NWW i NWD - co o tym wiemy oraz z czym to się je (4)

Zanim przystąpimy do zadań związanych z wielokrotnością oraz dzielnikiem, to najpierw proponuję przyjrzeć się czemuś, co pozornie wszyscy robią, ale jakby nikt głośno i wyraźnie o tym nie mówi. To tak jakbyśmy wszyscy mieli okulary, ale nikt z nich ich nie czuł na własnym nosie i mógł zobaczyć ich w lustrze.

Wszyscy już doskonale wiemy, że NWW to najmniejsza wspólna wielokrotność. Czemu najmniejsza? Otóż dlatego, że największa nie istnieje! Jeśli znajdziemy najmniejszą wspólną wielokrotność, to potem mnożenie jej przez 2, 3, 4, 5 i tak w nieskończoność będzie pokazywało kolejne coraz większe wielokrotności. Stąd właśnie potrzeba znalezienia tej najmniejszej to najwcześniejszej.

No dobrze. Jednak pytanie w jakim celu ją wykorzystujemy?

NWW zawsze stosujemy, gdy chcemy określić wspólny mianownik dla ułamków, które mają różne mianowniki. Bez tego nie sposób ani dodawać ani odejmować ułamki, które nie mają wspólnego mianownika.

I teraz mamy 3 przypadki:

1) Mianowniki obu ułamków to liczby pierwsze.

Co wówczas? Wtedy NWW będzie po prostu ich iloczynem.

Przykładem niech będą ułamki 2/5 i 3/7. Mamy części piąte i siódme, więc obie są liczbami pierwszymi, zatem mnożymy je przez siebie: 5*7=35. I teraz, gdy mamy już wspólny mianownik, to po ich rozszerzeniu możemy już dodać bądź odjąć je od siebie.

2) Mianowniki jednego ułamka to liczba pierwsza, zaś drugiego - złożona.

W takim wypadku również musimy postąpić jak w poprzednim wypadku, ponieważ nie mają one wspólnych czynników (można to sprawdzić w rozkładzie na czynniki pierwsze).

Przykład to 3/7 + 7/12. Ustalamy wspólny mianownik jako mnożenie obu mianowników 7*12=84. Reszta identyczna jak powyżej.

3) Mianowniki obu ułamków to liczby złożone.

Wyznaczymy NWW dla dwóch liczb (mianowników).

Załóżmy, że chcemy znaleźć NWW (16,24). Co robimy? Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze w tabeli (16 = 2*2*2*2, zaś 24 = 2*2*2*3), a potem nanosimy je na dwa koła z wyróżnioną częścią wspólną. W ten sposób nie ma szans na pomylenie wartości NWW.

Zaznaczamy w obu liczbach wspólne czynniki (najlepiej wziąć je w kółeczka), a potem wpisujemy je w środkową część obu kół ("rybka"). I w jednym z kół dopełniamy pozostałe czynniki rozkładu, zaś w drugim - odpowiednio też te pozostałe.

I teraz zawartość wszystkich liczb w obu kołach (razem z liczbami w środku obu kół, czyli w naszej rybce) to nasza najmniejsza wspólna wielokrotność. Prawda, że proste?

Zerknijmy na kolejny obrazek i zobaczmy co będzie się działo dla liczb 120 i 180. Widzimy, że wspólna wielokrotność zostanie utworzona z rozkładu obu liczb w postaci dwóch kółek z częścią wspólną. Przy okazji za chwilę omówimy największy ich dzielnik, ale wprawne oko już może zobaczyć "wspólną rybkę", prawda?

Ciekawa koncepcja rybki i śmiesznych (dziwnych) okularów... jest warta co najmniej kilkuset dolarów!

Jest jeszcze jedna istotna sprawa (przypomnienie z części pierwszej). Zapamiętajmy, że najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) niemal zawsze jest liczbą większą aniżeli obie badane. Wyjątkiem jest sytuacja w której jedna z liczb jest wielokrotnością drugiej (np. 36 dla 12 czy też 252 dla 126). Wówczas ta większa zawsze stanowi NWW dla obu z nich (a ta mniejsza to przy okazji NWD). I nie ma wówczas znaczenia czy są to liczby pierwsze czy też złożone. I właśnie dlatego dla takich par liczb jak chociażby 15 i 45, 8 i 24, 20 i 60, 17 i 51, 13 i 39... z automatu ta większa liczba to nasza najmniejsza wspólna wielokrotność.

Warto o tym pamiętać, aby nie musieć niepotrzebnie tracić czasu i energii. Jeśli rozrysujemy sobie dowolną z par (zachęcam do tego), to zobaczymy, że w jednym z kół będzie jakaś liczba, a druga część koła (część poza rybką) pozostanie pusta. I jak już wiemy, wymnożenie wszystkich części w tym wypadku będzie polegało na zapisaniu jedynie tej większej liczby (wielokrotności tej wspólnej części w naszej "rybce").

Proste spojrzenie na kółka lub też nasza rybka... i wiemy już wszystko - bo NWW i NWD to pestka! Iloczyn we wszystkich kółkach (NWW) to 1680, zaś w iloczyn w rybce (NWD) to 60.

Proste spojrzenie na kółka lub też nasza rybka... i wiemy już wszystko - bo NWW i NWD to pestka! Iloczyn we wszystkich kółkach (NWW) to 768, zaś w iloczyn w rybce (NWD) to 64.

Kolej na drugą koncepcję, czyli NWD - jak doskonale pamiętamy jest to największy wspólny dzielnik. Pojawia się kolejne pytanie: w jakim celu wykorzystujemy tę koncepcję? Otóż najprościej mówiąc, najczęściej wykorzystujemy do skracania ułamków, czyli jednoczesnego dzielenia licznika i mianownika przez największą możliwą liczbę (dla obu z nich tę samą). Po takim procesie ułamek zawsze będzie miał formę nieskracalną.

Zobaczmy kilka prostych przykładów.

Jaką nieskracalną postać będą miały następujące ułamki po skróceniu przez największy dzielnik? Weźmy na warsztat takie oto ułamki: 240/420, 192/256 oraz 20/160?

I znowu wykonujemy następujące kroki - czyli określamy NWD dla obu liczb (licznika i mianownika). W jaki sposób? Oto moja recepta!

1) Robimy rozkład na czynniki pierwsze dla obu liczb (w mini-tabelach).

2) Zaznaczamy w obu liczbach wspólne czynniki (najlepiej wziąć je w kółeczka), a potem wpisujemy je w środkową część obu kół (nasza mała "rybka"). I w jednym z kół dopełniamy pozostałe czynniki rozkładu, zaś w drugim - odpowiednio też te pozostałe.

3) Obliczamy iloczyn wszystkich liczb w środkowej części obu kół (czyli w rybce - patrz dwa, trzy bądź nawet cztery poprzednie rysunki wyżej). Po jego obliczeniu już wiemy jaki będzie nasz największy wspólny dzielnik (można narysować strzałkę od rybki poniżej i zapisać wartość, aby nie zapomnieć).

4) Dzielimy nasz ułamek przez JEDEN, ale w takiej postaci, aby zarówno w liczniku jak i mianowniku była identyczna wartość NWD (tak, dokładnie ta którą przed chwilą obliczyliśmy).

5) Wykonujemy dzielenie licznika i mianownika (w poziomie) i wpisujemy końcowy wynik w postaci ułamka nieskracalnego.

EDIT: [AKTUALIZACJA] drobna poprawka - na powyższej tablicy za każdym razem zamiast NWW ma być oczywście NWD (chodzi o ostatnie dwa podpisy ułamków)

Pamiętajmy, że tak naprawdę skracanie, to sprytne dzielenie przez jeden, ale nasza jedynka zostaje zapisana poprzez ułamek o wartości NWD zarówno w liczniku jak i w mianowniku. Dzięki temu zmienia się forma, ale nie zmienia się wartość? Jak to zrozumieć? Otóż zmienia się to, że zamiast dwóch monet po 5 złotych mamy jeden banknot 10-złotowy, ale wartość była i nadal jest identyczna, prawda? No to właśnie o to chodziło! :). Mam nadzieję, że teraz jest to jasne jak słońce.

Dodam jeszcze, że większość bardziej zaawansowanych matematycznie dzieci robi operacje skracania (podobnie jak i rozszerzania) automatycznie. Ja natomiast rozebrałem to na czynniki pierwsze, stąd wrażenie, że to wszystko może wydać się albo złożone albo wręcz trudne. W praktyce do uzyskania biegłości wymagana jest tylko dobra umiejętność mnożenia i dzielenia. Reszta to tylko podążanie właściwą drogą (podanym sposobem).

Podsumowanie: jeśli mamy konieczność skrócenia ułamka, wówczas znajdujemy dla licznika i mianownika "rybkę", czyli to co jest wspólne dla obu liczb i co możemy "wykroić" z nich jednocześnie. Jeśli wykroimy jak najwięcej, wówczas nie będzie już trzeba nic dodatkowo obrabiać. Stąd właśnie największy (maksymalny) wspólny dzielnik - w skrócie NWD.

Natomiast w przypadku, gdy chcemy znaleźć wspólną część (mianownik), która będzie pozwalała nam na to, aby odejmować lub dodawać ułamki, wówczas z pomocą przychodzi nam poszukiwanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW) - czyli iloczynu pełnych dwóch kół (wraz z "rybką" w środku pomiędzy nimi). Jak ktoś chce to może to nazwać poszukiwaniem (iloczynu) okularów czy w jeszcze inny sposób (patrz wierszyk poniżej). Ważne, aby obie koncepcje były zrozumiałe, ponieważ w zadaniach praktycznych będzie to ułatwiało i przyspieszało zarówno zrozumienie jak i obliczenia.

Przy okazji jeśli ktoś jest nadal absolutnie przekonany, że ta koncepcja jest nie do opanowania (zrozumienia) dla dzieci 7-8 letnich, to spróbuję wprowadzić w stan drobnej niepewności (czy chociażby refleksji). Proszę dać dzieciom do zapamiętania taki oto przykładowy wierszyk:

NWD - poszukujesz max-dzielnika, oblicz (wyznacz) rybkę z pojemnika ("Gdy chcesz wyznaczyć max-dzielnika, to uratuj rybkę z pojemnika")

NWW - wspólna wielokrotność to nie czary-mary, narysuj dwa kółka i znajdź (oblicz) okulary! ("... rysujesz dwa kółka i masz okulary!")

Mam nadzieję, że w następnej odsłonie uda nam się w końcu przejść do zadań praktycznych. Nieskromnie dodam, że kompletnie nie podejrzewałem, że ten temat będzie wymagał więcej niż 2-3 odcinków. Niemniej wychodzi na to, że temat chyba wart jest docenienia, bo często jest pomijany lub realizowany od niechcenia. A ja nie sądzę, że zgłębiając go bardziej... mamy cokolwiek do stracenia!