Wysokość w figurach rewelacyjnie opisana - to matematyka świetnie zrozumiana i solidnie opanowana - cz.5

Tym razem powiemy sobie co nieco na temat specjalnych trójkątów równoramiennych. Wbrew pozorom jest kilka elementów, które albo nie są ujawniane albo nie są oczywiste. Uważam, że powinniśmy te tajemnice odkrywać, zwłaszcza iż mogą one być wykorzystywane do lepszego zrozumienia zagadnienia figur płaskich i istotnych relacji w nich oraz między nimi.

Trójkąty równoramienne to te, które mają dwa ramiona tej samej długości. Trzeci bok nie ma znaczenia - jego długość może być różna, ale może być także identyczna jak oba ramiona.

W obecnej odsłonie pominiemy trójkąt równoboczny, pomimo że jest także rodzajem trójkąta równoramiennego (bo można znaleźć w nim dwa ramiona tej samej długości). Jeszcze będziemy mieli kiedyś okazję przyjrzeć mu się z bliska.

Zastanówmy się co by się stało, gdybyśmy wzięli dwie figury - kwadrat i romb, a następnie rozcięli je wzdłuż przekątnych? Otóż wtedy powstałyby: półkwadratus i półrombus. Co takiego??! Zobaczmy.

PÓŁKWADRATUS powstały w wyniku przecięcia rombu wzdłuż dowolnej przekątnej

W przypadku rozcięcia kwadratu, powstaje tylko jeden rodzaj trójkąta równoramiennego. Jest to trójkąt prostokątny, który ma oba kąty ostre równej miary (po 45 stopni).

PÓŁROMBUS powstały w wyniku przecięcia rombu wzdłuż dłuższej przekątnej

PÓŁROMBUS powstały w wyniku przecięcia rombu wzdłuż krótszej przekątnej

Natomiast gdybyśmy rozcięli romb (nie będącym kwadratem) wzdłuż dowolnej przekątnej (raz jednej, raz drugiej), wtedy w wyniku rozcięcia mogą powstać dwa rodzaje trójkątów. Jeden trójkąt będzie rozwartokątny, natomiast drugi - ostrokątny. I łatwo zauważyć, że ten pierwszy powstanie wówczas, gdy przetniemy romb dłuższą przekątną, zaś ten drugi - krótszą.

ROZPOZNAWANIE TRÓJKĄTA RÓWNORAMIENNEGO

Po czym można poznać, że mamy przed sobą trójkąt równoramienny? Mam kilka propozycji związanych z tym, aby to szybko zapamiętać.

1) Jeśli rozcinamy kwadrat wzdłuż (dowolnej) przekątnej

2) Jeśli rozcinamy romb wzdłuż (dowolnej) przekątnej

3) Gdy dwa boki trójkąta mają tą samą długość

4) Gdy dwa kąty trójkąta mają tą samą miarę

5) Gdy wszystkie boki trójkąta mają tą samą długość

6) Gdy wszystkie kąty trójkąta mają tą samą miarę

W przypadku punktu 5 i 6, gdy trójkąt ma wszystkie kąty tej samej miary lub boki tej samej długości (po 60 stopni każdy), wówczas mamy do czynienia z trójkątem równobocznym. Trójkąt równoboczny jest szczególnym (wyjątkowym) przykładem trójkąta równoramiennego, ponieważ w pełni spełnia jego definicję. Inaczej mówiąc każdy trójkąt równoboczny jest trójkątem równoramiennym, ale nie każdy trójkąt równoramienny jest równobocznym.

ROZPOZNAWANIE TRÓJKĄTA PÓŁKWADRATUSA

Półkwadratus, to trójkąt mający kąt prosty i równe ramiona. Powstaje z przecięcia kwadratu dowolną przekątną.

Po czym natomiast rozpoznać półkwadratusa? Jest to trójkąt mający kąt prosty oraz:

1) ma dwa boki tej samej długości (np. 4 cm, 4 cm)

2) ma dwa kąty tej samej miary (tylko jedna możliwość: oba kąty po 45 stopni)

3) ma przynajmniej jeden kąt 45 stopni (wówczas drugi też musi być taki sam)

4) ma dwa boki, którego jeden bok ma wartość podstawową (x), a drugi większy od niego prawie 1,5 razy większy (dokładnie pierwiastek z dwóch razy większy/dłuższy od tego {x})

ROZPOZNAWANIE TRÓJKĄTA PÓŁROMBUSA

Półrombus, to trójkąt mający dwa kąty ostre i jeden rozwarty (gdy rozetniemy romb wzdłuż dłuższej przekątnej) lub też wszystkie kąty ostre (gdy rozetniemy romb wzdłuż krótszej przekątnej). Powstaje z przecięcia rombu dowolną przekątną.

Teraz zastanówmy się po czym rozpoznać półrombusa? Jest to trójkąt nie mający kąta prostego, ale mający:

1) kąt rozwarty i dwa identyczne kąty ostre (np. 100, 40, 40)

2) wszystkie kąty ostre, ale tylko dwa tej samej miary (np. 80, 80, 20)

3) kąt rozwarty i dwa boki tej samej długości (np. 100 stopni, 5cm, 5cm)

4) kąt ostry i dwa boki tej samej długości (np. 20 stopni, 5cm, 5cm)

5) dwa kąty ostre tej samej miary, ale inne niż 45 stopni (np. 40, 40)

6) wszystkie boki równe (tylko jedna opcja: trójkąt równoboczny, np. 4, 4, 4)

7) wszystkie kąty ostre tej samej miary (tylko jedna opcja: trójkąt równoboczny: 60, 60, 60)


W przypadku gdy nasz półrombus jest trójkątem równobocznym (przypadek 6 i 7), wówczas masz romb ma następujące właściwości:

a) jego pole składa się z (pola) dwóch trójkątów równobocznych

b) krótsza przekątna jest równa długości dowolnego boku rombu

c) dłuższa przekątna jest równa długości dwóch wysokości trójkąta równobocznego

d) kąty ostre w rombie mają po 60 stopni, zaś rozwarte po 120.

e) dołożenie (doklejenie) identycznego trójkąta do dowolnego boku rombu, sprawi, że powstanie specyficzny trapez równoramienny, w którym dłuższa podstawa jest 3 razy dłuższa od krótszej (lub ramienia), zaś każde z ramion trapezu jest równe krótszej podstawie

ZESTAW PROPOZYCJI TWÓRCZYCH ĆWICZEŃ DLA DZIECI - RYSOWANIE, UKŁADANIE, ROZCINANIE, ŁĄCZENIE i WNIOSKI

Na bazie tych właściwości można zaprojektować bardzo ciekawe i rozwijające twórczość ćwiczenia. Możliwości jest dość dużo i każdy samodzielnie bez trudu może sobie je stworzyć. Ja podaję przykładowe pytania, które pomogą ukierunkować nasze poszukiwania.

1) Narysuj dowolny romb i rozetnij go wzdłuż krótszej przekątnej

2) Narysuj dowolny romb i rozetnij go wzdłuż dłuższej przekątnej

3) Narysuj dowolny kwadrat i rozetnij go wzdłuż krótszej przekątnej

4) Narysuj dowolny kwadrat i rozetnij go wzdłuż dłuższej przekątnej

5) Ułóż obok siebie przylegające półrombusy i opisz to co zauważasz

a) jakie figury tworzą gdy przykładamy je najkrótszym, a jakie najdłuższym bokiem?

b) czy są różnice w przypadku układania rombusów ostrokątnych i rozwartokątnych?

c) ile co najmniej półrombusów muszą mieć kolejne (coraz większe) trójkąty, kwadraty, prostokąty, romby i trapezy?

6) Ułóż obok siebie przylegające półkwadratusy i opisz to co zauważasz

a) jakie figury tworzą gdy przykładamy je najkrótszym, a jakie najdłuższym bokiem?

b) ile co najmniej półkwadratusów muszą mieć kolejne (coraz większe) trójkąty, kwadraty, prostokąty, romby i trapezy?

7) Narysuj bardzo duży kwadrat. Następne wytnij go i rysuj przekątną, a potem rozcinaj go wzdłuż niej, zrób tak za każdy razem z figurą, która pozostała po obcięciu. Co zauważasz?

8) Narysuj bardzo duży romb mający dwa kąty rozwarte (inne niż 120 stopni). Następne wytnij go i rysuj dłuższą przekątną, a potem rozetnij go wzdłuż niej. Następnie w powstałym trójkącie narysuj wysokość i rozetnij ten trójkąt wzdłuż niej. Zrób tak za każdy razem z figurą, która pozostała po obcięciu. Co zauważasz?

9) Narysuj bardzo duży romb mający dwa kąty rozwarty (każdy po 120 stopni, czyli figura składająca się z dwóch trójkątów równobocznych). Następne wytnij go i rysuj krótszą przekątną, a potem rozetnij go wzdłuż niej. Następnie w powstałym trójkącie narysuj wysokość i rozetnij ten trójkąt wzdłuż niej. Zrób tak za każdy razem z figurą, która pozostała po obcięciu. Co zauważasz?

10) Narysuj bardzo duży trójkąt równoboczny i wytnij go (np. z kartki papieru). Następnie w powstałym trójkącie narysuj punkt, który jest połową długości każdego boku (aby go znaleźć wystarczy, że z dowolnego wierzchołka poprowadzisz wysokość do danego boku). Teraz połącz te punkty ze sobą za pomocą odcinków. Następnie wzdłuż tych narysowanych odcinków rozetnij ten trójkąt. Weź dowolną (jedną) z powstałych w ten sposób figur i postępuj tak samo. Co zauważasz?

11) Narysuj bardzo duży kwadrat i wytnij go (np. z kartki papieru). Następnie w powstałym kwadracie narysuj punkt, który jest połową długości każdego boku. Teraz połącz te punkty ze sobą za pomocą odcinków. Następnie wzdłuż tych narysowanych odcinków rozetnij ten kwadrat. Weź największą w ten sposób figur i dalej postępuj tak samo. Co zauważasz?


Podsumowanie: zagadnienie i omawianie własności trójkątów równoramiennych, rombów i kwadratów wcale nie musi być nudne. Ba! Nie musi również opierać się wyłącznie o liczenie, liczenie i obliczanie w nieskończoność. Chodzi bowiem o wyciąganie wniosków, tworzenie i odkrywanie istotnych relacji w figurach oraz pobudzanie i zaspokajanie ciekawości. Dzięki takim ćwiczeniom i zabawie, możliwe jest doświadczanie piękna matematyki bez konieczności wykonywania jakichkolwiek obliczeń!

Cyferki są ważne tylko do tego, aby dawać nam pojęcie o otaczającej nas rzeczywistości. Jeśli bowiem odkryjemy, że pola kwadratów w kwadracie mają się do siebie tak samo lub inaczej niż trójkątów w trójkącie, wówczas naturalną koleją rzeczy jest sprawdzenie jak to będzie w przypadku gdy dodamy koła.

Czy koła w trójkątach będą się szybciej zwiększać bądź zmniejszać niż w kwadratach? Co się dzieje w przypadku, gdy łączymy ze sobą trójkąty, kwadraty czy nawet trapezy? Czy możemy w ten sposób wyłożyć płytki w naszym pokoju? Tak, to właśnie dzięki takim ćwiczeniom umysł zostaje pobudzony w kierunku architektury, wystroju wnętrz, sprawdzania wytrzymałości konstrukcji, projektowaniu pomieszczeń czy innych specjalizacji.

Jeśli damy dzieciom odpowiednie warunki do rozwoju, wówczas ich ciekawość samodzielnie będzie je prowadzić w kierunku tego co ich pociąga. Wystarczy tylko stworzyć odpowiednie warunki i zachęcać do tworzenia, sprawdzania, opisywania, odkrywania i wnioskowania. Liczenie zapewnią nam maszyny, a w najgorszym wypadku programiści, którzy napiszą program, który będzie za nas wykonywał obliczenia.

Wysokość w figurach rewelacyjnie opisana - to matematyka świetnie zrozumiana i solidnie opanowana - cz.4

W dzisiejszej odsłonie zobaczymy co się wiąże z tymi figurami i dlaczego ich podział oraz wysokości będą nam bardzo pomocne, gdy będziemy odkrywali wzory pozwalające obliczać ich pola. Mam nadzieję, że powoli staje się jasne to, że przy dobrych i ciekawych sposobach nauki, matematyka może być nie tylko ciekawa, ale również piękna i odkrywana za pomocą dobrej zabawy!...

Skąd się biorą wzory na trójkąty i czworokąty?

Na początek trzeba wyjaśnić dlaczego pole wyrażamy w jednostkach kwadratowych. Często bowiem dzieci nie wiedzą czy mają zapisać na końcu obliczeń - "centymetr", "centymetr kwadratowy" czy być może jeszcze inne oznaczenie? Pole to pewien obszar, którym możemy pokryć daną figurę... identycznymi kwadratami! Tak! Stąd właśnie nazwa "jednostki kwadratowe" (a nie chociażby jednostki trójkątne). Warto zaznaczyć, że w przypadku pola, które nie wyraża się liczbą całkowitą, dany obszar figury może zawierać też pewną część kwadratu. Inaczej mówiąc pole nie każdej z figury można za pomocą całych identycznych kwadratów. To jednak mało istotny szczegół.

Można zatem powiedzieć, że pole danej figury, to liczba identycznych kwadratów, które zmieszczą się w danej figurze. Inaczej mówiąc, pole wyrażamy w jednostkach kwadratowych. Dlaczego? Ponieważ kwadraty są najbardziej pasującymi figurami, które można łatwo dopasowywać i kroić na mniejsze części. Nic nie stoi jednak na przeszkodzie, aby spróbować pobawić się w to, żeby zmierzyć obszar (pole) figury za pomocą trójkątów prostokątnych (połówka kwadratu) lub nawet równobocznych. Jedyny warunek jest taki, że figury za pomocą których mierzymy pole innej figury, muszą być jednakowe.

POLA FIGUR JAKO ODNIESIENIE DO PROSTOKĄTA

Jak obliczamy pole w trójkącie? Otóż najprościej biorąc w przypadku trójkąta mamy do czynienia tak naprawdę z połową prostokąta.

I teraz gdybyśmy chcieli dowiedzieć się ile małych kwadratów mieści się w takim prostokącie, wówczas wystarczyłoby podstawę pomnożyć przez wysokość. Nieco ściślej mówiąc - długość podstawy mnożymy przez długość wysokości - obie z nich muszą być nam znane.

Przykładowo jeśli długość podstawy wynosi 8 kwadratów, a wysokość to 4 kwadraty, wtedy pole całej figury wynosi 8x4=32 kwadraty. I jeśli każdy taki kwadrat ma bok o długości jednego centymetra, wtedy pole będzie wyrażane w centymetrach kwadratowych. Oczywiście gdybyśmy mierzyli kwadratami o długości jednego metra, wtedy otrzymany wynik byłby w metrach kwadratowych. Prawda, że proste? Inaczej mówiąc, mierzymy kwadratami większymi lub mniejszymi, ale za każdym razem tej samej wielkości.

No dobrze. Wiemy już jak obliczać pole prostokąta, ale co z naszym trójkątem? Jeśli podzielimy nasz prostokąt wzdłuż przekątnej, wtedy otrzymamy dwa identyczne trójkąty. Czyli pole trójkąta jest połową pola prostokąta, który powstał z przekrojenia prostokąta za pomocą przekątnej. W takim układzie pole trójkąta będzie miało wartość: 32/2=16.

Wniosek z naszej analizy jest następujący: pole trójkąta jest połową pola prostokąta. I właśnie dlatego we wzorze będziemy mieli albo "podzielić przez 2", albo "pomnożyć przez 1/2".

Wzory na pole trójkąta zapisujemy w taki sposób: P = (a*h)/2 lub P = 1/2 *a*h.


Zapamiętajmy, że wzór na pole trójkąta obowiązuje dla dowolnego trójkąta. Musimy tylko wiedzieć jaka jest wysokość oraz ile wynosi podstawa. Przypominam, że wysokość zawsze musi być prostopadła do podstawy.

Teraz przyjrzyjmy się uważnie powyższym trójkątom. Pole każdego z trójkątów jest identyczne! Dlaczego? Otóż zarówno podstawa jak i wysokość w każdym z nich są takie same. Dobrze jest to pokazać na przykładach w których od pola "pełnego trójkąta" odejmujemy pole dorysowanego trójkąta... i otrzymujemy potwierdzenie tego, że pola trójkątów o tych samych podstawach i wysokościach są sobie równe.

Wniosek: przy trójkątach, które mają taką samą podstawę i wysokość, nie ma znaczenia ich rodzaj (ostrokątne, prostokątne czy rozwartokątne) - pole każdego z nich będzie takie samo.

POLE PROSTOKĄTA

Jak już wspomnieliśmy przy okazji tematu pola trójkąta, pole prostokąta otrzymujemy poprzez pomnożenie podstawy przez daną wysokość. Inaczej mówiąc, mnożymy przez siebie długości dwóch sąsiednich boków, które są do siebie prostopadłe. I bez znaczenia jest to, który jest wysokością, a który podstawą - wynik i tak będzie taki sam (wynika to z cechy przemienności mnożenia).

Pole = Podstawa x wysokość (P = a*h)

POLE KWADRATU

Wiemy już, że kwadrat to prostokąt o równych bokach. Jego wzór jest taki sam jak wzór na pole prostokąta.

Pole = Podstawa x wysokość (P = a*h)

Jednak z uwagi na to, że każdy bok w kwadracie jest równy, zatem łatwiej jest zapisać ten wzór jako: P = a*a lub w skrócie P = a^2

POLE RÓWNOLEGŁOBOKU

W przypadku pola równoległoboku, obliczenia są takie same jak przy polu prostokąta. Również potrzebujemy znać podstawę oraz wysokość, która jest prostopadła do obu podstaw. Pamiętajmy, że jeśli ramiona nie są prostopadłe do podstaw (są tylko wtedy, gdy równoległobok jest prostokątem albo kwadratem), wówczas nie są one wysokościami. Zatem znając tylko podstawę i długość ramienia... nie możemy obliczyć pola.

Pole = Podstawa x wysokość (P = a*h)

POLE ROMBU

Z uwagi na to, że romb jest szczególnym przypadkiem równoległoboku (o wszystkich bokach równych), więc jego wzór jest taki sam jak wzór na pole równoległoboku.

Pole = Podstawa x wysokość (P = a*h)

Warto jednak podkreślić, że romb ma jeszcze jedną ciekawą właściwość - podobnie jak w kwadracie, przekątne w rombie zawsze przecinają się (w połowie) pod kątem prostym. Ta właśnie cecha sprawia, że można jego wzór zapisać jeszcze innym sposobem. Jakim? Za pomocą wykorzystania właściwości przekątnych, które dzielą romb na 4 identyczne trójkąty prostokątne. Stąd właśnie powstaje wzór: P = (e*f)/2

W tym wypadku jeśli podstawą jest wartość e, wtedy wysokość jest dwukrotnie krótsza (f/2). I odwrotnie działa to na tej samej zasadzie. Jeśli za podstawę weźmiemy f, wtedy wysokość jest również dwukrotnie krótsza (e/2). W ten sposób możemy (powinniśmy) rozciąć nasz romb wzdłuż przekątnej i sprawdzić, że możemy tak złożyć pozostałe dwa trójkąty, aby powstał prostokąt. I to bez względu na to którą przekątną weźmiemy jako podstawę. Bardzo dobrym pomysłem jest właśnie to, aby pobawić się w rozcinanie i doświadczalnie (samodzielnie) sprawdzić skąd powstaje wzór (każdej z figur, nie tylko rombu!).

POLE TRAPEZU

Na koniec powiedzmy sobie skąd się bierze wzór na pole trapezu. Zwykle sprawia on najwięcej problemów - przede wszystkim w przypadku zrozumienia jak i łatwego (trwałego) zapamiętania.

Spróbujmy narysować klasyczny trapez różnoramienny (nie mający kątów prostych). Co by się stało gdybyśmy identyczny trapez (obrócony do góry nogami) dokleili obok tego już narysowanego? Wówczas powstałby równoległobok. I zobaczmy, że podstawą naszego nowej figury jest suma długości obu podstaw trapezu (a+b). Wysokość jest taka sama jak w każdej figurze (h), bo biegnie prostopadle od jednej ku drugiej podstawie. I teraz gdybyśmy zapisali wzór naszego równoległoboku to byłby on taki: P=(a+b)*h. Natomiast nas interesuje pole jednego trapezu, który jest połową powyższej figury. Co zrobić? Otóż trzeba całość podzielić na dwie równe części. Zatem końcowa postać wzoru na trapez to: P=[(a+b)*h]/2. Prawda, że jest to znacznie łatwiejsze, gdy wiemy skąd to się bierze?

Pole deltoidu (popularnie zwanego latawcem) można już samodzielnie opracować. Z uwagi na to, że jest on bardzo rzadko wykorzystywany w praktyce, więc pozwolę sobie go pominąć.

To co powyżej zaprezentowałem to tylko pewien pomysł na to jak można pokazać i wyjaśnić sens powstawania wzorów na obliczanie pól figur. Wiemy już w jaki sposób powstają figury, teraz dowiedzieliśmy jak obliczać ich pole, a w kolejnym odcinku dowiemy się jak można twórczo podejść do tematu tworzenia figur i ich przekształcania. Pokażę w jaki sposób można poświęcić co najmniej godzinę zajęć na to, aby bawić się figurami, a przy okazji poznawać ich właściwości i doświadczać ich zmian. Tak więc niebawem będzie dobra zabawa, bo już wiemy co się dzieje z naszymi trójkątami i czworokątami.


Podsumowanie: Pola figur powinny zostać sprawdzone za pomocą różnych pomysłów. Najważniejsze jest to, aby dzieci mogły doświadczać tego czego się uczą i samodzielnie poszukiwać, tworzyć i oceniać różne pomysły i koncepcje. Rola nauczyciela nie sprowadza się do podawania wiedzy, lecz do tworzenia warunków w których to dzieci ją tworzą i przy okazji odkrywają tajemniczy świat obiektów i relacji między nimi. Każde dziecko uwielbia doświadczać poczucia sukcesu, odkrywania tajemnic i tworzenia ważnych oraz ciekawych pomysłów, które mają szanse przenieść do miękkiej rzeczywistości. Stąd potrzeba zapewnienia kartki, nożyczek, plasteliny, linijki czy innych narzędzi. Dzięki rozcinaniu, odwracaniu oraz łączeniu, dziecko doświadcza fizycznie tego, co potem w jego umyśle zostaje zapisane. Stąd niezbędne są różnorodne, wartościowe ćwiczenia, które pomogą w zrozumieniu istoty doświadczanego świata.


Dodatkowa literatura, która może być wykorzystana w pracy z dziećmi. Obie z nich mogą stanowić ciekawą propozycję, która pokazuje to w jaki sposób lekcja może wyglądać ciekawiej, zaś uczniowie mogą z niej wynieść znacznie więcej.

1) Katarzyna Makowska. Praca z uczniem zdolnym i słabym na matematyce (2010, ZNP, 68 stron)
2) Katarzyna Makowska. Jak inspirować myślenie matematyczne ucznia w szkole podstawowej (2009, ZNP, 80 stron)

Obie książki mają bardzo ładnie wyjaśnione w jaki sposób twórczo i ciekawie opracować i przeprowadzić lekcje matematyki. Są w nich także scenariusze zadań oraz załączniki, które na pewno pomogą zainspirować się do tego, na czym polega zrealizowanie bardzo dobrej, ciekawej, twórczej i rozwojowej lekcji.

Wysokość w figurach rewelacyjnie opisana - to matematyka świetnie zrozumiana i solidnie opanowana - cz.3

Dzieci często mają poważne problemy ze zrozumieniem nie tylko wysokości, ale i istoty pola oraz tego skąd się biorą dane figury.

Spróbujmy zatem przyjrzeć się temu jak powstają figury. Zobaczymy też czym się różnią, a na koniec wszystko będziemy mogli zobaczyć w tabelce. Taka forma powinna być nie tylko wartościowa, ale również może być wykorzystana do dobrej zabawy! O tym już za chwilę.

Zaczynamy nasze rysowanie w którym będziemy odkrywali właściwości poszczególnych figur. Będziemy przyglądali się: prostokątowi, kwadratowi, równoległobokowi, rombowi i trapezowi.

Za każdym razem rysujemy na początek szyny (podstawy). Przypominam, że są to dwie proste równoległe, które dla wygody najlepiej rysować poziomo (jedna nad drugą).

PROSTOKĄT

Szyny (podstawy) są równe, a dodatkowo leżą nad sobą bez przesunięcia. Ramiona są innej długości niż podstawy. Zauważmy, że w tym wypadku nie da się inaczej połączyć ramiona z podstawami. Jedyne wyjście to połączenie ich za pomocą odcinków prostopadłych! Tak, w ten sposób uzyskujemy prostokąt. I od razu widzimy, że jest to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste. W końcu sama nazwa mówi "prosto-kąt"!

KWADRAT

Szyny (podstawy) są równe, a dodatkowo leżą nad sobą bez przesunięcia. Ramiona są tej samej długości co podstawy (ramiona równe podstawom). Zobaczmy, że w tym wypadku proces rysowania jest taki sam jak poprzednio. Jedyna różnica jest taka, że musimy skrócić podstawy, tak aby były takiej samej długości jak ramiona. I dzięki temu widzimy, że kwadrat to prostokąt, który ma wszystkie boki równe.

RÓWNOLEGŁOBOK

Zastanówmy się teraz co by się stało, gdybyśmy zrobili to samo co przed chwilą, ale z jedną istotną różnicą. Mianowicie przesuwamy jedną z podstaw tak, aby były względem siebie przesunięte. Nadal są równoległe, ale już nad każdym punktem jednej z nich nie ma w pionie odpowiadającego jej punktu. Co teraz się stanie?

Po narysowaniu szyn (podstaw), przesuwamy jedną z nich względem drugiej. I teraz znowu łączymy wierzchołki ze sobą. Ramiona są innej długości niż podstawy. I co powstaje? Otóż widzimy, że powstał równoległobok. Jak definiujemy tą figurę? Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych nazywamy równoległobokiem.

Zobaczmy bowiem, że zarówno podstawy jak i ramiona są do siebie równoległe. No i znowu nazwa figury sama za siebie mówi: "równo-legło-bok". Tyle, że trzeba zapamiętać, iż ta figura ma mieć obie pary boków równoległe. Prawda, że proste?

ROMB

Szyny (podstawy) są równe, a dodatkowo leżą nad sobą lekko przesunięte (nie ważne w którą stronę). Tym razem ramiona są tej samej długości co podstawy (ramiona równe podstawom). I widzimy, że z równoległoboku zaczyna się robić nieco inna figura, którą nazywamy rombem. Czym jest romb? To równoległobok, który ma wszystkie boki równe.

Na koniec pozostaje nam jeszcze jedna figura do sprawdzania i opisania. Jest nią oczywiście trapez (deltoidu w ogóle nie bierzemy pod uwagę).

TRAPEZ

Zauważmy, że we wszystkich powyższych przypadkach zarówno podstawy jak i ramiona były sobie równe (niekiedy wszystkie z nich były tej samej długości). Co by się jednak stało gdybyśmy zdecydowali o tym, że podstawy nie są sobie równe? Zobaczmy w praktyce co się stanie.

Szyny (podstawy) nie są równe, i tym razem przesunięcie podstaw nie ma znaczenia. Trapez to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych (u nas podstawami są oczywiście szyny). Jeśli ramiona będą tej samej długości, wówczas zawsze będziemy mieli do czynienia z trapezem równoramiennym. Co bardzo ważne, łatwo to sprawdzić.

Są na to dwa sposoby, aby przekonać się, że przed nami trapez równoramienny:
1) jeśli z dłuższej podstawy narysujemy (poprowadzimy) wysokość, która przetnie krótszą podstawę w połowie, czyli podzieli ją na dwa równe odcinki [można również odwrócić tę czynność] lub
2) jeśli z początku i końca krótszej podstawy narysujemy (poprowadzimy) dwie wysokości, które przetną dłuższą podstawę, tak aby oba "odcięte" odcinki (na dłuższej podstawie) były sobie równe

W obu wypadkach powstanie trapez równoramienny. Warto to przećwiczyć praktycznie (na kartce) i sprawdzić oba sposoby. Zapewniam, że dzięki temu łatwiej będzie zrozumieć kolejne zależności w figurach jak też ich podziale.

W przypadku, gdy poprowadzona wysokość ze środka dłuższej podstawy, nie przetnie w połowie krótszej, wówczas mogą powstać jeszcze dwa rodzaje trapezów. Najczęściej będzie to trapez różnoramienny, gdy żaden z końców podstawy nie leży prostopadle względem drugiej (tj. idealnie jeden nad drugim). Natomiast jeśli jeden z końców podstawy będzie idealnie leżał nad drugim, wówczas poprowadzona wysokość będzie jednocześnie ramieniem trapezu, który będzie nazywamy trapezem prostokątnym.

I ważna uwaga: trapez nie może mieć jednego kąta prostego ani trzech kątów prostych. Może mieć albo dwa albo cztery. Jeśli ma dokładnie dwa kąty proste, wówczas jest (klasycznym) trapezem prostokątnym. W bardzo rzadkim przypadku, gdy trapez ma wszystkie kąty proste (oba ramiona są jednocześnie wysokościami), wtedy jest to prostokąt (gdy ramiona nie są równe podstawom), bądź kwadrat (gdy zarówno podstawy jak i ramiona są równe). Inaczej mówiąc, zarówno prostokąt jak i kwadrat są trapezami prostokątnymi. Pamiętajmy jednak, że w przypadku, gdy autor wspomina o trapezie prostokątnym, to niemal zawsze ma na myśli trapez mający dwa kąty proste (jedno ramię prostopadłe do podstaw). Niemniej to już taka niepisana zasada, ale z matematycznego punktu widzenia wcale tak być nie musi.

Na koniec wisienka na torcie, czyli tabelka, która wyraźnie i prosto pokazuje, jakie właściwości ma każda z figur i która z nich należy do innej grupy.

Jak się bawić tą tabelą? Otóż najpierw warto zerknąć na szare pola. Dlaczego? Otóż dlatego, iż tam właśnie są ukryte definicje figur. Inaczej mówiąc, znajdują się one na przecięciu tej samej poziomej i pionowej cyfry (tak samo jak pola na szachownicy). Przykładowo jeśli weźmiemy poziomo cyfrę 3 to obok niej mamy błękitny równoległobok. Natomiast w piątej kolumnie również mamy trójkę, tyle że w nawiasie. I na przecięciu obok tych trójek (poziomej i pionowej) mamy szare pole. To znaczy, że równoległobok (pozioma trójka) ma dwie pary boków równoległych (pionowa trójka). W przypadku gdybyśmy zapomnieli definicję rombu, to szukamy dwóch czwórek (szare pole). Prawda, że proste?

I teraz nasza najważniejsza część, czyli zabawa połączona z nauką. Jedna z osób pyta, a druga odpowiada na pytania. Oczywiście co jakiś czas następuje zmiana ról. Można do tego wykorzystać kostki od gry. Jak grać w tą grę? Otóż jedna osoba rzuca dwiema kostkami na raz albo każda po jednej. Jeśli przykładowo wypadnie 2 i 5, wtedy mamy już gotowe pytanie. Można też odwrócić kolejność czyli gdy wypadnie 2 i 5, to traktujemy jak 5 i 2 (kolejność w pytaniach ma duże znaczenie). Natomiast w przypadku gdy wypadnie szóstka, można powtórzyć rzut lub umówić się, że szóstka oznacza jedną z cyfr od 1 do 5.

Przykładowe pytania mogą wyglądać w ten oto sposób: "czy 2 ma 5?" (czy każdy kwadrat ma przynajmniej jedną parę boków równoległych), "czy 5 ma 2?" (czy każdy trapez ma dwie pary boków równoległych) albo również "czego nie ma jedynka?" (każdy prostokąt), na co pada odpowiedź - "2 i 4" (czyli nie ma zawsze wszystkich katów prostych i boków równych, czy też dwóch par boków równoległych i wszystkich boków równych).

W przypadku ostatniej figury czyli trapezu, bierzemy tylko pod uwagę 3 rodzaje najczęściej spotykanych trapezów: różnoramienny, równoramienny i klasyczny prostokątny (2 kąty proste). Myślę, że to oczywiste, ale chcę, aby było wyraźnie podkreślone.

Podsumowanie: koncepcja szyn może nam pomagać nie tylko w pokazywaniu czym jest wysokość, ale również wspierać w zrozumieniu sensu tworzonych figur i późniejszego zapamiętywania ich właściwości. Dobrze jest wszystkie przykłady samodzielnie wykonać, tak aby doświadczać na własnej skórze tego o czym traktuje artykuł.

Dodatkowo niezbędne jest powtórzenie wiadomości na temat klasyfikacji figur - najlepiej poprzez formę zabawy (gry w kostki lub innego typu rekwizyty). Dzięki temu będziemy wiedzieli jakie figury możemy brać pod uwagę, a jakie musimy wykluczać.

W kolejnej odsłonie zobaczymy co się wiąże z tymi figurami i dlaczego ich podział oraz wysokości będą nam bardzo pomocne, gdy będziemy odkrywali wzory pozwalające obliczać ich pola. Mam nadzieję, że powoli staje się jasne to, że przy dobrych i ciekawych sposobach nauki, matematyka może być nie tylko ciekawa, ale również piękna i odkrywana za pomocą dobrej zabawy!

Wysokość w figurach rewelacyjnie opisana - to matematyka świetnie zrozumiana i solidnie opanowana - cz.2

W poprzednim odcinku pisałem o tym jak trójkąty jeżdżą po szynach... a teraz pokażę coś więcej. Wspomniałem o tym, że kolejne rozważania będą dotyczyły trójkąta prostokątnego i rozwartokątnego. No i jak zapowiedziałem, tak też i będzie!

Wiemy już to, czym jest wysokość w trójkącie (definicja) oraz powody dla których nowa koncepcja będzie nam dawała większe możliwości niż tradycyjne ujęcie tematu. Dzisiaj powiemy sobie o tym jak te wysokości wyznaczamy w pozostałych rodzajach trójkątów, gdzie się przecinają wszystkie z nich oraz przy okazji podam kilka wskazówek dotyczących tego jak najprościej wyznaczyć dowolną wysokość. Słowem, to będzie ciekawe dokończenie trójkątów, którego nie chciałem dokładać do poprzedniej części, aby nie przeładować odbiorcy przekazu zbyt dużą dawką dosyć nietypowych informacji. A więc do boju... albo do szyn panowie i panie!

Gwiezdne wojny - przygotowanie do bitwy - TRÓJKĄTY w akcji! czyli reaktywacja i kontyunacja

Właśnie teraz mamy okazję przyjrzeć się temu w jaki sposób będzie wyglądała wysokość w trójkącie prostokątnym i rozwartokątnym.

Oto pierwszy z omawianych na dziś trójkątów: PROSTOKĄTNY.

Okazuje się, że jedna z wysokości w trójkącie biegnie po jednym boku prostopadłym, zaś druga po drugim. Można zatem powiedzieć, że w każdym trójkącie prostokątnym dwie wysokości pokrywają się z jego bokami wychodzącymi z wierzchołka kąta prostego. Inaczej mówiąc oba prostopadłe odcinki trójkąta są jednocześnie jego wysokościami. Dodam, że w tym wypadku prostopadłe wysokości zostały narysowane (zielonym kolorem) obok odcinka, tak aby były lepiej widoczne. W praktyce obie z nich oczywiście pokrywają się z omawianymi bokami.

Natomiast trzecia z wysokości biegnie tak samo jak klasycznie opuszczona z wierzchołka na podstawę (w trójkącie ostrokątnym). Łatwo zauważyć, że ta wysokość dzieli figurę na dwa trójkąty prostokątne. To w uproszczeniu tak, jakbyśmy z wierzchołka budynku zrzucili linę (prostopadle do podstawy), po której następnie chcielibyśmy zjechać na podłogę (podstawę), tak aby wydostać się na zewnątrz.

Kolejny z omawianych trójkątów: ROZWARTOKĄTNY.

Wiemy doskonale, że w trójkącie rozwartokątnym, jeden z kątów musi być większy od kąta prostego. Inaczej mówiąc jeden kąt jest rozwarty, a oba pozostałe to kąty ostre. I analogicznie jak w poprzednim (ostatnim) przykładzie, wysokość opuszczona z kąta rozwartego opada z tego wierzchołka na podstawę... tak jak zwisająca lina przymocowana do haka.

Następny rysunek ukazuje nam sytuację w której wysokość będzie opuszczana z wierzchołka kąta ostrego. W obu wypadkach wysokość (lina) będzie opadała na przedłużenie podstawy (podłogi). Co bardzo istotne, w takim układzie wysokość ma tylko jeden punkt styczności w trójkącie, gdyż drugi (koniec odcinka) jest wyznaczany jako przecięcie się odcinka z przedłużeniem podstawy. Czyli to o czym mówiłem w poprzednim odcinku - wysokość trójkąta nie zawsze musi być zawarta w trójkącie, chociaż nadal jest dla niego wysokością!

Dodam jeszcze, że na bazie tej koncepcji (i rysunku, który przedstawia trójkąt pomiędzy szynami bądź pudełkiem), można układać bardzo ciekawe zadania związane z obliczaniem odcinków, obwodów i pól figur. Pozornie takie zadania są trudne bądź też bardzo trudne, ale w praktyce ukazują one na ile naprawdę rozumiemy sens pojęcia wysokości.

Uchylę rąbka tajemnicy, mówiąc iż w kolejnej odsłonie pokrótce sprawdzimy (wyjaśnimy) o co chodzi w punktach przecięcia wysokości w każdym rodzaju trójkąta. Będę chciał również pokazać to w jaki sposób bardzo ładnie można dzięki nim przejść do zagadnienia wysokości w czworokątach. Ale o tym już niebawem. Na razie jeszcze pobawmy się chwilę w analizę wysokości trójkątów.

WYSOKOŚCI prowadzone z wierzchołków w trójkącie przedstawione zostały w tabeli. Z tego można wyciągnąć następujące wnioski:

1) Im bardziej powiększamy jeden z kątów w trójkącie (zakładając, że oba pozostałe są ostre) tym dalej wychodzi jego punkt przecięcia wysokości - w kierunku od środka na zewnątrz. I tak w trójkącie ostrokątnym jest zawsze w jego środku (tzn. wewnątrz), w prostokątnym - dokładnie w wierzchołku kąta prostego, zaś w rozwartokątnym - nad kątem rozwartym. Przy okazji dodam, że punkt przecięcia wysokości w trójkącie nazywa się ortocentrum. 

2) Każdy trójkąt ma zawsze 3 wysokości. Chodzi o wysokości, które są prowadzone od każdego z wierzchołków do przeciwległej podstawy. Jest to pewien skrót myślowy, gdyż na rysunkach widzieliśmy po kilkanaście wysokości w przypadku każdego trójkąta. Jednak zostały one ukazane po to, aby zrozumieć istotę wysokości, a nie tylko formalne jej wyznaczenie od każdego wierzchołka.

3) Wysokość musi zawsze być zawarta pomiędzy dwiema szynami, które z kolei są równoległe do podstawy na którą spada (opada) wysokość. Jeśli nie jest spełniony ten warunek, wówczas nie jest to wysokość. Przy okazji można podkreślić, że koncepcja szyn pozwala na bardzo szybkie sprawdzenie czy wyznaczony odcinek jest wysokością w trójkącie. I to bez względu na to z jakiego wierzchołka wychodzi i na którą podstawę pada.

4) Wysokość w trójkącie może być prowadzona do podstawy albo tak zwanej przedłużonej podstawy. Tutaj chyba wszystko jest jasne. Zarówno podstawa jak i przedłużona podstawa muszą być wspomnianymi szynami, które są do siebie równoległe.

Na koniec krótkie podsumowanie i wskazówki. Jak najprościej wyznaczyć dowolną wysokość w trójkącie?

1) Rysujemy szyny. W zależności od tego jak chcemy wyznaczyć wysokość (to znaczy czy prowadzimy od wierzchołka do podstawy czy też odwrotnie), to musimy wiedzieć jaka jest podstawa leżąca naprzeciwko wierzchołka. Przedłużamy ją z obu stron, a następnie prowadzimy prostą równoległą do podstawy, która przechodzi przez obrany wierzchołek.

2) Kolejny krok to poprowadzenie prostej prostopadłej do obu szyn, która będzie przechodzić przez wierzchołek. Początek i koniec tej wysokości zostanie wyznaczony poprzez punkty styczności prostej z podstawą i wierzchołkiem z którego chcemy ją wyznaczyć. Na koniec dobrze jest ją oznaczyć kolorem, aby była dobrze widoczna.

3) W przypadku konstrukcji wysokości w trójkącie rozwartokątnym należy pamiętać o tym, że tylko wysokość, która wychodzi z wierzchołka kąta rozwartego będzie opadać na (oryginalną) podstawę. W przypadku pozostałych dwóch wysokości, konieczne będzie przedłużenie podstawy do której będzie opadać wysokość z wierzchołka kąta ostrego. Zastosowanie koncepcji szyn w tego typu konstrukcji w największym zakresie pomoże nam ją poprawnie narysować, bez konieczności obracania zeszytu czy obiektu (trójkąta).

Podsumowanie: przy okazji klasyfikacji trójkątów pojawia się możliwość zrozumienia tego w jaki sposób będziemy wyznaczali w nich wysokości. Do tego dochodzi również szansa na to, aby nieco pobawić się w rysowanie wysokości w każdym rodzaju trójkąta. Dobrze jest pracować dwutorowo. Przykładowo najpierw zacząć od narysowania trójkąta, a potem otulić go równoległymi szynami (pudełkiem), które go ładnie zamkną. Następnie po zakończonych ćwiczeniach warto odwrócić proces. Teraz zaczynamy rysować szyny (lub pudełko), zaś w nich wstawiamy różne trójkąty i wyznaczamy wszystkie możliwe wysokości (czyli 3 rodzaje trójkątów i w każdym z nich 3 różne wysokości, tzn. takie, które wychodzą z różnych wierzchołków).

Dzięki takim ćwiczeniom może okazać się, że pojawią się kolejne spostrzeżenia, wnioski i co za tym idzie następne pytania. Niebawem będzie przejście do czworokątów i gwarantuję, że solidnie opanowana koncepcja wysokości w trójkątach sprawi, iż te same operacje wykonywane na figurach o czterech kątach... nagle będą wydawały się banalnie proste. A co za tym idzie, będziemy mogli jeszcze lepiej zrozumieć istotę tego jak obliczyć obwód oraz pole w przypadku czworokątów, które nie są tymi o których uczymy się w szkole na lekcjach matematyki.

Czy to naprawdę możliwe?! Tak, już wkrótce udowodnię, że koncepcja szyn (pudełka) nie jest tylko moim kaprysem lub chwilową modą. Dopiero w ciekawszych zadaniach i analizie będzie można zobaczyć jej prawdziwą siłę. Do tego czasu gorąco polecam i zalecam co najmniej kilkukrotne przestudiowanie wszystkich części i wypisywanie wszystkich spostrzeżeń, wniosków oraz pytań. To one właśnie dają nam jak najbardziej pełne zrozumienie zagadnienia.

Wysokość w figurach rewelacyjnie opisana - to matematyka świetnie zrozumiana i solidnie opanowana - cz.1

Problem z wysokością pojawia się już na etapie wprowadzania figur płaskich, a w nich pojęcia pola. W jaki sposób obliczyć pole? Skąd wiadomo ile kwadratowych jednostek zmieści się w danej figurze? Czy to co podnosi w górę naszą figurę ma w wyjaśnianej koncepcji pewną dziurę? Otóż moim zdaniem, koncepcja wysokości jest niewystarczająco solidnie wyjaśniana. Nie wnikam w problemy tego stanu, ale chcę zaproponować pewne rozwiązanie tego problemu. Takie, które z pewnością da lepszy ogląd na tę kwestię, a i być może zainspiruje do własnych poszukiwań i pełniejszych wyjaśnień. A to będzie rzecz jasna bardzo dobre dla uczniów, gdyż nauczyciel będzie mógł im to zagadnienie znacznie lepiej przybliżyć (wyjaśnić).

Wysokość zostanie omówiona na przykładzie dwóch typów figur - w odniesieniu do trójkątów oraz czworokątów. W tej odsłonie pokażę to czym jest wysokość w trójkącie, a w kolejnym artykule - w czworokącie. Będzie dzięki temu okazja na chwilę refleksji i przy okazji dostrzeżenie wspólnych elementów występujących w obu częściach. Zatem do dzieła!

Gwiezdne wojny - przygotowanie do bitwy - TRÓJKĄTY w akcji!

Jak już wiemy, trójkąty możemy podzielić ze względu na kąty oraz boki (klasyczna tabela, którą bez problemu można znaleźć w Internecie). Najważniejsze dla nas jest to, że wyróżniamy trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne. To właśnie one dają popalić dzieciom, tak że w pewnym momencie kompletnie gubią się w tym o co chodzi z tymi wysokościami, ich punktem przecięcia i tym w jaką stronę te wysokości zostają skierowane.

Na rysunku widzimy trzy trójkąty, które są położone obok siebie. Zauważmy jedną charakterystyczną cechę. Wszystkie z nich są niejako umieszczone pomiędzy dwiema prostymi równoległymi (kolor czerwony). Dzieci mogą stwierdzić, że są pomiędzy szynami (kolejowymi). Niektórzy nazywają to pudełkiem (czerwony prostokąt obejmujący wszystkie trójkąty). Dlaczego to takie ważne? Otóż dlatego, że wysokość będziemy definiować właśnie w oparciu o koncepcję szyn (jak kto woli pudełka, ale uważam, że szyny są bardziej dokładnie wyrażoną koncepcją)!

Wysokość w trójkącie A, B i C jest identyczna. Dlaczego? Otóż jeśli szyny tworzą prostokąt, to każda prosta prostopadła, która biegnie od jednego do drugiego dłuższego boku prostokąta (proste naprzeciwko siebie) - jest jednocześnie wysokością (jedną z trzech) dla każdego z trójkątów. Czyli jak wobec tego zdefiniujemy wysokość w trójkącie?

Wysokość w trójkącie musi spełniać kilka warunków - w trójkącie definiujemy ją w taki oto sposób:

1) Jest to odcinek, który biegnie pomiędzy wierzchołkiem a przeciwległym bokiem, który nazywamy podstawą (bo na niej trójkąt stoi w naszych przykładach). Warto natychmiast dodać, że w niektórych wypadkach będzie on biegł do przedłużenia podstawy (mowa o trójkącie rozwartokątnym).

2) Odcinek ten jest i zawsze musi być prostopadły do obu szyn (pudełka) - w naszym wypadku biegnie od wierzchołka do podstawy, do której jest prostopadły (natomiast nie da się określić tego czy jest prostopadły do wierzchołka, ale w domyśle jest!). W naszym przykładzie wysokość wychodzi z wierzchołka C i opada (zostaje opuszczona) na podstawę AB.

3) Jest najdłuższym odcinkiem, który spełnia powyższe warunki (wysokość będzie różna w zależności od tego z jakiego wierzchołka ją opuścimy i na którą podstawę spadnie). Gdyby nie był najdłuższym, wówczas automatycznie nie jest wysokością danej figury (w sensie matematycznym).

Pojawia się bardzo ważne pytanie: dlaczego wysokość biegnie (musi biec) prostopadle od podstawy do wierzchołka? Otóż dlatego, że jest to najdłuższy prostopadły odcinek, który można poprowadzić między szynami (pudełkiem)! A czy gdybyśmy przesunęli wysokość w dowolnym z trójkątów (A, B lub C) równolegle w prawo bądź w lewo (tak, po szynach!), to nadal by nią była dla każdego z trójkątów? Tak czy nie? Odpowiedź jest banalna: Tak, byłaby to wysokość, ponieważ nadal spełnia wszystkie powyższe cechy (warto zapamiętać wszystkie trzy elementy dotyczące definicji). Prawda, że teraz jest to niezwykle proste, przejrzyste a przy okazji zrozumiałe? Rzut oka na rysunek sprawi, że zobaczymy, iż wszystkie niebieskie strzałki pokazują wysokości dla każdego z trójkątów! Dlatego w drastycznym wypadku może dojść do tego, że wysokość w trójkącie... będzie stała na baczność obok niego! Czy to w ogóle możliwe?! Czy to ktokolwiek tłumaczy dzieciom?

Teraz zobaczmy pierwszy z trójkątów (A), na którym znajdziemy kolejną z wysokości, ale tym razem wychodzącą z innego wierzchołka i opadającą na inną (odpowiednią) podstawę. Tym razem wysokość biegnie z wierzchołka B, więc musi opaść na podstawę AC. Pamiętamy doskonale, że wszystkie niebieskie strzałki to przecież ta sama wysokość. Warto się zastanowić nad tym, dlaczego nikt tego w ten sposób nie przedstawia? Odpowiedź jest zadziwiająco prosta! Prawdopodobnie nikt nie analizuje i nie bierze tego pod uwagę, więc wszyscy traktują to jako oczywiste, naturalne i jasne jak słońce. A tymczasem zamiast wyjaśnić i dać do samodzielnego wykonania kilka wysokości na szynach, to dziwnym trafem w szkole pokazywane są tylko i wyłącznie te biegnące z wierzchołka! Dlaczego tak się dzieje? Czyżby jakiś spisek?! Nie sądzę!

Kolejny rysunek to opieranie na szynach (zamykanie w pudełku) tego samego trójkąta, ale wyznaczając następną wysokość. Tym razem wychodzimy z wierzchołka A i opuszczamy wysokość na podstawę BC. I tak jak poprzednio: każda niebieska strzałka jest równoległa do siebie i jednocześnie także równa każdej innej, a więc jest wysokością dla tego trójkąta... nawet jeśli jest obok niego! Dodam na marginesie, że wszyscy po cichu (za milczącą zgodą) zaznaczają wysokość wychodzącą właśnie z wierzchołka, więc jeśli przypadkowo zobaczą waszą wysokość "nie na miejscu" (przesuniętą w lewo bądź w prawo względem wierzchołka), to uprzedzam, iż mogą na początku doznać chwilowego szoku. Nie martwcie się jednak. Dzięki nauce prezentowania jej na szynach (zamykania w pudełku), będziemy w stanie narysować wysokość wychodzącą z dowolnego wierzchołka! I za każdym razem będzie to zrozumiałem, poprawne oraz łatwe do wykonania.

Nadszedł czas na zebranie wszystkiego do jednego worka.

Co daje nam nowa koncepcja (a raczej nowe i oryginalne spojrzenie oraz podejście do starego problemu)?

1) Umiejętność rozpoznawania tego czym jest wysokość w trójkącie bez względu na to z którego wierzchołka wychodzi i na którą podstawę zostanie poprowadzona. Tego jak dotąd nie było omawiane w szkole, a na pewno nie w takim wydaniu. Teraz jest duża szansa, że będzie to znacznie bardziej zrozumiałe.

2) Zrozumienie dogłębne tego czym są i do czego służą proste równoległe (jakie mają znaczenie). Przy okazji również widać jak na dłoni, to jak wysokość w danym trójkącie może być przed nim lub nawet za nim... i dalej być jego wysokością (o której większość nawet nie słyszała lub nie miała okazji usłyszeć).

3) Umiejętność wyznaczania dowolnej wysokości (w domyśle: wszystkich trzech rodzajów) bez konieczności obrotu figury (i kartki na której jest narysowana figura!). Do tego dochodzi bardzo solidne i pewne rozpoznawanie sytuacji, w której dany odcinek nie jest wysokością. A na deser prosta możliwość wyjaśnienia tego dlaczego tak się dzieje.

4) Bardzo łatwa do zrozumienia jak i zapamiętania definicja wysokości (trzy elementy jako całość). Będzie jeszcze okazja ukazania zalety tej definicji w jednym z odcinków. Zapewniam, że bardzo szybko będzie widać jej przewagę nad tradycyjną. I być może dopiero wtedy okażę się dlaczego zawarty został w definicji ostatni punkt.


Podsumowanie: nowe podejście do problemu wysokości może dawać nadzieję na znacznie lepsze zrozumienie tej koncepcji. To z kolei sprawia, że znajdowanie wysokości w figurach będzie o niebo łatwiejsze, ale przede wszystkim zrozumiałe. Natomiast dzięki temu dzieci będą miały przekonanie, że nie mają już dziur w swojej wiedzy (przez owe braki zwykle uciekają cenne punkty na sprawdzianie w którym "były zadania, których zupełnie nie rozumiałem, chociaż na lekcji robiliśmy podobne").

W tym odcinku to na razie byłoby na tyle. W kolejnych odsłonach pokażę te same właściwości, ale na przykładzie trójkąta rozwartokątnego oraz prostokątnego. W trzecim odcinku zajmiemy się rzecz jasna czworokątami! A co zrobić do tego czasu? Otóż zalecam samodzielną pracę nad sprawdzeniem na ile ten rewolucyjny (?!) sposób działa. Proszę o przetestowanie koncepcji ustawiania trójkąta w szynach (pudełku), a jak ktoś jest niecierpliwy to może również wypróbować ją na czworokątach. Warto pamiętać o tym, aby przypomnieć sobie jak się rysuje proste równoległe, tak aby koncepcja mogła pięknie grać i buczeć...

Dodawanie, grupowanie i sumowanie - liczymy sprytnie i efektywnie... aż poprawny wynik powstanie (1)

Dowodzenie, wykazywanie i argumentowanie - czyli jak myśleć logicznie i zapisywać matematycznie (3)