NWW i NWD - co o tym wiemy oraz z czym to się je (4)

Zanim przystąpimy do zadań związanych z wielokrotnością oraz dzielnikiem, to najpierw proponuję przyjrzeć się czemuś, co pozornie wszyscy robią, ale jakby nikt głośno i wyraźnie o tym nie mówi. To tak jakbyśmy wszyscy mieli okulary, ale nikt z nich ich nie czuł na własnym nosie i mógł zobaczyć ich w lustrze.

Wszyscy już doskonale wiemy, że NWW to najmniejsza wspólna wielokrotność. Czemu najmniejsza? Otóż dlatego, że największa nie istnieje! Jeśli znajdziemy najmniejszą wspólną wielokrotność, to potem mnożenie jej przez 2, 3, 4, 5 i tak w nieskończoność będzie pokazywało kolejne coraz większe wielokrotności. Stąd właśnie potrzeba znalezienia tej najmniejszej to najwcześniejszej.

No dobrze. Jednak pytanie w jakim celu ją wykorzystujemy?

NWW zawsze stosujemy, gdy chcemy określić wspólny mianownik dla ułamków, które mają różne mianowniki. Bez tego nie sposób ani dodawać ani odejmować ułamki, które nie mają wspólnego mianownika.

I teraz mamy 3 przypadki:

1) Mianowniki obu ułamków to liczby pierwsze.

Co wówczas? Wtedy NWW będzie po prostu ich iloczynem.

Przykładem niech będą ułamki 2/5 i 3/7. Mamy części piąte i siódme, więc obie są liczbami pierwszymi, zatem mnożymy je przez siebie: 5*7=35. I teraz, gdy mamy już wspólny mianownik, to po ich rozszerzeniu możemy już dodać bądź odjąć je od siebie.

2) Mianowniki jednego ułamka to liczba pierwsza, zaś drugiego - złożona.

W takim wypadku również musimy postąpić jak w poprzednim wypadku, ponieważ nie mają one wspólnych czynników (można to sprawdzić w rozkładzie na czynniki pierwsze).

Przykład to 3/7 + 7/12. Ustalamy wspólny mianownik jako mnożenie obu mianowników 7*12=84. Reszta identyczna jak powyżej.

3) Mianowniki obu ułamków to liczby złożone.

Wyznaczymy NWW dla dwóch liczb (mianowników).

Załóżmy, że chcemy znaleźć NWW (16,24). Co robimy? Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze w tabeli (16 = 2*2*2*2, zaś 24 = 2*2*2*3), a potem nanosimy je na dwa koła z wyróżnioną częścią wspólną. W ten sposób nie ma szans na pomylenie wartości NWW.

Zaznaczamy w obu liczbach wspólne czynniki (najlepiej wziąć je w kółeczka), a potem wpisujemy je w środkową część obu kół ("rybka"). I w jednym z kół dopełniamy pozostałe czynniki rozkładu, zaś w drugim - odpowiednio też te pozostałe.

I teraz zawartość wszystkich liczb w obu kołach (razem z liczbami w środku obu kół, czyli w naszej rybce) to nasza najmniejsza wspólna wielokrotność. Prawda, że proste?

Zerknijmy na kolejny obrazek i zobaczmy co będzie się działo dla liczb 120 i 180. Widzimy, że wspólna wielokrotność zostanie utworzona z rozkładu obu liczb w postaci dwóch kółek z częścią wspólną. Przy okazji za chwilę omówimy największy ich dzielnik, ale wprawne oko już może zobaczyć "wspólną rybkę", prawda?

Ciekawa koncepcja rybki i śmiesznych (dziwnych) okularów... jest warta co najmniej kilkuset dolarów!

Jest jeszcze jedna istotna sprawa (przypomnienie z części pierwszej). Zapamiętajmy, że najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) niemal zawsze jest liczbą większą aniżeli obie badane. Wyjątkiem jest sytuacja w której jedna z liczb jest wielokrotnością drugiej (np. 36 dla 12 czy też 252 dla 126). Wówczas ta większa zawsze stanowi NWW dla obu z nich (a ta mniejsza to przy okazji NWD). I nie ma wówczas znaczenia czy są to liczby pierwsze czy też złożone. I właśnie dlatego dla takich par liczb jak chociażby 15 i 45, 8 i 24, 20 i 60, 17 i 51, 13 i 39... z automatu ta większa liczba to nasza najmniejsza wspólna wielokrotność.

Warto o tym pamiętać, aby nie musieć niepotrzebnie tracić czasu i energii. Jeśli rozrysujemy sobie dowolną z par (zachęcam do tego), to zobaczymy, że w jednym z kół będzie jakaś liczba, a druga część koła (część poza rybką) pozostanie pusta. I jak już wiemy, wymnożenie wszystkich części w tym wypadku będzie polegało na zapisaniu jedynie tej większej liczby (wielokrotności tej wspólnej części w naszej "rybce").

Proste spojrzenie na kółka lub też nasza rybka... i wiemy już wszystko - bo NWW i NWD to pestka! Iloczyn we wszystkich kółkach (NWW) to 1680, zaś w iloczyn w rybce (NWD) to 60.

Proste spojrzenie na kółka lub też nasza rybka... i wiemy już wszystko - bo NWW i NWD to pestka! Iloczyn we wszystkich kółkach (NWW) to 768, zaś w iloczyn w rybce (NWD) to 64.

Kolej na drugą koncepcję, czyli NWD - jak doskonale pamiętamy jest to największy wspólny dzielnik. Pojawia się kolejne pytanie: w jakim celu wykorzystujemy tę koncepcję? Otóż najprościej mówiąc, najczęściej wykorzystujemy do skracania ułamków, czyli jednoczesnego dzielenia licznika i mianownika przez największą możliwą liczbę (dla obu z nich tę samą). Po takim procesie ułamek zawsze będzie miał formę nieskracalną.

Zobaczmy kilka prostych przykładów.

Jaką nieskracalną postać będą miały następujące ułamki po skróceniu przez największy dzielnik? Weźmy na warsztat takie oto ułamki: 240/420, 192/256 oraz 20/160?

I znowu wykonujemy następujące kroki - czyli określamy NWD dla obu liczb (licznika i mianownika). W jaki sposób? Oto moja recepta!

1) Robimy rozkład na czynniki pierwsze dla obu liczb (w mini-tabelach).

2) Zaznaczamy w obu liczbach wspólne czynniki (najlepiej wziąć je w kółeczka), a potem wpisujemy je w środkową część obu kół (nasza mała "rybka"). I w jednym z kół dopełniamy pozostałe czynniki rozkładu, zaś w drugim - odpowiednio też te pozostałe.

3) Obliczamy iloczyn wszystkich liczb w środkowej części obu kół (czyli w rybce - patrz dwa, trzy bądź nawet cztery poprzednie rysunki wyżej). Po jego obliczeniu już wiemy jaki będzie nasz największy wspólny dzielnik (można narysować strzałkę od rybki poniżej i zapisać wartość, aby nie zapomnieć).

4) Dzielimy nasz ułamek przez JEDEN, ale w takiej postaci, aby zarówno w liczniku jak i mianowniku była identyczna wartość NWD (tak, dokładnie ta którą przed chwilą obliczyliśmy).

5) Wykonujemy dzielenie licznika i mianownika (w poziomie) i wpisujemy końcowy wynik w postaci ułamka nieskracalnego.

EDIT: [AKTUALIZACJA] drobna poprawka - na powyższej tablicy za każdym razem zamiast NWW ma być oczywście NWD (chodzi o ostatnie dwa podpisy ułamków)

Pamiętajmy, że tak naprawdę skracanie, to sprytne dzielenie przez jeden, ale nasza jedynka zostaje zapisana poprzez ułamek o wartości NWD zarówno w liczniku jak i w mianowniku. Dzięki temu zmienia się forma, ale nie zmienia się wartość? Jak to zrozumieć? Otóż zmienia się to, że zamiast dwóch monet po 5 złotych mamy jeden banknot 10-złotowy, ale wartość była i nadal jest identyczna, prawda? No to właśnie o to chodziło! :). Mam nadzieję, że teraz jest to jasne jak słońce.

Dodam jeszcze, że większość bardziej zaawansowanych matematycznie dzieci robi operacje skracania (podobnie jak i rozszerzania) automatycznie. Ja natomiast rozebrałem to na czynniki pierwsze, stąd wrażenie, że to wszystko może wydać się albo złożone albo wręcz trudne. W praktyce do uzyskania biegłości wymagana jest tylko dobra umiejętność mnożenia i dzielenia. Reszta to tylko podążanie właściwą drogą (podanym sposobem).

Podsumowanie: jeśli mamy konieczność skrócenia ułamka, wówczas znajdujemy dla licznika i mianownika "rybkę", czyli to co jest wspólne dla obu liczb i co możemy "wykroić" z nich jednocześnie. Jeśli wykroimy jak najwięcej, wówczas nie będzie już trzeba nic dodatkowo obrabiać. Stąd właśnie największy (maksymalny) wspólny dzielnik - w skrócie NWD.

Natomiast w przypadku, gdy chcemy znaleźć wspólną część (mianownik), która będzie pozwalała nam na to, aby odejmować lub dodawać ułamki, wówczas z pomocą przychodzi nam poszukiwanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW) - czyli iloczynu pełnych dwóch kół (wraz z "rybką" w środku pomiędzy nimi). Jak ktoś chce to może to nazwać poszukiwaniem (iloczynu) okularów czy w jeszcze inny sposób (patrz wierszyk poniżej). Ważne, aby obie koncepcje były zrozumiałe, ponieważ w zadaniach praktycznych będzie to ułatwiało i przyspieszało zarówno zrozumienie jak i obliczenia.

Przy okazji jeśli ktoś jest nadal absolutnie przekonany, że ta koncepcja jest nie do opanowania (zrozumienia) dla dzieci 7-8 letnich, to spróbuję wprowadzić w stan drobnej niepewności (czy chociażby refleksji). Proszę dać dzieciom do zapamiętania taki oto przykładowy wierszyk:

NWD - poszukujesz max-dzielnika, oblicz (wyznacz) rybkę z pojemnika ("Gdy chcesz wyznaczyć max-dzielnika, to uratuj rybkę z pojemnika")

NWW - wspólna wielokrotność to nie czary-mary, narysuj dwa kółka i znajdź (oblicz) okulary! ("... rysujesz dwa kółka i masz okulary!")

Mam nadzieję, że w następnej odsłonie uda nam się w końcu przejść do zadań praktycznych. Nieskromnie dodam, że kompletnie nie podejrzewałem, że ten temat będzie wymagał więcej niż 2-3 odcinków. Niemniej wychodzi na to, że temat chyba wart jest docenienia, bo często jest pomijany lub realizowany od niechcenia. A ja nie sądzę, że zgłębiając go bardziej... mamy cokolwiek do stracenia!

Mnożenie hinduskie jest ciekawe bo gwarantuje dzieciom radość i zabawę

Często zastanawiam się co by się stało, gdyby 9-letnie dzieci mogły bez problemu realizować to co ich koledzy w klasie 4 czy nawet 5. Co to takiego? Otóż jest to mnożenie liczb 3, 4 czy 5 cyfrowych przez podobne liczby. Zwykle unika się tematu związanego z mnożeniem 564 przez 2754, argumentując, że Jasiu, Basia czy Agatka jest jeszcze zbyt mała i nie poradzi sobie z mnożeniem pisemnym. A ja wtedy pytam: a gdyby tak Agatka już dość dobrze umiała tabliczkę mnożenia, to czy mogłaby zająć się mnożeniem takich liczb i do tego w sposób, który będzie przypominał ciekawą zabawę i dawał satysfakcję z tego, że potrafi wykonać równie prawidłowo jak jej kalkulator? No właśnie! Dlatego chcę się podzielić czymś, czego osobiście nigdy nie byłem uczony i nikt mi tego nie pokazywał. Co to takiego? Za chwilę odkryję karty na stół...

Gdy już dzieci nauczą się płynnie tabliczki mnożenia, wówczas przychodzi kolej na mnożenie liczb wielocyfrowych. Najpierw są to wartości w zakresie od 200 do 1000, ale potem już pojawiają się liczby (wyniki) co najmniej czterocyfrowe. Tradycyjny sposób mnożenia jest dobrym rozwiązaniem, ale przy uczniach o słabszej pamięci i umiejętnościach zdarza się, że zapominają o przesuwaniu rzędu po zakończeniu każdego iloczynu.

I właśnie stąd moja idea na to, aby spróbować czegoś innego. Co zatem proponuję? Otóż mnożenie hinduskie, które daje tą przewagę nad tradycyjnym sposobem, że nie wymaga dodatkowego miejsca i przy okazji nie ma konieczności przestawiania rzędów. Wystarczy tylko zwykła tabliczka mnożenia zaledwie do 81 (bo największe cyfry mnożone to dwie dziewiątki) i można wykonać praktycznie dowolne mnożenie. A co jeszcze daje dużo radości dzieciom, to fakt, że mogą mnożyć liczby 4, 6 czy nawet 8-cyfrowe przez siebie. Słowem, jest wiele zabawy i przy okazji wzrasta stopień poprawności. Myślę, że mogą to być odpowiednie argumenty za tym, aby wypróbować ten oto magiczny sposób.

Jak zatem możemy opanować ten niezwykły sposób mnożenia? Zobaczmy...

Mamy prosty przykład mnożenia dwóch liczb dwucyfrowych. Wykonajmy iloczyn dwóch liczb 24x46. Zobaczmy jak krok po kroku go wykonać - oddajmy głos autorowi, którym jest Paweł Marchel (realizator ciekawego projektu matematycznego "Matemagia", link poniżej).

  

Teraz zatem ja spróbuję pokazać jak działa mnożenie hinduskie na przykładzie większych liczb. Miejmy nadzieję, że każdy bez problemu opanuje tę metodę i będzie mógł dzięki niej odkrywać kolejne tajemnice jak i przeżywać radość oraz zafascynowanie matematyką.

Przykład 1: 467x82 = ? [38294]

Mamy dwie liczby: jedna 3-cyfrowa, zaś druga 2-cyfrowa. Wiemy zatem, że musimy utworzyć prostokąt, składający się z 6 kwadratów (3x2), które potem "rozcinamy" za pomocą przekątnych.

Następny krok, to zapisanie obu liczb: liczby 467 nad prostokątem (dłuższym bokiem), tak aby każda cyfra była dokładnie na środku kratki. Następnie to samo robimy z liczbą 82, tyle że po prawej stronie i zapisujemy jej poszczególne cyfry od góry do dołu (obok kwadratów).

Dalej jest już prosto. Wykonujemy mnożenie poszczególnych cyfr i wpisujemy je do kolejnych kratek. Pamiętajmy, że jeśli wynikiem jest liczba dwucyfrowa, wówczas pierwsza cyfra (dziesiątek) musi być wpisana w górny trójkąt, zaś druga cyfra (jednostek) w niższy. Jeśli wynikiem jest liczba jednocyfrowa, wówczas w górnym trójkącie wpisujemy 0, zaś w dolnym daną liczbę (cyfrę). A co zrobić, gdy wynikiem będzie liczba trzycyfrowa? Nic, po prostu sprawdzić czy na pewno dobrze wykonaliśmy mnożenie. Dlaczego? Otóż w przypadku mnożenia dwóch liczb jednocyfrowych wynik nie może być większy niż dwie cyfry. Ot i całe wyjaśnienie tajemnicy!

W naszym wypadku zaczynamy od prawego górnego kwadratu: 7x8, następnie, 7x2, kolejno 6x8, 6x2 i na koniec 4x8 i 4x2. W ten sposób uzyskujemy konkretne wartości, które wpisujemy w dane kwadraty (a ściślej w trójkąty, które powstały z rozcinania kwadratów).

Ostatni etap i jesteśmy już w domu! Mianowicie sumujemy zgodnie z kierunkiem strzałek (od góry do dołu i od prawej do lewej) poszczególne cyfry. I tak mamy najpierw 4, następnie 9, a w trzeciej sumie (5+8+1+8) wychodzi nam liczba dwucyfrowa, czyli 22. Wpisujemy na końcu strzałki jedynie ostatnią cyfrę (czyli 2), zaś poprzednią dwójkę dodajemy do sumy kolejnych cyfr w następnej strzałce. Przedostatnia strzałka (idziemy od prawej w lewo) to cyfry 4, 2 i 0. Ich suma to 6, ale musimy dodać zaległą (przeniesioną) dwójkę, a więc ostatecznie jest to 8. No i najkrótsza a zarazem ostatnia strzałka ma tylko jedną cyfrę, która przepisujemy (jest nią 3).

I na koniec otrzymujemy wynik: 38294. Tak, można a nawet trzeba sprawdzić na kalkulatorze czy jest to prawidłowa wartość iloczynu liczb 467 i 82. Pora na kolejny przykład.

Przykład 2: 6832x754 = ? [5151328]

Tym razem samodzielnie spróbujmy przeanalizować przykład, wzorując się na poprzednim.

Zwróćmy jeszcze uwagę na kierunek odczytywania liczby. Jeśli zapiszemy ją tak jak zalecam (pierwszą góry a drugą po prawej), wówczas odczytujemy ją zaczynając od górnego lewego kwadratu, a kończymy przechodząc w dół i w prawo aż do ostatniej cyfry. Dzięki temu nie będzie sytuacji w których uczeń zapisze wynik w postaci lustrzanej (zamiast 5151328, to wpisze 8231515).

Pamiętajmy, aby zapisywać tylko ostatnią cyfrę, a każdą z powyższych przenosić do kolejnej grupy. Przykładowo jeśli otrzymujemy z mnożenia wynik 72, wówczas wpisujemy tylko 2, zaś 7 dodajemy do kolejnego sumowania "po ukosie". Można sobie takie dodatkowe cyfry zapisywać obok tabelki w której realizujemy obliczenia. W przypadku dzieci mających trudności z tabliczką mnożenia, można zapisywać poszczególne iloczyny obok, a potem wpisywać w odpowiednie miejsca (trójkąty) w tabeli. Im większa płynność w tabliczce mnożenia, tym większa poprawność i efektywność przy tego typu mnożeniu. Warto o tym pamiętać. No i w miarę możliwości warto sprawdzać wyniki na kalkulatorze... przynajmniej do momentu osiągnięcia dużej wprawy w tym nowym sposobie mnożenia.

Jako dodatek pokażę jeszcze jak może wyglądać karta pracy (link poniżej) i na co zwrócić uwagę, aby ten sposób był maksymalnie prosty i bezbłędny. Otóż przede wszystkim zalecam zapisywanie liczb na górze (nad kratkami) i po prawej stronie kratek. Będzie to gwarantowało większą poprawność, gdyż unikniemy przypadkowego zliczania cyfr (gdy zapisujemy po lewej stronie, to często może do tego dojść).

Linki wykorzystane w artykule:

1) Karta pracy zawierająca ćwiczenie z zakresu mnożenia po hindusku. Link: http://scholaris.pl/zasob/72502

2) Opisu przykładu i trzech obrazków (poszczególnych kroków) omawianego przez Pawła Marchela. Link: http://biblioteka.soleckujawski.pl/index.php/aktualnosci/blog/item/476-listopad-miesiacem-ciekawostek

Dzielenie pisemne w całkiem nowej odsłonie - przetestuj algorytm a twój umysł nagle zapłonie

Z uwagi na to, że dzielenie pisemne sprawia uczniom wiele problemów... postanowiłem się bliżej przyjrzeć temu zagadnieniu.

Przede wszystkim warto podkreślić, że w obecnych czasach (gdzie niemal wszyscy mają pod ręką smartfona) konieczność wykonywania dzielenia na liczbach większy niż 3-4 cyfrowe raczej zanika. Znacznie bardziej istotne jest to, aby znać naprawdę solidnie chociażby tabliczkę mnożenia.

Tradycyjne ujęcie pisemnego dzielenia, które przez kilka stuleci nadal się nie zmienia... pomimo, że wielu śmiałków podważa teorię, że jakoś płaska ta Ziemia (jako planeta układu słonecznego).

Zamiast tradycyjnego sposobu dzielenia pisemnego, proponuję przyjrzeć się takiemu, które może na początku dziwić, a nawet wydawać się mocno niezrozumiałe. Jednak dobrze jest chociażby spróbować na własnej skórze i przekonać się czy nam to pasuje.

Zobaczmy to na prostym przykładzie (kolejny będzie do samodzielnej analizy i wykonania). Najpierw porównajmy ten sam przykład samodzielnie, a za chwilę zobaczymy w jaki sposób jego ewolucja może przyspieszyć i uprościć nam proces dzielenia.

Przykład pierwszy. Ustalmy wynik działania: 428061402 : 3 = ?

Zaczynamy od pierwszej cyfry pod kreską i stopniowo przechodzimy w prawą stronę aż do zakończenia dzielenia na każdej z nich (zakładamy, że to dzielenie bez reszty).

1. Czy w 4 mieści się 3? Tak, dokładnie jeden raz, więc nad kreską wpisujemy 1. Pozostaje reszta 1, którą wpisujemy za naszą badaną 4, ale przed kolejną cyfrą, którą jest 2.

2. Teraz patrzymy na drugą cyfrę (2) i jednocześnie przed nią na małą cyfrę 1. Obie tworzą liczbę 12. I znowu to samo pytanie: ile 3 mieści się w 12? Otóż dokładnie 4, co wpisujemy nad kreską. I widzimy, że ne ma reszty, więc wpisujemy "=" przed kolejną badaną cyfrą (w naszym przykładzie jest to 8).

3. Wpisany znak "=" oznacza zero, ale aby potem nam się nie robiły "podwójne zera" (małe zero a za nim duże), więc zapisujemy jako znak równości. Jest to w tym przypadku równoznaczne z brakiem reszty.

4. Teraz badamy naszą 8. Mieści się w niej dwa razy trójka (wpisujemy 2 nad kreską), więc zostaje nam reszta 2, którą oczywiście przepisujemy (przed duże zero).

5. Teraz mamy małą dwójkę i duże zero, a wiemy, że to razem liczba 20. No i dalej dzielimy. Ile trójek mieści się w 20? Tak, dokładnie 6 (nad kreską) i zostaje reszta 2 (przed kolejną badaną liczbę).

6. Następna badana przez nas liczba składa się z dwóch cyfr: małej dwójki i dużej szóstki. 26:3=8 i zostaje reszta 2. Dlatego 8 wpisujemy nad kreskę, zaś resztę 2 przenosimy na początek kolejnej (dużej) cyfry (które razem ze sobą tworzą następną liczbę).

7. I już powoli zmierzamy do końca. Teraz 21 dzielimy na 3 i wychodzi nam 7 (nad kreską). A co z resztą? Otóż nie ma reszty, bo 21 jest wielokrotnością trójki. Brak reszty to nasz "=", który wpisujemy przed 4.

8. Jeśli mamy "=4", to tak jakbyśmy mieli "04" - w obu wypadkach to liczba jednocyfrowa czyli 4. No to mieścimy nasze trójki w czwórce. Zmieści się tylko jedna trójka i pozostanie reszta 1. Stąd nad kreską wpiszemy 1, a przed następną cyfrą będzie reszta 1.

9. Jeśli widzimy małą jedynkę i duże zero, to widać z daleka, że to dycha na dzielenie czeka. 10:3=3 i reszta 1.

10. Wpisujemy jedynkę przed ostatnią badaną cyfrę 2 i mamy 12. Natomiast 12:3=4 (nad kreskę) i nie ma reszty. Oznacza to, że zakończyliśmy dzielenie, bo nie ma już żadnej badanej cyfry do podzielenia. A przy okazji można powiedzieć, że udowodniliśmy, że liczba 428061402 jest wielokrotnością 3. Dlaczego? Otóż dlatego, że dzieli się bez reszty (jak kto woli, z resztą zerową).

Myślę, że uważne przeanalizowanie powyższego przykładu powinno dać poczucie tego, że jest to naprawdę proste. Jedyne co jest konieczne to otwartość na nowe (inne) sposoby i dobra znajomość i umiejętność określania wielokrotności, a co za tym idzie także reszty. Potem można już śmigać i sprawdzać jak to nam będzie szło w praktyce. Pamiętajmy, że trening czyni mistrza!


Poniżej przykład w którym wystarczy przeanalizować krok po kroku każdą operację - podobnie jak w poprzednim zadaniu. Najlepiej jest to zrobić na kartce papieru i kontrolować każdy krok. Jeśli damy radę wszystkie etapy przejść poprawnie, to i wynik również nam się odwdzięczy. Tak czy inaczej dopóki nie uzyskamy wprawy, bardzo dobrym pomysłem jest sprawdzenie wyniku na kalkulatorze.

Przykład drugi. Ustalmy wynik działania: 14010030503 : 7 = ?

Przykład został celowo dobrany, aby pokazać, że nowy algorytm jest odporny na próby oszukania poprzez liczby w których są różne haczyki i pułapki. Wystarczy tylko dobrze zrozumieć system i patrzeć na kolory, które odpowiadają mieszczeniu oraz małe cyfry, które są resztą z dzielenia. A jeśli to pojmiemy... to wierzę, że nasz matematyczny świat będzie miał więcej światła niż cienia! :)

Podsumowanie: warto poszukiwać oraz tworzyć nowe sposoby i metody oraz algorytmy, które potem będziemy mogli sprawdzać w praktyce. To, że przez 30, 40 czy 50 lat posługiwaliśmy się jedynie słusznym algorytmem, nie musi oznaczać, że w 21 wieku również musimy dalej to powielać. Zwłaszcza, że po pierwszej nie ma takiej konieczności (potrzeby), a po drugie pamiętajmy, że matematyka ma sprawiać przyjemność, a nie kojarzyć się z niekończącymi się słupkami obliczeń. No i po trzecie, jak wskazują badania oraz obserwacja w rzeczywistości - coraz więcej dzieci i młodzieży ma poważne problemy z myśleniem matematycznym. Jeśli odejmiemy im niepotrzebnych rachunków, to jest szansa, że przynajmniej odrobinę odczarujemy piętno matematyki w której nikt nie wie co i w jakim celu liczymy... ale ważne, że rozwiązaliśmy kolejny tysiąc zadań.

Jestem przeciwny takiemu podejściu, więc jako forma buntu i jednocześnie głosu (wołania) na pustyni... w kolejnym odcinku pokażę ciekawe podejście dotyczące mnożenia pisemnego. Jeśli matematyka ma być nudna oraz monotonna, to dla mnie przestaje to być ten przedmiot (obszar), który sprawia, że umysł zostaje oczarowany przez niewidzialne relacje między obiektami, które otaczają nas na każdym kroku, chociaż nie zawsze zdajemy sobie z tego sprawę.


DODATEK SPECJALNY (EDIT): Przy okazji jak ktoś chce zobaczyć dzielenie przez liczby dwucyfrowe, to również jest to możliwe. Poniżej dwa przykłady - nieco inaczej (bardziej przejrzyście?!) zapisane, ale istota wciąż pozostaje taka sama. Pamiętajmy, że zwykle dzielenie przez liczby dwucyfrowe realizujemy na niewielkich wartościach, a przy większych liczbach (i dzielnikach) zwykle posługujemy się kalkulatorem. To na wypadek, gdyby ktoś zapytał czy ten sposób działa przy dzieleniu przez liczby 6, 8 czy 12-cyfrowe :).



Przykład 1: 428061408 : 12 = 35671784

 

Przykład 2: 94061412 : 18 = 5225634

 

Powyżej dowód na to, że niektóre dzieci  naprawdę wykorzystują ten sposób, aby ułatwić sobie rachunki!

Na koniec podaję jeszcze przykłady do samodzielnego rozwiązania. Najpierw trzeba za pomocą cech podzielności sprawdzić, które z nich dzielą się bez reszty (te, których suma wszystkich cyfr daje liczbę podzielną przez 3), a następnie wybieramy te liczby i testujemy na nich nową metodę dzielenia. Życzę powodzenia i radości z poznawania i odkrywania matematyki w nowej odsłonie!

Dziękuję za inspirację Marzenie (z jednej z grup miłośników i/lub nauczycieli matematyki), która pokazała tego rodzaju przykład w dyskusji o tym dlaczego mamy takie trudności z dzieleniem pisemnym. Zaciekawiło mnie to do tego stopnia, że nieco go rozwinąłem i właśnie teraz dzielę się nim ze wszystkimi chętnymi.

Przy okazji składam również podziękowania dla Pani Agatki (Mistrzyni Matematycznej), która dopinguje mnie do tego, aby tworzyć ciekawe materiały dla dzieci jak też inspirować ambitnych i poszukujących nauczycieli, którzy matematyki nauczać w ciekawszy sposób by chcieli! :)...

Mam nadzieję, że krótkie zaprezentowanie powyższego sposobu pobudzi do dalszej inspiracji lub chociażby przyjrzenia się temu jak można uprościć i ulepszyć obecne (tradycyjne) sposoby. Pamiętajmy, że współcześnie nie wszystkie dzieci są w stanie wykonywać poprawnie i szybko aż cztery operacje, które można określić jako mieszczenie, mnożenie, odejmowanie i przepisywanie (dopisywanie) kolejnej cyfry. ["Dzielę/Mieszczę, Mnożę, Odejmuję... i następną cyfrę szybko Dopisuję]. Można (a wręcz trzeba!) przecież im w tym pomóc, aby mogły cieszyć się matematyką w znacznie bardziej przyjaznej i ciekawej formie, prawda? :)

WAŻNA AKTUALIZACJA (28.02.2025)

Po kilku latach od napisania artykułu znalazłem kolejne wzmocnienie, które wierzę, że sprawi, iż dzieci jeszcze lepiej zrozumieją mechanizm działania dzielenia, zwłaszcza jeśli przećwiczą dzielenie (bez reszty) na różnych przykładach, ale razem ze sprawdzeniem jak też wyjaśnieniem tego w jaki sposób (dlaczego?) działa ów mechanizm.

Poniżej prezentuję dość nietypową grafikę, którą zmodyfikowałem na potrzeby tego artykułu (z pierwotnej, która jest widoczna na kratkowanej części obrazka, po lewej stronie). Mam nadzieję, że teraz każdy nauczyciel (a nawet i rodzic) będzie w stanie jeszcze lepiej pomóc dzieciom w tym, aby mogły zaprzyjaźnić się z matematyką, a tradycyjne dzielenie (pod kreską) nie będzie musiało kojarzyć się z katorgą, bo przecież wcale tak być nie musi, prawda?

Zalecam krok po krok odszyfrować wszelkie tajemnice powyższej grafiki, tak aby wszystko było jasne. Jest to szczególnie istotne w kontekście zrozumienia całego mechanizmu działania tego nowoczesnego sposobu. Dzięki analizie wszystkich elementów dzieci będą mogły łatwiej przejść przez proces dzielenia, zwłaszcza gdy w przyszłości będzie konieczne zrozumienie tego czym jest dzielenie z resztą.

Dodam jeszcze, że podczas procesu analizy zalecam uważnie przyglądać się kolorom, bo one są celowo tak użyte, aby odszyfrowywanie nastąpiło w miarę łatwo jak też bez większych trudności. Grafika zawiera wiele elementów, ale jeśli przyjrzymy się kolorom, strzałkom i opisom, to wierzę, że uda się wycisnąć z niej wszystko, co chciałem w niej przekazać!

WAŻNA AKTUALIZACJA (19.03.2025)

Po kilku latach od napisania artykułu opracowałem kolejne wzmocnienie, które wierzę, że sprawi, iż dzieci jeszcze lepiej zrozumieją mechanizm działania dzielenia, zwłaszcza jeśli przećwiczą dzielenie (bez reszty) na różnych przykładach. Tym razem są to przykładowe karty pracy, które będą szczególnie przydatne dla młodszych dzieci lub dla dzieci, które mają szczególne trudności ze zrozumiem procesu bądź też dodatkowo z tabliczką mnożenia (dzielenia).

Pierwsza wypełniona karta pokazuje wszystko w najprostszy i najbardziej wizualnie zrozumiały sposób. Karta druga zawiera tylko niezbędne kolory, ukazujące istotę najbardziej istotnych elementów, zaś trzecia to karta, którą można wykorzystywać do ćwiczeń (przypominam, aby w momencie drukowania sprawdzić wydrukowanie jej w poziomie). Przy okazji w trzeciej karcie poszerzyłem wiersze (jest ich 11), więc jeśli mamy dzielenie liczby 4-5 cyfrowych, to zmieści się na jednej karcie dwa przykłady. W takim układzie w najszerszym polu w pierwszym wierszu (na środku) wpisujemy dzielenie pierwszej pary liczb, zaś poniżej drugiej pary. Oczywiście w przypadku ćwiczenia liczb trzycyfrowych, zmieści nam się aż trzy przykłady.

Pierwsza kolumna zawiera symbol, który pokazuje, że z lewej strony dopisujemy cyfrę (przed cyfrą głównej liczby, którą dzielimy), która spadła z wyższego piętra (rzędu), czyli z czwartej kolumny oznaczonej jako "reszta z dzielenia". W niej natomiast za wpisywaną cyfrą reszty z dzielenia dobrze jest utrwalić nawyk wciskania (rysowania) znaku przenoszenia do kolejnej linii - czyli wszystkim znanego znaku [klawisza] ENTER (tak samo jak działa w edytorach tekstowych). Jeśli dziecko chce, to niechaj rysuje sobie za każdym razem ów znak (symbol przenoszenia), a po pewnym czasie jak się ów nawyk utrwali, wówczas możemy powiedzieć, że teraz przechodzimy na wyższy poziom wtajemniczenia, gdzie pewne elementy procesu pomijamy, aby jeszcze bardziej zautomatyzować cały proces.

Przy okazji wypełnianie ostatniej kolumny nie jest obowiązkowe. Jeśli jest możliwość i taka potrzeba, to można ją wykorzystać do tego, aby potem wyjaśnić dziecku jak odczytywać wynik oraz sprawdzić na ile dobrze opanowało rzędy wielkości (czy rozumie czym jest pozycyjny zapis dziesiątkowy i dlaczego kolejność cyfr w danej liczbie jest tak istotna). Pamiętajmy o tym, że to nauczyciel zawsze dostosowuje warunki, narzędzia, metody, sposoby i techniki pracy z dzieckiem, więc w zależności od potrzeb i możliwości - można (a nawet trzeba) dowolnie modyfikować mój pomysł, tak aby jak najlepiej dopasować do danego dziecka!

Jeżeli chodzi o praktyczne ćwiczenia, to na wstępie proponuję przećwiczyć na 1-2 prostych przykładach cały proces, tak aby dziecko widziało co się dzieje: krok po kroku w jaki sposób przechodzimy do kolejnego wiersza (części procesu dzielenia). Potem oczywiście monitorujemy jego pracę oraz w miarę potrzeb wspieramy, poprawiamy oraz wyjaśniamy, to co wymaga lepszego zrozumienia. Przy okazji dodam, że dobrze jest zacząć od liczby 3-4 cyfrowych oraz starać się nie dzielić przez liczby większe niż 5 lub 6. Dopiero po nabyciu większej wprawy można dzielić liczby 5-9 cyfrowe, a na sam koniec można spróbować stopniowo dzielić przez 7, 8 lub 9. Gorąco zachęcam do tego, aby najpierw na kalkulatorze sprawdzić taką "toksyczną" liczbę i odpowiednio ją dopasować, tak aby dziecko nie musiało rysować kilkadziesiąt słupków, bo wtedy proces nauki pochłonie mechaniczna praca, co rzecz jasna całkowicie mija się z celem. Przykładowo jeśli już chcemy dzielić przez 9, to wybierzmy liczbę 11106 (wynik 1234) zamiast 17883 (mam nadzieję, że każdy zrozumie dlaczego). W przeciwnym wypadku dzielenie pisemne zamieni się niekończący się koszmar.

KARTA PRACY nr 1 (kliknij, aby powiększyć)

KARTA PRACY nr 2 (kliknij, aby powiększyć)

KARTA PRACY nr 3 (kliknij, aby powiększyć)

NWW i NWD - co o tym wiemy oraz z czym to się je (3)

Było co nieco na temat tego w jaki sposób szukać (wyznaczać) NWD i NWW, przy okazji udało nam się omówić algorytm Euklidesa, więc pora na coś więcej. Mam na myśli to, co sprawia, że zaczynamy rozumieć sens poszukiwania (i obliczania) największego wspólnego dzielnika czy też najmniejszej wspólnej wielokrotności. Podejrzewam, że naprawdę wiele osób ma spore problemy ze zrozumieniem tego czemu to tak naprawdę służy i czy w ogóle może być praktyczne.

Warto wiedzieć, że pomiędzy liczbami a NWW i NWD zachodzą pewne relacje. Ich zrozumienie powinno znacząco poszerzyć zrozumienie tego tematu, co będzie miało odbicie w kolejnym odcinku.

Najpierw zerknijmy na takie oto wzory:

1) wyznaczanie Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności: NWW(a,b) = a*b / NWD(a,b).
2) wyznaczanie Największego Wspólnego Dzielnika: NWD(a,b) = a*b / NWW(a,b).
3) wyznaczenie (porównanie) iloczynu NWW i NWD jako iloczynu obu liczb (a,b): a*b = NWW * NWD.

Zobaczmy na kilku przykładach jak to właściwie działa. Tabela nam powinna wszystko wyjaśnić.

Tabela nr 1 - liczbowy zapis matematyczny, który raczej nie sprzyja pełnemu zrozumieniu tej koncepcji

Widzimy w kolumnie pierwszej liczby wstępne (te na których operujemy), potem ich rozkład na czynniki pierwsze, następnie NWD, NWW i w ostatniej kolumnie relacja między iloczynem liczb a iloczynem NWW i NWD.

Kluczowe tak naprawdę jest to, aby poprawnie rozłożyć obie liczby na czynniki pierwsze. I tak:
a) wartość NWD to iloczyn wszystkich czynników danej liczby, które powtarzają się w obu liczbach (wstępnych) - kolor niebieski
b) wartość NWW to iloczyn wszystkich pozostałych czynników danej liczby [po wykreśleniu (jak kto woli - podzieleniu) tych, które się w obu powtarzają], pomnożony przez drugą liczbę - kolor czerwony
c) równość obu stron: NWD*NWW = a*b

Teraz warto przyjrzeć się tym przykładom w tabeli (mała analiza) i przejrzeć je na spokojnie. Zapewne nie jest to najlepsze rozwiązanie, ale za chwilę pokażę jak można to zrobić znacznie lepiej, a na pewno bardziej zrozumiale dla dziecka.

Wiele osób (w tym rzecz jasna również i dzieci) ma duże trudności z wyobrażeniem sobie tego zagadnienia poprzez pryzmat samych liczb. Z pomocą zatem niech przyjdzie nam coś co jest znacznie łatwiejsze do zrozumienia... czyli zbiory, pieszczotliwie nazywane pętelkami czy kółeczkami. W jaki sposób nam one pomogą? Zobaczmy...

Rysunek nr 1 - zbiory czy pętelki, kto to w mig pojmie lub też łatwo zrozumie... ten będzie wielki!

Weźmy na warsztat dwie liczby: 36 i 126. Znajdźmy dla nich zarówno NWD jak i NWW. Czy to zadanie będzie wyjątkowo trudne?

1. Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze.
2. Zaznaczamy wszystkie liczby, które powtarzają się w rozkładach obu liczb (zielonym kolorem w kółeczkach).
3. Rysujemy dwa zbiory jako reprezentacje liczb.
4. W części wspólnej (środkowej) wpisujemy wszystkie liczby, które zaznaczyliśmy w rozkładzie na zielono (te same).
5. Uzupełniamy zbiór (i zarazem liczbę) po lewej stronie tymi czynnikami, które pozostały w jej rozkładzie.
6. Uzupełniamy zbiór (i zarazem liczbę) po prawej stronie tymi czynnikami, które pozostały w jej rozkładzie.
7. W pobliżu jednej i drugiej liczby (poza obwodem kółka) można zapisać jej pełną wartość. Nie jest to konieczne, ale jednak może okazać się bardzo przydatne (patrz strzałka od czerwonej liczby 36 i niebieskiej 126).

Pierwszy krok za nami. Można samodzielnie sprawdzić czy wartości obu liczb w "kołowym rozkładzie się zgadzają". Jeśli wymnożymy środkową część z pozostałymi czynnikami po lewej, to otrzymamy liczbę 36, a z tymi po prawej - liczbę 126. Można przy okazji zerknąć na rozkład w obu tabelach - jest to dokładnie to samo, ale chyba znacznie mniej oczywiste, prawda?

Przejdźmy teraz do koncepcji Największego Wspólnego Dzielnika, w skrócie zwanego NWD. Jak sama nazwa wskazuje musi on być wspólny dla obu liczb - a wspólna część obu kół, to czynniki zaznaczone na zielono (2*3*3). Widać wyraźnie z rysunku, że to właśnie nasza poszukiwana wartość dla obu liczb (36 i 126).

Rysunek nr 2 - wspólny dzielnik, więc dzieli wspólnie oba koła lub obie pętelki! Proste jak drut.. lub jak okrąg!

A teraz zobaczymy na naszego nieco bardziej nieposłusznego łobuza - czyli Najmniejsza Wspólna Wielokrotność, nazywana NWW. Jak ją wyznaczymy? Otóż wystarczy zobaczyć na wszystkie czynniki w obu kołach i zarazem w środku... i je przepisać, a potem poprawnie obliczyć ich iloczyn. Powiadają, że jeden rysunek jest wart tysiąca słów. Tutaj może to być bliskie prawdy.

Rysunek nr 3 - gdyby NWW była przed twoimi oczami we wnętrzu każdego koła, to kto tej koncepcji opanować nie zdoła?!

I na koniec zerknijmy jeszcze na łańcuszki, którymi można nieco szybciej (prościej) wyznaczać nasz NWW. Zwróćmy uwagę na magiczne niebieskie łańcuszki (przerywane linie), które łączą się z odpowiednimi liczbami.

Rysunek nr 4 - Metoda łańcuszkowa to nie tylko dziś moda, lecz więcej pomysłów w twojej głowie zapoda! A gdy to w końcu opanujesz to szybko, to gratulacje ci złoży... sam Mistrz Joda!

W pierwszej badanej liczbie, po jej rozkładzie i usunięciu części wspólnej (pola zielone) pozostała jedynie liczba 7. Jeśli pomnożymy ją przez całkowitą drugą liczbę (36), wówczas otrzymamy NWW dla obu wyjściowych liczb, czyli 252. A gdyby tak sprawdzić czy w przypadku drugiej liczby także zachodzi ta relacja? No to zobaczmy! Bierzemy z drugiej liczby resztę jej rozkładu (liczbę 2) i mnożymy ją przez całkowitą pierwszą liczbę (126). I co otrzymujemy? Tak! To właśnie ta sama wartość, która przed chwilą została obliczona. No dobrze, ale dlaczego to się nazywa metoda łańcuszkowa? Otóż dlatego, że za pomocą łańcuszka łączymy te liczby i dzięki temu mamy pewność, że końcowa wartość będzie dobrze zapisana (i miejmy nadzieje również obliczona).

Jako ćwiczenia dodatkowe proponuję poćwiczyć:
1. Rozkład liczb na czynniki pierwsze.
2. Rozrysowywanie kółek i zbiorów i na tej podstawie wyznaczanie NWD i NWW.
3. Metodę łańcuszkową i na tej podstawie wyznaczanie NWD i NWW.

Gwarantuję, że po świadomym i rozumnym przerobieniu kilkunastu lub kilkudziesięciu ćwiczeń... nagle może okazać się, że te oba pojęcia są znacznie łatwiejsze aniżeli ich mało zachęcająca nazwa czy potoczne wyobrażenie o "kosmicznie trudnych" rzeczach.

Podsumowanie: podzielenie iloczynu dwóch liczb przez ich NWW daje nam NWD, zaś przez NWD daje.. NWW! Do tego zawsze zachodzi równość pomiędzy iloczynem obu liczb a iloczynem NWW i NWD. Przy okazji istnieje relacja pomiędzy kilkoma elementami tego procesu. Mianowicie sprawne posługiwanie się tabliczką mnożenia i dzielenia daje możliwość operowania na liczbach. Następnie znajomość cech podzielności zwiększa efektywność obliczeń przy rozkładzie na czynniki pierwsze. Z kolei ten rozkład daje nam możliwość spojrzenia czy wręcz prześwietlenia obu liczb tak jak na zdjęciu zrobionym za pomocą promieni rentgena. I jeśli potrafimy jeszcze odnaleźć wspólne czynniki w obu liczbach, to praktycznie mamy z głowy NWD.

A jak się dobrać do NWW? Otóż w przypadku, gdy skreślimy w jednej liczbie te same czynniki, które występują w drugiej, to pozostają wyłącznie czynniki, których iloczyn daje nam NWW. No i oczywiście można sobie życie uławić za pomocą narysowania zbiorów i używania metody łańcuszkowej. Każdy może samodzielnie zdecydować, która metoda najbardziej mu się podoba i go w pełni przekonuje. A właśnie o to chodzi, żeby odnaleźć i stosować to co nam najbardziej pasuje.

W kolejnej odsłonie powiemy sobie o przydatności tych pojęć nie tylko w matematyce, ale i w praktycznym życiu. Przy okazji przekonamy się w jaki sposób mogą być one stosowane do sensownego rozwiązywania zadań. Jak ktoś chce samodzielnie nieco pogłówkować to zapraszam do zastanowienia się nad tym dlaczego w NWD pierwsze słowo to największy (dzielnik), zaś w przypadku NWW - najmniejsza (wielokrotność). Podpowiem, aby pobawić się nieco i spróbować zamienić te słowa... i wtedy zobaczyć czy dalej oba pojęcia będą miały sens. W razie trudności nie trzeba się stresować, bo już niebawem wszystko wyjaśnię i pokażę z czym to się je.

NWW i NWD - co o tym wiemy oraz z czym to się je (2)

W poprzedniej odsłonie dotyczącej tematu NWW i NWD wspomniałem o tym, że dość często do wyznaczania NWD stosuje się tak zwany algorytm Euklidesa. Jest on prostym i szybkim algorytmem (sposobem) obliczania największego wspólnego dzielnika dwóch (zwłaszcza dużych) liczb całkowitych. Być może warto poświęcić mu nieco uwagi, zwłaszcza że wydaje mi się, iż mam do zaproponowania ciekawy sposób realizacji tego algorytmu.

Algorytm Euklidesa najczęściej stosuje się do wyznaczania NWD większych liczb. Dlaczego? Przede wszystkim dlatego, że tradycyjny rozkład na czynniki pierwsze zajmie nam wówczas znacznie więcej czasu aniżeli za pomocą tego algorytmu. Pamiętajmy jednak, że oba sposoby są poprawne i można stosować je zamiennie.

W takim razie zobaczmy na czym polega ten algorytm, którego nazwa jest związana z nazwiskiem słynnego matematyka.

Oficjalna recepta na wyznaczenie NWD dla dwóch liczb za pomocą algorytmu Euklidesa:

KROK 1:
1. Wpisujemy większą liczbę w pierwszą kolumnę (dzielna).
2. Wpisujemy mniejszą liczbę w trzecią kolumnę (dzielnik).
3. Obliczamy liczbę całkowitą z dzielenia dzielnej przez dzielnik (całość).
4. W ostatniej kolumnie wpisujemy resztę z powyższego dzielenia (reszta z dzielenia).

KROK 2:
1. Dzielnik z pierwszego wiersza staje się dzielną w drugim wierszu.
2. Reszta z dzielenia z pierwszego wiersza staje się dzielnikiem w drugim wierszu.
3. Obliczamy liczbę całkowitą z dzielenia dzielnej przez dzielnik (całość).
4. W ostatniej kolumnie wpisujemy resztę z powyższego dzielenia (reszta z dzielenia).

KROK 3: Powtarzamy krok drugi (poprzedni) aż do uzyskana reszty zerowej (brak reszty).

KROK 4: Liczba, która jest przedostatnią resztą (tzn. ta poprzednia przed zerową) stanowi nasz NWD dla szukanych liczb.

Zerknijmy teraz na tabelę w której zostaną przedstawione dwa przykłady.

Przykład 1: wyznaczenie NWD dla liczb 3200 i 1408.

A teraz znacznie bardziej twórczy algorytm na wyznaczenie NWD dla dwóch liczb za pomocą algorytmu Euklidesa (jako bajka dla dzieci poziomu 10-11 lat):

KROK 1:
1. Wpisujemy większą liczbę w kolumnę o nazwie PANI. Dlaczego? Ponieważ pani ma pierwszeństwo i przechodzi w drzwiach jako pierwsza.
2. Wpisujemy mniejszą liczbę w kolumnę o nazwie PAN. Inaczej mówiąc, PAN wchodzi za PANIĄ i zamyka drzwi za nią (taki oto dżentelmen).
3. Obliczamy liczbę całkowitą z dzielenia PANI przez PANA i wpisujemy w kolumnę o nazwie całość.
4. W ostatniej kolumnie wpisujemy resztę z powyższego dzielenia (reszta z dzielenia). Można powiedzieć, że przy podziale PANI przez PANA powstaje całość, a do tego jeszcze reszta (dodatek). I ona jest bardzo ważna, bo będzie siadała na miejsce PANA.

KROK 2:
1. PAN z pierwszego wiersza wchodzi na miejsce PANI w wierszu drugim.
2. Reszta z dzielenia z pierwszego wiersza zajmuje miejsce PANA także w wierszu drugim.
3. Postępujemy tak jak poprzednio - czyli powtarzamy punkty 3 i 4 z poprzedniego kroku.

KROK 3: Powtarzamy krok drugi (poprzedni) aż do uzyskana reszty zerowej (brak reszty).

KROK 4: Liczba, która jest przedostatnią resztą (tzn. ta poprzednia przed zerową) stanowi nasz NWD dla szukanych liczb.

W naszym pierwszym przykładzie NWD dla liczb 3200 i 1408, to 128. Warto zobaczyć poniżej, że przy pomocy tradycyjnego rozkładu również otrzymamy tę samą wartość (liczbę). Różnica polega na tym, że nie zawsze jest tak łatwo ręcznie przeprowadzić rozkład obu liczb (w drugim przykładzie będzie to bardziej widoczne). Stąd bardziej efektywny sposób, czyli zastosowanie algorytmu Euklidesa.

Przykład 2: wyznaczenie NWD dla liczb 2618 i 1615. Całość procesu przebiega analogicznie jak w poprzednim przypadku. Warto zwrócić uwagę na to, że pomimo dłuższego rozpisania, za pomocą algorytmu Euklidesa będziemy mogli szybciej odnaleźć NWD.

 

Jeśli już dobrze opanujemy wyznaczenie NWD dla dwóch liczb, wówczas znacznie łatwiejsze będzie znajdywanie NWW.

Wiele osób słyszało o tym, że NWW jest definiowana wzorem, ale raczej wolą od niego trzymać się z daleka. Dlaczego? Otóż wydaje się on dość niezrozumiały, ale za chwilę zobaczymy, że... w rzeczywistości jest prosty jak drut!

Oto wzór na wyznaczanie Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności: NWW(a,b) = a*b / NWD(a,b). Wygląda naprawdę świetnie, prawda? (a i b, to dowolne liczby całkowite).

A teraz spróbujemy przełożyć to zagadnienie z języka matematycznego na język 5-letniego dziecka. Niemożliwe?! No to przekonajmy się czy aby na pewno!

Jeżeli mamy dwie liczby całkowite, to obliczenie NWW wymaga tylko dwóch kroków:
1. Znajdujemy (wyznaczamy) NWD. Jak już wiemy możemy go zrealizować albo rozkładając podane liczby na czynniki pierwsze (dla małych liczb) albo za pomocą algorytmu Euklidesa (dla dużo większych liczb). Wybór oczywiście należy do nas.
2. Mnożymy przez siebie obie liczby, a następnie dzielimy przez wyznaczoną przed chwilą wartość NWD.

Zobaczmy na kilku przykładach jak prosto to wygląda. Ostrzegam, że jeśli nadal wierzysz, iż wyznaczanie NWW lub NWD jest naprawdę trudne, to po przejrzeniu tego rysunku możesz naprawdę potrzebować kilka głębszych oddechów...

Tak, to aż tak trudne. Ja również przecierałem wiele razy oczy ze zdziwienia. Jeśli to wyjaśnienie na powyższych przykładach zrobiło na tobie wrażenie, to znaczy, że moja praca okazała się wartościowa i zarazem przydatna.


Podsumowanie: Teraz zapewne zastanawiasz się do czego będą przydatne te NWW i NWD. Przecież o nich raczej nie słyszałeś, więc podejrzewasz, że to materiał na tyle abstrakcyjny, że nie warto sobie nim zaprzątać głowy. Czy tak rzeczywiście jest postaram się przekonać cię w następnym odcinku. Okazuje się bowiem, że tak niewinny i często zupełnie pomijamy temat może mieć więcej znaczenia i zastosowań praktycznych niż podpowiada nam intuicja.

Do spotkania następnym razem... ale zanim to nastąpi, to wcześniej serdecznie zachęcam do kilkukrotnego przeczytania tego zagadnienia (obu części) jak też do poćwiczenia na wybranych przykładach. Dzięki temu kolejna odsłona będzie miała dla ciebie jeszcze więcej sensu i wartości.

Poniżej podrzucam moim zdaniem ciekawe i przydatne bądź też wartościowe linki:

1. Najmniejsza wspólna wielokrotność - można wstawiać własne liczby i sprawdzać czy są zgodne z twoim rozwiązaniem.
http://www.math.edu.pl/narzedzia.php?opcja=nww

2. Największy wspólny dzielnik - można wstawiać własne liczby i sprawdzać czy są zgodne z twoim rozwiązaniem.
http://www.math.edu.pl/narzedzia.php?opcja=nwd

3. Algorytm Euklidesa - to taka mała ściągawka, która omawia w skrócie to co mi zajmuje 2-3 razy więcej miejsca.
http://www.math.edu.pl/algorytm-euklidesa

4. Algorytm Euklidesa - klasyczne ujęcie algorytmy przez Mistrza Matemaksa (czyli Michał Budzyński przedstawia).
https://www.matemaks.pl/algorytm-euklidesa.html

5. Obliczanie NWD i NWW w nieco pogłębionym wydaniu. Można porównać opracowanie na podanej stronie z moim na tym blogu.

https://matematyka.opracowania.pl/obliczanie_nwd_i_nww/

NWW i NWD - co o tym wiemy oraz z czym to się je (1)

Bardzo często zdarza nam się sytuacja w której trzeba dodać dwa ułamki o różnych mianownikach. Wiemy, że nie możemy tego zrobić dopóki nie znajdziemy wspólnego mianownika. Najlepiej, aby był to przy okazji najmniejszy wspólny mianownik, bo wtedy można praktycznie wszystkie rachunki przeprowadzić w głowie. Co wtedy zrobić? Otóż z pomocą przychodzi nam zastosowanie tego czym jest Najmniejsza Wspólna Wielokrotność (NWW). Jeśli ją wyznaczymy dla obu mianowników, wówczas znajdziemy ich wspólnego przyjaciela, który powie nam do jakiej postaci (mianownika) trzeba sprowadzić te ułamki.

Nie tak rzadko mamy również do czynienia ze skracaniem ułamków, tak aby były one w jak najprostszej postaci. Wiadomo bowiem, że im mniejsze liczby, tym łatwiej liczyć i zarazem mniejsza szansa na błąd w rachunkach. No i być może nie wszyscy zdają sobie w pełni sprawę z tego, że przy każdej operacji skracania wykorzystujemy koncepcję o nazwie Największy Wspólny Dzielnik (NWD).

W tym odcinku powiemy sobie o tym w jaki sposób wyznaczać te jakże istotne elementy, a w kolejnym spotkaniu pokażę do czego i w jaki sposób stosujemy te nieco tajemniczo brzmiące nazwy. Zatem najwyższy czas na wykład!

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) liczb naturalnych a i b - to najmniejsza liczba różna od zera, która jest jednocześnie wielokrotnością liczby a i liczby b.

W przypadku obliczania minimalnej wielokrotności chodzi o możliwość znajdowania wspólnego mianownika dla różnych ułamków. Co uzyskamy w ten sposób? Otóż dzięki temu (sprowadzeniu ich do wspólnych części) będzie możliwe dodawanie i odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach (gdy mają różne mianowniki, wówczas nie jest to możliwe).

Największy wspólny dzielnik (NWD) dwóch liczb całkowitych - to największa liczba naturalna, która dzieli obie te liczby bez reszty.

W przypadku wyznaczania największego wspólnego dzielnika, chodzi najczęściej o możliwość skracania ułamków. Inaczej mówiąc dzięki temu będziemy mogli doprowadzać je do najprostszej postaci (tak zwanych ułamków nieskracalnych). I to się nazywa skracanie jednym strzałem! (jak kto woli za jednym zamachem).

Przejdźmy teraz do sedna. Wiemy, że NWD i NWW będą opierały się o liczby całkowite. Warto podkreślić, że rozpatrujemy w zasadzie tylko jeden przypadek. Jest nim sytuacja w której obie liczby są różne od siebie (jedna większa bądź mniejsza od drugiej).

Natomiast w kolejnym podziale mamy sytuację w której: a) jedna z liczb jest wielokrotnością drugiej (bardzo rzadki przypadek) albo b) żadna z liczb nie jest wielokrotnością drugiej (najczęstsze przypadki, gdy żadna z nich nie daje się zmieścić w drugiej całkowitą ilość razy; przykładowo 6 nie mieści się w 20, tak samo jak 7 w 30).

Jeśli jedna z liczb jest wielokrotnością drugiej, wówczas NWW dla obu z nich wyznacza ta większa. Przykład to liczby 40 i 120. W tym wypadku NWW(40,120)=120. Natomiast dla NWD jest dokładnie odwrotnie - wyznacza je ta mniejsza liczba. Zatem NWD(40,120)=40. W praktyce jest to bardzo rzadko spotykane. Dlaczego? Otóż z uwagi na to, że w zasadzie nie wymaga żadnego wysiłku (wystarczy zapamiętać powyższe zasady, które są niezmienne dla dowolnych przypadków).

Tak więc widzimy, że w praktyce najczęściej będziemy mieli do czynienia z przypadkiem w którym obie liczby są różne i jednocześnie żadna z nich nie jest wielokrotnością pozostałej. Jeśli na warsztat weźmiemy sobie liczby 16 i 52, wówczas widzimy, że nie ma takiej liczby całkowitej przez którą można pomnożyć 16 (mniejszą), aby powstała liczba 52 (większa). Można zatem powiedzieć, że 52 nie jest wielokrotnością 16.

I teraz pojawia się kluczowe pytanie: Jak wówczas należy szukać (wyznaczać) NWD i NWW? Otóż jest na to kilka sposobów. Ja postaram się je opisać za pomocą dwóch tabeli. Zerknijmy zatem na przykłady i ich krótkie wyjaśnienie.

TABELA nr 1

TABELA nr 2

W pierwszej tabeli widzimy w poszczególnych kolumnach: numer liczby, ich wartości, rozkład na czynniki pierwsze, wypisanie tych samych elementów (kolor żółty), a następnie określenie ich NWD. Natomiast ostatnie dwie kolumny pokazują jak z rozkładu drugiej z nich wykreśliliśmy (usunęliśmy) to co stanowiło przed chwilą NWD, tak aby w ostatniej kolumnie zapisać iloraz pierwszej liczby przez to co zostało z drugiej. Przy odrobinie wysiłku wszystko powinno być jasne (szczególnie jak dobrze się rozpoznaje i łączy ze sobą kolory).

Druga tabela przedstawia to samo, ale z nieco innego ujęcia. Myślę, że możemy się umówić, że ten obrazek jest dla minimalistów i osób, które cenią tradycję. Widzimy dwie liczby (36 i 120), które zostały rozłożone na czynniki pierwsze (kolumny 2 i 4). Następnie zostały obrysowane w kółko elementy rozkładu wspólne dla obu liczb. I w ostatnim wierszu widzimy NWD jako iloraz liczb zaznaczonych w kółku (będących na różowym polu). Natomiast NWW to najpierw wykreślenie tych liczb wspólnych (różowe pola), a następnie zapisanie ilorazu wszystkich pozostałych elementów obu liczb (zielone pola).

A jaki będzie łatwy sposób zapamiętania tego jak wyznaczamy NWD a jak NWW? Oto mała ściągawka.

WYZNACZANIE NWD dla dwóch liczb:

1. Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze.
2. Zaznaczamy w kółko wszystkie identyczne czynniki rozkładu dla obu liczb.
3. Wynikiem jest iloczyn wszystkich tych samych czynników w dowolnej liczbie.
4. Obliczamy wartość końcową (jako końcowy wynik mnożenia czynników).

Przykład: Liczby 12 i 42. Rozkładem liczby 12 jest 12=2*2*3, zaś 42=2*3*7, zatem wspólne elementy rozkładu dla obu liczb to 2*3 czyli 6. Czyli w skrócie mamy: NWD(12,42)=6.

WYZNACZANIE NWW dla dwóch liczb:

1. Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze.
2. Zaznaczamy w kółko wszystkie identyczne czynniki rozkładu dla obu liczb.
3. Wykreślamy identyczne czynniki w dowolnej liczbie.
4. Wypisujemy jako iloczyn wszystkie pozostałe [tj. niewykreślone] czynniki obu liczb*.
5. Obliczamy wartość końcową (jako końcowy wynik mnożenia czynników).

* - można także wypisać (jako iloczyn) pozostałe czynniki z wykreślonej liczby (o ile takie zostaną) i całą drugą liczbę. Wynik będzie ten sam. Niektórzy uważają to za znaczne uproszczenie, co może być dla wielu osób pomocne.

Przykład: Liczby 12 i 42. Rozkładem liczby 12 jest 12=2*2*3, zaś 42=2*3*7, zatem wykreślamy wspólne elementy rozkładu w jednej liczbie, (u nas będzie to 2*3) i resztę elementów zapisujemy w postaci ilorazu. Zapisując matematycznie będzie to wyglądało w ten sposób: 2*2*3*7=84. Drugi sposób to oczywiście 12*7=84 (cała pierwsza liczba pomnożona przez pozostałe czynników drugiej po wykreśleniu wspólnych elementów), co w skrócie kodujemy jako NWW(12,42)=84.

Na koniec zapamiętajmy, że najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) niemal zawsze jest liczbą większą aniżeli obie badane. Wyjątkiem jest sytuacja w której jedna z liczb jest wielokrotnością drugiej (np. 36 dla 12 czy też 126 i 252 jak w pierwszej tabeli). Wówczas ta większa zawsze stanowi NWW dla obu z nich, zaś ta mniejsza to rzecz jasna NWD.

To tak w telegraficznym skrócie. Wierzę, że pomoże to znacznie rozjaśnić ten temat, który jest trochę pomijany w procesie edukacji szkolnej. W drugiej odsłonie zajmiemy się tym po co tak naprawdę są nam potrzebne te magiczne NWW i NWD. Wbrew pozorom mają one swoje zastosowanie, które zamierzam już niebawem przybliżyć. A do tego czasu dobrze byłoby nieco poćwiczyć, więc załączam karty pracy (wpisujemy własne liczby według powyższych przykładów omówionych w artykule).

TABELA nr 3

TABELA nr 4

Uwaga: w przypadku gdy obie liczby badane są takie same, wówczas zarówno NWW jak i NWD są tymi samymi wartościami (dowolną z badanych liczb). W praktyce jednak tego typu przykład niemal nigdy nie występuje, gdyż nie wymaga z naszej strony żadnego wysiłku (myślenia).

PS. Jeśli kogoś zainteresował temat to dodam, iż dość często do wyznaczania NWD stosuje się tak zwany Algorytm Euklidesa. Jest on prostym i szybkim algorytmem (sposobem) obliczania największego wspólnego dzielnika dwóch (zwłaszcza dużych) liczb całkowitych. Jest wiele dobrze opracowanych materiałów (i przy okazji bardzo łatwo dostępnych) w sieci Internet. Osobom zainteresowany polecam samodzielnie zgłębić temat.

Specjalne cechy podzielności - przełomowe odkrycie albo wyjaśnione tajemnice

Dzielenie i określanie podzielności przez 3 i 9 wydaje się być dość łatwe, ale w praktyce wiele dzieci ma problemy z obliczeniami w zakresie 100 (tak, tak - tabliczka mnożenia), więc dobrze byłoby im w tym jakoś pomóc. Jak tego dokonać? Poniżej pokażę przełomowe odkrycie, które pozornie znają wszyscy, a jakby nikt nie stosuje (?!).

Otóż najkrócej mówiąc - istnieje jedna zasada, która w prosty sposób pozwala na określenie czy dana liczba jest podzielna przez 3 lub przez 9. I dodam, że jest ona jeszcze łatwiejsza niż ta przekazywana w szkole... chociaż dokładniej mówiąc jest jej niezwykle sprytnym przedłużeniem (!).

Na czym polega postęp i odkrycie związane z podzielnością? Otóż nikt głośno nie mówi o tym, że proces można powtarzać tyle razy, aż dojdziemy do ostatecznej wersji (?!). Ja tego nie słyszałem i nikt z uczniów (w tym ludzi dorosłych), których o to pytałem... również nie ma o tym bladego pojęcia!

CECHA PODZIELNOŚCI PRZEZ 3:

Przykładowo jeśli mamy liczbę 963963963, to jeśli efektywnie zliczymy, wówczas suma cyfr wynosi 6x9= 54. I teraz nie dzielimy tej liczby przez 3, tylko robimy jeszcze raz to samo, czyli kolejne sumowanie cyfr, dotąd aż uzyskamy liczbę jednocyfrową. Zatem z liczby 54 (po dodaniu jej wszystkich cyfr) uzyskujemy (jednocyfrową) liczbę 9. A teraz już wiadomo, że 9 jest podzielna przez 3, więc z tego wniosek, że pierwotna liczba jest również podzielna przez 3.

CECHA PODZIELNOŚCI PRZEZ 9:

Zobaczmy teraz liczbę 45729063531, której suma cyfr wynosi 5x9= 45. I teraz znowu nie dzielimy tej liczby przez 9, tylko robimy jeszcze raz to samo, czyli jeszcze jedno sumowanie cyfr. Zatem z liczby 45 (po dodaniu jej wszystkich cyfr) uzyskujemy liczbę 9. I tak jak poprzednio wiadomo, że jeśli ta końcowa jednocyfrowa liczba 9 jest podzielna przez 9, wówczas pierwotna liczba również jest podzielna przez 9.

Poniżej w tabeli zebrałem przykładowe wartości (liczby), które pokazują, że pomysł jest bardzo prosty, a zarazem ogromnie efektywny. W obu tabelach pokazałem wyłącznie liczby podzielne przez 3 bądź 9, tak aby maksymalnie skrócić wykład. Przykłady do sprawdzenia siebie będą na końcu.

Dlaczego to przełomowe odkrycie zasługuje na Medal Fieldsa? Otóż dlatego, że dzięki zastosowaniu tej metody poprawność określania podzielności liczby (w naszym wypadku przez 3 i 9) wzrośnie do poziomu bliskiego 100%! Dlaczego? Ponieważ w przypadku podzielności przez 3, końcowa wartość sumy cyfr musi dawać 3, 6 lub 9, natomiast w przypadku podzielności przez 9... musi to być jedynie 9. Widzimy, że wystarczy tylko sprowadzić dowolną liczbę do postaci tylko jednej cyfry! Czy można oczekiwać czegoś więcej?! Przecież tę czynność będzie potrafił wykonać nawet 6-8 latek, prawda?

Postęp jest moim zdaniem potężny, ponieważ przy prawidłowym sumowaniu można stwierdzić, że do oceny podzielności przez 3 mamy tylko 3 możliwości, zaś dla 9 - wyłącznie jedną. Nie muszę chyba wspominać jakie ogromne znaczenie ma to dla dzieci, które mają trudności z rachunkami oraz opanowaniem tabliczki mnożenia.

Pojawia się pytanie czy w badaniu większości liczb wystarczy podwójne sumowanie. W praktyce szkolnej (aż do poziomu matury lub wyższego poziomu konkursów matematycznych) okazuje się, że jak najbardziej wystarcza. Otóż w obu wypadkach (podzielność przez 3 i 9) pierwsza wartość sumy (kolumna A) nie może przekroczyć 99, do tego aby nie była potrzebna dodatkowa (kolumna B jako ostatnia).

Jeśli przyjrzymy się bliżej, to zrozumiemy, że maksymalna wartość pierwszej sumy jest na tyle duża, że można śmiało powiedzieć, że pozwala na zbadanie absolutnie każdej liczby 11-cyfrowej (zapisanej wyłącznie dziewiątkami), a w praktyce nawet 16-18 cyfrowych (jeśli będą występowały cyfry nie większe niż 4 lub 5 w przynajmniej co drugiej cyfrze danej liczby). Przykładowo liczby: 182736455463728190, 45544554455454455445 bez problemu mogą zostać ocenione za pomocą tej metody. W skrócie - wartość pierwszej sumy nie może przekroczyć 99, co niemal zawsze wystarcza.

Z kolei w drastycznych przypadkach można sprawdzać takie niesamowicie długie kolosy jak chociażby ten: 108 217 326 435 544 654 763 872 981 090. Tak, tak! - otóż nawet 30-cyfrowa liczba jest bez problemu możliwa do oceny względem jej podzielności... i to za pomocą zaledwie podwójnego sumowania! Czyż to nie wspaniałe? Czy to nie jest w pełni wystarczające? Przy okazji można sprawdzić tę ostatnią liczbę (czy jest podzielna przez 3 lub 9)... a dla ciekawego umysłu i wprawnego oka odnaleźć algorytm za pomocą którego została zapisana. A jeśli znajdzie się ktoś kto chce mieć ogromną radość, to niechaj spróbuje ją przeczytać... ostrzegam, że będzie niesamowita zabawa!

Magiczna tabela - do wykorzystania jako sprawdzenie podzielności wybranych liczb przez 3

Magiczna tabela - do wykorzystania jako sprawdzenie podzielności wybranych liczb przez 9

Podsumowując: efektywne sposoby czekają na nas tuż za rogiem. Całą sztuką jest to, aby poszukiwać ich oraz odkrywać, a także mieć odwagę tworzenia i błądzenia. Dzięki temu można łatwo odkrywać takie sposoby wyjaśniania i uczenia matematycznych zagadnień o jakim nie śniło się naukowcom w XXI wieku! Życzę wszystkim powodzenia w poszukiwaniach i odkryciach!... i przy okazji dziękuję mojej Mistrzyni Agacie za niezwykłą inspirację, luźne i wszechstronne dyskusje, rozmowy i wymianę pomysłów oraz zachęcanie do odkrywania piękna matematyki i dzielenia się nią z innymi! :)

PS. Jeśli jesteś nauczycielem to spróbuj tę metodę pokazać, wyjaśnić jak też solidnie przećwiczyć ze swoimi uczniami (powyżej są przykłady do zastosowania na lekcjach) i uważnie patrz na radość oraz postępy dzieci, które w końcu zaczną wierzyć w swoje możliwości. Jeśli zacznie ci się serce radować, to już będziesz wiedział/a dlaczego tak bardzo fascynuje mnie poszukiwanie i dzielenie się najbardziej efektywnymi metoda i sposobami pracy ;) :).