Klonowanie i układanie kwadratów, prostokątów i trójkątów - czyli budowanie zrozumienia właściwości podstawowych czworokątów

Tym razem zobaczymy co się będzie działo z naszymi figurami, gdy będziemy je do siebie przykładali oraz w prosty sposób obracali. Z pewnością otwiera to nowe pole do popisu dla naszej wyobraźni oraz możliwości dalszego manipulowania figurami na różne sposoby (powiększanie, pomniejszanie, obracanie, przykładanie do siebie, rozcinanie, etc.)

Na początek weźmy nasze najbardziej popularne prostokąty.

Co się stanie jak weźmiemy dwa identyczne prostokąty i je ze sobą połączymy bokami, tak aby się "równo" stykały? Otóż mamy dwie podstawowe możliwości.

1) Łączymy prostokąty krótszymi bokami

Co się stanie gdy dokładamy kolejny prostokąt do poprzedniego? Otóż okazuje się, że nasza złożona figura nadal jest prostokątem, ale widać, że się wydłuża. Składając w ten sposób nie może powstać kwadrat, tylko coraz "węższy" (wizualnie) prostokąt. Jego wysokość pozostaje bez zmian, zaś szerokość coraz bardziej się powiększa.

2) Łączymy prostokąty dłuższymi bokami

Dzięki takiemu połączeniu nowa figura "rośnie". To tak jakbyśmy kładki na siebie kartki (jedna nad drugą). Za każdym razem będzie powstawał prostokąt, chociaż jest możliwość, że w pewnych okolicznościach może postwać także kwadrat.

Kwadrat powstanie wtedy, gdy relacja (proporcja) między dłuższym a krótszym bokiem będzie liczbą całkowitą dodatnią (naturalną, ale nie zerem). I w zależności jaka jest proporcja, to tyle potrzeba będzie figur jedna nad drugą położyć, aby powstał kwadrat. Przykładowo jeśli proporcja dłuższego boku do krótszego wynosi 4 (krótszy bok niech ma 2 jednostki zaś dłuższy 8), to ułożenie właśnie 4 kartek (prostokątów) jedna nad drugą, sprawi że powstanie kwadrat.

Natomiast gdy będziemy mogli jednocześnie korzystać z obu sposobów dokładania prostokątów, to będziemy mogli tworzyć różne kształty nowych figur, ale zawsze będą to prostokąty (o ile będziemy wypełniać do końca zarówno wiersze jak i kolumny), nawet jeśli w specyficznych wypadkach możemy zbudować także kwadrat (nadal ma zastosowanie ten sam warunek o którym wcześniej wspomniałem).

Teraz zastanówmy się co się stanie, gdy zajmiemy się kwadratami.

Z uwagi na to, że kwadrat jest wyjątkowym rodzajem prostokąta, który ma wszystkie boki równe, więc zawsze będziemy łączyli kwadraty z bokami tej samej długości.

I teraz jeśli przykładowo ułożymy obok siebie osiem kwadratów w poziomie (osiem kwadratów w wierszu), a potem takich warstw (jedna pod drugą) zbudujemy razem osiem (czyli dołożyli jeszcze siedem do pierwszej warstwy), wówczas będziemy mieli szachownicę (kratownicę) 8x8.

  

Oczywiście możemy modyfikować nasze konstrukcje na różne sposoby. Możemy bowiem dokładać kwadraty z czterech stron i w ten sposób uzyskujemy różnorodne kształty, w zależności od tego ile kwadratów będziemy mieli w danej linii poziomej (wierszu) oraz pionowej (kolumnie).

Teraz nadeszła kolej na następne figury, tym razem na trójkąty.

1) Trójkąt prostokątny, który powstał w wyniku przecięcia prostokąta wzdłuż przekątnej.

I teraz mamy trzy możliwości połączenia obu trójkątów:

a) Łączymy trójkąty najkrótszymi bokami (bokami o najmniejszej długości, leżącymi przy kącie prostym)

 

Przy pierwszym połączeniu powstanie trójkąt równoramienny, zaś jeśli jeden z trójkątów przed przyłożeniem obrócimy, to powstanie równoległobok.

b) Łączymy trójkąty średnimi bokami (bokami o średniej długości, leżącymi przy kącie prostym)

  

Przy pierwszym połączeniu powstanie trójkąt równoramienny, zaś jeśli jeden z trójkątów przed przyłożeniem obrócimy, to znowu powstanie równoległobok.

c) Łączymy trójkąty najdłuższymi bokami (bokami o największej długości, leżącymi naprzeciw kąta prostego)

  

Przy pierwszym połączeniu powstanie oczywiście prostokąt, zaś jeśli jeden z trójkątów przed przyłożeniem obrócimy, to tym razem powstanie tak zwany deltoid (kształtem podobny do latawca).

2) Trójkąt prostokątny, który powstał w wyniku przecięcia kwadratu wzdłuż przekątnej ("półkwadratus").

a) Łączymy trójkąty krótszymi bokami (bokami leżącymi przy kącie prostym - oba są tej samej długości)

Przy pierwszym połączeniu powstanie trójkąt prostokątny równoramienny ("półkwadratus"), zaś jeśli jeden z trójkątów przed przyłożeniem obrócimy, to powstanie równoległobok (warto sprawdzić, że to nie jest romb).

b) Łączymy trójkąty najdłuższymi bokami (bokami o największej długości, leżącymi naprzeciw kąta prostego)

Przy pierwszym połączeniu powstanie oczywiście kwadrat, zaś po obróceniu jednego z trójkątów przed przyłożeniem... powstanie również kwadrat! (tej samej wielkości)

3) Trójkąt równoboczny, który ma wszystkie boki tej samej długości (tak jak i wszystkie kąty tej samej miary)

W tym przypadku za każdym razem mamy tę samą sytuację: bez względu na to jakie boki dwóch trójkątów równobocznych przyłożymy do siebie, to zawsze uzyskamy romb (czyli równoległobok o wszystkich bokach równych).

 

W przypadku, gdy przyłożymy bokami do siebie trzy trójkąty równoboczne, to powstanie trapez równoramienny, a gdy takie dwa trapezy połączymy ze sobą najdłuższymi bokami, to powstanie sześciokąt foremny (składający się z sześciu trójkątów równobocznych)

4) Trójkąt równoramienny, który ma dwa boki (ramiona) tej samej długości (i kąty przy podstawie tej samej miary) i nie jest trójkątem prostokątnym ("półkwadratusem").

a) Łączymy trójkąty ramionami (najdłuższymi bokami)

  

Przy pierwszym połączeniu ramionami powstanie równoległobok, zaś jeśli jeden z trójkątów przed przyłożeniem obrócimy, to tym razem powstanie tak zwany deltoid (kształtem podobny do latawca).

b) Łączymy trójkąty podstawami (najkrótszymi bokami)

Bez względu na to jak przyłożymy do siebie podstawy (z obrotem o 180 stopniu czy też bez) dwóch trójkątów równoramiennych, to zawsze uzyskamy romb (czyli równoległobok o wszystkich bokach równych).

I tym oto sposobem uzyskaliśmy z naszych trójkątów wszystkie najważniejsze (podstawowe) czworokąty, razem z trapezem równoramiennym (powstałym z połączenia 3 trójkatów równobocznych). Warto samodzielnie sprawdzić co powstanie jeśli będziemy ze sobą łączyli trapez równoramienny i prostokątny (oba z nich osobno z tymi samymi rodzajami trapezów).

Pora na podsumowanie. Z uwagi na to, aby było bardziej czytelnie, to wypunktuje najbardziej istotne kwestie.

1. Układanie figur obok siebie (trójkątów i czworokątów) może być bardzo dobrą pomocą ku temu, aby odkrywać właściwości figur (zwłaszcza równoległoboków i rombów, które czasami mylą się dzieciom, bo nie do końca rozumieją różnice między nimi). Dodatkowo można analizować powstałe figury pod kątem ich boków, przekątnych (długości, kątów przecięcia) jak też wysokości a nawet obliczania ich pola.

2. Na początek dobrze jest rozpocząć układanie nowych figur poprzez łączenie ich po 2 sztuki obok siebie: każde z nich łączymy z bokami tego samego rodzaju (długości), a dodatkowo później odwracamy jedną z nich o 180 stopni i po połączeniu sprawdzamy co wówczas powstaje.

3. Stopniowo można łączyć coraz więcej figur, tak aby układać nie tylko różne "pełne" figury, ale i układanki (wzorce) z figur. Dzięki temu coraz szybciej przejdziemy do tak zwango matematycznego parkietażu, bo to już cała nowa matematyczna kraina składająca się z figur (wielokątów foremnych). A dalej możemy pójść śladami Eschera czyli realizować teamat: parkietaże, teselacje, mozaiki. Nie trzeba chyba mówić jak potężne możliwości za tym się kryją, prawda?

4. Następny krok to łączenie wszystkich figur (trójkątów i czworokątów) ze sobą, ale tak, aby żaden bok nie wystawał poza figurę (bok). Przykładowo jeden z najprostszych sposóbów połączenia trójkąta prostokątnego (nie "półkwadratusa"), to ułożenie kwadratu na każdym z boków trójkąta. No i dzięki temu oczywiście za jakiś czas będziemy mogli omówić twierdzenie Pitagorasa. Jeśli będzie ku temu okazja, to można twierdzenie Pitagorasa rozciągnąć na dowolne wielokąty foremne (dzięki temu powtarzamy o wielokątach, a jednocześnie odkrywamy magię i głębię twierdzenia Pitagorasa).

5. W zależności od tego na ile dzieci są gotowe do dalszych eksperymentów, można również wprowadzać temat obrotu, którym zajmiemy się w jednym z kolejnych odcinków. W tej odsłonie mieliśmy tylko odwracanie figur o 180 stopni, co jest najprostszym wprowadzeniem w temat. Jeśli dzieci są gotowe, to wyjaśniamy obrót o 180 stopni, a potem o 90 stopni (w obu kierunkach: zgodnie z ruchem wskazówek zegara jak i przeciwnie).

6. Najważniejsza wskazówka: dzieci powinny samodzielnie jak najwięcej odkrywać, sprawdzać, testować, ale również zapisywać wnioski (tak jak umieją i przy okazji najprościej jak można, aby nie tracić na tę czynność energii). Dzięki temu można potem porównywać nasze odkrycia jak też wnioski. Przy dobrej współpracy można zrealizować (zainicjować) naprawdę dużo tematów "pobocznych", które za jakiś czas będą nam (i dzieciom) znajome, a więc łatwiejsze do zintegrowania w systemie wiedzy i zrozumienia matematycznego świata, który stale budujemy i poszerzamy.

7. W zależności od tego jakimi środkami dydaktycznymi dysponujemy, dzieci mogą różne figury samodzielnie rysować oraz wycinać. W kolejnych odsłonach można zapewnić dzieciom plastikowe lub drewniane figury, aby przyspieszyć proces odkrywania i tworzenia. Jedną z doskonałych lamigłówek ku temu, aby rozwijać wyobraźnię przestrzenną (tutaj na razie dwuwymiarowa) jest tak zwany TANGRAM (rysunek poniżej przedstawia mozaikę wielokątów).

Mam nadzieję, że ten artykuł jest dobrą inspiracją, podpowiedzią czy też pomocą ku temu, aby wykorzystywać proste pomysły do tego, aby przechodzić na wyższe poziomy odkrywania, tworzenia, testowania jak i zrozumienia.