Maturalne zadania - czyli poszukiwania ciekawych wyjaśnień i prostych rozwiązań

Poniżej przedstawiam próbkę moich matematycznych możliwości związanych z analizą jak i wyjaśnianiem przykładowych zadań maturalnych.

Być może komentarze i analizy zawarte w kilku zadaniach pomogą w zrozumieniu procesu jakim jest strategia rozwiązywania zadania, a potem realizowane kolejne etapy (kroki).

Zdaję sobie sprawę, że moje poniższe wywody i komentarze są dość proste. Niemniej czasami dobrze jest przyjrzeć się temu jak inni analizują i rozwiązują zadania. W tym wypadku mam wrażenie, że wyjaśnienia są dosyć przejrzyste i przy okazji powinny być dla każdego zrozumiałe. Dodam na koniec, że to jedne z możliwych rozwiązań, niekoniecznie najlepsze bądź najprostsze. Po prostu takie moje matematyczne rozważania i sprawdzenie siebie.

BIBLIOTEKA NAUCZYCIELA MATEMATYKI: Ćwicz swój mózg i zostań matematycznym geniuszem - czyli skuteczny trening dla twojego genialnego umysłu

Na warsztat idzie kolejna niezwykła książka, która może zainteresować wielu rodziców oraz nauczycieli, którzy mają styczność z dziećmi w wieku 9-11 lat. I przy okazji dodam, że tym razem moja recenzja będzie znacznie krótsza. Dlaczego? Otóż dlatego, że wykorzystam dwa triki związane z tym, żeby zrobić, a się nie narobić. Pierwszy to odnośnik do mojego poprzedniego artykułu, a drugi link do zdjęć z książki. Ale o tym już za chwilę.

 

Na początek krótka ramka informacyjna, którą można znaleźć na ostatniej stronie książki. Ma ona na celu zachęcenie do lektury tej książeczki, a co jest w niej w środku i jaka jest moja ocena... już za moment się dowiemy. Zapraszam do zapoznania się z moją opinią dotyczącą tej matematycznej perełki.

Obecna książka jest jest niejako nieco starszą (pełniejszą) siostrą, tej którą ostatnio miałem okazję recenzować. Dlatego odsyłam najpierw do przeczytania tego co napisałem wcześniej o jej młodszej siostrze, a następnie powrót do dalszej lektury. Można o młodszej siostrze przeczytać w tym miejscu: https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2019/04/biblioteka-nauczyciela-matematyki.html

Jeśli komuś się jednak bardzo spieszy, to może zerknąć na to jak książka wygląda od środka (liczne zdjęcia). Przykładowe zdjęcia znajdują się pod tym krótkim artykułem. Warto dodać, że pisuje (prowadzi) poniższego bloga Ewelina mama czwórki rozrabiaków, która przy okazji jest wielbicielką matematyki. Oto adres jej bloga i zarazem zdjęciowej recenzji tej pozycji matematycznej: http://www.kreatywniewdomu.pl/2018/02/cwicz-swoj-mozg-i-zostan-matematycznym.html

Od siebie mogę dodać, że książka obfituje w bardzo ciekawe zagadki, porównania czy też opisy. Są w niej również bardzo proste ćwiczenia do samodzielnego wykonania.

Uważam, że osoby, które mają pod opieką dzieci w wieku 9-11 lat, mogą wykorzystać tę książkę do wspólnego czytania czy też do tego, aby mieć gotowe pomysły oraz inspiracje do tego, aby przekazać najbardziej ciekawe kąski matematyki... w postaci prostej magii i sztuczek.

To jedna z niewielu książek, którą całym sercem mogę polecić wszystkim, którzy potrzebują ciekawego wprowadzenia do matematyki, ale takiej w której widać zabawę, radość oraz zaciekawienie. Z ogromną radością i stratyfikacją zatem wystawiam dla tej książki ocenę celującą, czyli szkolna 6, zaś w skali matematycznej 10/10!

Dlaczego i skąd taka wysoka ocena? Oto powody mojej subiektywnej oceny tej pozycji:
1) Książka jest napisana prostym, a jednocześnie niezwykle spójnym językiem
2) Jest w niej wiele ciekawostek i faktów, które są nieznane lub słabo popularyzowane
3) Pasja, ciekawość i możliwość sprawdzania matematycznych sztuczek... wręcz bije z tej książki
4) Są w niej różne zagadki, łamigłówki, ciekawostki a zarazem praktyczne ćwiczenia
5) Jest w tej publikacji wiele zdjęć, rysunków oraz ramek informacyjnych
6) Na końcu książki znajdziemy wielki quiz, a zaraz po nim odpowiedzi
7) Dodatkowo jest również słowniczek najważniejszych pojęć, które są bardzo łatwo i zarazem fachowo objaśnione
8) Ukazuje nie tylko ciekawostki matematyczne, ale również prezentuje znane postaci, które na trwałe zapisały się na kartach historii matematyki
9) Pokazuje również, iż w matematyce i jej rozwoju były również kobiety (brawo!)
10) Prezentuje wiadomości dotyczące uczenia się, zdolności matematycznych czy też ogólnego działania naszego umysłu (mózgu)
11) Omawia dość szerokie spektrum matematycznej wiedzy
12) Zachęca do oryginalnego i odważnego myślenia oraz otwierania się na pozornie niemożliwe koncepcje czy rozważania
13) Jest nawet część dotycząca labiryntów, złudzeń optycznych i figur niemożliwych

To najbardziej istotne elementy, które moim zdaniem są receptą na sukces. Przy okazji dają one pewność, że książka nie będzie szybko odłożona na półkę, lecz wielokrotnie czytywana. Co więcej, jeśli twoje dziecko (uczeń) ma smykałkę do matematyki, to z pewnością będzie nalegał, aby pójść dalej w danym kierunku - w zależności od omawianego (czytanego) działu.

I na koniec coś co normalnie występuje na początku. Tym razem chcę, aby czytelnik miał poczucie tego, że całość recenzji będzie doskonale zrozumiana, nawet jeśli poszczególne jej części będą pomieszane. Zatem krótko o tej książce, za pomocą cytatu z jej początku:

Nie sposób sobie wyobrazić świata bez matematyki. Używamy jej - często nieświadomie - w wielu codziennych sytuacjach, na przykład gdy sprawdzamy, która godzina, gdy idziemy na zakupy, łapiemy piłkę albo w coś gramy. Ta książka ma na celu pobudzić twój matematyczny umysł, podsuwając mu liczne problemy do rozwiązania, wyjaśniając kluczowe koncepcje i prezentując historie wielkich matematycznych geniuszy, którzy zmienili świat.

Należy jeszcze dodać jeden króciutki fragment: Ta książka jest pełna ćwiczeń i łamigłówek, które rozruszają twoje szare komórki. Zawarte tu zadania dostarczą ci dużo rozrywki....

Podsumowanie: Myślę, że te dwa powyższe cytat z książki powinny w zupełności wystarczyć za rekomendacje tej pozycji. Dla mnie jest to jedna z najlepszych pozycji jakie można obecnie dostać, tak aby w sposób naprawdę ekscytujący wprowadzić dzieci w świat zaczarowanej matematyki. Uwaga! Ostrzegam, iż lektura tej książki może spowodować odkrycie matematycznego potencjału u dziecka. Dlatego warto zastanowić się nad tym czy na pewno chcemy pokazać dzieciom matematykę jakiej jeszcze nie znają!

BIBLIOTEKA NAUCZYCIELA MATEMATYKI: Matematyka w 30 sekund - czyli 30 fascynujących zagadnień matematycznych wyjaśnionych w pół minuty

To pierwszy odcinek nowej serii. Jej celem będzie przybliżenie ciekawych oraz wartościowych pozycji, które mogą pomagać i wspierać zrozumienie matematyki, jak też dawać szansę na to, aby matematyka mogła kojarzyć się z czymś ciekawym, wciągającym czy wręcz inspirującym. Liczę na to, że dzięki temu coraz więcej dzieci oraz nauczycieli (a także rodziców!) będzie mogło w końcu zobaczyć, iż prawdziwa matematyka może być zupełnie inna. Innymi słowy - taka jakiej nigdy nie widziałeś (widziałaś) bądź nie doświadczyłeś (doświadczyłaś).

Na pierwszy ogień weźmiemy książeczkę, która jest bardzo poręczna i można ją szybko pochłonąć. Jest nią pozycja Anny Rooney, która nosi dość intrygujący tytuł - Matematyka w 30 sekund - 30 fascynujących zagadnień matematycznych wyjaśnionych w pół minuty.

Okładka książki: Matematyka w 30 sekund: 30 fascynujących zagadnień matematycznych wyjaśnionych w pół minuty (Anne Rooney)

Na początek krótka ramka informacyjna, którą można znaleźć na ostatniej stronie książki. Ma ona na celu zachęcenie do lektury tej książeczki, a co jest w niej w środku i jaka jest moja ocena... już za moment się dowiemy. Zapraszam do zapoznania się z moją opinią dotyczącą tej matematycznej perełki.

Książka jest przeznaczona dla dzieci, które są ciekawe świata i chcą wiedzieć jaką rolę odgrywa matematyka w wyjaśnianiu zagadek dotyczących tego co wokół nas. Te zagadki to rzeczy związane z liczeniem, mierzeniem, figurami, kształtami, wykresami, prawdopodobieństwem czy też liczbami ukrytymi w naturze.

Myślę, że najlepiej podsumowuje zawartość książki jej wstęp. Tutaj przytoczę obszerny jego fragment (ze strony 7).

[cytat] "Ta książka ukazuje tylko niektóre niewiarygodne rzeczy jakie można osiągnąć stosując matematykę. Odkrywa wiele sposobów, za pomocą których matematyka wyjaśnia otaczający nas świat. Jak pomaga ona ludziom podejmować decyzje, czy też przewidywać, co się wydarzy w przyszłości? Czy istnieje wystarczająco dużo liczb, żeby można było policzyć wszystkie gwiazdy? Czy można zmierzyć siłę erupcji wulkanicznej? Czy możemy stosować matematykę bez używania liczb? Czy istnieje więcej niż jeden sposób liczenia? Będziesz mógł zastanawiać się nad tymi pytaniami i nad wieloma innymi czytając tę książkę".

A jaka jest struktura tej książki i jak można ją czytać? Oto odpowiedź!

[cytat] "Każdemu zagadnieniu poświęcona jest jedna strona i możesz ją czytać tak szybko, jak ci się podoba, żeby zrozumieć najważniejsze fakty. Jeśli naprawdę się spieszysz, możesz zamiast tego przeczytać tylko krótkie podsumowanie. Każda kolorowa ilustracja także może służyć jako szybki przewodnik. Jeśli masz parę minut wolnego czasu, zawsze możesz odkryć kilka dodatkowych faktów i wykonać kilka ekscytujących, praktycznych ćwiczeń".

Książka składa się z kilku części. Są nimi:
1) jeden, dwa, trzy, więcej
2) Kształtne figury
3) Liczby w naturze
4) Mierzenie
5) Randka z danymi
6) Jakie są szanse

Na początku każdego rozdziału (części) jest mini słowniczek, który w przystępny sposób wyjaśnia stosowane pojęcia. Na dole strony w lewym rogu jest zwrot "w 3 sekundy", za pomocą którego natychmiast dowiadujemy się czego dotyczy dane zagadnienie. Obok jest ramka z propozycją eksperymentu, który może być wykonany w 3 minuty. Natomiast nieco szerszy opis tematu zajmuje mniej więcej jedną do dwóch minut czytania, chociaż nagłówek mówi "w 30 sekund". Na początku książki znajdziemy spis treści, za nim wstęp, zaś na samym końcu, nieco inaczej niż tradycyjnie - brak zakończenia, lecz za to indeks. Po nim można znaleźć jeszcze odpowiedzi do trzech zagadek.

Co jest ogromnym atutem książki? Z pewnością jest nią pasja autorki, która jest bardzo dobrze widoczna. Mianowicie każdy z opisywanych tematów jest tak ciekawie i przystępnie podawany, że wywołuje wrażenie bezpośredniego kontaktu z czytelnikiem. Widać również bardzo dużą otwartość ze strony autorki i zarazem świetne wyjaśnienia tego co pozornie oczywiste. A na deser jest jeszcze także to, że wiele zagadnień jest do sprawdzenia poprzez wykonanie prostego eksperymentu, które każde dziecko jest w stanie przeprowadzić.

Myślę, że ta książeczka będzie najbardziej przydatna dzieciom i rodzicom, którzy chcieliby dowiedzieć się czegoś na temat świata wokół nas przepuszczonego przez pryzmat matematyki. Każdy rodzic bez problemów może czytać tę książeczkę razem z dzieckiem i wspólnie odkrywać kolejne tajemnice matematycznego świata. Szacuję, że dzieci w wieku 9-10 lat będą najbardziej zainteresowane tego typu wprowadzeniem w świat praktycznej i zarazem zrozumiałej matematyki. Dzieje się tak z uwagi na to, że mamy do dyspozycji kilkanaście ramek w których są podawane propozycje wykonywania eksperymentów. A właśnie one pomagają zrozumieć sens tego o czym mowa w danym zagadnieniu.

W przypadku nauczycieli ta książeczka może dawać pewien zarys tematów, które warto poruszyć w edukacji dzieci. W zależności od potrzeb dzieci, pomysły mogą być wykorzystywane na lekcjach w klasie 2, 3 lub nawet 4 pierwszego etapu edukacji. Niemniej uprzedzam, że pomimo iż książeczka ma niemal 100 stron, to jest w niej niezbyt wiele inspiracji, lecz raczej kilka garści ciekawie podanych podstawowych zagadnień z matematyki. Tak czy inaczej mogą one w ciekawy sposób wprowadzać w świat matematyki. To tylko pewne ogólne wprowadzenie, które musi być znacznie bardziej poszerzone, jeśli lekcje mają być naprawdę wciągające i dające poczucie pełnej radości z odkrywania.

Książkę czyta się naprawdę lekko, więc przy dobrym tempie czytania wystarczy około 1,5 godziny, aby zapoznać się z całością publikacji. Autorka posługuje się bardzo zrozumiałym językiem i nawet pomimo tego, iż widać naukowe zacięcie. Nie zauważyłem formalnych błędów ani też uproszczeń, które wprowadzają w błąd odbiorcę. A trzeba dodać, że nie każdy naukowiec potrafi tak przekazywać wiedzę, aby połączyć oba te elementy.

Jaką ocenę dałbym tej książce? W skali od 1-10, uważam, że w pełni zasługuje na ocenę 8/10, czyli szkolna piątka! Do pełni szczęścia brakuje mi nie tylko zakończenia, ale przede wszystkim polecanych książek (literatury), dzięki którym można dalej rozwijać swoje zainteresowania matematyczne. Dobrym pomysłem byłoby również umieszczenie na końcu czegoś na kształt testu sprawdzającego. Nie byłoby również wielkim grzechem zamieszczenie listy kilkudziesięciu pytań, których zadaniem byłoby skłonienie do refleksji oraz wyciągania wniosków.

Na koniec przyznam, że tak wysoką ocenę ta książka dostaje ode mnie właśnie za to, że autorka przekazuje rewelacyjne wnioski praktyczne. Przykładem niechaj będzie chociażby to: "Woda wyparowuje szybciej z dużych powierzchni, tak więc twój mokry kostium kąpielowy schnie szybciej, kiedy jest rozciągnięty niż wtedy, gdy jest zwinięty w kulkę". Takich perełek jest w książce co najmniej kilkanaście, więc na pewno ułatwią one zaspokojenie ciekawości dzieci, nawet gdy rodzic niekoniecznie ma dużą wiedzę i pojęcie o matematyce. Widać dużą dbałość o to, aby czytelnik miał poczucie, że matematyka może być nie tylko fajna, ale i bardzo życiowa! A do tego jeszcze sprawiać radość z jej odkrywania.

To jest dobra matematyka - czyli o nauce i sposobach jakie stosować wolno, trzeba a nawet należy (1)

W serii problemów matematycznych napisałem o tym, że nie wolno robić pewnych błędów, które sprawią, że dzieci szybko będą miały poważne problemy z opanowaniem następnych koncepcji matematycznych.

Pierwszym z problemów, który nagminnie się powtarza jest podważanie prawa przemienności mnożenia. Otóż każdy szanujący się nauczyciel doskonale wie, że w mnożeniu możemy dowolnie zmieniać czynniki, a wynik nadal nie ulegnie zmianie. Inaczej mówiąc, jeśli mnożymy 3x5, to jest to samo co mnożenie 5x3.

Dla tych, którzy chcą sobie na szybko przypomnieć o co chodzi, polecam lekturę tego artykułu:
To nie jest matematyka - czyli o błędach jakich popełniać nie wolno (1)

Jeśli pojawia się problem, to warto zapytać czy jest on istotny. Zakładając, że odpowiedź będzie twierdząca, dobrze jest skupić się na tym, co sprawia, że niektórzy z nauczycieli nie wiedzą jak go obejść. Jak bowiem znaleźć rozwiązanie, które będzie zarówno poprawne z punktu widzenia metodyki, dydaktyki jak i matematyki? Czy w ogóle takie remedium istnieje? Zobaczmy. Każdy sam będzie mógł ocenić na ile moja propozycja będzie przydatna.

Jakie zatem proponuję działania, które można zastosować? Nie, nie trzeba zjadać wilka albo owcy ani wylewać dziecka z kąpielą. Należy zastanowić się nad celem i sensem tego co chcemy osiągnąć.

1) Chcemy wiedzieć czy dzieci umieją odróżnić 6 banknotów 10 złotowych od 10 banknotów 6 złotowych.
2) Chcemy wiedzieć czy dzieci potrafią zapisać, odczytać, zrozumieć oraz poprawnie zinterpretować przemienność mnożenia
3) Chcemy wiedzieć czy dzieci są w stanie zrozumieć to przy których czynnikach konieczny jest zapis miana

W tym celu wystarczy skonstruować pewne zadania i eksperymenty (realne!) i na ich podstawie przeprowadzić analizę oraz dyskusję, a na samym końcu można zrobić mini test.

Zaznacz prawidłową odpowiedź zgodną z obrazkiem:
A) Na obrazku widzimy 6 banknotów 10-złotowych.
B) Na obrazku widzimy 10 banknotów 6-złotowych.

Wartość pieniędzy widocznych na obrazku może być zapisana jako:
A) 6 x 10 zł = 60 zł
B) 10 x 6 zł = 60 zł
C) 6 zł x 10 = 60 zł
D) 10 zł x 6 = 60 zł
E) 6 x 10 = 60 (zł)

Bez względu na zaznaczoną opcję, opisz i wyjaśnij każdy z powyższych przypadków. Oceń który jest, a który nie jest poprawny i uzasadnij swoje zdanie.

Zapis przemienny w mnożeniu (np. 6x10 i 10x6) może być stosowany zawsze wtedy, gdy:
A) chcemy pokazać, że przemienność elementów w mnożeniu nie wpływa na wynik
B) chcemy pokazać, że możemy dane zdanie przeczytać na dwa sposoby (czyli mamy 6 banknotów 10-złotowych lub też 10-złotowych banknotów mamy 6)
C) nie zależy nam na tym (tzn. nie jest ważne), aby pokazać w którym miejscu jest czynnik z mianem

Zaznacz zapis odzwierciedlający najlepiej zdanie: Basia zapłaciła za zakupy dziesięcioma monetami o nominale 5zł, pokazuje matematyczne wyrażenie:

A) 10 x 5zł
B) 5zł x 10
C) 10zł x 5
D) 5 x 10zł
E) żadne z powyższych
F) twoja odpowiedź (zapisz obok)...

Zapisz matematycznie w poprawnej formie, poniższe zdania - w kolejności w jakiej czytamy (od lewej do prawej), jako iloczyn dwóch czynników:

A) osiem monet o nominale dwóch złotych...
B) monet dwuzłotowych mamy w kieszeni osiem...
C) mamy w portfelu razem 16 złotych, wszystkie momenty to dwuzłotówki

Zapisz matematycznie w poprawnej formie, poniższe zdania (jako iloczyn dwóch czynników) z zachowaniem w kolejności w jakiej czytamy (czyli od lewej do prawej):

A) Mama dała trojgu dzieciom po 6 cukierków
B) Po 6 cukierków mama dała trojgu dzieciom
C) Każde z trojga dzieci dostało od mamy po 6 cukierków
D) po 6 cukierków dostało od mamy każde z trojga dzieci

Teraz samodzielnie porównaj powyższe zadania (A-D) oraz ich odpowiedniki matematyczne (wyrażenia) i oceń, które z nich oznaczają to samo, a które całkowicie coś innego. W którym wypadku mama będzie musiała mieć 3, 6, 9, 12 albo 15 cukierków, aby rozdzielić między dzieci zgodnie z treścią zadania? A może jest jeszcze inne rozwiązanie i jest to inna liczba cukierków aniżeli wymieniona przed chwilą? Czy można powiedzieć, że liczba cukierków jest niezmienna i w tym wypadku jedyna?

ĆWICZENIE DLA AMBITNYCH i NIEZALEŻNYCH oraz OTWARTYCH UMYSŁÓW

Płacąc w sklepie banknotem 20-złotowym o jego wartości decyduje:
a) to czy kładziemy go awersem (tak aby głowa króla była widoczna)
b) to czy kładziemy go rewersem (tak aby głowa króla nie była widoczna)
c) to czy jest wyprodukowany przez mennicę państwową
d) to czy osoba przyjmująca jest pewna, że jest prawdziwy (niepodrobiony)
e) nie da się tego w żaden sposób określić

Podsumowanie: nie zawsze konieczne jest wyważanie otwartych drzwi. Czasami znacznie lepiej skupić się na tym, co trzeba zrobić, aby nie zaburzać matematycznych praw... i jednocześnie pokazać dzieciom jaka jest formalna różnica pomiędzy tym co chcemy podkreślić, a musi być w odpowiedniej kolejności, aby nie zaburzało logiki.

Mam nadzieję, że w tym artykule udało mi się pokazać, że jeśli otworzymy umysł na rozwiązanie (a nie na problem), wówczas szybko znajdziemy drogę wyjścia. Reszta to tylko wyobraźnia nauczyciela oraz jego warsztat pracy. Jestem pewien, że powyższy pomysł może być bardzo dobrą inspiracją do tego, aby sprowokować tych, którzy uważają, że nie da się sprawić, aby wilk był syty i owca cała. Jak już wspomniałem, nie zawsze konieczne jest wylewanie dziecka z kąpielą, więc co dwie głowy to nie jedna, zaś otwartość umysłu... może niekiedy czynić cuda!

To nie jest matematyka - czyli o błędach jakich popełniać nie wolno (1)

Pojawia się nowa seria, które będzie poświęcona temu czego być nie powinno. Mam na myśli poważne błędy, złe podejście, nieprawidłowe spojrzenie czy też krzywe (błędne) rozumowanie.

Tematów niestety jest co najmniej kilkanaście, a będzie na pewno kilkadziesiąt. Różnica jakościowa między tematami będzie widoczna, ale na pewno problemy i zagadnienia, które będę poruszał są istotne. Czy tylko dla mnie? Nie. Przede wszystkim dla dzieci. Których? Tych, które same nie mogą się obronić oraz tych, których głos nie zostanie usłyszany, nawet jeśli mają rację. Można powiedzieć, że będę próbował zajmować rolę Rzecznika Rozwoju Dziecka w ujęciu matematycznym. I od razu dodam, że nikt mi za to nie płaci, nie jest to również moja praca w ujęciu powszechnym, ale uważam to za pewnego rodzaju moralny obowiązek (a raczej przywilej). Niestety często ktoś musi powiedzieć to co jest niewdzięczne, a bywa tak, że niewiele osób ma na to ochotę. I mam na myśli osoby, które wiedzą co mówią i potrafią podać słuszne argumenty na poparcie swoich poglądów. Natomiast niewiele jest ogólnodostępnych i bezpłatnych artykułów w których wyraźnie opisuje się problemy i podaje możliwe rozwiązania.

Pierwszym z problemów, który nagminnie się powtarza jest podważanie prawa przemienności mnożenia. Otóż każdy szanujący się nauczyciel doskonale wie, że w mnożeniu możemy dowolnie zmieniać czynniki, a wynik nadal nie ulegnie zmianie. Inaczej mówiąc, jeśli mnożymy 3x5, to jest to samo co mnożenie 5x3.

I nie byłoby w tym nic dziwnego, gdyby nie fakt, że duża część nauczycieli edukacji wczesnoszkolnej (od razu zaznaczam, że nie wszyscy, ale i tak zdecydowanie zbyt dużo osób) podważa ten fakt. Konsekwencją tego jest to, że uczeń ma skreślane prawidłowe rozwiązanie (zapis), na rzecz tego samego, tyle że w zmienionej kolejności. Co się dzieje w takim wypadku? Pozwolę sobie wymienić w punktach szkody jakie są wyrządzane dziecku:

1) zostaje zaburzony matematyczny sens prawa przemienności mnożenia. Na dalszym etapie dziecko nie wie kiedy może zamieniać czynniki a kiedy tego nie może zrobić.

2) zostaje zaburzone poczucie pewności dziecka. Dziecko zaczyna wierzyć w to, że jest głupie, że nic nie potrafi i wmawia sobie, że nawet najprostszych rzeczy nie potrafi wykonać poprawnie i ich nie rozumie.

3) zostaje zaburzone poczucie sprawstwa. Jeden z kluczowych elementów w procesie nauki i rozwoju. Jeśli dziecko samodzielnie potrafi coś zrobić, to będzie miało ochotę i odwagę do tego, aby robić kolejne rzeczy. I często takie, które są uznawane za trudne lub wymagające więcej wysiłku, sprytu, innego podejścia czy też po prostu wytrwałości w dążeniu do celu.

4) zostaje zaburzony sens nauki matematyki na dalszych etapach. Skoro na początku nie wolno zamieniać czynników w mnożeniu (klasa 2-3 edukacji wczesnoszkolnej), a potem pani w klasie 4-8 wymaga tego, aby dziecko płynnie nie tylko mnożyło, ale przede wszystkim rozumiało zasadę przemienności. No i wtedy nasze dziecko kompletnie głupieje.

I teraz pokażę jakie są argumenty zwolenników, którzy twierdzą, że dzieci najpierw muszą być kompletnie źle uczone, po to, aby potem mogły być uczone poprawnie?! Przy okazji dodam, że będę je obalał jeden po drugim, tak aby nikt nie zarzucił mi, że argumenty są słuszne, a ja się czepiam.

Osoby, które źle nauczają dzieci na poziomie edukacji wczesnoszkolnej nie uznają tego, że oba poniższe zdania oznaczają dokładnie to samo:

1) Jasiu miał pięć banknotów dziesięciozłotowych,
2) Jasiu miał dziesięciozłotowych banknotów pięć sztuk.

1) Kasia kupiła trzy książki po dziesięć złotych za sztukę
2) Dziesięć złotych za każdą sztukę książki, a takich Kasia zakupiła trzy.

Druga wersja powyższych zdań jest trudniejsza w zrozumieniu (napisaniu), ponieważ brzmi znacznie mniej naturalnie. Wynika to ze struktury naszego języka, więc pretensje można mieć do tych, którzy tworzyli bądź tworzą język. Niemniej logicznie obie są poprawne i nie można im nic zarzucić. Tak samo jak "Janek poszedł wczoraj do sklepu" w porównaniu do zdania: "Do sklepu poszedł Janek wczoraj".

Teraz najcięższe działo, którym posługują się nauczyciele edukacji wczesnoszkolnej, ale niestety naboje są słabej mocy, nawet jeśli wyglądają groźnie.

A) Mama dała po 3 cukierki każdemu z sześciorga swoich dzieci.
B) Mama dała po 6 cukierków każdemu z trojga swoich dzieci.

Tutaj działania są oczywiste: 3x6 oraz odpowiednio 6x3. Wynikiem będzie to, że w obu wypadkach mama musiała dać wszystkim dzieciom łącznie 18 cukierków.

A) Każde z pięciorga dzieci ma na swojej bluzce po 8 guzików.
B) Każde z ośmiorga dzieci ma na swojej bluzce po 5 guzików.

I znowu działania są oczywiste: 5x8 oraz odpowiednio 8x5. Wynikiem będzie to, że w obu wypadkach wszystkie dzieci mają łącznie 40 guzików.

No i nauczyciele, którzy uważają, że znają się na matematyce (w domyśle lepiej niż bardziej wykwalifikowani i doświadczeni matematycy) twierdzą, że w powyższych przypadkach zapis 3x6 nie będzie oznaczał 6x3, zaś 5x8 nie będzie równy 8x5. I teraz gwóźdź programu. Nauczyciele edukacji wczesnoszkolnej twierdzą, że gdyby uczyli prawidłowo, wówczas dzieci nie byłyby w stanie odróżnić tego, że trzeba przynieść i wręczyć po 3 cukierki dla każdej z sześciu osób. Ba! Nie mogłyby odróżnić tego, że mają dać po 6 cukierków dla każdego z trojga dzieci! To ja się grzecznie i mało spokojnie pytam - ILE CUKIERKÓW za każdym razem musiało przynieść dziecko, by je prawidłowo rozdzielić między dzieci? Czy przypadkiem w obu przykładach nie było to 18 cukierków? A co z argumentem dotyczącym tego, że dzieci zamiast dać trojgu dzieciom po 6 cukierków... nagle zgłupieją i dadzą sześciu dzieciom po trzy cukierki?! Oznajmiam wszem i wobec, że jeśli nie mamy do czynienia dziećmi upośledzonymi bądź głuchymi albo złośliwymi... to takie przypadki nie będą miały miejsca. Jeśli polecenie jest: "Daj trojgu dzieciom", to można napisać "Trojgu, czyli Kasi, Tomkowi i Agatce". Natomiast w przypadku, gdy trzeba rozdać cukierki dla sześciorga dzieci, wtedy wypisujemy, żeby dać "Kasi, Tomkowi i Agatce, Kamilowi, Marlenie oraz Wioli".

A teraz proste argumenty za tym, że mnożenie jest przemienne:

1) Weźmy dla przykładu osiem kwadratów (obiektów)
2) Narysujmy je najpierw poziomo - jako 2 rzędy i 4 kolumny
3) Odwróćmy obrazek o 90 stopni (czyli postawmy go pionowo) - teraz widnieje jako 4 rzędy i 2 kolumny

I teraz wniosek. Czy obrócenie dało inny wynik? Czy jest to 4x2 czy 2x4? Czy istota została zachowana? Jak ktoś nadal ma trudności ze zrozumieniem. Weźmy pięciozłotową monetę. Która ze stron mówi o tym, że moneta, którą chcemy zapłacić ma wartość 5 złotych? Wtedy gdy płacimy za pomocą reszki czy orła? Nauczyciele edukacji wczesnoszkolnej niestety uważają, że tylko wtedy, gdy "jak widać cyferkę". A prawda jest taka, że to nie ma znaczenia - płacąc z dowolnej strony (kładąc monetę orłem bądź reszką) nadal posługujemy się tą samą monetą - o nominale pięciu złotych. I to nawet wtedy, jeśli pani w sklepie powie nam, że można płacić tylko "z góry" (wtedy, gdy widać reszkę i symbol cyfry pięć). Jak dalej ktoś nie czuje i nie rozumie sensu, to proszę zrobić eksperyment z banknotem (50-złotowym lub 100-złotowym). Proszę udać się do sklepu i przy kasie zapytać panią czy zgodzi się przyjąć jako rozliczenie banknot 50 (albo 100) złotowy, ale odwrócony "do góry nogami". Mina pani przy kasie może być bezcenna. Przy okazji wspomnę, że nie biorę odpowiedzialności w przypadku, gdy zostanie wezwana osoby z ochrony. Niemniej lekcja zapewne będzie na długo w pamięci (i wierzę, że również w umyśle).

Jak nadal ktoś chce sprawdzić czy dzieci rozumieją o co chodzi, to proszę położyć na prostokątnej tacy 12 cukierków rozłożonych jako 2 rzędy po 6 cukierków. Proszę poprosić o przeliczenie cukierków i zapisanie na karteczce obok. Następnie dziecko samodzielnie obraca tacę o 90 stopni i kolejny raz zapisuje liczbę cukierków. Dalej robi to samo (obrót w jedną stronę o 90 stopni) i znowu zapisuje wynik. Po dwukrotnym obrocie pytamy dziecko czy taca już tak samo wyglądała (ułożenie cukierków). I ostatnia część doświadczenia polega na tym samym, ale obrót w przeciwną stronę. Pytanie czy za każdym razem będzie 12 cukierków czy też po obrocie będzie ich liczba ulegała zwiększeniu lub zmniejszeniu? Warto patrzeć na minę dziecka, które odkrywa fakt, iż obrót nie wpływa na wynik oraz tego, które doskonale o tym wie i będzie patrzeć na nas jak na wariata...

Podsumowanie: mnożenie jest przemienne i to już wiadomo od setek lat. Uparte uczenie tego, że nie jest, podając argument o tym, że dziecko nie umie rozpoznać trzech osób od sześciu (podobnie jak cukierków) jest mówiąc delikatnie "bardzo słaby" (na myśli ciśnie się wulgarny wyraz i tutaj solidni matematyce na pewno doskonale to czują). Jeśli dziecko ma problemy ze wzrokiem to trzeba udać się do okulisty, ze słuchem - do laryngologa, ale jeśli nauczyciel ma problemy ze zrozumieniem istoty przemienności... to błagam, aby przesłać odnośnik (link) do tego artykułu. Można także wydrukować i pokazywać tym, którzy podważają święte prawo matematyki. I nawet można pokazać eksperymenty oraz argumenty, które powyżej opisuję. Tylko na litość boską i nadludzką - nigdy, przenigdy nie krzywdźmy dzieci tym, że niszczymy jego potencjał i w ten sposób zniechęcamy do matematyki. No i na koniec, warto być krytycznym wobec ekspertów. Niestety jeden z bardzo znanych ekspertów (kobieta, która wydała książkę o nauczaniu matematyki) właśnie w taki sposób naucza, a jeśli nauczyciele nie dotrą do tego o czym piszę (inni nie mają czasu albo ręce im opadają, gdy widzą takie cuda). I moje argumenty w żaden sposób nie ruszyły panią ekspert. Dlatego dziś tak trudno o to, aby nauka była solidna oraz rozwojowa - nie bardzo wiadomo na czym się oprzeć i kogo słuchać. Na pewno jednak warto czytać, myśleć oraz samodzielnie oceniać poziom argumentów i wyciągać wnioski. Jeśli wnioski są silniejsze niż zdanie eksperta, to coś ważnego w tym może się kryć.

Przy okazji bardzo dziękuję za pomoc i konsultację polonistyczną pani Katarzynie F-S. oraz zachętę ze strony pasjonatów matematyki... do napisania o tym czego nie chce pisać nikt z zawodowych matematyków. Dlaczego? Otóż mają oni poczucie, że i tak nic nie zmienią albo też nie chcą pisać o podważaniu świętego prawa, aby inni nie patrzyli na nich jak na wariatów. Ja na szczęście nie jestem zawodowym matematykiem, więc biorę na siebie wszelkie gromy z jasnego nieba. Dodam, że odpowiedzialni i krytyczny nauczyciele edukacji wczesnoszkolnej doskonale zdają sobie sprawę z tego co wyprawiają ich koledzy lub koleżanki "po fachu". Warto jednak o tym mówić, bo chodzi o dobro dzieci, a nie tylko to czyja prawda jest najprawdziwsza.

ZAŁĄCZNIK, który sprawił, że napisanie tego artykułu było więcej niż absolutnie konieczne

Wysokość w figurach rewelacyjnie opisana - to matematyka świetnie zrozumiana i solidnie opanowana - cz.5

Tym razem powiemy sobie co nieco na temat specjalnych trójkątów równoramiennych. Wbrew pozorom jest kilka elementów, które albo nie są ujawniane albo nie są oczywiste. Uważam, że powinniśmy te tajemnice odkrywać, zwłaszcza iż mogą one być wykorzystywane do lepszego zrozumienia zagadnienia figur płaskich i istotnych relacji w nich oraz między nimi.

Trójkąty równoramienne to te, które mają dwa ramiona tej samej długości. Trzeci bok nie ma znaczenia - jego długość może być różna, ale może być także identyczna jak oba ramiona.

W obecnej odsłonie pominiemy trójkąt równoboczny, pomimo że jest także rodzajem trójkąta równoramiennego (bo można znaleźć w nim dwa ramiona tej samej długości). Jeszcze będziemy mieli kiedyś okazję przyjrzeć mu się z bliska.

Zastanówmy się co by się stało, gdybyśmy wzięli dwie figury - kwadrat i romb, a następnie rozcięli je wzdłuż przekątnych? Otóż wtedy powstałyby: półkwadratus i półrombus. Co takiego??! Zobaczmy.

PÓŁKWADRATUS powstały w wyniku przecięcia rombu wzdłuż dowolnej przekątnej

W przypadku rozcięcia kwadratu, powstaje tylko jeden rodzaj trójkąta równoramiennego. Jest to trójkąt prostokątny, który ma oba kąty ostre równej miary (po 45 stopni).

PÓŁROMBUS powstały w wyniku przecięcia rombu wzdłuż dłuższej przekątnej

PÓŁROMBUS powstały w wyniku przecięcia rombu wzdłuż krótszej przekątnej

Natomiast gdybyśmy rozcięli romb (nie będącym kwadratem) wzdłuż dowolnej przekątnej (raz jednej, raz drugiej), wtedy w wyniku rozcięcia mogą powstać dwa rodzaje trójkątów. Jeden trójkąt będzie rozwartokątny, natomiast drugi - ostrokątny. I łatwo zauważyć, że ten pierwszy powstanie wówczas, gdy przetniemy romb dłuższą przekątną, zaś ten drugi - krótszą.

ROZPOZNAWANIE TRÓJKĄTA RÓWNORAMIENNEGO

Po czym można poznać, że mamy przed sobą trójkąt równoramienny? Mam kilka propozycji związanych z tym, aby to szybko zapamiętać.

1) Jeśli rozcinamy kwadrat wzdłuż (dowolnej) przekątnej

2) Jeśli rozcinamy romb wzdłuż (dowolnej) przekątnej

3) Gdy dwa boki trójkąta mają tą samą długość

4) Gdy dwa kąty trójkąta mają tą samą miarę

5) Gdy wszystkie boki trójkąta mają tą samą długość

6) Gdy wszystkie kąty trójkąta mają tą samą miarę

W przypadku punktu 5 i 6, gdy trójkąt ma wszystkie kąty tej samej miary lub boki tej samej długości (po 60 stopni każdy), wówczas mamy do czynienia z trójkątem równobocznym. Trójkąt równoboczny jest szczególnym (wyjątkowym) przykładem trójkąta równoramiennego, ponieważ w pełni spełnia jego definicję. Inaczej mówiąc każdy trójkąt równoboczny jest trójkątem równoramiennym, ale nie każdy trójkąt równoramienny jest równobocznym.

ROZPOZNAWANIE TRÓJKĄTA PÓŁKWADRATUSA

Półkwadratus, to trójkąt mający kąt prosty i równe ramiona. Powstaje z przecięcia kwadratu dowolną przekątną.

Po czym natomiast rozpoznać półkwadratusa? Jest to trójkąt mający kąt prosty oraz:

1) ma dwa boki tej samej długości (np. 4 cm, 4 cm)

2) ma dwa kąty tej samej miary (tylko jedna możliwość: oba kąty po 45 stopni)

3) ma przynajmniej jeden kąt 45 stopni (wówczas drugi też musi być taki sam)

4) ma dwa boki, którego jeden bok ma wartość podstawową (x), a drugi większy od niego prawie 1,5 razy większy (dokładnie pierwiastek z dwóch razy większy/dłuższy od tego {x})

ROZPOZNAWANIE TRÓJKĄTA PÓŁROMBUSA

Półrombus, to trójkąt mający dwa kąty ostre i jeden rozwarty (gdy rozetniemy romb wzdłuż dłuższej przekątnej) lub też wszystkie kąty ostre (gdy rozetniemy romb wzdłuż krótszej przekątnej). Powstaje z przecięcia rombu dowolną przekątną.

Teraz zastanówmy się po czym rozpoznać półrombusa? Jest to trójkąt nie mający kąta prostego, ale mający:

1) kąt rozwarty i dwa identyczne kąty ostre (np. 100, 40, 40)

2) wszystkie kąty ostre, ale tylko dwa tej samej miary (np. 80, 80, 20)

3) kąt rozwarty i dwa boki tej samej długości (np. 100 stopni, 5cm, 5cm)

4) kąt ostry i dwa boki tej samej długości (np. 20 stopni, 5cm, 5cm)

5) dwa kąty ostre tej samej miary, ale inne niż 45 stopni (np. 40, 40)

6) wszystkie boki równe (tylko jedna opcja: trójkąt równoboczny, np. 4, 4, 4)

7) wszystkie kąty ostre tej samej miary (tylko jedna opcja: trójkąt równoboczny: 60, 60, 60)


W przypadku gdy nasz półrombus jest trójkątem równobocznym (przypadek 6 i 7), wówczas masz romb ma następujące właściwości:

a) jego pole składa się z (pola) dwóch trójkątów równobocznych

b) krótsza przekątna jest równa długości dowolnego boku rombu

c) dłuższa przekątna jest równa długości dwóch wysokości trójkąta równobocznego

d) kąty ostre w rombie mają po 60 stopni, zaś rozwarte po 120.

e) dołożenie (doklejenie) identycznego trójkąta do dowolnego boku rombu, sprawi, że powstanie specyficzny trapez równoramienny, w którym dłuższa podstawa jest 3 razy dłuższa od krótszej (lub ramienia), zaś każde z ramion trapezu jest równe krótszej podstawie

ZESTAW PROPOZYCJI TWÓRCZYCH ĆWICZEŃ DLA DZIECI - RYSOWANIE, UKŁADANIE, ROZCINANIE, ŁĄCZENIE i WNIOSKI

Na bazie tych właściwości można zaprojektować bardzo ciekawe i rozwijające twórczość ćwiczenia. Możliwości jest dość dużo i każdy samodzielnie bez trudu może sobie je stworzyć. Ja podaję przykładowe pytania, które pomogą ukierunkować nasze poszukiwania.

1) Narysuj dowolny romb i rozetnij go wzdłuż krótszej przekątnej

2) Narysuj dowolny romb i rozetnij go wzdłuż dłuższej przekątnej

3) Narysuj dowolny kwadrat i rozetnij go wzdłuż krótszej przekątnej

4) Narysuj dowolny kwadrat i rozetnij go wzdłuż dłuższej przekątnej

5) Ułóż obok siebie przylegające półrombusy i opisz to co zauważasz

a) jakie figury tworzą gdy przykładamy je najkrótszym, a jakie najdłuższym bokiem?

b) czy są różnice w przypadku układania rombusów ostrokątnych i rozwartokątnych?

c) ile co najmniej półrombusów muszą mieć kolejne (coraz większe) trójkąty, kwadraty, prostokąty, romby i trapezy?

6) Ułóż obok siebie przylegające półkwadratusy i opisz to co zauważasz

a) jakie figury tworzą gdy przykładamy je najkrótszym, a jakie najdłuższym bokiem?

b) ile co najmniej półkwadratusów muszą mieć kolejne (coraz większe) trójkąty, kwadraty, prostokąty, romby i trapezy?

7) Narysuj bardzo duży kwadrat. Następne wytnij go i rysuj przekątną, a potem rozcinaj go wzdłuż niej, zrób tak za każdy razem z figurą, która pozostała po obcięciu. Co zauważasz?

8) Narysuj bardzo duży romb mający dwa kąty rozwarte (inne niż 120 stopni). Następne wytnij go i rysuj dłuższą przekątną, a potem rozetnij go wzdłuż niej. Następnie w powstałym trójkącie narysuj wysokość i rozetnij ten trójkąt wzdłuż niej. Zrób tak za każdy razem z figurą, która pozostała po obcięciu. Co zauważasz?

9) Narysuj bardzo duży romb mający dwa kąty rozwarty (każdy po 120 stopni, czyli figura składająca się z dwóch trójkątów równobocznych). Następne wytnij go i rysuj krótszą przekątną, a potem rozetnij go wzdłuż niej. Następnie w powstałym trójkącie narysuj wysokość i rozetnij ten trójkąt wzdłuż niej. Zrób tak za każdy razem z figurą, która pozostała po obcięciu. Co zauważasz?

10) Narysuj bardzo duży trójkąt równoboczny i wytnij go (np. z kartki papieru). Następnie w powstałym trójkącie narysuj punkt, który jest połową długości każdego boku (aby go znaleźć wystarczy, że z dowolnego wierzchołka poprowadzisz wysokość do danego boku). Teraz połącz te punkty ze sobą za pomocą odcinków. Następnie wzdłuż tych narysowanych odcinków rozetnij ten trójkąt. Weź dowolną (jedną) z powstałych w ten sposób figur i postępuj tak samo. Co zauważasz?

11) Narysuj bardzo duży kwadrat i wytnij go (np. z kartki papieru). Następnie w powstałym kwadracie narysuj punkt, który jest połową długości każdego boku. Teraz połącz te punkty ze sobą za pomocą odcinków. Następnie wzdłuż tych narysowanych odcinków rozetnij ten kwadrat. Weź największą w ten sposób figur i dalej postępuj tak samo. Co zauważasz?


Podsumowanie: zagadnienie i omawianie własności trójkątów równoramiennych, rombów i kwadratów wcale nie musi być nudne. Ba! Nie musi również opierać się wyłącznie o liczenie, liczenie i obliczanie w nieskończoność. Chodzi bowiem o wyciąganie wniosków, tworzenie i odkrywanie istotnych relacji w figurach oraz pobudzanie i zaspokajanie ciekawości. Dzięki takim ćwiczeniom i zabawie, możliwe jest doświadczanie piękna matematyki bez konieczności wykonywania jakichkolwiek obliczeń!

Cyferki są ważne tylko do tego, aby dawać nam pojęcie o otaczającej nas rzeczywistości. Jeśli bowiem odkryjemy, że pola kwadratów w kwadracie mają się do siebie tak samo lub inaczej niż trójkątów w trójkącie, wówczas naturalną koleją rzeczy jest sprawdzenie jak to będzie w przypadku gdy dodamy koła.

Czy koła w trójkątach będą się szybciej zwiększać bądź zmniejszać niż w kwadratach? Co się dzieje w przypadku, gdy łączymy ze sobą trójkąty, kwadraty czy nawet trapezy? Czy możemy w ten sposób wyłożyć płytki w naszym pokoju? Tak, to właśnie dzięki takim ćwiczeniom umysł zostaje pobudzony w kierunku architektury, wystroju wnętrz, sprawdzania wytrzymałości konstrukcji, projektowaniu pomieszczeń czy innych specjalizacji.

Jeśli damy dzieciom odpowiednie warunki do rozwoju, wówczas ich ciekawość samodzielnie będzie je prowadzić w kierunku tego co ich pociąga. Wystarczy tylko stworzyć odpowiednie warunki i zachęcać do tworzenia, sprawdzania, opisywania, odkrywania i wnioskowania. Liczenie zapewnią nam maszyny, a w najgorszym wypadku programiści, którzy napiszą program, który będzie za nas wykonywał obliczenia.

Wysokość w figurach rewelacyjnie opisana - to matematyka świetnie zrozumiana i solidnie opanowana - cz.4

W dzisiejszej odsłonie zobaczymy co się wiąże z tymi figurami i dlaczego ich podział oraz wysokości będą nam bardzo pomocne, gdy będziemy odkrywali wzory pozwalające obliczać ich pola. Mam nadzieję, że powoli staje się jasne to, że przy dobrych i ciekawych sposobach nauki, matematyka może być nie tylko ciekawa, ale również piękna i odkrywana za pomocą dobrej zabawy!...

Skąd się biorą wzory na trójkąty i czworokąty?

Na początek trzeba wyjaśnić dlaczego pole wyrażamy w jednostkach kwadratowych. Często bowiem dzieci nie wiedzą czy mają zapisać na końcu obliczeń - "centymetr", "centymetr kwadratowy" czy być może jeszcze inne oznaczenie? Pole to pewien obszar, którym możemy pokryć daną figurę... identycznymi kwadratami! Tak! Stąd właśnie nazwa "jednostki kwadratowe" (a nie chociażby jednostki trójkątne). Warto zaznaczyć, że w przypadku pola, które nie wyraża się liczbą całkowitą, dany obszar figury może zawierać też pewną część kwadratu. Inaczej mówiąc pole nie każdej z figury można za pomocą całych identycznych kwadratów. To jednak mało istotny szczegół.

Można zatem powiedzieć, że pole danej figury, to liczba identycznych kwadratów, które zmieszczą się w danej figurze. Inaczej mówiąc, pole wyrażamy w jednostkach kwadratowych. Dlaczego? Ponieważ kwadraty są najbardziej pasującymi figurami, które można łatwo dopasowywać i kroić na mniejsze części. Nic nie stoi jednak na przeszkodzie, aby spróbować pobawić się w to, żeby zmierzyć obszar (pole) figury za pomocą trójkątów prostokątnych (połówka kwadratu) lub nawet równobocznych. Jedyny warunek jest taki, że figury za pomocą których mierzymy pole innej figury, muszą być jednakowe.

POLA FIGUR JAKO ODNIESIENIE DO PROSTOKĄTA

Jak obliczamy pole w trójkącie? Otóż najprościej biorąc w przypadku trójkąta mamy do czynienia tak naprawdę z połową prostokąta.

I teraz gdybyśmy chcieli dowiedzieć się ile małych kwadratów mieści się w takim prostokącie, wówczas wystarczyłoby podstawę pomnożyć przez wysokość. Nieco ściślej mówiąc - długość podstawy mnożymy przez długość wysokości - obie z nich muszą być nam znane.

Przykładowo jeśli długość podstawy wynosi 8 kwadratów, a wysokość to 4 kwadraty, wtedy pole całej figury wynosi 8x4=32 kwadraty. I jeśli każdy taki kwadrat ma bok o długości jednego centymetra, wtedy pole będzie wyrażane w centymetrach kwadratowych. Oczywiście gdybyśmy mierzyli kwadratami o długości jednego metra, wtedy otrzymany wynik byłby w metrach kwadratowych. Prawda, że proste? Inaczej mówiąc, mierzymy kwadratami większymi lub mniejszymi, ale za każdym razem tej samej wielkości.

No dobrze. Wiemy już jak obliczać pole prostokąta, ale co z naszym trójkątem? Jeśli podzielimy nasz prostokąt wzdłuż przekątnej, wtedy otrzymamy dwa identyczne trójkąty. Czyli pole trójkąta jest połową pola prostokąta, który powstał z przekrojenia prostokąta za pomocą przekątnej. W takim układzie pole trójkąta będzie miało wartość: 32/2=16.

Wniosek z naszej analizy jest następujący: pole trójkąta jest połową pola prostokąta. I właśnie dlatego we wzorze będziemy mieli albo "podzielić przez 2", albo "pomnożyć przez 1/2".

Wzory na pole trójkąta zapisujemy w taki sposób: P = (a*h)/2 lub P = 1/2 *a*h.


Zapamiętajmy, że wzór na pole trójkąta obowiązuje dla dowolnego trójkąta. Musimy tylko wiedzieć jaka jest wysokość oraz ile wynosi podstawa. Przypominam, że wysokość zawsze musi być prostopadła do podstawy.

Teraz przyjrzyjmy się uważnie powyższym trójkątom. Pole każdego z trójkątów jest identyczne! Dlaczego? Otóż zarówno podstawa jak i wysokość w każdym z nich są takie same. Dobrze jest to pokazać na przykładach w których od pola "pełnego trójkąta" odejmujemy pole dorysowanego trójkąta... i otrzymujemy potwierdzenie tego, że pola trójkątów o tych samych podstawach i wysokościach są sobie równe.

Wniosek: przy trójkątach, które mają taką samą podstawę i wysokość, nie ma znaczenia ich rodzaj (ostrokątne, prostokątne czy rozwartokątne) - pole każdego z nich będzie takie samo.

POLE PROSTOKĄTA

Jak już wspomnieliśmy przy okazji tematu pola trójkąta, pole prostokąta otrzymujemy poprzez pomnożenie podstawy przez daną wysokość. Inaczej mówiąc, mnożymy przez siebie długości dwóch sąsiednich boków, które są do siebie prostopadłe. I bez znaczenia jest to, który jest wysokością, a który podstawą - wynik i tak będzie taki sam (wynika to z cechy przemienności mnożenia).

Pole = Podstawa x wysokość (P = a*h)

POLE KWADRATU

Wiemy już, że kwadrat to prostokąt o równych bokach. Jego wzór jest taki sam jak wzór na pole prostokąta.

Pole = Podstawa x wysokość (P = a*h)

Jednak z uwagi na to, że każdy bok w kwadracie jest równy, zatem łatwiej jest zapisać ten wzór jako: P = a*a lub w skrócie P = a^2

POLE RÓWNOLEGŁOBOKU

W przypadku pola równoległoboku, obliczenia są takie same jak przy polu prostokąta. Również potrzebujemy znać podstawę oraz wysokość, która jest prostopadła do obu podstaw. Pamiętajmy, że jeśli ramiona nie są prostopadłe do podstaw (są tylko wtedy, gdy równoległobok jest prostokątem albo kwadratem), wówczas nie są one wysokościami. Zatem znając tylko podstawę i długość ramienia... nie możemy obliczyć pola.

Pole = Podstawa x wysokość (P = a*h)

POLE ROMBU

Z uwagi na to, że romb jest szczególnym przypadkiem równoległoboku (o wszystkich bokach równych), więc jego wzór jest taki sam jak wzór na pole równoległoboku.

Pole = Podstawa x wysokość (P = a*h)

Warto jednak podkreślić, że romb ma jeszcze jedną ciekawą właściwość - podobnie jak w kwadracie, przekątne w rombie zawsze przecinają się (w połowie) pod kątem prostym. Ta właśnie cecha sprawia, że można jego wzór zapisać jeszcze innym sposobem. Jakim? Za pomocą wykorzystania właściwości przekątnych, które dzielą romb na 4 identyczne trójkąty prostokątne. Stąd właśnie powstaje wzór: P = (e*f)/2

W tym wypadku jeśli podstawą jest wartość e, wtedy wysokość jest dwukrotnie krótsza (f/2). I odwrotnie działa to na tej samej zasadzie. Jeśli za podstawę weźmiemy f, wtedy wysokość jest również dwukrotnie krótsza (e/2). W ten sposób możemy (powinniśmy) rozciąć nasz romb wzdłuż przekątnej i sprawdzić, że możemy tak złożyć pozostałe dwa trójkąty, aby powstał prostokąt. I to bez względu na to którą przekątną weźmiemy jako podstawę. Bardzo dobrym pomysłem jest właśnie to, aby pobawić się w rozcinanie i doświadczalnie (samodzielnie) sprawdzić skąd powstaje wzór (każdej z figur, nie tylko rombu!).

POLE TRAPEZU

Na koniec powiedzmy sobie skąd się bierze wzór na pole trapezu. Zwykle sprawia on najwięcej problemów - przede wszystkim w przypadku zrozumienia jak i łatwego (trwałego) zapamiętania.

Spróbujmy narysować klasyczny trapez różnoramienny (nie mający kątów prostych). Co by się stało gdybyśmy identyczny trapez (obrócony do góry nogami) dokleili obok tego już narysowanego? Wówczas powstałby równoległobok. I zobaczmy, że podstawą naszego nowej figury jest suma długości obu podstaw trapezu (a+b). Wysokość jest taka sama jak w każdej figurze (h), bo biegnie prostopadle od jednej ku drugiej podstawie. I teraz gdybyśmy zapisali wzór naszego równoległoboku to byłby on taki: P=(a+b)*h. Natomiast nas interesuje pole jednego trapezu, który jest połową powyższej figury. Co zrobić? Otóż trzeba całość podzielić na dwie równe części. Zatem końcowa postać wzoru na trapez to: P=[(a+b)*h]/2. Prawda, że jest to znacznie łatwiejsze, gdy wiemy skąd to się bierze?

Pole deltoidu (popularnie zwanego latawcem) można już samodzielnie opracować. Z uwagi na to, że jest on bardzo rzadko wykorzystywany w praktyce, więc pozwolę sobie go pominąć.

To co powyżej zaprezentowałem to tylko pewien pomysł na to jak można pokazać i wyjaśnić sens powstawania wzorów na obliczanie pól figur. Wiemy już w jaki sposób powstają figury, teraz dowiedzieliśmy jak obliczać ich pole, a w kolejnym odcinku dowiemy się jak można twórczo podejść do tematu tworzenia figur i ich przekształcania. Pokażę w jaki sposób można poświęcić co najmniej godzinę zajęć na to, aby bawić się figurami, a przy okazji poznawać ich właściwości i doświadczać ich zmian. Tak więc niebawem będzie dobra zabawa, bo już wiemy co się dzieje z naszymi trójkątami i czworokątami.


Podsumowanie: Pola figur powinny zostać sprawdzone za pomocą różnych pomysłów. Najważniejsze jest to, aby dzieci mogły doświadczać tego czego się uczą i samodzielnie poszukiwać, tworzyć i oceniać różne pomysły i koncepcje. Rola nauczyciela nie sprowadza się do podawania wiedzy, lecz do tworzenia warunków w których to dzieci ją tworzą i przy okazji odkrywają tajemniczy świat obiektów i relacji między nimi. Każde dziecko uwielbia doświadczać poczucia sukcesu, odkrywania tajemnic i tworzenia ważnych oraz ciekawych pomysłów, które mają szanse przenieść do miękkiej rzeczywistości. Stąd potrzeba zapewnienia kartki, nożyczek, plasteliny, linijki czy innych narzędzi. Dzięki rozcinaniu, odwracaniu oraz łączeniu, dziecko doświadcza fizycznie tego, co potem w jego umyśle zostaje zapisane. Stąd niezbędne są różnorodne, wartościowe ćwiczenia, które pomogą w zrozumieniu istoty doświadczanego świata.


Dodatkowa literatura, która może być wykorzystana w pracy z dziećmi. Obie z nich mogą stanowić ciekawą propozycję, która pokazuje to w jaki sposób lekcja może wyglądać ciekawiej, zaś uczniowie mogą z niej wynieść znacznie więcej.

1) Katarzyna Makowska. Praca z uczniem zdolnym i słabym na matematyce (2010, ZNP, 68 stron)
2) Katarzyna Makowska. Jak inspirować myślenie matematyczne ucznia w szkole podstawowej (2009, ZNP, 80 stron)

Obie książki mają bardzo ładnie wyjaśnione w jaki sposób twórczo i ciekawie opracować i przeprowadzić lekcje matematyki. Są w nich także scenariusze zadań oraz załączniki, które na pewno pomogą zainspirować się do tego, na czym polega zrealizowanie bardzo dobrej, ciekawej, twórczej i rozwojowej lekcji.