, że są pewne sztuczki, które znacznie ułatwią nam zrozumienie tego zagadnienia. Zwłaszcza, że figury podobne wykorzystują cechy figur przystających. Zatem każdy kto przeczytał artykuł o tym „z jakim przystajesz takim się stajesz”, powinien mieć dużo łatwiejszą sytuacją związaną ze zrozumieniem tego tematu. Zobaczmy zatem co w trawie piszczy…

W poniższym opracowaniu będziemy poszukiwali odpowiedzi na takie oto pytania:

1) Co to jest podobieństwo i czym się różni od przystawania?
2) Po czym poznać czy dane figury są do siebie podobne? (ćwiczenia)
3) Czym jest skala i na czym polega powiększanie i pomniejszanie figur? (obiektów)
4) Jak to się dzieje w przypadku trójkątów: skąd wiadomo który trójkąt jest podobny (do innego) no i w jakiej skali?

Na początek zastanówmy się czym jest podobieństwo. Moim zdaniem jest to tak naprawdę po prostu przystawanie tylko w innej skali aniżeli podstawowa* (czyli innej niż 1:1, patrz przypis na samym końcu artykułu).

Zatem wszystkie cechy przystawania działają analogicznie również w przypadku figur podobnych. Jedyną różnicą będzie skala, która sprawia, że figury są proporcjonalnie większe lub mniejsze. Przy czym musimy pamiętać, że przy trójkątach (figurach) podobnych odpowiednie kąty będą takie same (miary kątów nie powiększamy i nie pomniejszamy!). 

Jak praktycznie sprawdzić czy dane trójkąty są podobne? Jest kilka możliwości, które warto poznać i następnie przynajmniej odrobinę przećwiczyć. Przy okazji warto uważnie przestudiować poniższe sposoby testowania trójkątów podobnych. Możemy posługiwać się następującymi sztuczkami.

1) Na podstawie cechy BBB – sprawdzamy badany trójkąt czy jest utworzony w danej skali.

Przykładowo jeśli jeden trójkąt ma boki a1=3, b1=4, c1=5, natomiast drugi a2=6, b2=8, zaś c2=10, to wówczas sprawdzamy czy proporcje odpowiednich boków (czyli skala) są takie same.

Możemy być pewni, że oba trójkąty są podobne jeśli wszystkie wymiary obu z nich mają stałą proporcję, czyli skala jest identyczna dla każdego wymiaru (boku) – bez względu czy będzie to powiększenie (skala większa od 1, np. k=2), czy pomniejszenie (skala mniejsza od 1, np. k=1/2).

W jaki sposób sprawdzamy taką skalę? Otóż musimy porównać ze sobą wszystkie pary boków każdego z trójkątów (i ogólnie – wielokątów). Jednak porównujemy je w taki sposób, aby było to porównywanie proporcjonalne (tym właśnie jest skala). Co to znaczy? Oznacza to, że zawsze zapisujemy proporcję dla obu trójkątów: każdej pary boków najkrótszych (najmniejszych), dłuższych (większych) i najdłuższych (największych).

Można to zobaczyć za pomocą prostego porównywania w tabeli.

W tym przypadku widzimy, że proporcja dla każdej pary odpowiednich boków jest taka sama (zarówno do najkrótszych, średnich jak i najdłuższych boków). Oznacza to, że zastosowana została taka sama zasada związana z powiększaniem (lub pomniejszaniem) każdego boku przez daną liczbę zwaną skalą. W naszym przypadku skala k=1/2 oznacza, że pierwszy trójkąt w stosunku do drugiego został dwukrotnie pomniejszony (skala k=1/2, to inaczej skala 1:2)

Zauważmy jeszcze, że w przypadku figur podobnych nie ma znaczenia to jaka jest kolejność porównywania trójkątów. Gdybyśmy bowiem porównali boki trójkąta drugiego do pierwszego, wówczas tabela wyglądałaby tak.

Tak samo i w tym przypadku widzimy, że proporcja dla każdej pary odpowiednich boków jest taka sama (tak jak wcześniej także do najkrótszych, średnich jak i najdłuższych boków). Oznacza to, że zastosowana została taka sama zasada związana z powiększaniem (lub pomniejszaniem) każdego boku przez daną liczbę zwaną skalą. W naszym przypadku skala k=2 oznacza, że drugi trójkąt w stosunku do pierwszego został dwukrotnie powiększony (skala k=2, to inaczej skala 2:1).

Czasami może pojawić się pytanie skąd wiadomo na podstawie wymiarów, który trójkąt został powiększony, a który pomniejszony. Otóż wszystko zależy od punktu odniesienia (bazy), czyli tego który z nich jest traktowany jako trójkąt „oryginalny” (wyjściowy).

W powyższym przykładzie jeśli trójkąt drugi (większy) porównujemy do pierwszego (czyli bazy), to skala podobieństwa wynosi 2. Inaczej mówiąc, jeśli wszystkie boki pierwszego trójkąta (naszej bazy) dwukrotnie powiększymy, wówczas otrzymamy trójkąt drugi (większy).

Analogicznie: jeśli trójkąt pierwszy (mniejszy) porównujemy do drugiego (czyli bazy), to skala podobieństwa wynosi 1/2. Inaczej mówiąc, jeśli wszystkie boki drugiego trójkąta (naszej bazy) dwukrotnie pomniejszymy, wówczas otrzymamy trójkąt pierwszy (mniejszy).

Pamiętajmy jeszcze o tym, że trójkąty podobne muszą mieć taką samą proporcję dla każdej pary boków odpowiednich. Jeśli w dowolnej z nich nie będzie tej samej wartości (proporcji), wówczas te trójkąty nie zostały utworzone za pomocą skali (stałej liczby, która powiększa lub pomniejsza każdy bok). To natomiast oznacza, że w takim wypadku dane trójkąty nie są podobne.


2) Na podstawie cechy BKB – sprawdzamy badany trójkąt czy jest utworzony w danej skali.

W takim przypadku mając dwa boki i kąt pomiędzy nimi możemy zbadać czy jeden trójkąt jest podobny do drugiego (w naszym wypadku ten duży do małego).

W jaki sposób możemy sprawdzić owe podobieństwo?

Zrobimy to zapisując proporcje odpowiednich boków i oczywiście sprawdzając czy będzie to stała wartość (skala). Warto zauważyć, że na podstawie tej cechy, nie musimy znać (długości) boku trzeciego – ani w pierwszym ani w drugim trójkącie.

Przykładowo, gdybyśmy wzięli pod lupę nasz trójkąt o bokach 3, 4 i kącie między tymi bokami równemu 40 stopni (α = 40°), to jeśli drugi badany trójkąt będzie miał ten sam kąt między bokami, zaś boki będą miały długość odpowiednio 6 i 8 (dwukrotnie dłuższe niż te w pierwszym trójkącie), to oba trójkąty będą podobne. I jak przed chwilą wspomniałem: naprawdę nie musimy badać trzeciego boku! Warto jednak dokładnie zmierzyć ten „zaginiony” (niedorysowany) bok w obu trójkątach i na własnej skórze przekonać się, że proporcja tej pary boków będzie taka sama! Zatem oznacza to, że dla wszystkich par odpowiadających boków proporcja jest stała (zachowana), a więc trójkąty są do siebie podobne. Prawda, że niezwykłe? Czy może to wydaje się niezwykle proste?

Zerknijmy na rysunek na którym możemy zobaczyć tę nietypową zależność.

3) Na podstawie cechy KBK – sprawdzamy badany trójkąt czy jest utworzony w danej skali.

Tym razem ta cecha mówi nam o tym, że jeśli dwa kąty będą miały odpowiednio takie same miary w badanym (drugim) trójkącie, wówczas bok między nimi będzie w odpowiedniej skali. I co niesamowite, tym razem nie musimy nic sprawdzać oprócz tych dwóch kątów! Skalę podobieństwa natomiast wyznaczamy za pomocą jednej proporcji: stosunku boków pomiędzy tymi kątami! Voila!

Zatem jeśli porównujemy trójkąt w którym bok między kątami ma długość 4, zaś odpowiedni bok w drugim trójkącie ma długość 8, wówczas skalą podobieństwa będzie proporcją tych dwóch boków (4 do 8).

Oczywiście analogicznie możemy badać drugi trójkąt w odniesieniu do pierwszego. Wtedy tabela będzie wyglądała niemal identycznie. Jedyną różnicą będzie odwrotna skala (odwrotność skali ½ to oczywiście 2). Przy tym za każdym razem gdy odwracamy porównywane trójkąty, wówczas automatycznie odwraca się skala. Inaczej mówiąc: jeśli drugi trójkąt jest dwukrotnie większy od pierwszego (skala 2:1, a więc k=2), to pierwszy jest dwukrotnie mniejszy od drugiego (skala 1:2, a więc k=1/2).

Widzimy wyraźnie, że trójkąt drugi w stosunku do pierwszego (bazy) jest dwa razy większy. Wskazuje na to skala k=2 (2:1), która oznacza, że każdy bok trójkąta pierwszego (bazy) został powiększony dwukrotnie.


Zastanówmy się jeszcze na koniec nad tym dlaczego zagadnienie podobieństwa bywa naprawdę dość wymagające jeśli pojawiają się testowe zadania. Otóż dzieje się tak, ponieważ do tematu podobieństwa, dochodzą jeszcze dodatkowe tematy, które sprawiają, że skala trudności może być mocno zwiększana. A co to mogą być za tematy? Tymi tematami są chociażby: kąty przyległe, wierzchołkowe, odpowiadające i naprzemianległe. Same w sobie nie są one szczególnie trudne, ale wymagają odrobiny pracy, aby sprawdzić w praktyce jak one powstają i gdzie się chowają. W przypadku natomiast jeszcze wyżej zawieszonej poprzeczki, dochodzą do tego również takie tematy jak właściwości figur (trójkątów i czworokątów) jak też twierdzenie Talesa oraz Pitagorasa.

Podsumowanie: jeśli zatem weźmiemy wszystkie powyższe zagadnienia i zaczniemy je ze sobą mieszać, wówczas w pozornie prostym temacie jakim jest podobieństwo figur (trójkątów)... „nagle” okaże się, że będzie konieczne posiadanie wiedzy jak i zrozumienia z kilku dodatkowych tematów. To właśnie stanowi o tym, że ten temat bywa często niezrozumiały lub wydaje się być czarną magią. Można to moim zdaniem porównać do tego, że naprawdę bardzo trudno byłoby jechać na rowerze... bez trzymania kierownicy, żonglując kilkoma piłeczkami, recytując wcześniej nauczony wiersz (lub na bieżąco powtarzając określone słowa lub liczby) oraz dodatkowo jadąc pod górkę. Chyba teraz jest już jasne, że aby tego dokonać konieczne byłoby płynne nauczenie się każdej z poszczególnych umiejętności, a dopiero potem łączenie ich wszystkich w całość. Właśnie dlatego w matematyce w pewnym momencie następuje pozorna „ślepota” u dzieci, które dość dobrze rozumieją dany temat na zajęciach, ale na teście zupełnie sobie nie radzą, bo pojawiają się zadania wymagające czegoś na kształt „jechania na rowerze”. Zagadka wyjaśniona?!

PS. Szczególnym wypadkiem podobieństwa w skali podstawowej (1:1) jest właśnie przystawanie.