Jednym z zagadnień, które wydaje się proste, a w praktyce szkolnej niestety często bywa słabo zrozumiane… jest temat podobieństwa. Niemniej zanim go opanujemy, to wcześniej musimy najpierw wyjaśnić zagadnienie przystawania. Być może dobrym pomysłem będzie wskazanie pewnych elementów oraz prostych pomysłów na które warto zwrócić uwagę. Myślę, że mam małe co nieco do zaproponowania... w myśl przysłowia "z jakim trójkątem przystajesz taką wiedzę w głowie zastajesz".
Na początku warto sobie postawić pewne pytania, aby zagadnienie przystawania (a na bazie tego, w przyszłości także i podobieństwa!) można było łatwiej nie tyle wyjaśnić ile odkrywać.
1. Co oznacza powiedzenie “z jakim przystajesz, takim się stajesz”?
2. Czym są i jakie własności mają figury przystające?
3. Gdzie i do czego używamy figur przystających?
4. Jak inaczej można nazwać figury przystające?
5. Co się stanie jeśli będziemy obracali figury przystające?
6. W jaki sposób obrót (lub przesunięcie) wpływa na kształt figur przystających? Czy i w jaki sposób zmieniają się ich boki, kąty, pole, obwód oraz kształt?
7. Wycinanie figur przystających ze złożonej kartki (na 2 lub 4 części).
8. Czym jest kserowanie oraz stemplowanie? Co ma wspólnego z figurami przystającymi?
9. W jaki sposób rozpoznać to, że figury są przystające?
10. Skąd się biorą oraz czym są cechy przystawania trójkątów?
Po tym jak już udało nam się wspólnie znaleźć odpowiedzi na powyższe pytania, jesteśmy gotowi do tego, aby przyjrzeć się temu co sprawia, że trójkąty mogą się na siebie nakładać, pokrywać czy też przystawać.
Zatem zaczynajmy nasze testy, aby dowiedzieć się jak można być pewnym, że dwa trójkąty są identyczne, nawet jeśli są obrócone bądź przesunięte.
Badamy boskie boki, czyli pierwsza cecha – BBB (bok-bok-bok)
Eksperyment 1: Bierzemy dwa patyczki i sklejamy je ze sobą końcami. Następnie:
a) budujemy trójkąt ostrokątny, prostokątny i rozwartokątny,
b) sprawdzamy jaka jest długość trzeciego (brakującego) boku w każdym z trójkątów,
c) zapisujemy w tabeli uzyskane wyniki pomiaru trzeciego boku,
d) jeśli rysowaliśmy te trójkąty, to teraz je wycinamy i nakładamy na siebie, sprawdzając czy się pokrywają.
WNIOSEK: Na podstawie ułożenia dwóch boków trójkąta nie jesteśmy w stanie stwierdzić czy te trójkąty są na pewno przystające. Musimy koniecznie poznać długość trzeciego boku.
1. Co oznacza powiedzenie “z jakim przystajesz, takim się stajesz”?
2. Czym są i jakie własności mają figury przystające?
3. Gdzie i do czego używamy figur przystających?
4. Jak inaczej można nazwać figury przystające?
5. Co się stanie jeśli będziemy obracali figury przystające?
6. W jaki sposób obrót (lub przesunięcie) wpływa na kształt figur przystających? Czy i w jaki sposób zmieniają się ich boki, kąty, pole, obwód oraz kształt?
7. Wycinanie figur przystających ze złożonej kartki (na 2 lub 4 części).
8. Czym jest kserowanie oraz stemplowanie? Co ma wspólnego z figurami przystającymi?
9. W jaki sposób rozpoznać to, że figury są przystające?
10. Skąd się biorą oraz czym są cechy przystawania trójkątów?
Po tym jak już udało nam się wspólnie znaleźć odpowiedzi na powyższe pytania, jesteśmy gotowi do tego, aby przyjrzeć się temu co sprawia, że trójkąty mogą się na siebie nakładać, pokrywać czy też przystawać.
Zatem zaczynajmy nasze testy, aby dowiedzieć się jak można być pewnym, że dwa trójkąty są identyczne, nawet jeśli są obrócone bądź przesunięte.
Badamy boskie boki, czyli pierwsza cecha – BBB (bok-bok-bok)
Eksperyment 1: Bierzemy dwa patyczki i sklejamy je ze sobą końcami. Następnie:
a) budujemy trójkąt ostrokątny, prostokątny i rozwartokątny,
b) sprawdzamy jaka jest długość trzeciego (brakującego) boku w każdym z trójkątów,
c) zapisujemy w tabeli uzyskane wyniki pomiaru trzeciego boku,
d) jeśli rysowaliśmy te trójkąty, to teraz je wycinamy i nakładamy na siebie, sprawdzając czy się pokrywają.
WNIOSEK: Na podstawie ułożenia dwóch boków trójkąta nie jesteśmy w stanie stwierdzić czy te trójkąty są na pewno przystające. Musimy koniecznie poznać długość trzeciego boku.
Eksperyment 2: Bierzemy trzy patyczki różnej długości. Następnie:
a) sklejamy je wszystkie ze sobą,
b) układamy z nich trójkąty o dowolnych kątach,
c) porównujemy wszystkie z nich,
d) jeśli rysowaliśmy te trójkąty, to teraz je wycinamy i nakładamy na siebie, sprawdzając czy się pokrywają.
a) sklejamy je wszystkie ze sobą,
b) układamy z nich trójkąty o dowolnych kątach,
c) porównujemy wszystkie z nich,
d) jeśli rysowaliśmy te trójkąty, to teraz je wycinamy i nakładamy na siebie, sprawdzając czy się pokrywają.
WNIOSEK: Mając do dyspozycji trzy dowolne boki trójkąta (patyczki), można ułożyć tylko jeden trójkąt: bez względu na to od którego boku zaczynamy układanie (rysowanie). Wówczas możemy mieć pewność, że we wszystkich trójkątach wszystkie boki są tej samej długości (nawet jeśli trójkąt jest w innym położeniu).
Warto zwrócić uwagę na to, że różnica dotyczy jedynie położenia trójkątów, a nie ich kształtu. Oznacza to, że pozostałe trójkąty są identyczne (przystające), nawet jeśli są obrócone (odwrócone) względem siebie. Dlaczego? Ponieważ obracanie (obrót) identycznych trójkątów w tym wypadku nic nie zmienia.
Podsumowanie: cecha BBB (bok-bok-bok) dotycząca trójkąta brzmi: trójkąty o odpowiadających bokach równej długości są przystające. Inaczej mówiąc jeśli znamy trzy boki trójkąta, to jeśli w innym trójkącie są one takie same, to na pewno oba trójkąty są przystające (identyczne).
Warto zwrócić uwagę na to, że różnica dotyczy jedynie położenia trójkątów, a nie ich kształtu. Oznacza to, że pozostałe trójkąty są identyczne (przystające), nawet jeśli są obrócone (odwrócone) względem siebie. Dlaczego? Ponieważ obracanie (obrót) identycznych trójkątów w tym wypadku nic nie zmienia.
Podsumowanie: cecha BBB (bok-bok-bok) dotycząca trójkąta brzmi: trójkąty o odpowiadających bokach równej długości są przystające. Inaczej mówiąc jeśli znamy trzy boki trójkąta, to jeśli w innym trójkącie są one takie same, to na pewno oba trójkąty są przystające (identyczne).
Dodatkowo z cechy BBB wynika (i łączy się z nią) cecha KKK! (na odwrót też to działa). Oznacza to, że odpowiednie kąty w obu trójkątach są sobie równe. Jednak to, że wszystkie kąty są równe w obu trójkątach nie znaczy automatycznie, że trójkąty są przystające. Są one wtedy przystające, gdy w obu z nich są wszystkie odpowiednie kąty tej samej miary i dwa dowolne boki (w każdym trójkącie) tej samej długości. To z kolei gwarantuje, że wówczas wszystkie odpowiadające boki w każdym z trójkątów są sobie równe. Inaczej mówiąc cechy BBB i KKK są nierozłącznie ze sobą powiązane. Będzie to szczególnie ważne w temacie związanym z podobieństwem.
Badamy kąt między dwoma bokami - czyli na czym polega druga cecha BKB (bok-kąt-bok)
Eksperyment 3: Bierzemy trzy patyczki różnej długości. Następnie:
a) dwa z nich układamy (rysujemy), aby oba boki były pod kątem prostym i sklejamy je ze sobą (tak, aby kąt między nimi się nie zmieniał),
b) w drugim i trzecim trójkącie robimy to samy, tylko obracamy trójkąt o dowolny kąt,
c) w każdym trójkącie rysujemy (budujemy) trzeci bok,
d) porównujemy wszystkie z nich, mierząc dorysowane (ułożone) boki każdego z trójkątów,
e) jeśli rysowaliśmy te trójkąty, to teraz je wycinamy i nakładamy na siebie, sprawdzając czy się ze sobą pokrywają.
WNIOSEK: Mając dwa boki trójkąta i stały kąt między nimi (mniejszy od kąta półpełnego), możemy ułożyć (narysować) tylko jeden trójkąt - bez względu na to od którego boku zaczynamy układanie (rysowanie).
Warto podkreślić, że w tym przypadku nie musimy znać długości trzeciego boku trójkąta. Dlaczego? Otóż z uwagi na to, że trzeci bok będzie zawsze taki sam. Jak to się dzieje? Otóż wybrane dwa boki i kąt między nimi sprawią, że będzie tylko jedna możliwość, aby powstał trzeci bok (jako połączenie dwóch wierzchołków za pomocą odcinka).
Podsumowanie: cecha BKB (bok-kąt-bok) dotycząca trójkąta brzmi tak: trójkąty w których dwa odpowiadające boki są takie same (tej samej długości) oraz kąt między tymi bokami jest taki sam... są przystające.
Kolej na ostatnie sprawdzanie własności trójkąta, czyli odkrywanie cechy KBK (kąt-bok-kąt)
Eksperyment 4: Bierzemy jeden patyczek dowolnej długości (najlepiej nieco dłuższy). Następnie:
a) układamy (rysujemy) w dowolny sposób ten patyczek (bok), w każdym z trzech trójkątów,
b) zaznaczamy kolorem ten bok w każdym trójkącie,
c) na początku i końcu odcinka (który jest naszym bokiem trójkąta) rysujemy dwa dowolne kąty ostre (najlepiej różnej miary),
d) przedłużamy ramiona narysowanych kątów aż do momentu przecięcia (utworzą one brakujący wierzchołek trójkąta),
e) starannie wycinamy wszystkie trójkąty i teraz nakładamy na siebie, sprawdzając czy się pokrywają.
Warto podkreślić, że w tym przypadku nie musimy znać długości trzeciego boku trójkąta. Dlaczego? Otóż z uwagi na to, że trzeci bok będzie zawsze taki sam. Jak to się dzieje? Otóż wybrane dwa boki i kąt między nimi sprawią, że będzie tylko jedna możliwość, aby powstał trzeci bok (jako połączenie dwóch wierzchołków za pomocą odcinka).
Podsumowanie: cecha BKB (bok-kąt-bok) dotycząca trójkąta brzmi tak: trójkąty w których dwa odpowiadające boki są takie same (tej samej długości) oraz kąt między tymi bokami jest taki sam... są przystające.
Kolej na ostatnie sprawdzanie własności trójkąta, czyli odkrywanie cechy KBK (kąt-bok-kąt)
Eksperyment 4: Bierzemy jeden patyczek dowolnej długości (najlepiej nieco dłuższy). Następnie:
a) układamy (rysujemy) w dowolny sposób ten patyczek (bok), w każdym z trzech trójkątów,
b) zaznaczamy kolorem ten bok w każdym trójkącie,
c) na początku i końcu odcinka (który jest naszym bokiem trójkąta) rysujemy dwa dowolne kąty ostre (najlepiej różnej miary),
d) przedłużamy ramiona narysowanych kątów aż do momentu przecięcia (utworzą one brakujący wierzchołek trójkąta),
e) starannie wycinamy wszystkie trójkąty i teraz nakładamy na siebie, sprawdzając czy się pokrywają.
WNIOSEK: Mając dwa kąty trójkąta i bok tej samej długości między nimi, możemy narysować (ułożyć) tylko jeden trójkąt - bez względu na to od którego boku zaczynamy rysowanie (układanie).
Warto zaznaczyć, że w takiej sytuacji nie potrzebujemy znać długości dwóch pozostałych boków trójkąta. Dlaczego? Dzieje się tak, ponieważ te boki przetną się w jednym punkcie, których długość będzie zależna od (wartości) obu kątów.
Podsumowanie: cecha KBK (kąt-bok-kąt) dotycząca trójkąta brzmi: trójkąty mające jeden równy bok i dwa przyległe do niego kąty odpowiednio równej miary... są przystające.
W ten oto sposób odkryliśmy i poznaliśmy sposoby za pomocą których możemy sprawdzić czy trójkąty są przystające.
Na koniec spróbuję w skrócie dać krótkie odpowiedzi na pytania, które zostały postawione na początku artykułu. Są to tylko pewne wskazówki, więc warto je traktować wyłącznie jako stymulację procesu odkrywania jak i tworzenia.
1. Powiedzenie “z jakim przystajesz, takim się stajesz” oznacza, że jeśli spotykasz się z ludźmi z klasą, to dzięki temu sam się do nich upodobnisz. Tak jako jak z tym blogiem oraz artykułami na nim: im więcej myślisz nad nimi, tym bardziej oświeconym człowiekiem się stajesz. W sumie to proste jak słońce, ale na wszelki wypadek dodałem.
2. Figury przystające to takie, które są identyczne. Można powiedzieć, że są również nakładające czy też pokrywające się. Mają one takie własności jakie ma figura pierwotna. Nieco więcej będzie o tym w odpowiedzi na pytanie nr 6.
3. Figury przystające używamy w sytuacji w której chcemy mieć jednakowe obiekty w większej ilości. Przykładowo mogą one być wykorzystane jako płytki lub parkiet w domu czy też w przypadku pakowania (jak też przechowywania czy też produkowania) różnych produktów do pudełek.
4. Figury przystające można nazywać również jako nakładające czy też pokrywające się. Najprościej chyba używać nazwy “figury identyczne”, bo wtedy nikt nie będzie miał wątpliwości o co chodzi. Wśród matematyków (i na lekcjach matematyki) można jednak zabłysnąć stosując najbardziej popularną nazwę, czyli “figury przystające”.
5. Jeśli będziemy obracali figury przystające to zmieni się jedynie ich położenie. Inaczej mówiąc trzeba będzie odwrócić głowę, stolik lub oczy, aby zobaczyć je z tej samej strony.
6. Obrót (lub przesunięcie) nie wpływa na kształt figur przystających. Nadal są to te same figury. Nie zmieniają się ich boki, kąty, pole, obwód oraz kształt. Po prostu to ta sama figura tylko “skserowana”.
7. To świetny przykład na to, aby można było zrozumieć istotę figur przystających. Wystarczy do tego zwykła (nieco większa) kartka, którą składamy na 2, 4 lub 8 części. Dzięki temu jeśli dokładnie wytniemy główną figurę, wówczas te dodatkowe powinny być także identyczne. Warto wziąć pod uwagę to, że wycinanie figur przystających ze złożonej kartki na więcej niż 4 części może sprawić, że będzie je trudno rozciąć (a to z kolei wpłynie na to, że nie będą dokładnie do siebie przylegały).
8. Kserowanie oraz stemplowanie to właśnie sposób na to, aby mieć wiele kopii tej samej rzeczy (obiektu). W przypadku kserowania jednak mamy również możliwość ustawiania dodatkowych opcji (np. możemy sprawić, że pierwotny obiekt będzie powiększony lub obrócony). Można zatem powiedzieć, że stemplowanie to znakomita zabawa, która pokazuje istotę tego czym są figury przystające (zwłaszcza jeśli stempel będziemy obracać, aby pieczątki obiektu były w różnym położeniu).
9. Rozpoznawanie figur przystających może być realizowane na kilka sposobów. Z punktu widzenia matematycznego, to wystarczy zbadać takie obiekty (trójkąty) za pomocą cech przystawania (wystarczy dowolna cecha). Natomiast w praktyce najczęściej dzieci po prostu nakładają na siebie dwa obiekty i sprawdzają czy jeden nie wystaje spoza drugiego. Często do tego celu wykorzystywana jest szyba na której odbywa się taki test (tak, można również odrysowywać kształt danej figury na dodatkowej kartce).
10. Cechy przystawania trójkątów są sposobami na to, aby być absolutnie pewnym tego, że mamy do czynienia z dwoma trójkątami, które są identyczne (przystające). Na tej podstawie można wyciągać dalsze wnioski. No i przy okazji te cechy zostały już dawno wymyślone na podstawie prostych obserwacji jak też analizy. Tak samo jak powyżej przeprowadziliśmy proste testy. Tyle, że ta wiedza jest już dostępna od dawien dawna.
Podsumowanie: przystawanie trójkątów może być świetną zabawą. Zwłaszcza wówczas jeśli jest to połączenie odkrywania, nauki i zabawy. Dzięki temu dzieci będą w stanie nie tylko zrozumieć sens tego czym się zajmują, ale także łatwiej będzie im opanować temat podobieństwa. To jest bowiem poszerzenie tematu przystawania, w którym dodajemy skalę – powiększamy lub pomniejszamy figury identyczne i sprawdzamy czy rzeczywiście są one z tego samego wzorca lub stempla. No i w sekrecie powiem, że również tym tematem będzie okazja w niedalekiej przyszłości się zmierzyć.
Warto zaznaczyć, że w takiej sytuacji nie potrzebujemy znać długości dwóch pozostałych boków trójkąta. Dlaczego? Dzieje się tak, ponieważ te boki przetną się w jednym punkcie, których długość będzie zależna od (wartości) obu kątów.
Podsumowanie: cecha KBK (kąt-bok-kąt) dotycząca trójkąta brzmi: trójkąty mające jeden równy bok i dwa przyległe do niego kąty odpowiednio równej miary... są przystające.
W ten oto sposób odkryliśmy i poznaliśmy sposoby za pomocą których możemy sprawdzić czy trójkąty są przystające.
Na koniec spróbuję w skrócie dać krótkie odpowiedzi na pytania, które zostały postawione na początku artykułu. Są to tylko pewne wskazówki, więc warto je traktować wyłącznie jako stymulację procesu odkrywania jak i tworzenia.
1. Powiedzenie “z jakim przystajesz, takim się stajesz” oznacza, że jeśli spotykasz się z ludźmi z klasą, to dzięki temu sam się do nich upodobnisz. Tak jako jak z tym blogiem oraz artykułami na nim: im więcej myślisz nad nimi, tym bardziej oświeconym człowiekiem się stajesz. W sumie to proste jak słońce, ale na wszelki wypadek dodałem.
2. Figury przystające to takie, które są identyczne. Można powiedzieć, że są również nakładające czy też pokrywające się. Mają one takie własności jakie ma figura pierwotna. Nieco więcej będzie o tym w odpowiedzi na pytanie nr 6.
3. Figury przystające używamy w sytuacji w której chcemy mieć jednakowe obiekty w większej ilości. Przykładowo mogą one być wykorzystane jako płytki lub parkiet w domu czy też w przypadku pakowania (jak też przechowywania czy też produkowania) różnych produktów do pudełek.
4. Figury przystające można nazywać również jako nakładające czy też pokrywające się. Najprościej chyba używać nazwy “figury identyczne”, bo wtedy nikt nie będzie miał wątpliwości o co chodzi. Wśród matematyków (i na lekcjach matematyki) można jednak zabłysnąć stosując najbardziej popularną nazwę, czyli “figury przystające”.
5. Jeśli będziemy obracali figury przystające to zmieni się jedynie ich położenie. Inaczej mówiąc trzeba będzie odwrócić głowę, stolik lub oczy, aby zobaczyć je z tej samej strony.
6. Obrót (lub przesunięcie) nie wpływa na kształt figur przystających. Nadal są to te same figury. Nie zmieniają się ich boki, kąty, pole, obwód oraz kształt. Po prostu to ta sama figura tylko “skserowana”.
7. To świetny przykład na to, aby można było zrozumieć istotę figur przystających. Wystarczy do tego zwykła (nieco większa) kartka, którą składamy na 2, 4 lub 8 części. Dzięki temu jeśli dokładnie wytniemy główną figurę, wówczas te dodatkowe powinny być także identyczne. Warto wziąć pod uwagę to, że wycinanie figur przystających ze złożonej kartki na więcej niż 4 części może sprawić, że będzie je trudno rozciąć (a to z kolei wpłynie na to, że nie będą dokładnie do siebie przylegały).
8. Kserowanie oraz stemplowanie to właśnie sposób na to, aby mieć wiele kopii tej samej rzeczy (obiektu). W przypadku kserowania jednak mamy również możliwość ustawiania dodatkowych opcji (np. możemy sprawić, że pierwotny obiekt będzie powiększony lub obrócony). Można zatem powiedzieć, że stemplowanie to znakomita zabawa, która pokazuje istotę tego czym są figury przystające (zwłaszcza jeśli stempel będziemy obracać, aby pieczątki obiektu były w różnym położeniu).
9. Rozpoznawanie figur przystających może być realizowane na kilka sposobów. Z punktu widzenia matematycznego, to wystarczy zbadać takie obiekty (trójkąty) za pomocą cech przystawania (wystarczy dowolna cecha). Natomiast w praktyce najczęściej dzieci po prostu nakładają na siebie dwa obiekty i sprawdzają czy jeden nie wystaje spoza drugiego. Często do tego celu wykorzystywana jest szyba na której odbywa się taki test (tak, można również odrysowywać kształt danej figury na dodatkowej kartce).
10. Cechy przystawania trójkątów są sposobami na to, aby być absolutnie pewnym tego, że mamy do czynienia z dwoma trójkątami, które są identyczne (przystające). Na tej podstawie można wyciągać dalsze wnioski. No i przy okazji te cechy zostały już dawno wymyślone na podstawie prostych obserwacji jak też analizy. Tak samo jak powyżej przeprowadziliśmy proste testy. Tyle, że ta wiedza jest już dostępna od dawien dawna.
Podsumowanie: przystawanie trójkątów może być świetną zabawą. Zwłaszcza wówczas jeśli jest to połączenie odkrywania, nauki i zabawy. Dzięki temu dzieci będą w stanie nie tylko zrozumieć sens tego czym się zajmują, ale także łatwiej będzie im opanować temat podobieństwa. To jest bowiem poszerzenie tematu przystawania, w którym dodajemy skalę – powiększamy lub pomniejszamy figury identyczne i sprawdzamy czy rzeczywiście są one z tego samego wzorca lub stempla. No i w sekrecie powiem, że również tym tematem będzie okazja w niedalekiej przyszłości się zmierzyć.
Cudowny artykuł!!!
OdpowiedzUsuńGratuluję!