Jak z prostokąta powstaje trójkąt i dlaczego te eksperymenty są takie istotne

W poprzednim odcinku wspomniałem o tym, że na pierwszy ogień idzie pierwsza koncepcja (o kole), zaś w następnym kolejna (ta o trójkącie). Pora zatem na to, aby zapoznać się z tą drugą koncepcją: w jaki sposób z prostokąta może powstać trójkąt. Wierzę, że mam ciekawy sposób na to, aby pokazać pewne zależności, które będą nie tylko inspiracją do dalszych poszukiwań i eksperymentów, ale jednocześnie będą pokazywały i wyjaśniały to w jaki sposób między figurami zachodzą pewne relacje. Jestem przekonany, że dzięki temu dzieci będą coraz lepiej rozumiały owe przekształcenia, a przy okazji będą zadawały kolejne pytania, będąc nakręcane ciekawością. A zatem zaczynajmy naszą przygodę!

Na początku zastanówmy się co musiałoby się stać, aby z prostokąta powstał trójkąt.

Pójdziemy drogą, która da nam sporo nowych możliwości i poszerzy nasze horyzonty: głównie zrozumienie relacji między figurami.

Po to, aby ćwiczenia były w pełni zrozumiałe, rysujemy 3 identyczne prostokąty (w miarę duże, a przy okazji takie, które nie stykają się ze sobą), które będą wykorzystywane do trzech różnych ćwiczeń.

Różne możliwości poprowadzenia (pół)prostej od punktu A. 

Kolej na pierwsze ćwiczenie.

Ćw.1: rysujemy linię (pół)prostą, która wychodzi z wierzchołka A i przechodzi przez punkt E. Następnie rozcinamy nasz prostokąt wzdłuż tej linii. Co w ten sposób powstało? Otóż otrzymaliśmy dwie figury: trójkąt (ABE) oraz trapez (AECD). Zastanówmy się, która z tych figur ma większe pole - trójkąt czy trapez. Zapiszmy nasze przemyślenia (wnioski).

Kolej na następne ćwiczenie.

Ćw.2: rysujemy linię (pół)prostą, która wychodzi z wierzchołka A i przechodzi przez punkt F. Następnie rozcinamy nasz prostokąt wzdłuż tej linii. Co w ten sposób powstało? Otóż otrzymaliśmy dwie figury: trójkąt (AFD) oraz trapez (ABCF). Zastanówmy się, która z tych figur ma większe pole - trójkąt czy trapez. Zapiszmy nasze przemyślenia (wnioski).

Teraz kolej na porównywanie pól obu figur (jednocześnie z obu ćwiczeń). Bez większego trudu możemy się przekonać, że pole każdego z trapezów jest większe od pola odpowiadającego trójkąta.

Jak najprościej można się o tym przekonać? Otóż wystarczy na wyciętym trapezie położyć odpowiedni trójkąt, tak aby dwoma bokami (przyprostokątmi) pokrywał się w z odpowiednimi bokami trapezu (oba boki figur leżą tak, że ich kąty proste się pokrywają).

Widzimy, że trapez niejako "wchłania" trójkąt i jeszcze zostaje dodatkowy obszar trapezu. Zatem wniosek z tego taki, że trapez ma większe pole od pola badanego (przyłożonego) trójkąta. To samo rozumowanie możemy przeprowadzić na obu trapezach i odpowiadających im trójkątach: wniosek nadal jest ten sam.

Zobaczmy jednak co się stanie, gdy rozetniemy prostokąt wzdłuż jednej z przekątnych.

Przy okazji powiedzmy sobie o tym, czym jest przekątna. Jest to odcinek łączący dwa dowolne wierzchołki figury, który nie jest jej bokiem.

W przypadku naszego prostokąta: zastanówmy sie ile takich odcinków możemy narysować z punktu A. Jedyna możliwość to poprowadzenie prostej z punktu A do C. W ten sposób powstaje odcinek AC, który jest naszą przekątną. Warto krótko wspomnieć, że nie może to być ani odcinek AB ani AD, ponieważ oba z nich leżą one na bokach figury (w naszym przypadku - prostokąta).

Kolej na następne ćwiczenie.

Ćw.3: W naszym prostokącie rysujemy linię (pół)prostą, która wychodzi z wierzchołka A i przechodzi przez punkt C. Następnie rozcinamy nasz prostokąt wzdłuż tej linii. Co w ten sposób powstało? Otóż otrzymaliśmy dwie figury: trójkąt i drugi trójkąt.

I teraz zobaczmy jakie są różnice między tym co było w poprzednich ćwiczeniach.

Pierwsza z nich jest taka, że po rozcięciu figury wzdłuż przekątnej, otrzymaliśmy dwa trójkąty! Nie ma już trójkąta i trapezu jak było poprzednio.

Druga różnica polega na tym, że trójkąty wyglądają niemal identycznie. Weźmy nasze trojkąty i połóżmy na siebie w ten sposób, aby idealnie się pokryły. Jeśli rozcięliśmy wzdłuż przekątnej i odpowednio oraz dokłanie nałożyliśmy na siebie nasze trójkąty, to okazuje się, że wzajemnie się pokrywają! Wow!

Czy zatem wniosek z tego taki, że pola obu trójkątów są identyczne? Tak! Możemy przyjrzeć im się z bliska i przekonamy się, że oba z nich mają taki sam kształt oraz wielkość. I nadal będą takie nawet jeśli byśmy je obrócili w dowolną stronę. Co to znaczy? Oznacza to, że obie figury mają również takie samo pole!

Przy okazji można podkreślić, że w matematyce figury, które mają taki sam kształt i wielkość, nazywamy przystającymi. Łatwo to zapamiętać, zgodnie z przysłowiem: "z jakim przystajesz takim (tzn. identycznym) się stajesz".

A teraz sensacja i zarazem szalenie ważny wniosek: podzielenie prostokąta wzdłuż przekątnej, sprawia że otrzymujemy dwa identyczne trójkąty! Inaczej mówiąc taki trójkąt jest połową prostokąta. No dobrze, ale co za tym idzie?

Otóż teraz znacznie łatwiej będzie nam zrozumieć istotę wzoru na pole trójkąta. We wzorze na pole trójkąta jest albo "ułamek 1/2" albo też w mianowniku występuje dwójka. I właśnie owa magiczna dwójka w mianowniku (dzielenie przez 2) lub pomnożenie przez 1/2 (również dwójka w mianowniku ułamka), to właśnie efekt tego, że trójkąt jest połową prostokąta!

Z uwagi na właściwości prostokąta (wszystkie kąty proste), przecinanie go wzdłuż przekątnej sprawi, że za każdym razem będziemy mieli dwa trójkąty prostokątne. Natomiast w takich trójkątach łatwo jest zobaczyć, że dołożenie drugiego identycznego trójkąta sprawi, że będziemy mogli złożyć z nich prostokąt.

Co natomiast w przypadku trójkątów innych aniżeli prostokątne? W takim wypadku najpierw kopiujemy nasz trójkąt, abyśmy mieli dwa identyczne (przystające), zaś później obracamy jeden z nich tak, aby po złożeniu powstał... równoległobok!

  

Identyczne trójkąty stykające się ze sobą tymi samymi bokami (odpowiednio c1/c2, a1/a2 i b1/b2).

Z kolei każdy równoległobok możemy przekształcić w prostokąt! Wystarczy w tym celu na jednym z boków równoległoboku dorysować prostopadły odcinek, który połączy go z przeciwległym wierzchołkiem. Następnie rozcinamy nasz równoległobok wzdłuż tego odcinka, a potem doklejamy go z drugiej strony... i powstaje prostokąt! Prawda, że niesamowite? Warto znowu zaznaczyć, że ów prostopadły odcinek to jedna z wysokości trójkąta. No i wszystko zaczyna układać się w spójną całość.

KROK PO KROKU: Przekształcanie dwóch trójkątów w prostokąt (przykład 1).

1. Najpierw łączymy ze sobą oba trójkąty bokiem tej samej długości, tak aby utworzyły równoległobok.

2. Następnie rysujemy wysokość (w jednym z trójkątów) na jednym z dwóch boków równoległoboku.

3. Ostatni krok to rozcięcie figury wzdłuż wysokości (linia przerywana) i doklejenie jej z drugiej strony. 

 

KROK PO KROKU: Przekształcanie dwóch trójkątów w prostokąt (przykład 2).

1. Najpierw łączymy ze sobą oba trójkąty bokiem tej samej długości, tak aby utworzyły równoległobok.

2. Następnie rysujemy wysokość (w jednym z trójkątów) na jednym z dwóch boków równoległoboku.

3. Ostatni krok to rozcięcie figury wzdłuż wysokości (linia przerywana) i doklejenie jej z drugiej strony. 

Ten praktyczny sposób działa zarówno dla trójkątów ostrokątnych jak i rozwartokątnych. W przypadku tych ostatnich konieczne jest przykładanie do siebie obu trójkątów tymi samym bokami (bokami o tej samej długości), tak aby powstał równoległobok. Jeśli bowiem odpowiednie boki tych stykających się trojkątów obrócimy (przekręcimy) "nie w tę stronę", wówczas nie otrzymamy równoległoboku. Dobrze jest to sprawdzić samodzielnie, bo dzięki temu na dłużej zapadnie w pamięć.

W tym momencie kończymy nasze rozważania i proste ćwiczenia. Tym oto sposobem powoli wkroczyliśmy w figury identyczne (przystające) oraz w ich obracanie (rotację). W następnej odsłonie zajmiemy się właśnie tym, co się będzie działo, gdy będziemy nasze figury (trójkąty i czworokąty) obracać i przykładać do siebie w różny sposób. Na tę chwilę już wiemy, że w przypadku połączenia dwóch trójkątów prostokątnych może powstać prostokąt, zaś trójkątów nieprostokątnych - równoległobok. Niemniej pamiętajmy, że mamy więcej figur oraz znacznie więcej możliwości obracania jak i przykładania ich do siebie bokami.