Nie tylko potęgi kwadratowe i sześcienne są podobne i wymienne

... lecz przy okazji są naprawdę przydatne i zarazem cenne!

W procesie nauki na poziomie szkoły średniej pojawiają się pewne wartości (liczby), które warto znać. Występują one na tyle często, że ich znajomość przynosi większą płynność podczas rozwiązywania zadań. To z kolei przekłada się na lepsze ich zrozumienie, gdyż umysł nie jest przeciążony nadmiernymi obliczeniami rachunkowymi.

Od dłuższego czasu zastanawiałem się nad tym jakie wartości związane z potęgami kwadratowymi i sześciennymi (drugiego i trzeciego stopnia) warto znać. Okazuje się, że w praktyce jest ich zaledwie około 50-60. Dlaczego akurat te liczby są tak istotne? Otóż powód jest prosty: występują one stosunkowo najczęściej, gdyż dobrze widać na nich różne matematyczne sztuczki dzięki którym nie jest konieczne liczenie wszystkiego na piechotę. Chodzi o to, aby używając matematycznych wzorów i logicznych reguł, przekształcać w taki sposób dane wyrażenie, aby dojść do celu (wyniku) jak najkrótszą i zarazem najprostszą drogą.

Poniżej mamy właśnie tę magiczną tabelę, która powinna zostać zapisana w pamięci naszego umysłu (na naszym wewnętrznym dysku). Dzięki temu ćwiczenia związane z potęgami oraz procesem potęgowania będą przebiegały znacznie płynniej.

W jakiej kolejności należy się uczyć tej tabeli? Każdy może samodzielnie o tym zdecydować - w zależności od tego, które wartości będą mu potrzebne. Ja uczę się tego w ten sposób:

1. Najpierw pionowa kolumna dla wartości drugiej potęgi. Począwszy od wyniku 4, a kończąc na 400.
2. Następnie poziomy wierszy dla wartości liczby 2. I zaczynamy od 4 i kończymy na 1024.
3. Później to samo (poziomy wiersz) dla liczby 3.
4. Dalsza nauka dla liczby 4 - przy czym wystarczy do wartości 4096.
5. Potem już z górki, bo to samo dla liczby od 5 do 9.

I na sam koniec - jak już wszystkie pozostałe wartości są naprawdę bardzo dobrze opanowane - można zająć się kolumną zaznaczoną na fioletowo. Są to wartości trzeciej potęgi dla liczb od 11 do 20.

Z mojego doświadczenia i analiz zadań wynika, że opanowanie tych wartości jest wystarczające, aby płynnie rozwiązywać około 90-95% zadań w których konieczne jest odtworzenie wyniku. Znacznie bardziej istotne będzie znajdowanie relacji między tymi wynikami, bo to bardzo mocno przyspieszy nam proces dojścia do celu.

A gdyby z tej tabeli jeszcze wybrać absolutnie najważniejsze liczby, których opanowanie jest niezbędne? Moim zdaniem wystarczy opuścić naukę fioletowych liczb oraz wartości dla 7 i 8 potęgi liczby 3 i 4 (są nimi odpowiednio: 2187, 6561 i 16384, 65536). I dzięki temu mamy zaledwie 50 liczb, które dadzą nam płynność w liczeniu. Można to potraktować jako poszerzoną tabliczkę mnożenia, która obowiązuje aż do ukończenia nauki na poziomie szkoły średniej. Tylko tyle... i aż tyle!

Tak naprawdę biegłość (mistrzostwo) w potęgach będzie polegała na tym, aby szybko i poprawnie rozbijać wartości na mniejsze potęgi. Jeśli wiemy potęgą jakiej liczby jest dana wartość, wówczas przekształcenia będą leciały z prędkością pocisku wystrzelonego z karabinu maszynowego.

I na koniec małe co nieco. Dobrym pomysłem jest przećwiczenie tabeli, tak więc zalecana karta pracy do sprawdzenia siebie.

Po małej rozgrzewce można spróbować sił w zadaniach dotyczących działań na potęgach. Pozornie wyglądają groźnie, ale w praktyce wystarczy porozbijać liczby na takie w których podstawa potęgi będzie jednakowa i przy dalszym obliczaniu zastosować dwa magiczne wzory (mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach). Jest to dużo prostsze niż się na początku wydaje, ale tak jak inne matematyczne zagadnienia - zrozumienie wymaga przećwiczenia.

 
Przy okazji dla tych, którzy chcą nieco więcej przykładów - polecam darmowy rozdział o potęgach i pierwiastkach. Dodam, że powyższe przykłady pochodzą z książki: Na dobry start do liceum. Zadania (autor Piotr Drozdowski, wydawnictwo Pazdro). https://pazdro.com.pl/matematyka,295

Podsumowanie: nauka pamięciowa pewnych wartości jest konieczna, aby proces obliczeń przebiegał płynnie, poprawnie i szybko. Dzięki temu łatwiej będzie również przy nauce pierwiastków, ponieważ wystarczy odwrócić kierunek działania, aby otrzymać pierwiastek kwadratowy (drugiego stopnia) z danej liczby. A jeśli dodamy do tego potęgi wyższych stopni, wówczas będziemy mogli wyciągać (i rozumieć) pierwiastki na kolejnych poziomach.

Warto zaznaczyć, że konieczna jest praktyka, tak aby dobrze utrwalić materiał i być w stanie zauważać coraz więcej relacji między liczbami. To sprawi, że nasza nauka będzie coraz bardziej efektywna i kolejne tematy będą mogły jeszcze lepiej wplatać się w nasz system.