Po napisaniu poprzednich pięciu części wydawało mi się, że koncepcja tego czym jest zarówno wspólna wielokrotność (NWW) i jak wspólny dzielnik (NWD)... jest już za nami. Okazuje się jednak, że to była tylko pierwsza warstwa, którą obrałem i pokazałem co jest głębiej. Pora zatem na odkrycie kolejnej z warstw, aby było to jeszcze bardziej zrozumiałe.
Szczerze mówiąc, to ten artykuł jest odpowiedzią na zapytanie pani Małgorzaty, która poprosiła mnie, abym wytłumaczył działanie algorytmu na mniejszych liczbach. Zwłaszcza, że dzieci (eksperci od sprawdzania tego na ile umiemy i rozumiemy dogłębnie dane zagadnienie) pod jej przewodnictwem zaczęły zadawać pytania, które pozornie są proste, ale przy bliższym spojrzeniu pokazują, że są one (odpowiedzi) dla nich kluczem do zrozumienia.
Przeanalizujemy cztery przypadki w których mamy do czynienia z koncepcją NWW. Na razie możemy uznać, że wszyscy dobrze rozumieją czym jest NWD i tutaj nie widzę konieczności wyjaśniania czegokolwiek.
Załóżmy, że chcemy znaleźć NWW (16,24). Co robimy? Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze w tabeli (16 = 2*2*2*2, zaś 24 = 2*2*2*3), a potem nanosimy je na dwa koła z wyróżnioną częścią wspólną. W ten sposób nie ma szans na pomylenie wartości NWW.
Przykład 1: NWW (120 i 180). Zobaczmy co będzie się działo dla liczb 120 i 180. Widzimy, że wspólna wielokrotność zostanie utworzona z rozkładu obu liczb w postaci dwóch kółek z częścią wspólną (60).
Przykład 2: NWW (256, 192). Iloczyn we wszystkich kółkach (NWW) to 768, zaś w iloczyn w oku (środkowej części) (NWD) to 64.
Przykład 3: NWW (240, 420). Iloczyn we wszystkich kółkach (NWW) to 1680, zaś w iloczyn w oku (środkowej części) (NWD) to 60.
Jak działa algorytm wyznaczania wspólnej wielokrotności (za każdym razem mam na myśli najmniejszą wspólną wielokrotność)?
Czym jest NWW? To najbliższy wspólny punkt w którym spotykają się dwie liczby. To najbliższa wspólna odległość (punkt) w którym spotykają się dwie osoby (liczby).
1) Obie liczby są pierwsze (automat).
Załóżmy, że mamy odcinki o długości 3cm i 5cm (jednostka może być dowolna, byle identyczna dla obu wartości). Pytanie jaki jest najbliższy punkt w którym oba z nich spotkają się dokładnie w tym samym miejscu? Okazuje się, że z uwagi na to, że zarówno 3 jak i 5 są liczbami pierwszymi, więc nie mają wspólnego dzielnika. Co wtedy? Otóż w takim przypadku wyznaczenie NWW polega na tym, aby położyć krótszych odcinków (3cm) tyle ile jest dłuższych (5), zaś dłuższych (5cm) tyle ile jest krótszych. Zatem rozwiązaniem jest 3x5 lub 5x3, czyli 15. W takim przypadku NWW jest wyznaczana zawsze poprzez iloczyn obu liczb. Dlaczego? Z uwagi na to, że obie liczby nie mają wielokrotności (części wspólnej).
2) Jedna liczba jest pierwsza, a druga jest złożona i jest jej wielokrotnością.
A co by się stało, gdybyśmy ten sam przykład chcieli rozwiązać dla odcinków 7cm i 21cm? Okazuje się wtedy, że dłuższy odcinek (21cm) mieści w sobie krótsze odcinki... bez reszty. Inaczej mówiąc liczba 21 jest wielokrotnością dla 7. W tym przypadku wystarczy położyć jeden dłuższy odcinek, a nad nim (albo pod nim) 3 odcinki krótsze, aby spotkały się ze sobą. W tego typu przypadku wystarczy sprawdzić czy większa liczba jest wielokrotnością mniejszej. Jeśli tak jest, wtedy większa z nich jest zarazem najmniejszą wielokrotnością dla obu z nich.
3) Obie liczby są złożone, zaś a druga jest zarazem wielokrotnością pierwszej.
Zastanówmy się teraz: czy będzie jakaś różnica jeśli obie liczby będą złożone - zaś druga jednocześnie będąc wielokrotnością pierwszej? Weźmy na przykład liczby 12 i 36 (obie parzyste) lub 9 i 27 (obie nieparzyste). Postępowanie jest identyczne jak w poprzednim przykładnie (7 i 21). Nadal nic się nie zmienia. Również nie byłoby różnicy w postępowaniu gdyby były to liczby złożone - nieparzysta i parzysta (9 i 36 albo 15 i 60).
Wniosek? Jeśli jedna z liczb jest wielokrotnością drugiej, wówczas nie ma znaczenia to czy są one pierwsze czy złożone, tak samo jak to czy obie są parzyste, nieparzyste czy też mieszane.
Dochodzimy zatem do sytuacji, która wymaga nieco innego podejścia i pewnej analizy, aby zrozumieć sens tego co się będzie działo przy wyznaczaniu wspólnej wielokrotności.
4) Żadna z liczb nie jest swoją wielokrotnością ani nie jest pierwsza
Weźmiemy na warsztat cztery przypadki. Jeśli uda nam się dobrze je wyjaśnić, wówczas jest bardzo duża szansa na to, że nastąpi pełne zrozumienie, a przynajmniej pogłębienie tego co dotychczas wiemy. Przyznam, że dopiero po kilku godzinach przeprowadzonych analiz, nastąpiło u mnie oświecenie. Przyznam, że wcześniej rozumiałem to na poziomie mechanicznym (obliczeniowym), ale nie do końca na poziomie struktury. Dlatego nie dziwię się dzieciom, że mogły nadal nie rozumieć istoty tego co robią, nawet jeśli poprawnie rozwiązywały zadania na NWW (zakładam, że NWD jest na tyle zrozumiałą koncepcją, że niemal wszyscy są w stanie bez problemu ją w pełni zrozumieć).
Przykład 1: NWW (16,24). Rozkładamy liczby na czynniki i wyznaczamy NWD.
16 = 2*2*2*2, zaś 24 = 2*2*2*3, zatem NWD = 2*2*2 = 8. W takim razie NWD (16,24) = 2*3*8 = 48
Przykład 2: NWW (120 i 180). Rozkładamy liczby na czynniki i wyznaczamy NWD.
120 = 2*2*2*3*5, zaś 180 = 2*2*3*3*5, zatem NWD = 2*2*3*5 = 60. W takim razie NWD (120,180) = 2*3*60 = 360
Przykład 3: NWW (240, 420). Rozkładamy liczby na czynniki i wyznaczamy NWD.
240 = 2*2*2*2*3*5, zaś 420 = 2*2*3*5*7, zatem NWD = 2*2*3*5 = 60. W takim razie NWD (240, 420) = 2*2*7*60 = 1680
Przykład 4: NWW (64, 768). Rozkładamy liczby na czynniki i wyznaczamy NWD.
64 = 2*2*2*2*2*2, zaś 768 = 2*2*2*2*2*2*2*2*3, zatem NWD = 2*2*2*2*2*2 = 64. W takim razie NWD (64,768) = 1*2*2*3*64 = 768
Najważniejszym odkryciem dla mnie jest to, że wyznaczenie NWW dla dwóch liczb wymaga znalezienia ich części wspólnej (tak, największego wspólnego dzielnika). Następnie ich najmniejsza wspólna wielokrotność powstaje poprzez iloczyn tego co pozostało z liczb A i B po "wycięciu" (A' i B') wspólnej części... i jednokrotnego pomnożenia przez część wspólną.
Być może brzmi to nieco tajemniczo, ale za chwilę powinno się to wszystko rozjaśnić.
Jaka byłaby wspólna wielokrotność dla odcinków 4 i 5? To proste - 20! A gdyby odcinki 4 i 5 w swoich jednostkach miały ukryte - zamiast długości w centymetrach... jeszcze inną wspólną liczbę? Wyobraźmy sobie odcinek składający się z 4 identycznych części, którego każda część składa się jeszcze z 3 (mniejszych). Tak samo pomyślmy o odcinku o długości 5 jednostek (załóżmy, że też ma w sobie w każdej jednostce 3 mniejsze części). I teraz mielibyśmy 4x3 oraz 5x3, czyli 12 i 15. Jaka byłaby ich wspólna wielokrotność? To proste. Wspólna część obu odcinków na razie znika i mamy odcinki o długości 4 i 5. Jeśli je pomnożymy przez siebie, będziemy mieli 20. A teraz pozostaje tylko to, aby ten odcinek jeszcze pomnożyć (rozciąć) na 3 mniejsze (część wspólna dla obu!) i mamy wynik 20 x3 = 60. Zatem NWW dla 12 i 15 to 60!
To jeszcze jeden przykład, aby zobaczyć, że ten sposób efektywnie działa na każdej liczbie - nie ważna jak dużej! Pierwsza liczba niechaj będzie taka: Liczba A: 150 = 2x3x5x5. Druga liczba natomiast będzie taka: Liczba B: 315 = 3x3x5x7.
Teraz zastanówmy się jaka jest część wspólna dla obu liczb (wszystkie identyczne czynniki w każdej z nich). Zarówno w pierwszej liczbie jak i w drugiej częścią wspólną jest 3x5 (15), prawda? A to, co pozostaje wtedy w każdej z nich, gdy wytniemy (zignorujemy) wspólną część? Liczba A' będzie teraz miała wartość 2x5 (10), zaś B' to 3x7 (21). Wyznaczamy teraz wspólną wielokrotność dla tych "obciętych" liczb (A' i B') a potem mnożymy przez część wspólną (NWD obu wyjściowych liczb). Dlatego końcowa wartość NWW dla 150 i 315 będzie wyglądać następująco: 10x21 x15 = 3150.
Jak wygląda algorytm wyznaczania NWW? Oto on:
1. Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze.
2. Zakreślamy w kółkach te same liczby (tyle samo razy!) w rozkładach obu liczb. Celem tego ćwiczenia jest znalezienie NWD.
3. W ten sposób znajdujemy NWD i już pierwsza część za nami.
4. Rysujemy dwa koła, które mają część wspólną (tak szeroką jak wiele jest identycznych czynników z rozkładu obu liczb).
5. Wpisujemy w środkową część (oko) identyczne liczby z rozkładu obu liczb (czyli NWD).
6. Zapisujemy pozostałe czynniki pierwszej liczby (A') w pozostałą część lewego koła, zaś pozostałe czynniki drugiej liczby (B') w prawą część koła.
7. Zapisujemy iloczyn czynników liczby A' i B' oraz części wspólnej (NWD).
8. Obliczamy wynik końcowy.
Co jest istotne w tym, aby wiedzieć (mieć pewność), że prawidłowo przeszliśmy cały proces rozumowania?
1. W części A' i B' nie może być identycznych czynników. Dlaczego? Bo gdyby takie były, wówczas muszą przejść do części środkowej (oko). Natomiast mogą być te same czynniki w środku koła (oku) i w lewym lub prawym kole.
2. Te same czynniki w rozkładzie liczb muszą być zakreślone tę samą liczbę razy. Przykładowo, gdy jedna z liczb to: (504) 2x2x2x3x3x7, zaś druga to (2940) 2x2x3x7x7x5, wtedy wspólne w obu liczbach są 2x2x3x7 (84).
3. NWD nie może być liczbą większą niż mniejsza z liczb wyjściowych. Przykładowo jeśli mamy liczby 16 i 24, to NWD nie może być większy niż 16. W takim wypadku mniejsza liczba nie mogłaby zostać rozłożona na czynniki, tak aby ją poprawnie wpisać w koło (lewe lub prawe). Wyjątkowo NWD może być równy liczbie mniejszej, gdy większa jest jej wielokrotnością (np. 16 i 48, wtedy NWD to 16).
Na koniec jeszcze mamy nietypową mini-sesję, która będzie składać się z pytań i odpowiedzi. Taka krótka sesja "Q&A" (Questions and Answers). W ten sposób mam nadzieję, że wszystkie elementy zaczną się lepiej łączyć z poprzednimi.
Q0: Dlaczego część wspólna (w oku - w części wspólnej obu kół) to takie same czynniki?
A0: Ponieważ przy rozbiciu obu liczb - te same czynniki (iloczyn) wyznaczają to czym jest NWD. A z uwagi na t że są takie same, to znaczy, że wspólne. A jak wspólne, to jednocześnie wpisujemy je w kole (oku) dla obu zbiorów.
Q1: Dlaczego do części wspólnej wkładamy takie same czynniki?
A1: Dlatego, że czynniki (iloczyn) wspólne w rozkładach obu liczb musi być ten sam - jako, że obszar środkowy kół A i B to te same czynniki (iloczyny) dla liczb A jak i B.
Q2: Czy NWW zaczynamy od znajdowania największego wspólnego dzielnika, który umieszczamy w części wspólnej?
A2: Jeśli mowa o metodzie kół dla dwóch liczb, to można w ten sposób to potraktować (zakładając, że albo szybko zrobimy rozkład liczb A i B na czynniki pierwsze albo w pamięci wyznaczymy wspólny dzielnik - zwłaszcza jak są to nieduże liczby).
Q3: Dlaczego do wyznaczenia NWW mnożymy NWD (część środkową - oko) przez czynniki/liczby, które zostają (w rozkładzie liczb A i B)?
A3: Dzieje się tak, ponieważ te liczby (czynniki), które pozostają w obu wyciętych częściach liczb A i B (A' i B') są liczbami pierwszymi, więc znalezienie wspólnej części dla nich (tak, ich "małego NWW"!) wymaga pomnożenia ich przez siebie. A potem rozszerzamy "małe NWW" przez NWD i nagle okazuje się, że znaleźliśmy wyjściowe NWW dla liczb początkowych.
Q4: Ile jest znanych i dobrych sposobów na wyznaczenie NWW - no i który z nich jest najlepszy?
A4: W zależności od tego jak liczyć i jak duże muszą być różnice, aby jeden sposób był inny od drugiego (wielkość i jakość różnic), to moim zdaniem możemy wyróżnić co najmniej CZTERY (tak, to nie pomyłka!) sposoby.
Q5: Czy jest jakikolwiek sposób wyznaczania NWW, który nie odnosi się bądź nie uwzględnia koncepcji NWD?
A5: Żaden ze znanych mi sposobów nie ma możliwości wyznaczenia NWW bez obejścia się (tj. wykorzystania) pomysłu związanego z NWD. Jedne z nich pokazują (stosują) to bezpośrednio, zaś inne w nieco ukrytej formie, ale wszystkie znane mi sposoby na NWW... wykorzystują koncepcję NWD.
Na koniec krótko omówię cztery sposoby (podejścia) wyznaczania NWW dla dwóch liczb.
NWW dla 36 (liczba A) i 120 (liczba B).
SPOSÓB pierwszy: mnożymy obie całe liczby, a potem dzielimy przez ich NWD. Czyli: 36*120/12=360
SPOSÓB drugi: mnożymy liczbę A' przez całą liczbę B. Czyli: 3*120 = 360
SPOSÓB trzeci: mnożymy liczbę B' przez całą liczbę A. Czyli: 10*36 = 360
SPOSÓB czwarty: mnożymy liczbę A' przez B' a potem przez NWD (środkową część - oko). W naszym przypadku będzie to takie działanie: 3* 2*5 *2*2*3 = 3*10 *12 = 360.
Osobiście do wyznaczania NWW (dla dwóch liczb) stosuję ostatni sposób (czwarty), ponieważ jest najbardziej logiczny dla mnie i najłatwiejszy do wyjaśnienia i zrozumienia. Być może na rysunkach będzie łatwiej zrozumieć to co mam do przekazania. Jedno czego jestem pewien to fakt, że trzeba poświęcić odrobinę czasu, aby zrozumieć istotę tego zagadnienia. Warto to zrobić w taki sposób, aby również dzieci miały możliwość sprawdzenia tej koncepcji na realnych obiektach (liczmanach).
Szczerze mówiąc, to ten artykuł jest odpowiedzią na zapytanie pani Małgorzaty, która poprosiła mnie, abym wytłumaczył działanie algorytmu na mniejszych liczbach. Zwłaszcza, że dzieci (eksperci od sprawdzania tego na ile umiemy i rozumiemy dogłębnie dane zagadnienie) pod jej przewodnictwem zaczęły zadawać pytania, które pozornie są proste, ale przy bliższym spojrzeniu pokazują, że są one (odpowiedzi) dla nich kluczem do zrozumienia.
Przeanalizujemy cztery przypadki w których mamy do czynienia z koncepcją NWW. Na razie możemy uznać, że wszyscy dobrze rozumieją czym jest NWD i tutaj nie widzę konieczności wyjaśniania czegokolwiek.
Załóżmy, że chcemy znaleźć NWW (16,24). Co robimy? Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze w tabeli (16 = 2*2*2*2, zaś 24 = 2*2*2*3), a potem nanosimy je na dwa koła z wyróżnioną częścią wspólną. W ten sposób nie ma szans na pomylenie wartości NWW.
Przykład 1: NWW (120 i 180). Zobaczmy co będzie się działo dla liczb 120 i 180. Widzimy, że wspólna wielokrotność zostanie utworzona z rozkładu obu liczb w postaci dwóch kółek z częścią wspólną (60).
Przykład 2: NWW (256, 192). Iloczyn we wszystkich kółkach (NWW) to 768, zaś w iloczyn w oku (środkowej części) (NWD) to 64.
Przykład 3: NWW (240, 420). Iloczyn we wszystkich kółkach (NWW) to 1680, zaś w iloczyn w oku (środkowej części) (NWD) to 60.
Jak działa algorytm wyznaczania wspólnej wielokrotności (za każdym razem mam na myśli najmniejszą wspólną wielokrotność)?
Czym jest NWW? To najbliższy wspólny punkt w którym spotykają się dwie liczby. To najbliższa wspólna odległość (punkt) w którym spotykają się dwie osoby (liczby).
1) Obie liczby są pierwsze (automat).
Załóżmy, że mamy odcinki o długości 3cm i 5cm (jednostka może być dowolna, byle identyczna dla obu wartości). Pytanie jaki jest najbliższy punkt w którym oba z nich spotkają się dokładnie w tym samym miejscu? Okazuje się, że z uwagi na to, że zarówno 3 jak i 5 są liczbami pierwszymi, więc nie mają wspólnego dzielnika. Co wtedy? Otóż w takim przypadku wyznaczenie NWW polega na tym, aby położyć krótszych odcinków (3cm) tyle ile jest dłuższych (5), zaś dłuższych (5cm) tyle ile jest krótszych. Zatem rozwiązaniem jest 3x5 lub 5x3, czyli 15. W takim przypadku NWW jest wyznaczana zawsze poprzez iloczyn obu liczb. Dlaczego? Z uwagi na to, że obie liczby nie mają wielokrotności (części wspólnej).
2) Jedna liczba jest pierwsza, a druga jest złożona i jest jej wielokrotnością.
A co by się stało, gdybyśmy ten sam przykład chcieli rozwiązać dla odcinków 7cm i 21cm? Okazuje się wtedy, że dłuższy odcinek (21cm) mieści w sobie krótsze odcinki... bez reszty. Inaczej mówiąc liczba 21 jest wielokrotnością dla 7. W tym przypadku wystarczy położyć jeden dłuższy odcinek, a nad nim (albo pod nim) 3 odcinki krótsze, aby spotkały się ze sobą. W tego typu przypadku wystarczy sprawdzić czy większa liczba jest wielokrotnością mniejszej. Jeśli tak jest, wtedy większa z nich jest zarazem najmniejszą wielokrotnością dla obu z nich.
3) Obie liczby są złożone, zaś a druga jest zarazem wielokrotnością pierwszej.
Zastanówmy się teraz: czy będzie jakaś różnica jeśli obie liczby będą złożone - zaś druga jednocześnie będąc wielokrotnością pierwszej? Weźmy na przykład liczby 12 i 36 (obie parzyste) lub 9 i 27 (obie nieparzyste). Postępowanie jest identyczne jak w poprzednim przykładnie (7 i 21). Nadal nic się nie zmienia. Również nie byłoby różnicy w postępowaniu gdyby były to liczby złożone - nieparzysta i parzysta (9 i 36 albo 15 i 60).
Wniosek? Jeśli jedna z liczb jest wielokrotnością drugiej, wówczas nie ma znaczenia to czy są one pierwsze czy złożone, tak samo jak to czy obie są parzyste, nieparzyste czy też mieszane.
Dochodzimy zatem do sytuacji, która wymaga nieco innego podejścia i pewnej analizy, aby zrozumieć sens tego co się będzie działo przy wyznaczaniu wspólnej wielokrotności.
4) Żadna z liczb nie jest swoją wielokrotnością ani nie jest pierwsza
Weźmiemy na warsztat cztery przypadki. Jeśli uda nam się dobrze je wyjaśnić, wówczas jest bardzo duża szansa na to, że nastąpi pełne zrozumienie, a przynajmniej pogłębienie tego co dotychczas wiemy. Przyznam, że dopiero po kilku godzinach przeprowadzonych analiz, nastąpiło u mnie oświecenie. Przyznam, że wcześniej rozumiałem to na poziomie mechanicznym (obliczeniowym), ale nie do końca na poziomie struktury. Dlatego nie dziwię się dzieciom, że mogły nadal nie rozumieć istoty tego co robią, nawet jeśli poprawnie rozwiązywały zadania na NWW (zakładam, że NWD jest na tyle zrozumiałą koncepcją, że niemal wszyscy są w stanie bez problemu ją w pełni zrozumieć).
Przykład 1: NWW (16,24). Rozkładamy liczby na czynniki i wyznaczamy NWD.
16 = 2*2*2*2, zaś 24 = 2*2*2*3, zatem NWD = 2*2*2 = 8. W takim razie NWD (16,24) = 2*3*8 = 48
Przykład 2: NWW (120 i 180). Rozkładamy liczby na czynniki i wyznaczamy NWD.
120 = 2*2*2*3*5, zaś 180 = 2*2*3*3*5, zatem NWD = 2*2*3*5 = 60. W takim razie NWD (120,180) = 2*3*60 = 360
Przykład 3: NWW (240, 420). Rozkładamy liczby na czynniki i wyznaczamy NWD.
240 = 2*2*2*2*3*5, zaś 420 = 2*2*3*5*7, zatem NWD = 2*2*3*5 = 60. W takim razie NWD (240, 420) = 2*2*7*60 = 1680
Przykład 4: NWW (64, 768). Rozkładamy liczby na czynniki i wyznaczamy NWD.
64 = 2*2*2*2*2*2, zaś 768 = 2*2*2*2*2*2*2*2*3, zatem NWD = 2*2*2*2*2*2 = 64. W takim razie NWD (64,768) = 1*2*2*3*64 = 768
Najważniejszym odkryciem dla mnie jest to, że wyznaczenie NWW dla dwóch liczb wymaga znalezienia ich części wspólnej (tak, największego wspólnego dzielnika). Następnie ich najmniejsza wspólna wielokrotność powstaje poprzez iloczyn tego co pozostało z liczb A i B po "wycięciu" (A' i B') wspólnej części... i jednokrotnego pomnożenia przez część wspólną.
Być może brzmi to nieco tajemniczo, ale za chwilę powinno się to wszystko rozjaśnić.
Jaka byłaby wspólna wielokrotność dla odcinków 4 i 5? To proste - 20! A gdyby odcinki 4 i 5 w swoich jednostkach miały ukryte - zamiast długości w centymetrach... jeszcze inną wspólną liczbę? Wyobraźmy sobie odcinek składający się z 4 identycznych części, którego każda część składa się jeszcze z 3 (mniejszych). Tak samo pomyślmy o odcinku o długości 5 jednostek (załóżmy, że też ma w sobie w każdej jednostce 3 mniejsze części). I teraz mielibyśmy 4x3 oraz 5x3, czyli 12 i 15. Jaka byłaby ich wspólna wielokrotność? To proste. Wspólna część obu odcinków na razie znika i mamy odcinki o długości 4 i 5. Jeśli je pomnożymy przez siebie, będziemy mieli 20. A teraz pozostaje tylko to, aby ten odcinek jeszcze pomnożyć (rozciąć) na 3 mniejsze (część wspólna dla obu!) i mamy wynik 20 x3 = 60. Zatem NWW dla 12 i 15 to 60!
To jeszcze jeden przykład, aby zobaczyć, że ten sposób efektywnie działa na każdej liczbie - nie ważna jak dużej! Pierwsza liczba niechaj będzie taka: Liczba A: 150 = 2x3x5x5. Druga liczba natomiast będzie taka: Liczba B: 315 = 3x3x5x7.
Teraz zastanówmy się jaka jest część wspólna dla obu liczb (wszystkie identyczne czynniki w każdej z nich). Zarówno w pierwszej liczbie jak i w drugiej częścią wspólną jest 3x5 (15), prawda? A to, co pozostaje wtedy w każdej z nich, gdy wytniemy (zignorujemy) wspólną część? Liczba A' będzie teraz miała wartość 2x5 (10), zaś B' to 3x7 (21). Wyznaczamy teraz wspólną wielokrotność dla tych "obciętych" liczb (A' i B') a potem mnożymy przez część wspólną (NWD obu wyjściowych liczb). Dlatego końcowa wartość NWW dla 150 i 315 będzie wyglądać następująco: 10x21 x15 = 3150.
Jak wygląda algorytm wyznaczania NWW? Oto on:
1. Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze.
2. Zakreślamy w kółkach te same liczby (tyle samo razy!) w rozkładach obu liczb. Celem tego ćwiczenia jest znalezienie NWD.
3. W ten sposób znajdujemy NWD i już pierwsza część za nami.
4. Rysujemy dwa koła, które mają część wspólną (tak szeroką jak wiele jest identycznych czynników z rozkładu obu liczb).
5. Wpisujemy w środkową część (oko) identyczne liczby z rozkładu obu liczb (czyli NWD).
6. Zapisujemy pozostałe czynniki pierwszej liczby (A') w pozostałą część lewego koła, zaś pozostałe czynniki drugiej liczby (B') w prawą część koła.
7. Zapisujemy iloczyn czynników liczby A' i B' oraz części wspólnej (NWD).
8. Obliczamy wynik końcowy.
Co jest istotne w tym, aby wiedzieć (mieć pewność), że prawidłowo przeszliśmy cały proces rozumowania?
1. W części A' i B' nie może być identycznych czynników. Dlaczego? Bo gdyby takie były, wówczas muszą przejść do części środkowej (oko). Natomiast mogą być te same czynniki w środku koła (oku) i w lewym lub prawym kole.
2. Te same czynniki w rozkładzie liczb muszą być zakreślone tę samą liczbę razy. Przykładowo, gdy jedna z liczb to: (504) 2x2x2x3x3x7, zaś druga to (2940) 2x2x3x7x7x5, wtedy wspólne w obu liczbach są 2x2x3x7 (84).
3. NWD nie może być liczbą większą niż mniejsza z liczb wyjściowych. Przykładowo jeśli mamy liczby 16 i 24, to NWD nie może być większy niż 16. W takim wypadku mniejsza liczba nie mogłaby zostać rozłożona na czynniki, tak aby ją poprawnie wpisać w koło (lewe lub prawe). Wyjątkowo NWD może być równy liczbie mniejszej, gdy większa jest jej wielokrotnością (np. 16 i 48, wtedy NWD to 16).
Na koniec jeszcze mamy nietypową mini-sesję, która będzie składać się z pytań i odpowiedzi. Taka krótka sesja "Q&A" (Questions and Answers). W ten sposób mam nadzieję, że wszystkie elementy zaczną się lepiej łączyć z poprzednimi.
Q0: Dlaczego część wspólna (w oku - w części wspólnej obu kół) to takie same czynniki?
A0: Ponieważ przy rozbiciu obu liczb - te same czynniki (iloczyn) wyznaczają to czym jest NWD. A z uwagi na t że są takie same, to znaczy, że wspólne. A jak wspólne, to jednocześnie wpisujemy je w kole (oku) dla obu zbiorów.
Q1: Dlaczego do części wspólnej wkładamy takie same czynniki?
A1: Dlatego, że czynniki (iloczyn) wspólne w rozkładach obu liczb musi być ten sam - jako, że obszar środkowy kół A i B to te same czynniki (iloczyny) dla liczb A jak i B.
Q2: Czy NWW zaczynamy od znajdowania największego wspólnego dzielnika, który umieszczamy w części wspólnej?
A2: Jeśli mowa o metodzie kół dla dwóch liczb, to można w ten sposób to potraktować (zakładając, że albo szybko zrobimy rozkład liczb A i B na czynniki pierwsze albo w pamięci wyznaczymy wspólny dzielnik - zwłaszcza jak są to nieduże liczby).
Q3: Dlaczego do wyznaczenia NWW mnożymy NWD (część środkową - oko) przez czynniki/liczby, które zostają (w rozkładzie liczb A i B)?
A3: Dzieje się tak, ponieważ te liczby (czynniki), które pozostają w obu wyciętych częściach liczb A i B (A' i B') są liczbami pierwszymi, więc znalezienie wspólnej części dla nich (tak, ich "małego NWW"!) wymaga pomnożenia ich przez siebie. A potem rozszerzamy "małe NWW" przez NWD i nagle okazuje się, że znaleźliśmy wyjściowe NWW dla liczb początkowych.
Q4: Ile jest znanych i dobrych sposobów na wyznaczenie NWW - no i który z nich jest najlepszy?
A4: W zależności od tego jak liczyć i jak duże muszą być różnice, aby jeden sposób był inny od drugiego (wielkość i jakość różnic), to moim zdaniem możemy wyróżnić co najmniej CZTERY (tak, to nie pomyłka!) sposoby.
Q5: Czy jest jakikolwiek sposób wyznaczania NWW, który nie odnosi się bądź nie uwzględnia koncepcji NWD?
A5: Żaden ze znanych mi sposobów nie ma możliwości wyznaczenia NWW bez obejścia się (tj. wykorzystania) pomysłu związanego z NWD. Jedne z nich pokazują (stosują) to bezpośrednio, zaś inne w nieco ukrytej formie, ale wszystkie znane mi sposoby na NWW... wykorzystują koncepcję NWD.
Na koniec krótko omówię cztery sposoby (podejścia) wyznaczania NWW dla dwóch liczb.
NWW dla 36 (liczba A) i 120 (liczba B).
SPOSÓB pierwszy: mnożymy obie całe liczby, a potem dzielimy przez ich NWD. Czyli: 36*120/12=360
SPOSÓB drugi: mnożymy liczbę A' przez całą liczbę B. Czyli: 3*120 = 360
SPOSÓB trzeci: mnożymy liczbę B' przez całą liczbę A. Czyli: 10*36 = 360
SPOSÓB czwarty: mnożymy liczbę A' przez B' a potem przez NWD (środkową część - oko). W naszym przypadku będzie to takie działanie: 3* 2*5 *2*2*3 = 3*10 *12 = 360.
Osobiście do wyznaczania NWW (dla dwóch liczb) stosuję ostatni sposób (czwarty), ponieważ jest najbardziej logiczny dla mnie i najłatwiejszy do wyjaśnienia i zrozumienia. Być może na rysunkach będzie łatwiej zrozumieć to co mam do przekazania. Jedno czego jestem pewien to fakt, że trzeba poświęcić odrobinę czasu, aby zrozumieć istotę tego zagadnienia. Warto to zrobić w taki sposób, aby również dzieci miały możliwość sprawdzenia tej koncepcji na realnych obiektach (liczmanach).
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz
Jeśli chcesz, aby twoja wiadomość nie została odrzucona przez system jako spam (usunięte), to podpisz się swoim imieniem lub pseudonimem. Dziękuję :)