Klonowanie i układanie kwadratów, prostokątów i trójkątów dla zaawansowanych - czyli jak przemycić pociągi Sierpińskiego i trójkąty Pitagorasa

Pojawia się pytanie czy aktywności związane z układaniem i manipulowaniem figurami, mogą być wykorzystywane w przypadku uczniów starszych aniżeli 3-5 klasa SP. Inaczej mówiąc: czy można zaciekawić uczniów koncepcjami wymagającymi nieco więcej wiedzy? Czy przykładowo można zrobić im dobre wprowadzenie do zagadnień, które są realizowane w klasach, powiedzmy 7-10?

W tym artykule przedstawię takie wprowadzenie, które opiera się na tym co wcześniej przekazałem. Chodzi oczywiście o poprzedni artykuł z tej serii: Klonowanie i układanie kwadratów, prostokątów i trójkątów - czyli budowanie zrozumienia właściwości podstawowych czworokątów. 

https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2022/07/klonowanie-i-ukadanie-kwadratow.html

Pytanie zatem czy i jak można przemycić twierdzenie Pitagorasa, trójkąty (i dywan) Sierpińskiego oraz (po)ciągi: arytmetyczny i geometryczny? Wydaje się to być dość karkołomne, ale przy odrobinie kreatywnego podejścia, myślę że jest do zrealizowania. Od razu zaznaczam, że jest to pewien sposób (kierunek) realizowania ciekawych i bardziej wymagających zajęć, ale na pewno można je realizować, dostosowując środki dydaktyczne i metody pracy, do konkretnych uczniów. A zatem zaczynamy!

Na początek bierzemy do testowania kwadraty.

CZĘŚĆ 1: Łączenie kwadratów ze sobą.



 

  

 

Mamy figurę (klocek), która wygląda następująco: na samej górze (najwyższej warstwie) jest jeden kwadrat, a poniżej kolejne trzy.

 

   

Budujemy następną figurę, tak aby kolejna warstwa była poszerzona z obu stron o jeden klocek (czyli łącznie o dwa klocki). Czyli pierwsza warstwa to jeden kwadrat, kolejna to trzy kwadraty, dalsza - pięć, zaś najniższa to dokładnie siedem kwadratów (elementów).

  

I teraz na podstawie tego ćwiczenia możemy poprosić naszych uczniów, o to, aby budowali kolejne warstwy. No i oczywiście pojawią się różnorodne pytania:

1) Ile klocków (kwadratów) potrzeba do tego, aby ułożyć figurę, która będzie miała 3, 5, 7, 10, 20, 30 warstw?

2) W jaki sposób obliczyć ile jest warstw tej figry jeśli znamy liczbę klocków?

3) Ile klocków potrzeba, aby z 5-warstwowca ułożyć 10-warstwowiec?

4) Co ci przypomina i z czym ci się kojarzy powstawanie kolejnych figur?

5) Jeśli bok każdego klocka (kwadratu) wynosi jeden, to jaki będzie obwód każdej z figur, która ma odpowiednio 3, 5, 7, 10, 20, 30 warstw?

6) Co się stanie z figurą jeśli jej prawą część odetniemy i przeniesiemy na lewą, aby powstała nowa figura? Jaka to będzie figura?

7) Czy pole nowej figury będzie inne niż podstawowej figury?

8) W jaki sposób najłatwiej obliczyć pole nowej figury w zależności od liczby warstw?

*9) wprowadzenie w zagadnienie: ciąg arytmetyczny i suma ciągu arytmetycznego oraz dla bardziej zaawansowanych - ciąg geometryczny i suma ciągu geometrycznego (na przykładzie szachów: szachownica i legenda o nagrodzie dla mędrca: podwajanie liczby ziaren na każdym kolejnym polu)

10) ile ziaren byłoby na kolejnych polach szachownicy, gdyby na pierwszym polu położyć jedno ziarno, a na każdym kolejnym zwiększać o dwa? (czyli drugie pole - 3 ziarna, trzecie - 5, czwarte - 7, etc.)

11) ile ziaren byłoby na kolejnych polach szachownicy, gdyby na pierwszym polu położyć jedno ziarno, a na każdym kolejnym powiększać dwukrotnie? (czyli drugie pole - 2 ziarna, trzecie - 4, czwarte - 8, etc.)

12) Jeśli znamy liczbę ziaren na danym polu, to w jaki sposób możemy określić, które to pole - w zależności od tego czy postęp następuje arytmetycznie bądź geometrycznie?

 

Dzięki tym ćwiczeniom powinniśmy zrozumieć to czym jest ciąg arytmetyczny i geometryczny, a dodatkowo co się dzieje z kolejnymi warstwami i jak można odkrywać i określać zależności między nimi.

Następnie na warsztat idą trójkąty równoboczne.

CZĘŚĆ 2: Łączenie trójkątów równobocznych ze sobą.

1) ile różnych figur może powstać gdy połączymy ze sobą trzy trójkąty?

2) ułóż z trzech i pięciu trójkątów - trapez, a z sześciu - szcześciokąt foremny

3) ułóż z czterech, dziewięciu i szesnastu trójkątów - trójkąt

4) jakie dostrzegasz zależności pomiędzy kolejnymi liczbami trójkątów: jak się mają do liczby kwadratów z których budujemy większe kwadraty?

5) wykorzystanie pytań, które zadawaliśmy w przypadku kwadratów (to samo co w części pierwszej) oraz wyjaśnienie czym jest analogia

*6) wprowadzenie w zagadnienie: trójkąt i dywan Sierpińskiego

7) Narysowanie dużego trójkąta, przekształcenie w trójkąt Sierpińskiego i następnie wycinanie niepotrzebnych części (trójkątów)

Po tym jak już nieco sprawdziliśmy trójkąty, to z pewnością widzimy jakie są możliwości ich łączenia oraz jakie figury (kształty) powstają dzięki różnorodnemu łączeniu elementów (trójkątów). Teraz kolej na zachęcenie do odkrywania twierdzenia Pitagorasa.

CZĘŚĆ 3: Budowanie (układanie) na trójkącie prostokątnym (połowa prostokąta): kwadratu, półkwadratusa i trójkąta równobocznego:

1) na bokach trójkąta prostokątnego (połowa prostokąta) budujemy kwadraty

2) na bokach trójkąta prostokątnego (połowa prostokąta) budujemy półkwadratusy

3) na bokach trójkąta prostokątnego (połowa prostokąta) budujemy trójkąty równoboczne

4) pole której figury (zbudowanej na każdym z boków) jest największe i dlaczego?

5) jak się ma suma pól obu figur (zbudowanej na każdej z przyprostokątnych) w stosunku do pola największej figury?

*6) wprowadzenie z zagadnienie: twierdzenie Pitagorasa: narysowanie i wycięcie szablonu, a potem ułożenie odpowiednich klocków (figur), tak aby wszystkie z nich wypełniły kwadrat (zbudowany na najdłuższym boku - przeciwprostokątnej)

7) wprowadzenie do łamigłówki logicznej Tangram, która polega na łączeniu różnych figur w określone kształty

8) rozdanie Tangramu dla każdego ucznia i zachęcanie do budowania własnych wzorów, a potem określonych kształtów zgodnych z kartą zadań

 

Powyższe ćwiczenia powinny sprawić, że dzieci zaczną zauważać ciekawe zależności dotyczące pól figur zbudowanych na bokach trójkąta prostokątnego. Warto ćwiczyć obliczenia na trójkątach (trójki pitagorejskie), które są proste do narysowania, a jednocześnie dające łatwe obliczenia.

Dzięki temu możemy również poćwiczyć (powtórzyć, wyjaśnić) wzory figur takich jak: prostokąt, trójkąt, kwadrat oraz trójkąt równoboczny. Trójkąty pitagorejskie, które będą się dobrze sprawdzały (długości boków): 3-4-5 (jako klasyczny), 5-12-13, dalej 6-8-10, potem 9-12-15 i na koniec 10-24-26 (ten ostatni tylko wtedy, gdy mamy dużą przestrzeń do rysowania, aby potem składać wszystkie części, po to żeby sprawdzić, że rzeczywiście tworzą kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej).

Oczywiście w zależności od umiejętności naszych uczniów jak też warunków, prosimy o narysowanie odpowiednich trójkątów. Najlepiej sprawdzają się trójkąty 6-8-10 jak też 9-12-15. Powodem tego jest to, że kwadraty liczb związanych z bokami są stosunkowo proste (36-64-100 i 81-144-225), a do tego narysowanie dwóch przyprostokątnych (od których zaczynamy rysowanie trójkątów) o bokach 6 i 8 (cm) czy też 9 i 12, nie powinno sprawiać trudności. Przy okazji oczywiście możemy poprosić uczniów o dokładne zmierzenie najdłuższego boku (przeciwprostokątnej), zanim będziemy znali jego idealną wartość, dzięki zrozumieniu twierdzenia Pitagorasa.

Podsumowanie. Jak widać można zrealizować ciekawe zajęcia, które będą dawały dzieciom poczucie sensu, sprawstwa (sprawczości) jak też coraz lepszego zrozumienia bardziej wymagających zagadnień, które zostały dobrze utrwalone poprzez odkrywanie zależności na bardziej elementarnych. Warto zaznaczyć wyraźnie, że zakres elementów oraz zagadnień dostosowujemy do możliwości dzieci jak i warunków w jakich pracujemy. Chodzi o to, aby dzieci jak najwięcej samodzielnie odkrywały, manipulowały oraz tworzyły, wyciągając wnioski i budując na nich swoją niepowtarzalną wizję świata matematyki. Im więcej pojawi się pytań i możliwości dzielania się swoimi odkryciami jak też wnioskami, tym zrozumienie będzie pełniejsze i znacznie bardziej trwałe.