W poprzednim odcinku omówiliśmy sobie sytuacje w których mamy do czynienia z iloczynem lub ilorazem dwóch liczb całkowitych. W tym odcinku będziemy mogli tę wiedzę wykorzystać do tego, aby zrozumieć kolejne poziomy na których osadzone jest zagadnienia wielokrotności i dzielników. Zawczasu uprzedzam, że dzisiejszy wykład może okazać się nieco trudniejszy, więc jeśli ktoś nie zrozumie o co chodzi za pierwszym razem, to zachęcam aby przeczytać artykuł po raz kolejny. Stopniowo wszystko powinno się zacząć rozjaśniać.
Kontynuujemy temat związku wielokrotności z dzielnikami.
Każda podstawowa liczba tworząca wielokrotność jest jednocześnie dla niej dzielnikiem. Przykładowo liczba 16 jest wielokrotnością dla 2, 4, 8 i 16. Zatem wszystkie z tych liczb są dzielnikami liczby 16. Analogicznie dla liczby 20 - jest wielokrotnością dla 2, 4, 5, 10 i 20, zatem także te liczby są jej dzielnikami. Przy okazji mała uwaga: nie biorę pod uwagę jedynki jako, że jest ona zawsze dzielnikiem dla każdej z liczb, a jednocześnie niewiele nam pomaga w dalszych poczynaniach.
No i tak jak poprzednio wspominałem - każdy dzielnik danej liczby przy pomnożeniu przez liczbę całkowitą musi dać liczbę wyjściową. Przykładowo jeśli liczba 8 jest dzielnikiem dla 24, wówczas wielokrotność liczby 8 (iloczyn przez liczbę całkowitą) musi dać liczbę 24 (wyjściową). W przeciwnym wypadku ósemka nie byłaby (nie jest) dzielnikiem dla 24. To tak gwoli przypomnienia, aby kolejne rozważania lepiej się układały w głowie.
Zastanówmy się dlaczego sito Eratostenesa jest świetną pomocą do wyznaczania liczb pierwszych (w zakresie do 100).
Otóż zaraz się przekonamy jak niezwykła idea kryje się za tą matematyczną zabawą (algorytmem). Najpierw jednak krótki zarys tego w jaki sposób wykorzystujemy sito do tego, aby odsiać liczby złożone, tak aby pozostały jedynie liczby pierwsze.
KROK 1: Rysujemy lub też drukujemy (można też wyciąć) kwadratową tabelę 10x10.
KROK 2: Wypisujemy w tabeli liczby od 1 do 100. Można to zrobić w liniach poziomych (wiersze) lub pionowych (kolumny). Zwykle spotyka się tę tabelę z wpisanymi liczbami w wierszach, ale nie ma przeszkód, aby zrobić je w kolumnach.
KROK 3: Zamalowujemy (wykreślamy albo nawet wycinamy) całkowicie kwadrat z liczbą 1, jako że nie jest ona ani liczbą pierwszą ani złożoną.
KROK 4: Bierzemy w kółko liczbę 2, a następnie wykreślamy każdą kolejną jej wielokrotność. Inaczej mówiąc wykreślamy z tabeli kwadraty z wpisanymi liczbami: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 i tak aż do ostatniej liczby 100.
KROK 5: Bierzemy w kółko liczbę 3, a następnie wykreślamy każdą kolejną jej wielokrotność. Inaczej mówiąc wykreślamy z tabeli kwadraty z wpisanymi liczbami: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 i tak aż do ostatniej liczby 99. Zauważmy, że parzyste wielokrotności trójki (6=2x3, 12=4x3, 18=6x3, 24=8x3) zostały już wykreślone (usunięte) za pomocą kroku czwartego w którym wykreślaliśmy wielokrotności dwójki. Wychodzi na to, że aby nie wykreślać po raz kolejny wykreślonych liczb, można zająć się jedynie tymi, którymi są nieparzyste wielokrotności trójki (9=3x3, 15=5x3, 21=7x3, 27=9x3). Sprawne oko zauważy, że wykreślamy "co szóstą" liczbę, poczynając od 9.
KROK 6: Bierzemy w kółko liczbę 5, a następnie wykreślamy każdą kolejną jej wielokrotność. Inaczej mówiąc wykreślamy z tabeli kwadraty z wpisanymi liczbami: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 i tak aż do ostatniej liczby 100.
Zauważmy, że parzyste wielokrotności piątki (10=2x5, 20=4x5, 30=6x5, 40=8x5) zostały już wykreślone (usunięte) za pomocą kroku czwartego w którym wykreślaliśmy wielokrotności dwójki. Wychodzi na to, że aby nie wykreślać po raz kolejny wykreślonych liczb, można zająć się jedynie tymi, którymi są nieparzyste wielokrotności piątki (15=3x5, 25=5x5, 35=7x5, 45=9x5). Wiele dzieci szybko odkryje, że wykreślamy "co dziesiątą" liczbę, poczynając od 15.
KROK 7: Bierzemy w kółko liczbę 7, a następnie wykreślamy każdą kolejną jej wielokrotność. Inaczej mówiąc wykreślamy z tabeli kwadraty z wpisanymi liczbami: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70 i tak aż do ostatniej liczby 98.
Zauważmy, że parzyste wielokrotności siódemki (14=2x7, 28=4x7, 42=6x7, 56=8x7) zostały już wykreślone (usunięte) za pomocą kroku czwartego w którym wykreślaliśmy wielokrotności dwójki. Wychodzi na to, że aby nie wykreślać po raz kolejny wykreślonych liczb, można zająć się jedynie tymi, którymi są nieparzyste wielokrotności siódemki (21=3x7, 35=5x7, 49=7x7, 63=9x7). I także tutaj wystarczy nieco sprytu, aby zrozumieć, że wykreślamy "co czternastą" liczbę, poczynając od 21.
W ten oto sposób pozostałe (niewykreślone) liczby to właśnie nasze poszukiwane liczby pierwsze. I co istotne - mają one tylko dwa dzielniki - samą siebie oraz jedynkę. Możemy w pewnym uproszczeniu powiedzieć, że są już niepodzielne.
Warto w tym miejscu zastanowić się nad kilkoma kluczowymi kwestiami. Jedną z najbardziej tajemniczych spraw jest to, że niewiele dzieci posiada wiedzę na temat tego dlaczego nie wykreślaliśmy (wielokrotności) liczb: 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, i tak dalej. Co sprawia, że wystarczyło na tylko wykreślanie wielokrotności 2, 3, 5 i 7? Oto wyjaśnienie tej skrywanej przez lata tajemnicy.
1) Każda wielokrotność dwójki (4, 6, 8, 10, 12) jednocześnie pomogła nam znaleźć (wykreślić) wielokrotność liczby 4 (4, 8, 12, 16, 20, 24 itd.).
2) Każda parzysta (!) wielokrotność trójki (6=2x3, 12=4x3, 18=6x3, 24=8x3, 30=10x3) jednocześnie pomogła nam znaleźć (wykreślić) wielokrotność liczby 6 (6, 12, 18, 24, 30 itd.). Pamiętajmy, że nieparzyste wielokrotności trójki (9=3x3, 15=5x3, 21=7x3, 28=9x3 itd.) nie są wielokrotnościami szóstki, więc to jest powód dla którego liczba 6 musi być jednocześnie podzielna przez 2 i 3.
3) Każda wielokrotność dwójki (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24) jednocześnie pomogła nam znaleźć (wykreślić) wielokrotność liczby 8 (8, 16, 24, 32 itd.).
4) Każda nieparzysta (!) wielokrotność trójki (9=3x3, 27=9x3, 45=15x3, 63=21x3, 81=27x3, 99=33x3) jednocześnie pomogła nam znaleźć (wykreślić) wielokrotność liczby 9 (9, 27, 45, 63, 81, 99). Pamiętajmy, że parzyste wielokrotności dziewiątki (18=2x9, 36=4x9, 54=6x9, 72=8x9, 90=10x9) zostały znalezione (wykreślone) przez wielokrotności liczby 2. Przy okazji z powyższego powinno być oczywiste, że każda liczba podzielna przez 9 musi być jednocześnie podzielna przez 3.
5) Każda parzysta wielokrotność piątki (a tak naprawdę to dwójki!) sprawiła, że liczby będące wielokrotnością dziesiątki (10, 20, 30, 40 itd.) zostały już wcześniej znalezione (wykreślone), bo parzyste wielokrotności piątki są zarazem dzielnikami dla wszystkich wielokrotności liczby 10.
Z powyższego widzimy, że (pierwsze) prawidłowe wykreślanie wielokrotności dwójki sprawiło, że nie musimy wykreślać kolejnych parzystych wielokrotności tej dwójki. Nie wykreślamy zatem liczb podzielnych przez 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ponieważ każda z nich jest już wielokrotnością dwójki (czyli została już wykreślona). W ten oto sposób odpadł nam problem sprawdzania podzielności przez wszelkie liczby parzyste.
Pojawia się od razu naturalne pytanie - a co z liczbami nieparzystymi? Skąd wiadomo przez które z nich mamy dzielić i sprawdzać?
Wśród nieparzystych liczb mamy liczby pierwsze i złożone. I o ile te liczby pierwsze zostały nam na samym końcu, to znaczy że nie miały żadnych ("normalnych") dzielników poza dwoma, które wynikają z definicji (dzielą się przez siebie samą i przez jeden). Natomiast ("normalne") liczby nieparzyste (czyli te, które nie są pierwszymi) musiały być podzielne przez 3, 5, 7... lub też być nieparzystymi wielokrotnościami liczb pierwszych! To ci dopiero odkrycie, prawda?!
W następnym odcinku będziemy kontynuowali nasze rozważania, bo czuję, iż w tym momencie artykuł jest na tyle obszerny, że resztę przemyśleń, odkryć i wniosków dobrze będzie opisać w kolejnej odsłonie.
Podsumowanie: sito Eratostenesa stanowi doskonałą formę przedstawienia procesu dzięki któremu następuje wyłowienie liczb pierwszych. Dobrze jest przemyśleć to w jaki sposób podawać dzieciom możliwość odkrywania i tworzenia wniosków oraz zależności, które na pierwszy rzut oka mogą być niewidoczne. Dobrym pomysłem wydaje się również wykorzystywanie pojęcia wielokrotności, parzystości i nieparzystości wraz z liczbami pierwszymi i złożonymi. Dzięki temu zrozumienie tego czym są i w jaki sposób powstają zarówno dzielniki oraz wielokrotności... powinno przejść na kolejny szczebel matematycznego wtajemniczenia.
Linki do stron z których pobrałem obrazki (różne formy graficzne sita Eratostenesa)
1) https://tex.stackexchange.com/questions/76285/automation-static-array-for-the-sieve-of-eratosthenes
2) https://tex.stackexchange.com/questions/44673/sieve-of-eratosthenes-in-tikz
Kontynuujemy temat związku wielokrotności z dzielnikami.
Każda podstawowa liczba tworząca wielokrotność jest jednocześnie dla niej dzielnikiem. Przykładowo liczba 16 jest wielokrotnością dla 2, 4, 8 i 16. Zatem wszystkie z tych liczb są dzielnikami liczby 16. Analogicznie dla liczby 20 - jest wielokrotnością dla 2, 4, 5, 10 i 20, zatem także te liczby są jej dzielnikami. Przy okazji mała uwaga: nie biorę pod uwagę jedynki jako, że jest ona zawsze dzielnikiem dla każdej z liczb, a jednocześnie niewiele nam pomaga w dalszych poczynaniach.
No i tak jak poprzednio wspominałem - każdy dzielnik danej liczby przy pomnożeniu przez liczbę całkowitą musi dać liczbę wyjściową. Przykładowo jeśli liczba 8 jest dzielnikiem dla 24, wówczas wielokrotność liczby 8 (iloczyn przez liczbę całkowitą) musi dać liczbę 24 (wyjściową). W przeciwnym wypadku ósemka nie byłaby (nie jest) dzielnikiem dla 24. To tak gwoli przypomnienia, aby kolejne rozważania lepiej się układały w głowie.
SITO ERATOSTENESA
Zastanówmy się dlaczego sito Eratostenesa jest świetną pomocą do wyznaczania liczb pierwszych (w zakresie do 100).
Otóż zaraz się przekonamy jak niezwykła idea kryje się za tą matematyczną zabawą (algorytmem). Najpierw jednak krótki zarys tego w jaki sposób wykorzystujemy sito do tego, aby odsiać liczby złożone, tak aby pozostały jedynie liczby pierwsze.
KROK 1: Rysujemy lub też drukujemy (można też wyciąć) kwadratową tabelę 10x10.
KROK 2: Wypisujemy w tabeli liczby od 1 do 100. Można to zrobić w liniach poziomych (wiersze) lub pionowych (kolumny). Zwykle spotyka się tę tabelę z wpisanymi liczbami w wierszach, ale nie ma przeszkód, aby zrobić je w kolumnach.
KROK 3: Zamalowujemy (wykreślamy albo nawet wycinamy) całkowicie kwadrat z liczbą 1, jako że nie jest ona ani liczbą pierwszą ani złożoną.
KROK 4: Bierzemy w kółko liczbę 2, a następnie wykreślamy każdą kolejną jej wielokrotność. Inaczej mówiąc wykreślamy z tabeli kwadraty z wpisanymi liczbami: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 i tak aż do ostatniej liczby 100.
KROK 5: Bierzemy w kółko liczbę 3, a następnie wykreślamy każdą kolejną jej wielokrotność. Inaczej mówiąc wykreślamy z tabeli kwadraty z wpisanymi liczbami: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 i tak aż do ostatniej liczby 99. Zauważmy, że parzyste wielokrotności trójki (6=2x3, 12=4x3, 18=6x3, 24=8x3) zostały już wykreślone (usunięte) za pomocą kroku czwartego w którym wykreślaliśmy wielokrotności dwójki. Wychodzi na to, że aby nie wykreślać po raz kolejny wykreślonych liczb, można zająć się jedynie tymi, którymi są nieparzyste wielokrotności trójki (9=3x3, 15=5x3, 21=7x3, 27=9x3). Sprawne oko zauważy, że wykreślamy "co szóstą" liczbę, poczynając od 9.
KROK 6: Bierzemy w kółko liczbę 5, a następnie wykreślamy każdą kolejną jej wielokrotność. Inaczej mówiąc wykreślamy z tabeli kwadraty z wpisanymi liczbami: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 i tak aż do ostatniej liczby 100.
Zauważmy, że parzyste wielokrotności piątki (10=2x5, 20=4x5, 30=6x5, 40=8x5) zostały już wykreślone (usunięte) za pomocą kroku czwartego w którym wykreślaliśmy wielokrotności dwójki. Wychodzi na to, że aby nie wykreślać po raz kolejny wykreślonych liczb, można zająć się jedynie tymi, którymi są nieparzyste wielokrotności piątki (15=3x5, 25=5x5, 35=7x5, 45=9x5). Wiele dzieci szybko odkryje, że wykreślamy "co dziesiątą" liczbę, poczynając od 15.
KROK 7: Bierzemy w kółko liczbę 7, a następnie wykreślamy każdą kolejną jej wielokrotność. Inaczej mówiąc wykreślamy z tabeli kwadraty z wpisanymi liczbami: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70 i tak aż do ostatniej liczby 98.
Zauważmy, że parzyste wielokrotności siódemki (14=2x7, 28=4x7, 42=6x7, 56=8x7) zostały już wykreślone (usunięte) za pomocą kroku czwartego w którym wykreślaliśmy wielokrotności dwójki. Wychodzi na to, że aby nie wykreślać po raz kolejny wykreślonych liczb, można zająć się jedynie tymi, którymi są nieparzyste wielokrotności siódemki (21=3x7, 35=5x7, 49=7x7, 63=9x7). I także tutaj wystarczy nieco sprytu, aby zrozumieć, że wykreślamy "co czternastą" liczbę, poczynając od 21.
W ten oto sposób pozostałe (niewykreślone) liczby to właśnie nasze poszukiwane liczby pierwsze. I co istotne - mają one tylko dwa dzielniki - samą siebie oraz jedynkę. Możemy w pewnym uproszczeniu powiedzieć, że są już niepodzielne.
Warto w tym miejscu zastanowić się nad kilkoma kluczowymi kwestiami. Jedną z najbardziej tajemniczych spraw jest to, że niewiele dzieci posiada wiedzę na temat tego dlaczego nie wykreślaliśmy (wielokrotności) liczb: 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, i tak dalej. Co sprawia, że wystarczyło na tylko wykreślanie wielokrotności 2, 3, 5 i 7? Oto wyjaśnienie tej skrywanej przez lata tajemnicy.
1) Każda wielokrotność dwójki (4, 6, 8, 10, 12) jednocześnie pomogła nam znaleźć (wykreślić) wielokrotność liczby 4 (4, 8, 12, 16, 20, 24 itd.).
2) Każda parzysta (!) wielokrotność trójki (6=2x3, 12=4x3, 18=6x3, 24=8x3, 30=10x3) jednocześnie pomogła nam znaleźć (wykreślić) wielokrotność liczby 6 (6, 12, 18, 24, 30 itd.). Pamiętajmy, że nieparzyste wielokrotności trójki (9=3x3, 15=5x3, 21=7x3, 28=9x3 itd.) nie są wielokrotnościami szóstki, więc to jest powód dla którego liczba 6 musi być jednocześnie podzielna przez 2 i 3.
3) Każda wielokrotność dwójki (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24) jednocześnie pomogła nam znaleźć (wykreślić) wielokrotność liczby 8 (8, 16, 24, 32 itd.).
4) Każda nieparzysta (!) wielokrotność trójki (9=3x3, 27=9x3, 45=15x3, 63=21x3, 81=27x3, 99=33x3) jednocześnie pomogła nam znaleźć (wykreślić) wielokrotność liczby 9 (9, 27, 45, 63, 81, 99). Pamiętajmy, że parzyste wielokrotności dziewiątki (18=2x9, 36=4x9, 54=6x9, 72=8x9, 90=10x9) zostały znalezione (wykreślone) przez wielokrotności liczby 2. Przy okazji z powyższego powinno być oczywiste, że każda liczba podzielna przez 9 musi być jednocześnie podzielna przez 3.
5) Każda parzysta wielokrotność piątki (a tak naprawdę to dwójki!) sprawiła, że liczby będące wielokrotnością dziesiątki (10, 20, 30, 40 itd.) zostały już wcześniej znalezione (wykreślone), bo parzyste wielokrotności piątki są zarazem dzielnikami dla wszystkich wielokrotności liczby 10.
Z powyższego widzimy, że (pierwsze) prawidłowe wykreślanie wielokrotności dwójki sprawiło, że nie musimy wykreślać kolejnych parzystych wielokrotności tej dwójki. Nie wykreślamy zatem liczb podzielnych przez 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ponieważ każda z nich jest już wielokrotnością dwójki (czyli została już wykreślona). W ten oto sposób odpadł nam problem sprawdzania podzielności przez wszelkie liczby parzyste.
Pojawia się od razu naturalne pytanie - a co z liczbami nieparzystymi? Skąd wiadomo przez które z nich mamy dzielić i sprawdzać?
Wśród nieparzystych liczb mamy liczby pierwsze i złożone. I o ile te liczby pierwsze zostały nam na samym końcu, to znaczy że nie miały żadnych ("normalnych") dzielników poza dwoma, które wynikają z definicji (dzielą się przez siebie samą i przez jeden). Natomiast ("normalne") liczby nieparzyste (czyli te, które nie są pierwszymi) musiały być podzielne przez 3, 5, 7... lub też być nieparzystymi wielokrotnościami liczb pierwszych! To ci dopiero odkrycie, prawda?!
W następnym odcinku będziemy kontynuowali nasze rozważania, bo czuję, iż w tym momencie artykuł jest na tyle obszerny, że resztę przemyśleń, odkryć i wniosków dobrze będzie opisać w kolejnej odsłonie.
SITO ERATOSTENESA - przykładowe prezentacje wykonane przez kreatywnych autorów
Podsumowanie: sito Eratostenesa stanowi doskonałą formę przedstawienia procesu dzięki któremu następuje wyłowienie liczb pierwszych. Dobrze jest przemyśleć to w jaki sposób podawać dzieciom możliwość odkrywania i tworzenia wniosków oraz zależności, które na pierwszy rzut oka mogą być niewidoczne. Dobrym pomysłem wydaje się również wykorzystywanie pojęcia wielokrotności, parzystości i nieparzystości wraz z liczbami pierwszymi i złożonymi. Dzięki temu zrozumienie tego czym są i w jaki sposób powstają zarówno dzielniki oraz wielokrotności... powinno przejść na kolejny szczebel matematycznego wtajemniczenia.
Linki do stron z których pobrałem obrazki (różne formy graficzne sita Eratostenesa)
1) https://tex.stackexchange.com/questions/76285/automation-static-array-for-the-sieve-of-eratosthenes
2) https://tex.stackexchange.com/questions/44673/sieve-of-eratosthenes-in-tikz
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz
Jeśli chcesz, aby twoja wiadomość nie została odrzucona przez system jako spam (usunięte), to podpisz się swoim imieniem lub pseudonimem. Dziękuję :)