NWW i NWD - co o tym wiemy oraz z czym to się je (6)

Po napisaniu poprzednich pięciu części wydawało mi się, że koncepcja tego czym jest zarówno wspólna wielokrotność (NWW) i jak wspólny dzielnik (NWD)... jest już za nami. Okazuje się jednak, że to była tylko pierwsza warstwa, którą obrałem i pokazałem co jest głębiej. Pora zatem na odkrycie kolejnej z warstw, aby było to jeszcze bardziej zrozumiałe.

Szczerze mówiąc, to ten artykuł jest odpowiedzią na zapytanie pani Małgorzaty, która poprosiła mnie, abym wytłumaczył działanie algorytmu na mniejszych liczbach. Zwłaszcza, że dzieci (eksperci od sprawdzania tego na ile umiemy i rozumiemy dogłębnie dane zagadnienie) pod jej przewodnictwem zaczęły zadawać pytania, które pozornie są proste, ale przy bliższym spojrzeniu pokazują, że są one (odpowiedzi) dla nich kluczem do zrozumienia.

Przeanalizujemy cztery przypadki w których mamy do czynienia z koncepcją NWW. Na razie możemy uznać, że wszyscy dobrze rozumieją czym jest NWD i tutaj nie widzę konieczności wyjaśniania czegokolwiek.

Załóżmy, że chcemy znaleźć NWW (16,24). Co robimy? Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze w tabeli (16 = 2*2*2*2, zaś 24 = 2*2*2*3), a potem nanosimy je na dwa koła z wyróżnioną częścią wspólną. W ten sposób nie ma szans na pomylenie wartości NWW.

Przykład 1: NWW (120 i 180). Zobaczmy co będzie się działo dla liczb 120 i 180. Widzimy, że wspólna wielokrotność zostanie utworzona z rozkładu obu liczb w postaci dwóch kółek z częścią wspólną (60).

Przykład 2: NWW (256, 192). Iloczyn we wszystkich kółkach (NWW) to 768, zaś w iloczyn w oku (środkowej części) (NWD) to 64.

Przykład 3: NWW (240, 420). Iloczyn we wszystkich kółkach (NWW) to 1680, zaś w iloczyn w oku (środkowej części) (NWD) to 60.

Jak działa algorytm wyznaczania wspólnej wielokrotności (za każdym razem mam na myśli najmniejszą wspólną wielokrotność)?

Czym jest NWW? To najbliższy wspólny punkt w którym spotykają się dwie liczby. To najbliższa wspólna odległość (punkt) w którym spotykają się dwie osoby (liczby).

1) Obie liczby są pierwsze (automat).

Załóżmy, że mamy odcinki o długości 3cm i 5cm (jednostka może być dowolna, byle identyczna dla obu wartości). Pytanie jaki jest najbliższy punkt w którym oba z nich spotkają się dokładnie w tym samym miejscu? Okazuje się, że z uwagi na to, że zarówno 3 jak i 5 są liczbami pierwszymi, więc nie mają wspólnego dzielnika. Co wtedy? Otóż w takim przypadku wyznaczenie NWW polega na tym, aby położyć krótszych odcinków (3cm) tyle ile jest dłuższych (5), zaś dłuższych (5cm) tyle ile jest krótszych. Zatem rozwiązaniem jest 3x5 lub 5x3, czyli 15. W takim przypadku NWW jest wyznaczana zawsze poprzez iloczyn obu liczb. Dlaczego? Z uwagi na to, że obie liczby nie mają wielokrotności (części wspólnej).

2) Jedna liczba jest pierwsza, a druga jest złożona i jest jej wielokrotnością.

A co by się stało, gdybyśmy ten sam przykład chcieli rozwiązać dla odcinków 7cm i 21cm? Okazuje się wtedy, że dłuższy odcinek (21cm) mieści w sobie krótsze odcinki... bez reszty. Inaczej mówiąc liczba 21 jest wielokrotnością dla 7. W tym przypadku wystarczy położyć jeden dłuższy odcinek, a nad nim (albo pod nim) 3 odcinki krótsze, aby spotkały się ze sobą. W tego typu przypadku wystarczy sprawdzić czy większa liczba jest wielokrotnością mniejszej. Jeśli tak jest, wtedy większa z nich jest zarazem najmniejszą wielokrotnością dla obu z nich.

3) Obie liczby są złożone, zaś a druga jest zarazem wielokrotnością pierwszej.

Zastanówmy się teraz: czy będzie jakaś różnica jeśli obie liczby będą złożone - zaś druga jednocześnie będąc wielokrotnością pierwszej? Weźmy na przykład liczby 12 i 36 (obie parzyste) lub 9 i 27 (obie nieparzyste). Postępowanie jest identyczne jak w poprzednim przykładnie (7 i 21). Nadal nic się nie zmienia. Również nie byłoby różnicy w postępowaniu gdyby były to liczby złożone - nieparzysta i parzysta (9 i 36 albo 15 i 60).

Wniosek? Jeśli jedna z liczb jest wielokrotnością drugiej, wówczas nie ma znaczenia to czy są one pierwsze czy złożone, tak samo jak to czy obie są parzyste, nieparzyste czy też mieszane.

Dochodzimy zatem do sytuacji, która wymaga nieco innego podejścia i pewnej analizy, aby zrozumieć sens tego co się będzie działo przy wyznaczaniu wspólnej wielokrotności.

4) Żadna z liczb nie jest swoją wielokrotnością ani nie jest pierwsza

Weźmiemy na warsztat cztery przypadki. Jeśli uda nam się dobrze je wyjaśnić, wówczas jest bardzo duża szansa na to, że nastąpi pełne zrozumienie, a przynajmniej pogłębienie tego co dotychczas wiemy. Przyznam, że dopiero po kilku godzinach przeprowadzonych analiz, nastąpiło u mnie oświecenie. Przyznam, że wcześniej rozumiałem to na poziomie mechanicznym (obliczeniowym), ale nie do końca na poziomie struktury. Dlatego nie dziwię się dzieciom, że mogły nadal nie rozumieć istoty tego co robią, nawet jeśli poprawnie rozwiązywały zadania na NWW (zakładam, że NWD jest na tyle zrozumiałą koncepcją, że niemal wszyscy są w stanie bez problemu ją w pełni zrozumieć).


Przykład 1: NWW (16,24). Rozkładamy liczby na czynniki i wyznaczamy NWD.

16 = 2*2*2*2, zaś 24 = 2*2*2*3, zatem NWD = 2*2*2 = 8. W takim razie NWD (16,24) = 2*3*8 = 48

Przykład 2: NWW (120 i 180). Rozkładamy liczby na czynniki i wyznaczamy NWD.

120 = 2*2*2*3*5, zaś 180 = 2*2*3*3*5, zatem NWD = 2*2*3*5 = 60. W takim razie NWD (120,180) = 2*3*60 = 360

Przykład 3: NWW (240, 420). Rozkładamy liczby na czynniki i wyznaczamy NWD.

240 = 2*2*2*2*3*5, zaś 420 = 2*2*3*5*7, zatem NWD = 2*2*3*5 = 60. W takim razie NWD (240, 420) = 2*2*7*60 = 1680

Przykład 4: NWW (64, 768). Rozkładamy liczby na czynniki i wyznaczamy NWD.

64 = 2*2*2*2*2*2, zaś 768 = 2*2*2*2*2*2*2*2*3, zatem NWD = 2*2*2*2*2*2 = 64. W takim razie NWD (64,768) = 1*2*2*3*64 = 768

Najważniejszym odkryciem dla mnie jest to, że wyznaczenie NWW dla dwóch liczb wymaga znalezienia ich części wspólnej (tak, największego wspólnego dzielnika). Następnie ich najmniejsza wspólna wielokrotność powstaje poprzez iloczyn tego co pozostało z liczb A i B po "wycięciu" (A' i B') wspólnej części... i jednokrotnego pomnożenia przez część wspólną.

Być może brzmi to nieco tajemniczo, ale za chwilę powinno się to wszystko rozjaśnić.

Jaka byłaby wspólna wielokrotność dla odcinków 4 i 5? To proste - 20! A gdyby odcinki 4 i 5 w swoich jednostkach miały ukryte - zamiast długości w centymetrach... jeszcze inną wspólną liczbę? Wyobraźmy sobie odcinek składający się z 4 identycznych części, którego każda część składa się jeszcze z 3 (mniejszych). Tak samo pomyślmy o odcinku o długości 5 jednostek (załóżmy, że też ma w sobie w każdej jednostce 3 mniejsze części). I teraz mielibyśmy 4x3 oraz 5x3, czyli 12 i 15. Jaka byłaby ich wspólna wielokrotność? To proste. Wspólna część obu odcinków na razie znika i mamy odcinki o długości 4 i 5. Jeśli je pomnożymy przez siebie, będziemy mieli 20. A teraz pozostaje tylko to, aby ten odcinek jeszcze pomnożyć (rozciąć) na 3 mniejsze (część wspólna dla obu!) i mamy wynik 20 x3 = 60. Zatem NWW dla 12 i 15 to 60!

To jeszcze jeden przykład, aby zobaczyć, że ten sposób efektywnie działa na każdej liczbie - nie ważna jak dużej! Pierwsza liczba niechaj będzie taka: Liczba A: 150 = 2x3x5x5. Druga liczba natomiast będzie taka: Liczba B: 315 = 3x3x5x7.

Teraz zastanówmy się jaka jest część wspólna dla obu liczb (wszystkie identyczne czynniki w każdej z nich). Zarówno w pierwszej liczbie jak i w drugiej częścią wspólną jest 3x5 (15), prawda? A to, co pozostaje wtedy w każdej z nich, gdy wytniemy (zignorujemy) wspólną część? Liczba A' będzie teraz miała wartość 2x5 (10), zaś B' to 3x7 (21). Wyznaczamy teraz wspólną wielokrotność dla tych "obciętych" liczb (A' i B') a potem mnożymy przez część wspólną (NWD obu wyjściowych liczb). Dlatego końcowa wartość NWW dla 150 i 315 będzie wyglądać następująco: 10x21 x15 = 3150.

Jak wygląda algorytm wyznaczania NWW? Oto on:

1. Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze.
2. Zakreślamy w kółkach te same liczby (tyle samo razy!) w rozkładach obu liczb. Celem tego ćwiczenia jest znalezienie NWD.
3. W ten sposób znajdujemy NWD i już pierwsza część za nami.
4. Rysujemy dwa koła, które mają część wspólną (tak szeroką jak wiele jest identycznych czynników z rozkładu obu liczb).
5. Wpisujemy w środkową część (oko) identyczne liczby z rozkładu obu liczb (czyli NWD).
6. Zapisujemy pozostałe czynniki pierwszej liczby (A') w pozostałą część lewego koła, zaś pozostałe czynniki drugiej liczby (B') w prawą część koła.
7. Zapisujemy iloczyn czynników liczby A' i B' oraz części wspólnej (NWD).
8. Obliczamy wynik końcowy.

Co jest istotne w tym, aby wiedzieć (mieć pewność), że prawidłowo przeszliśmy cały proces rozumowania?

1. W części A' i B' nie może być identycznych czynników. Dlaczego? Bo gdyby takie były, wówczas muszą przejść do części środkowej (oko). Natomiast mogą być te same czynniki w środku koła (oku) i w lewym lub prawym kole.
2. Te same czynniki w rozkładzie liczb muszą być zakreślone tę samą liczbę razy. Przykładowo, gdy jedna z liczb to: (504) 2x2x2x3x3x7, zaś druga to (2940) 2x2x3x7x7x5, wtedy wspólne w obu liczbach są 2x2x3x7 (84).
3. NWD nie może być liczbą większą niż mniejsza z liczb wyjściowych. Przykładowo jeśli mamy liczby 16 i 24, to NWD nie może być większy niż 16. W takim wypadku mniejsza liczba nie mogłaby zostać rozłożona na czynniki, tak aby ją poprawnie wpisać w koło (lewe lub prawe). Wyjątkowo NWD może być równy liczbie mniejszej, gdy większa jest jej wielokrotnością (np. 16 i 48, wtedy NWD to 16).


Na koniec jeszcze mamy nietypową mini-sesję, która będzie składać się z pytań i odpowiedzi. Taka krótka sesja "Q&A" (Questions and Answers). W ten sposób mam nadzieję, że wszystkie elementy zaczną się lepiej łączyć z poprzednimi.

Q0: Dlaczego część wspólna (w oku - w części wspólnej obu kół) to takie same czynniki?
A0: Ponieważ przy rozbiciu obu liczb - te same czynniki (iloczyn) wyznaczają to czym jest NWD. A z uwagi na t że są takie same, to znaczy, że wspólne. A jak wspólne, to jednocześnie wpisujemy je w kole (oku) dla obu zbiorów.

Q1: Dlaczego do części wspólnej wkładamy takie same czynniki?
A1: Dlatego, że czynniki (iloczyn) wspólne w rozkładach obu liczb musi być ten sam - jako, że obszar środkowy kół A i B to te same czynniki (iloczyny) dla liczb A jak i B.

Q2: Czy NWW zaczynamy od znajdowania największego wspólnego dzielnika, który umieszczamy w części wspólnej?
A2: Jeśli mowa o metodzie kół dla dwóch liczb, to można w ten sposób to potraktować (zakładając, że albo szybko zrobimy rozkład liczb A i B na czynniki pierwsze albo w pamięci wyznaczymy wspólny dzielnik - zwłaszcza jak są to nieduże liczby).

Q3: Dlaczego do wyznaczenia NWW mnożymy NWD (część środkową - oko) przez czynniki/liczby, które zostają (w rozkładzie liczb A i B)?
A3: Dzieje się tak, ponieważ te liczby (czynniki), które pozostają w obu wyciętych częściach liczb A i B (A' i B') są liczbami pierwszymi, więc znalezienie wspólnej części dla nich (tak, ich "małego NWW"!) wymaga pomnożenia ich przez siebie. A potem rozszerzamy "małe NWW" przez NWD i nagle okazuje się, że znaleźliśmy wyjściowe NWW dla liczb początkowych.

Q4: Ile jest znanych i dobrych sposobów na wyznaczenie NWW - no i który z nich jest najlepszy?
A4: W zależności od tego jak liczyć i jak duże muszą być różnice, aby jeden sposób był inny od drugiego (wielkość i jakość różnic), to moim zdaniem możemy wyróżnić co najmniej CZTERY (tak, to nie pomyłka!) sposoby.

Q5: Czy jest jakikolwiek sposób wyznaczania NWW, który nie odnosi się bądź nie uwzględnia koncepcji NWD?
A5: Żaden ze znanych mi sposobów nie ma możliwości wyznaczenia NWW bez obejścia się (tj. wykorzystania) pomysłu związanego z NWD. Jedne z nich pokazują (stosują) to bezpośrednio, zaś inne w nieco ukrytej formie, ale wszystkie znane mi sposoby na NWW... wykorzystują koncepcję NWD.


Na koniec krótko omówię cztery sposoby (podejścia) wyznaczania NWW dla dwóch liczb.

NWW dla 36 (liczba A) i 120 (liczba B).
SPOSÓB pierwszy: mnożymy obie całe liczby, a potem dzielimy przez ich NWD. Czyli: 36*120/12=360

SPOSÓB drugi: mnożymy liczbę A' przez całą liczbę B. Czyli: 3*120 = 360

SPOSÓB trzeci: mnożymy liczbę B' przez całą liczbę A. Czyli: 10*36 = 360

SPOSÓB czwarty: mnożymy liczbę A' przez B' a potem przez NWD (środkową część - oko). W naszym przypadku będzie to takie działanie: 3* 2*5 *2*2*3 = 3*10 *12 = 360.


Osobiście do wyznaczania NWW (dla dwóch liczb) stosuję ostatni sposób (czwarty), ponieważ jest najbardziej logiczny dla mnie i najłatwiejszy do wyjaśnienia i zrozumienia. Być może na rysunkach będzie łatwiej zrozumieć to co mam do przekazania. Jedno czego jestem pewien to fakt, że trzeba poświęcić odrobinę czasu, aby zrozumieć istotę tego zagadnienia. Warto to zrobić w taki sposób, aby również dzieci miały możliwość sprawdzenia tej koncepcji na realnych obiektach (liczmanach).

Matma jakiej nie znacie - moja wizja nauczania i kilkanaście pomysłów do wykorzystania

Wiele osób zastanawia się jak wygląda moja wizja matematyki, o której w różnych miejscach wspominam. Myślę, że jest kolejna okazja, aby ją teraz nieco przybliżyć. Nie jest to co prawda wszystko co mam do powiedzenia o tym jak wyobrażam sobie nauczanie matematyki, ale na pewno istotny rąbek tajemnicy został uchylony...

Mija już blisko 2 tygodnie od momentu, gdy występowałem w webinarze (29 września 2019 roku). Tym razem przebiegało ono, bazując na koncepcji, którą tworzę, analizuję, wyznaję, hojnie się nią dzielę oraz przy okazji także uwielbiam. Tytuł mojego wystąpienia był następujący:

Matma jakiej nie znasz - czyli w jaki sposób można nauczać matematyki w sposób oryginalny, ciekawy jak i efektywny

Całość trwała 70 minut, więc musiałem w miarę się pospieszyć, aby powiedzieć większość tego co zaplanowałem. Webinar w którym występowałem składał się z dwóch głównych części:

1) Prezentacja (teoria) za pomocą slajdów (27 min)
2) Moje pomysły (praktyka): garść przykładów do wykorzystania i inspiracji (41 m)

W części pierwszej (teoretycznej) dotyczącej podejścia do nauki i nauczania matematyki mówiłem o tym w jaki sposób warto podchodzić do matematyki (1), czym są mity i stereotypu matematyczne i jak z nimi walczyć (1A), jaka jest relacja nauczyciela i ucznia (2), w jaki sposób nauczyciel powinien podchodzić do nauczania matematyki (2A), następnie o tym jak uczeń powinien podchodzić do swojego rozwoju matematycznego (2B). Dalsze slajdy to krótki opis tego jak wygląda moje podejście do nauczania (3), wnioski mówiące o tym na co zwrócić uwagę (4) jak też podsumowanie całości.

W kolejnej odsłonie mówiłem o tym jakiej pomocy i wsparcia oczekują nauczyciele (5), czym jest uczenie się od innych (6) i na końcu był mały apel dotyczący tego, aby nauczyciele ze wszystkich poziomów mogli lepiej ze sobą współpracować i wzajemnie się od siebie uczyć (8). Pod koniec nieco prowokacyjnie zapytałem o to czy lepszy jest model naukowy czy też może ciekawski (9).

A co jeśli chodzi o część praktyczną? Otóż podzieliłem się w niej kilkunastoma pomysłami. Myślę, że wystarczy rzut oka na poniższe obrazki, aby zobaczyć to czego dotyczyły moje koncepcje. Zdradzę, że omówiłem w dużym skrócie to w jaki sposób można je wykorzystać w czasie zajęć z matematyki. I uważam, że na tej podstawie każdy, kto zajmuje się nauczaniem matematyki... może samodzielnie stworzyć własne zajęcia.

Generalnie było to moje pierwsze wystąpienie online, więc zdaję sobie sprawę, że jest dużo rzeczy do poprawy. Niemniej dużo bardziej przeważa radość, bowiem cieszę się z tego, że mogłem podzielić się z innymi moją pasją do nauczania matematyki i przy okazji pokazać matematykę z zupełnie innej perspektywy - matmę jakiej nie znacie...

Poniżej zamieszczam odnośnik do zapisu nagrania (webinaru) na YouTube, który można sobie w wolnej chwili obejrzeć :). https://www.youtube.com/watch?v=iMi-ByCGCMc

Spotkanie z pasjonatami oraz dydaktykami - warsztaty, wykłady i prezentacja są już za nami - relacja z XXIX SDM

Tym razem mój artykuł będzie dosyć nietypowy, ponieważ będzie zawierał kilka części. Pierwsza z nich to opis tego co mogłem doświadczyć w ramach konferencji matematycznej: XXIX Szkoła Dydaktyki Matematyki, która odbyła się w dniach 18-21 września 2019. Druga to moja prezentacja jako slajdy (obrazy). Na jej bazie przygotowałem moją prezentację. Natomiast trzecia to duża część mojego wystąpienia dwa fragmenty (pierwszy o długości 10:46, a drugi 10:14, łącznie 21 minut). Mam nadzieję, że będzie to dobry przykład tego, że nie tylko się da, ale także tego, że można pokazać również środowisku dydaktyków matematyki (akademickiemu), że matematyka szkolna może być naprawdę bardzo fajna i ciekawa, a zarazem bliska sercu metodyków i dydaktyków. No to zaczynamy!

Na początek podkreślę, że poniższy opis jest osobistym wyborem tylko tych wystąpień, które szczególnie mnie poruszyły bądź zaciekawiły. Dlatego nie jest to absolutnie wierny obraz całości, lecz relacja widziana przez przeżycia, oczekiwania i doświadczenia Tomasza, czyli mnie.

Początek konferencji zaczął się od wykładu plenarnego, który prezentowała Ewa Swoboda. Prelegentka omawiała temat "Zawiłe relacje: matematyka - dydaktyka matematyki – nauczanie w latach 1980–2015".

Na tym wykładzie miałem okazję zobaczyć w jaki sposób zmieniały się warunki dotyczące tego jak matematyka była i jest nauczana. Najbardziej uderzyło mnie to w jaki sposób fale reform wpływały na kształt nauczania matematyki. Co bardzo mnie zaskoczyło i jednocześnie zdziwiło, to dawne i obecne relacje pomiędzy matematykami a dydaktykami matematyki, które zostały nazwane jako "szorstka przyjaźń". Co natomiast cieszy to fakt, że od roku 1981 zaczęły się odbywać cykliczne spotkania środowiska dydaktycznego. Ich nazwa to Szkoły Dydaktyki Matematyki, a w obecnej - już dwudziestej dziewiątej... miałem zaszczyt uczestniczyć i przy okazji podzielić się swoim referatem (przemyśleniami).

Następnym wykład, który przykuł moją uwagę omawiał zagadnienie tematu matematyki dla jej współczesnych i przyszłych użytkowników. Tutaj Konstantinos Tatsis omawiał znaczenie matematyki w życiu wszystkich ludzi, niezależnie od tego czy zajmują się nauką czy też nie. Prelegent z Grecji położył silny nacisk na to co OECD wyraźnie podkreśla. O czym mowa? Otóż chodzi o to, że świadomy obywatel powinien posiadać podstawowe kompetencje matematyczne, aby móc "rozwiązywać problemy i interpretować sytuacje w kontekście osobistym, zawodowym, społecznym i naukowym". Przy tym prelegent pokazywał bardzo proste przypadki w których matematyka jest niewłaściwe wykorzystywana czy też nadużywana - jak kto woli: jak można nią manipulować czy wręcz za jej pomocą oszukiwać. Uświadomił mi, że powinniśmy być ostrożni, aby nie podążać za dogmatycznym czy też ilościowym widzeniem zjawisk. Dlaczego? Otóż chociażby z tego powodu, że świat wokół nas jest zbyt skomplikowany, aby ignorować czynniki społeczne, kulturowe i środowiskowe.

Lambrecht Spijkerboer to trener nauczycieli matematyki. Swoim wykładem po prostu zwalił mnie z nóg. I akurat nie dlatego, że mówił po angielsku, lecz dlatego, że trafił z tematem w to co najbardziej uwielbiam (i od lat uważnie analizuję). Pokazał jakie są wymagania obecne, które dla niektórych nauczycieli są jeszcze nie do końca zrozumiałe, bo podejrzewają oni, że świeże podejście dopiero będzie konieczne w odległej przyszłości. A tymczasem okazuje się, że jest to konieczność, którą spokojnie można nazwać "na wczoraj". Gość z Holandii pokazywał rewelacyjne przykłady w których nauczyciel może dawać uczniom możliwość rozwoju ich potencjału, a nie tylko zaliczania egzaminów czy przechodzenia do kolejnych klas. Prezentował liczne możliwości, dzięki którym uczniowie mają okazję myśleć matematycznie. Chodzi o dostarczanie realistycznych problemów oraz dobór odpowiednich pytań motywujących. Postulował na bazie modelu OBIT (o nim ciut niżej), aby nauczyciel ułatwiał uczniom rozwój umiejętności myślenia poprzez używanie kontekstu i odpowiednich sposobów nauki. I tak! To wszystko jest możliwe do pogodzenia we współczesnej szkole, pod warunkiem, że nauczyciel chce wykonywać pracę polegającą na samodoskonaleniu i dopasowywaniu metod jak i narzędzi pracy, do możliwości oraz potrzeb uczniów. Czy to łatwe podejście? Nie! Czy konieczne! Absolutnie tak! Czy wszyscy będą chcieli je natychmiast wykorzystywać. Razem z prelegentem jesteśmy zdania, że obawy nauczycieli są na tyle duże obecnie, że tylko nieliczni będą czuli konieczność przejścia na "nowe nauczanie" matematyki. Niemniej obydwoje wierzymy, że nie tylko można, ale i trzeba to zmieniać i wspierać nauczycieli w tym, aby poczuli i zrozumieli potrzebę zmiany.

Miałem okazję również brać udział w niesamowitych warsztatach, które prowadził Lambrecht. Były tak inspirujące oraz pokazujące proste sposoby na różnorodne podejście do pytań oraz próśb uczniów... że aż zatykało mi dech. W skrócie mogę powiedzieć, że bazuje on na modelu OBIT, który wyróżnia się tym, że pokazuje dwa rodzaje uczenia. Pierwszym z nich jest powierzchowne uczenie (surface learning), zaś drugim - głębokie. Na ten pierwszy rodzaj składają się elementy Zapamiętywania (Onthouden) oraz Zrozumienia (Begrijpen). Ten sposób uczenia się jest dobry, gdy potrzebujemy coś na szybko zapamiętać i zdać test lub egzamin, ale nie chcemy, aby ta wiedza była trwała. Doskonale widzimy, że naszym polskim odpowiednikiem tego jakże popularnego podejścia (zwłaszcza wśród mało ambitnych studentów) jest tak zwane 3Z - zakuć, zdać, zapomnieć.

Natomiast w przypadku głębokiego uczenia się (deep learning), musi odbywać się pewne działanie i powiązanie wiedzy wraz z innymi jej elementami i doświadczeniami. Na ten rodzaj składa się Intergracja (Integreren) oraz (Twórcze) Zastosowania (Toepassen). Wiedza nabywana wiąże się ze zdobytą już wiedzą oraz wspomnieniami emocji i informacji uzyskiwanych poprzez różne zmysły. Z tego też powodu tak zdobytą wiedzę nie jest łatwo zapomnieć. I to właśnie nazywa się uczeniem głębokim. Nie muszę chyba dodawać, że to jest prawdziwa nauka, która sprawia, że dziecko się rozwija. I to bez względu na to w jakim jest wieku. Dodam tylko, że gdyby uczniowie mieli okazję doświadczyć przez jeden tydzień dobrze zorganizowanych głębokich zajęć, to przy badaniu dotyczącym tego, kto chce wrócić do tradycyjnych (powierzchniowych) zajęć, to szacuję, że wynik byłby w graniach 5-8%. Wiem, ponieważ wiele razy widziałem oraz czytywałem o takich zajęciach, więc jeśli dziecko nie jest zaburzone i nie wymaga terapii, wówczas uczenie się głębokie jest niejako jedynym, które realnie daje mu szanse rozwoju. Warto podkreślić, że oba podejścia mogą i powinny być wykorzystywane w praktyce. Jedyne na co trzeba zwrócić uwagę to orientacja na cel jak też przygotowanie zajęć głębokich dotyczących różnorodnych zagadnień.

Były jeszcze dwa warsztaty, które bardzo mi się spodobały i przy okazji dały wiele do myślenia. Jednym z nich były warsztaty "Origami w matematyce", które w ciekawy sposób poprowadziły studentki z koła naukowego UAM w Poznaniu: Alicja Adamczyk, Marta Brembor i Natalia Lechna. Owe pasjonatki matematyki uświadomiły mi, że warto nieco poszerzyć swój warsztat o tego typu dodatkowe atrakcje, aby mieć możliwość pokazywania matematyki także jako podejście ukierunkowane na "zrób to sam" i naucz swojego ucznia, aby osiągał sukces. Zwłaszcza jeśli można tego typu aktywności wykorzystywać do pokazywania matematycznych zagadnień a niekiedy i niezwykłych sztuczek. Jednym z najciekawszych pomysłów było składanie sześcianu bez pomocy nożyczek i kleju. Wszystko zrobione ręcznie, z sześciu kwadratów złożonych w całość. Jestem pewien, że można w ten sposób świetnie organizować czas uczniom, którzy skończyli już rozwiązywać zadanie, a nie można się nimi indywidualnie zająć. W ramach rewanżu na jednej z przerw zapytałem dwie z tych studentek, co by było i jak by się czuły, gdyby za chwilę miały wejść i poprowadzić zajęcia w szkole (podstawowej). Przy okazji pokazałem im zagadkę polegającą na tym, w jaki sposób wyjaśnić uczniom to czym jest liczba Pi, dlaczego koło jest prostokątem i w jaki sposób kwadrat jest kołem. Jestem przekonany, że tego typu doświadczenie pomoże im otworzyć się na nietypowe zagadnienia matematyczne, którymi będą mogły w przyszłości oczarować uczniów, którzy będą ciekawi świata nie tylko matematycznego.

Okazuje się, że warsztaty ze składania papieru zwane origami, były fajnym wprowadzeniem w świat matematycznej magii. Małgorzata Zambrowska razem z Marcinem Karpińskim poprowadzili warsztaty w których pokazywali jak może wyglądać organizowanie pracy zespołowej podczas ćwiczenia intuicji geometrycznych. Nieco znając podejście obojga prowadzących wiedziałem a raczej czułem, że to będą ciekawe i fajne warsztaty. Jednak to czego się nauczyłem i doświadczyłem w ramach tych zajęć... po prostu zupełnie rozbiło mój system wyobrażeń i oczekiwań. Młodzież mogła by powiedzieć, że takie warsztaty to jest to czego nigdy w szkole nie robią, a przecież każdy z nich tego potrzebuje... i to bardzo!

Jakie to były warsztaty? Otóż to były warsztaty, których nie sposób opisać - trzeba je samemu doświadczyć! Niemniej spróbuję chociaż przybliżyć tym, którzy są ich ciekawi. Na początek mieliśmy za zadanie pobawić się grą "Łamigami" w której chodzi o to, aby z kwadratowej papierowej kartki (8x8), zrobić takie zagięcia, aby na wierzchu były wyłącznie białe, a pod spodem czarne kwadraty. Pozornie banalne zadanie, ale po trzech ćwiczeniach szybko poprzeczka poszybowała wyżej. Nastąpiło kolejne ćwiczenie, którym było wycinanie kształtów z kartki papieru, które można nazwać "jednym cięciem". Tak, chodziło o to, aby za pomocą zaledwie jednego nieprzerwanego cięcia... wyciąć daną figurę ze środka kartki. I o ile w przypadku kwadratu czy prostokąta była to przysłowiowa bułka z masłem, to już przy trójkątach trzeba było znacznie mocniej pogłówkować. Wycięcie litery "L" pokazało nam wszystkim, że stopień trudności można naprawdę mocno podkręcić. I po tym, gdy niestety nikomu nie udało się dojść do tego w jaki sposób rozciąć tę literę, wkroczył do akcji Marcin Karpiński. Powiedział, że tego typu konstrukcje (cięcia) mogą być naprawdę trudne, więc nie musimy się przejmować tym, że nam się nie udało. Po chwili dodał, że istnieje dowód na to, że każdą figurę złożoną z odcinków (okrągła litera "O" musi wtedy być lekko "połamana") można wyciąć za pomocą jednego nieprzerwanego cięcia. I co śmieszne, ten dowód nazywa się oficjalnie "dowodem cięcia i gięcia". Po ciekawym wstępie teoretycznym pałeczkę przejęła Małgorzata Zambrowska, która dała nam nietypową zagadkę. Polegała na tym, że wspólnie w ramach pracy grupowej (4 osoby) musimy dogadać się co do kształtu figury jaką mamy złożyć z patyczków. I nie byłoby w tym nic nowego ani trudnego, gdyby nie pewne warunki: zróbcie to w taki sposób, że nie możecie nikomu pokazywać swoich kart na których macie wypisane polecenia. No i po kilku minutach wymiany zdań, ustaliliśmy jaka to będzie figura. Zadanie pozornie zostało już zakończone, gdy do akcji znowu wkroczył Marcin. Z błyskiem w oczach powiedział: "Dobrze, udało wam się, ale teraz spróbujcie wykazać czy figura, którą zbudowaliście jest trapezem czy też nie". No i tutaj zaczęły się schody, więc tęgie umysły (ja akurat byłem tylko obserwatorem) zaczęły pracować na pełnych obrotach, a ja uważnie przyglądałem się w jaki sposób będą chcieli rozgryźć to zadanie.

Przypominam, że w Rzeszowie w salach Uniwersytetu Rzeszowskiego spotkała się grupa pasjonatów myślenia i nauczania, więc byłem absolutnie przekonany, że tego typu zadanie zostanie szybko wzięte w ogień analiz i dowodów. I akurat nie pomyliłem się. Po kolejnych kilku minutach okazało się, że zadanie wcale nie było łatwe, ale niemal wszystkie grupy poradziły sobie z nim. No i kolejne zaskoczenie: zadanie było możliwe do wykonania (udowodnienia) na kilka sposobów. I wcale nie chodziło o to jaki sposób wybrała dana grupa, lecz o to w jaki sposób trzeba byłoby to wyjaśnić zdolnemu szósto czy siódmoklasiście. Patrzyłem z podziwem zarówno na duet prowadzących - Marcina i Małgorzatę, jak i na wielu pasjonatów, którzy byli wręcz zachwyceni tym, że mogą sprawdzić się w nietypowych zagadkach i wyzwaniach.

Na koniec Małgorzata zaproponowała jeszcze zabawę z figurami przestrzennymi zbudowanymi z sześcianów. Najpierw trzeba było samodzielnie zbudować figurę, która była schowana w worku, a naszym zadaniem było jej poprawne odtworzenie (zbudowanie), mając możliwość wykorzystania jedynie zmysłu dotyku (jedna ręka w worku, a druga buduje). I ostatnim zadaniem była zmodyfikowana wersja tego samego zadania, z tą różnicą, że że nasz partner z grupy miał ją zbudować na bazie naszych wskazówek.

Jako że uwielbiam badania nad nauczaniem matematyki, to opiszę jeszcze dwa referaty, które szczególnie przykuły moją uwagę. Pierwszym z nich był ten w którym Marta Pytlak stawiała pytanie czy nauczanie szkolne sprzyja rozwojowi kreatywności. I co niezbyt dziwne - wywołało to na początku duży uśmiech, ale na końcu rzadko spotykaną, bardzo ożywioną debatę. Generalnie prelegentka zbadała w jaki sposób uczniowie klasy trzeciej i siódmej uzasadniali wykreślenie jednej z liczb, która ich zdaniem nie pasowała do sekwencji. To badanie pokazało i uświadomiło mi kilka rzeczy: w jaki sposób przy wyższym poziomie wiedzy... kreatywność może nie tyle zanikać (tego nie da się przecież jednoznacznie stwierdzić), lecz na pewno być wykorzystywana bardziej praktycznie. Myślę, że Marcie należą się brawa nie tyle za ciekawe badanie, lecz przede wszystkim za rozbudzenie krytycznego myślenia i zachęcenie do poszukiwania różnych wyjaśnień.

I teraz już naprawdę ostatnie z badań, które ogromnie mnie zaciekawiło i w pełni pochłonęło moją uwagę. Bożena Maj-Tatsis (dość nietypowa zbieżność nazwisk z prelegentem z Grecji) omawiała rolę kontekstu w rozwiązywaniu zadań matematycznych przez uczniów klas piątych szkoły podstawowej. Prelegentka postawiła pytanie związane ze zbadaniem roli kontekstu na to jak rozwiązywane były zadania matematyczne. I znowu okazało się, że bardzo dobrze postawiony problem badawczy może dać ogromne pole do popisu... do stawiania kolejnych pytań czy hipotez badawczych. Ogólnie biorąc można powiedzieć, że na pewno pojawił się problem, który nadal jest zbyt mocno pomijamy w zadaniach. Był nim oczywiście element, który mówi o tym kiedy zadanie jest maksymalnie zbliżone do realnego i zarazem najbliższego świata ucznia. Otóż okazało się, że w zadaniach dotyczących pokrojenia pizzy uczniowie wykazali się taką niezwykłą kreatywnością, że poprzednia prelegentka (Marta) na pewno byłaby również dumna z oryginalnego podejścia "nieswoich" uczniów! Krótko mówiąc, potwierdzają się wieloletnie badania, wnioski i spostrzeżenia związane z edukacją, która opiera się o filary, o których czytuję i analizuję na przestrzeni ostatnich kilku lat.

I to w zasadzie tyle jeśli chodzi o krótki opis tego, co najbardziej mi się podobało i zwróciło moją uwagę. Nie muszę chyba dodawać, że spotkanie w gronie pasjonatów i osób fascynujących się dziedziną jaką jest matematyka w ujęciu jej efektywnego nauczania, to była niesamowita przygoda i zarazem owocne spotkanie. Spróbujmy delikatnie podsumować: każda z osób otwarta na dyskusję, bardzo ciekawa tego co i jak można lub trzeba zrobić, gotowa podzielić się swoimi doświadczaniami, wynikami badań czy też wiedzą... i do tego jednocześnie grupa zapaleńców, którzy nie mogą usiedzieć na miejscu, więc dzielą się swoim doświadczeniem poprzez wykłady, referaty czy też warsztaty. A że tak się dziwnie i przypadkowo składa, że miałem okazję również i ja się tam pojawić, to tym bardziej przekonuję się, że trafiłem na znakomitych odbiorców.

No i jak już wspomniałem, byłem na konferencji matematycznej, nie tylko w charakterze odbiorcy. Organizatorzy uznali, że fajnie będzie zobaczyć co takiego ciekawego ma do powiedzenia Tomasz, którzy chce pokazać matmę jaką jeszcze nie znamy! Zatem Małgorzata Zambrowska powiedziała mi, że warto tam się wybrać, zaś organizatorzy dali mi realną szansę przedstawienia tego czym się pasjonuję (dziękuję drodzy organizatorzy!). Czy trzeba czegoś więcej?!

I tym oto sposobem przyszła kolej na mój referat. Dotyczył tematu nieco tajemniczego, ale osobom uważnie śledzącym moje artykuły na blogu... doskonale znanego! Otóż rzecz jasna chciałem gronu pasjonatów i ekspertów pokazać... matematykę jakiej jeszcze nie znają! I okazało się, że zrobiłem pozytywne wrażenie. Dziwię się, ponieważ odbiór tego co proponuję był nad wyraz ciepły i pozytywny: i to nawet pomimo tego, że nie miałem ani wyników badań, ani tytułu naukowego związanego z matematyką czy też kilkudziesięciu lat pracy dydaktycznej na uczelni bądź w szkole. Przyznam, że najbardziej nietypowa była sytuacja, gdy pasjonaci i eksperci (doktorzy i profesorowie!) pytali mnie "kim Pan jest" i "kogo Pan reprezentuje".

Musiałem w końcu ujawnić, że jestem pasjonatem matematyki, który jest niejako spoza środowiska, ale ma ważne pomysły do przekazania. I mówiłem wprost, że chcę pokazać i opowiedzieć o tym czego brakuje w realnych warunkach szkolnych. Wszak nauczyciele szkolni zdają sobie sprawę, że między dydaktykami a nimi jest jeszcze zbyt duża odległość, aby nastąpiło nie tylko wzajemne porozumienie, ale przede wszystkim ścisła współpraca. A szkoda, bo mam nieodparte wrażenie, że obopólna współpraca i korzyści są jak najbardziej możliwe. Mam cichą nadzieję, że tym razem to właśnie ja mogłem być takim przekaźnikiem, który pokazywał, że naprawdę warto nieco bliżej podejść do realnych warunków szkolnych i nauczycieli tam uczących. Po co? Przede wszystkim po to, aby zobaczyć jakie są niezbędne warunki i elementy, które sprawią, że nauka matematyki proponowana przez dydaktyków ma szansę na realizację. Zwłaszcza, że nauczyciele mają setki realnych problemów z nauką matematyki, które można doskonale wykorzystać do badań. I mówiąc nauczyciele, mam na myśli osoby uczące jak i uczone matematyki. I to absolutnie na każdym szczeblu.

Wracamy do mojego wystąpienia. W skrócie mogę powiedzieć, że moje trwało zaledwie 30-35 minut. Pomimo tego bardzo krótkiego czasu prezentacji jestem ogromnie zadowolony, ponieważ przekazałem około 70% tego, co przygotowałem. I co szalenie istotne - moje wystąpienie spotkało się z naprawdę pozytywną reakcją! (a nawet sporym zaskoczeniem). Uważnie obserwowałem moich słuchaczy i wydaje mi się, że najbardziej identyfikowali się z moim przekazem nauczyciele raczej młodsi (szacuję, że było ich około 6-8, przy czym wszystkich uczestników konferencji było około 60). Jak bardzo młodzi? Myślę, że przede wszystkim ci w okolicach 30-35 roku życia. Z uwagi właśnie na swój wiek, czuję że to właśnie oni doskonale czują i rozumieją potrzebę tego, aby pracować z dziećmi za pomocą metod i narzędzi maksymalnie praktycznych i konkretnych. I tym bardziej cieszę się, że moje pomysły zostały przez nich szybko odebrane i w pełni zrozumiane.

Natomiast pokolenie starszych nauczycieli akademickich, dydaktyków i pracowników naukowych z pewnością zobaczyło, że pojawiło się "nowe i widoczne światełko w tunelu", na które warto z pewnością zwrócić uwagę. Oczywiście podkreślę wyraźnie, że badania naukowe są szalenie istotne, ale dopóki nie nastąpi "przejście na niższy poziom" z ofertą, którą realnie i praktycznie będą mogli wykorzystywać nauczyciele szkolni... tak długo dydaktyka matematyki będzie traktowana jako pewien "dopust boży dla wybrańców". A przecież wcale tak być nie musi - bez problemu można połączyć poważne naukowe badania i opracowania z tym w jaki sposób można je wdrażać na poziomie realnej nauki szkolnej. Uważny czytelnik musi zauważyć, że powtarzam wielokrotnie słowo "realna", aby dobitnie pokazać, że nauczyciele szkolni bardzo potrzebują pomocy i wsparcia. W czym? Przede wszystkim w tym w jaki praktyczny sposób należy wprowadzać różne zagadnienia, pojęcia oraz w jaki sposób uczyć myśleć dzieci i młodzież. Pamiętajmy bowiem, że nauczyciele szkolni mający co najmniej 40-45 lat, sami byli w latach szkolnych uczeni "niezbyt efektywnymi metodami i narzędziami". I jeśli nie nadrobili tych zaległości na studiach oraz w samodzielnej pracy dydaktycznej, to jest niezbyt duża szansa na to, że będą uczyli efektywnie, twórczo oraz rozwojowo. A ja mocno wierzę w to, że jest wielu nauczycieli, którzy bardzo pragną uczyć naprawdę świetnie i czerpać radość zarówno z tego jak sami siebie rozwijają, ale również z tego gdy widzą jak cudownie rozwijają się dzieci pod ich opieką merytoryczną. A jeśli już jesteśmy przy temacie tego, że nie zawsze szkoła oferuje optymalne warunki nauki, to dodam, że coraz więcej rodziców w ramach edukacji domowej... przygląda się temu w jaki sposób nauczać matematyki, w sposób głęboki, czyli rozwojowy.


Dość! Koniec! Wystarczy! Tyle tytułem opisu. Mam nadzieję, że ten niezbyt krótki zarys tego co dla mnie było istotne i wydarzyło się w ramach XXIX Szkoły Dydaktyki Matematyki, przekona wszystkich, że tego typu spotkania się ważne. Zwłaszcza jeśli będzie możliwość coraz głębszej współpracy z nauczycieli szkolnymi, którzy mają bardzo wiele do powiedzenia, ale muszą mieć okazję wyraźnie powiedzieć z jakimi problemami i wyzwaniami się zmagają, jak też mieć poczucie, że ktoś będzie chciał ich wysłuchać jak - a w niedalekiej przyszłości wspomóc oraz udzielić wsparcia.

W tym miejscu dziękuję Małgorzacie Zambrowskiej za nagranie mojego wystąpienia.

Dziękuję również organizatorom oraz wszystkim osobom, które ciepło przyjęły moje wystąpienie i zachęciły do dalszego zajmowania się tym co uważam za ważne, wartościowe i przy okazji niezbędne! Dość powiedzieć, że troje profesorów (podkreślę, że dla mnie to są przede wszystkim pasjonaci nauki, którym bardzo zależy na tym, aby matematyka była świetnie nauczana) zwróciło się do mnie z prośbą, abym nadal dzielił się tym co robię, tyle że na nieco większą skalę! Natomiast bardzo miłym i zarazem zaskakującym akcentem było to, że kilkoro młodszych nauczycieli stwierdziło, że prezentacja bardzo im się spodobała i niektórzy z nich również czytują artykuły na blogu bądź też śledzą moją aktywność (matematyczną) w ramach różnych grup społecznościowych związanych z ciekawym nauczaniem matematyki.


Zainteresowanych odsyłam do informacji na temat powyższej konferencji:
http://www.ur.edu.pl/wydzialy/matematyczno-przyrodniczy/konf/xxix-szkola-dydaktyki-matematyki

Przy okazji jest jeszcze mała niespodzianka dla tych, którzy wytrwali. Poniżej możliwość obejrzenia pierwszej i drugiej części mojego wystąpienia. Nie jest to całe wystąpienie, ale znaczna jego część. Dodam, że dobrze jest słuchać obu części wystąpienia w słuchawkach, aby mieć komfort tego co było przeze mnie powiedziane.


Pierwsza część mojego wystąpienia na konferencji Matematycznej (10m 46s).
MATMA JAKIEJ NIE ZNACIE - Tomasz Pintal - wystąpienie (cz.1) - Rzeszów 2019 - XXIX SDM

Druga część mojego wystąpienia na konferencji Matematycznej (10m 14s).
MATMA JAKIEJ NIE ZNACIE - Tomasz Pintal - wystąpienie (cz.2) - Rzeszów 2019 - XXIX SDM

Życzę dobrego dźwięku i miłych wrażeń w trakcie oglądania - MATMA JAKIEJ NIE ZNACIE!