NWW i NWD - co o tym wiemy oraz z czym to się je (3)

Było co nieco na temat tego w jaki sposób szukać (wyznaczać) NWD i NWW, przy okazji udało nam się omówić algorytm Euklidesa, więc pora na coś więcej. Mam na myśli to, co sprawia, że zaczynamy rozumieć sens poszukiwania (i obliczania) największego wspólnego dzielnika czy też najmniejszej wspólnej wielokrotności. Podejrzewam, że naprawdę wiele osób ma spore problemy ze zrozumieniem tego czemu to tak naprawdę służy i czy w ogóle może być praktyczne.

Warto wiedzieć, że pomiędzy liczbami a NWW i NWD zachodzą pewne relacje. Ich zrozumienie powinno znacząco poszerzyć zrozumienie tego tematu, co będzie miało odbicie w kolejnym odcinku.

Najpierw zerknijmy na takie oto wzory:

1) wyznaczanie Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności: NWW(a,b) = a*b / NWD(a,b).
2) wyznaczanie Największego Wspólnego Dzielnika: NWD(a,b) = a*b / NWW(a,b).
3) wyznaczenie (porównanie) iloczynu NWW i NWD jako iloczynu obu liczb (a,b): a*b = NWW * NWD.

Zobaczmy na kilku przykładach jak to właściwie działa. Tabela nam powinna wszystko wyjaśnić.

Tabela nr 1 - liczbowy zapis matematyczny, który raczej nie sprzyja pełnemu zrozumieniu tej koncepcji

Widzimy w kolumnie pierwszej liczby wstępne (te na których operujemy), potem ich rozkład na czynniki pierwsze, następnie NWD, NWW i w ostatniej kolumnie relacja między iloczynem liczb a iloczynem NWW i NWD.

Kluczowe tak naprawdę jest to, aby poprawnie rozłożyć obie liczby na czynniki pierwsze. I tak:
a) wartość NWD to iloczyn wszystkich czynników danej liczby, które powtarzają się w obu liczbach (wstępnych) - kolor niebieski
b) wartość NWW to iloczyn wszystkich pozostałych czynników danej liczby [po wykreśleniu (jak kto woli - podzieleniu) tych, które się w obu powtarzają], pomnożony przez drugą liczbę - kolor czerwony
c) równość obu stron: NWD*NWW = a*b

Teraz warto przyjrzeć się tym przykładom w tabeli (mała analiza) i przejrzeć je na spokojnie. Zapewne nie jest to najlepsze rozwiązanie, ale za chwilę pokażę jak można to zrobić znacznie lepiej, a na pewno bardziej zrozumiale dla dziecka.

Wiele osób (w tym rzecz jasna również i dzieci) ma duże trudności z wyobrażeniem sobie tego zagadnienia poprzez pryzmat samych liczb. Z pomocą zatem niech przyjdzie nam coś co jest znacznie łatwiejsze do zrozumienia... czyli zbiory, pieszczotliwie nazywane pętelkami czy kółeczkami. W jaki sposób nam one pomogą? Zobaczmy...

Rysunek nr 1 - zbiory czy pętelki, kto to w mig pojmie lub też łatwo zrozumie... ten będzie wielki!

Weźmy na warsztat dwie liczby: 36 i 126. Znajdźmy dla nich zarówno NWD jak i NWW. Czy to zadanie będzie wyjątkowo trudne?

1. Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze.
2. Zaznaczamy wszystkie liczby, które powtarzają się w rozkładach obu liczb (zielonym kolorem w kółeczkach).
3. Rysujemy dwa zbiory jako reprezentacje liczb.
4. W części wspólnej (środkowej) wpisujemy wszystkie liczby, które zaznaczyliśmy w rozkładzie na zielono (te same).
5. Uzupełniamy zbiór (i zarazem liczbę) po lewej stronie tymi czynnikami, które pozostały w jej rozkładzie.
6. Uzupełniamy zbiór (i zarazem liczbę) po prawej stronie tymi czynnikami, które pozostały w jej rozkładzie.
7. W pobliżu jednej i drugiej liczby (poza obwodem kółka) można zapisać jej pełną wartość. Nie jest to konieczne, ale jednak może okazać się bardzo przydatne (patrz strzałka od czerwonej liczby 36 i niebieskiej 126).

Pierwszy krok za nami. Można samodzielnie sprawdzić czy wartości obu liczb w "kołowym rozkładzie się zgadzają". Jeśli wymnożymy środkową część z pozostałymi czynnikami po lewej, to otrzymamy liczbę 36, a z tymi po prawej - liczbę 126. Można przy okazji zerknąć na rozkład w obu tabelach - jest to dokładnie to samo, ale chyba znacznie mniej oczywiste, prawda?

Przejdźmy teraz do koncepcji Największego Wspólnego Dzielnika, w skrócie zwanego NWD. Jak sama nazwa wskazuje musi on być wspólny dla obu liczb - a wspólna część obu kół, to czynniki zaznaczone na zielono (2*3*3). Widać wyraźnie z rysunku, że to właśnie nasza poszukiwana wartość dla obu liczb (36 i 126).

Rysunek nr 2 - wspólny dzielnik, więc dzieli wspólnie oba koła lub obie pętelki! Proste jak drut.. lub jak okrąg!

A teraz zobaczymy na naszego nieco bardziej nieposłusznego łobuza - czyli Najmniejsza Wspólna Wielokrotność, nazywana NWW. Jak ją wyznaczymy? Otóż wystarczy zobaczyć na wszystkie czynniki w obu kołach i zarazem w środku... i je przepisać, a potem poprawnie obliczyć ich iloczyn. Powiadają, że jeden rysunek jest wart tysiąca słów. Tutaj może to być bliskie prawdy.

Rysunek nr 3 - gdyby NWW była przed twoimi oczami we wnętrzu każdego koła, to kto tej koncepcji opanować nie zdoła?!

I na koniec zerknijmy jeszcze na łańcuszki, którymi można nieco szybciej (prościej) wyznaczać nasz NWW. Zwróćmy uwagę na magiczne niebieskie łańcuszki (przerywane linie), które łączą się z odpowiednimi liczbami.

Rysunek nr 4 - Metoda łańcuszkowa to nie tylko dziś moda, lecz więcej pomysłów w twojej głowie zapoda! A gdy to w końcu opanujesz to szybko, to gratulacje ci złoży... sam Mistrz Joda!

W pierwszej badanej liczbie, po jej rozkładzie i usunięciu części wspólnej (pola zielone) pozostała jedynie liczba 7. Jeśli pomnożymy ją przez całkowitą drugą liczbę (36), wówczas otrzymamy NWW dla obu wyjściowych liczb, czyli 252. A gdyby tak sprawdzić czy w przypadku drugiej liczby także zachodzi ta relacja? No to zobaczmy! Bierzemy z drugiej liczby resztę jej rozkładu (liczbę 2) i mnożymy ją przez całkowitą pierwszą liczbę (126). I co otrzymujemy? Tak! To właśnie ta sama wartość, która przed chwilą została obliczona. No dobrze, ale dlaczego to się nazywa metoda łańcuszkowa? Otóż dlatego, że za pomocą łańcuszka łączymy te liczby i dzięki temu mamy pewność, że końcowa wartość będzie dobrze zapisana (i miejmy nadzieje również obliczona).

Jako ćwiczenia dodatkowe proponuję poćwiczyć:
1. Rozkład liczb na czynniki pierwsze.
2. Rozrysowywanie kółek i zbiorów i na tej podstawie wyznaczanie NWD i NWW.
3. Metodę łańcuszkową i na tej podstawie wyznaczanie NWD i NWW.

Gwarantuję, że po świadomym i rozumnym przerobieniu kilkunastu lub kilkudziesięciu ćwiczeń... nagle może okazać się, że te oba pojęcia są znacznie łatwiejsze aniżeli ich mało zachęcająca nazwa czy potoczne wyobrażenie o "kosmicznie trudnych" rzeczach.

Podsumowanie: podzielenie iloczynu dwóch liczb przez ich NWW daje nam NWD, zaś przez NWD daje.. NWW! Do tego zawsze zachodzi równość pomiędzy iloczynem obu liczb a iloczynem NWW i NWD. Przy okazji istnieje relacja pomiędzy kilkoma elementami tego procesu. Mianowicie sprawne posługiwanie się tabliczką mnożenia i dzielenia daje możliwość operowania na liczbach. Następnie znajomość cech podzielności zwiększa efektywność obliczeń przy rozkładzie na czynniki pierwsze. Z kolei ten rozkład daje nam możliwość spojrzenia czy wręcz prześwietlenia obu liczb tak jak na zdjęciu zrobionym za pomocą promieni rentgena. I jeśli potrafimy jeszcze odnaleźć wspólne czynniki w obu liczbach, to praktycznie mamy z głowy NWD.

A jak się dobrać do NWW? Otóż w przypadku, gdy skreślimy w jednej liczbie te same czynniki, które występują w drugiej, to pozostają wyłącznie czynniki, których iloczyn daje nam NWW. No i oczywiście można sobie życie uławić za pomocą narysowania zbiorów i używania metody łańcuszkowej. Każdy może samodzielnie zdecydować, która metoda najbardziej mu się podoba i go w pełni przekonuje. A właśnie o to chodzi, żeby odnaleźć i stosować to co nam najbardziej pasuje.

W kolejnej odsłonie powiemy sobie o przydatności tych pojęć nie tylko w matematyce, ale i w praktycznym życiu. Przy okazji przekonamy się w jaki sposób mogą być one stosowane do sensownego rozwiązywania zadań. Jak ktoś chce samodzielnie nieco pogłówkować to zapraszam do zastanowienia się nad tym dlaczego w NWD pierwsze słowo to największy (dzielnik), zaś w przypadku NWW - najmniejsza (wielokrotność). Podpowiem, aby pobawić się nieco i spróbować zamienić te słowa... i wtedy zobaczyć czy dalej oba pojęcia będą miały sens. W razie trudności nie trzeba się stresować, bo już niebawem wszystko wyjaśnię i pokażę z czym to się je.