Koniec rozważań w poprzednim artykule opierał się na pytaniu: a co z liczbami nieparzystymi? Skąd wiadomo przez które z nich mamy dzielić i sprawdzać?
Zaznaczyłem wyraźnie, że wśród nieparzystych liczb mamy liczby pierwsze i złożone. I o ile te liczby pierwsze zostały nam na samym końcu, to znaczy że nie miały żadnych ("normalnych") dzielników poza dwoma, które wynikają z definicji (dzielą się przez siebie samą i przez jeden). Natomiast ("normalne") liczby nieparzyste (czyli te, które nie są pierwszymi) musiały być podzielne przez 3, 5 lub 7... lub też być nieparzystymi wielokrotnościami liczb pierwszych! Dlaczego akurat nieparzystymi? Ponieważ przy parzystej wielokrotności liczb nieparzystych zawsze otrzymujemy liczbę parzystą, a my teraz zajmujemy się wyłącznie nieparzystymi.
No i to właśnie odkrycie sprawia, że niebawem wszystko stanie się jasne!
Jaki z tego wniosek? Otóż wystarczy odsiać (wykreślić) wszystkie wielokrotności liczb 2, 3, 5, 7: pozostałe liczby - czyli te, które nie zostały wykreślone (usunięte)... są liczbami pierwszymi. Zanim to zrobimy, to jeszcze garść ciekawych informacji.
Co zatem wiemy na temat liczb nieparzystych, które jednocześnie nie są pierwszymi? Oto najważniejsze spostrzeżenia:
- nie dzielą się przez 2, 4, 6, 8, 10 i każdą inną liczbę parzystą (dowolną wielokrotność dwójki),
- nie mają swojej całkowitej połowy, więc jej rozkładem jest (może być) najmniejszy iloczyn 3xA (jeśli liczba jest podzielna przez 3), zaś druga część rozkładu tego iloczynu jest zarazem przedostatnim maksymalnym dzielnikiem,
- mogą być podzielne przez 3, tylko wtedy gdy są nieparzystą wielokrotnością trójki (np. 3x3=9, 5x3=15, 7x3=21, 9x3=27 itd.), więc oba czynniki iloczynu są (muszą być) nieparzyste,
- jeśli są podzielne przez 5, to dana liczba musi mieć na końcu wyłącznie piątkę (nie może mieć zera, bo byłaby parzysta),
- mogą być podzielne przez 7, tylko wtedy gdy są nieparzystą wielokrotnością siódemki (np. 3x7=21, 5x7=35, 7x7=49, 9x7=63 itd.) i tutaj również oba czynniki są (muszą być) nieparzyste,
- mogą być podzielne przez 9, tylko wtedy gdy są nieparzystą wielokrotnością dziewiątki (np. 3x9=27, 5x9=45, 7x9=63, 9x9=81, 11x9=99) i tutaj znowu oba czynniki są (muszą być) nieparzyste.
- każda z liczb podzielnych przez 3 (nieparzysta wielokrotność trójki) jednocześnie wykreśli (odnajdzie) te, które są podzielne przez 9. Dlatego właśnie nie ma konieczności usuwania liczb podzielnych przez 9, gdy poprawnie wykreśliliśmy wszystkie podzielne przez 3 (ponieważ już nie ma żadnej wielokrotności dziewiątki do wykreślenia).
Z powyższych wniosków możemy zobaczyć i następnie zrozumieć ciekawe zależności. Myślę, że w formie w tabeli to wszystko wygląda nieco lepiej niż słowne wyjaśnienia. Dzięki temu będzie łatwiej zobaczyć o czym mowa i zrozumieć opisywane zależności. Za chwilę zobaczymy bardzo nietypowe tabele wraz z ich wyjaśnieniem.
Weźmy teraz na warsztat wszystkie dwucyfrowe liczby nieparzyste (nie będące pierwszymi) i zobaczmy jak niewiele mają one dzielników (i przy okazji rozkładu jako iloczyn dwóch liczb całkowitych). Inaczej mówiąc, wykażemy że mogą one powstać z wielokrotności tylko kilku różnych niewielkich liczb. Albo nieco bardziej matematycznie - mają nie tylko mało dzielników, ale także niewiele możliwości rozkładu jako iloczyn dwóch liczb całkowitych.
Zanim jednak wypiszemy te liczby, zerknijmy na wykaz początkowych liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 i 97. Jest ich w pierwszej setce dokładnie 25. Przy okazji warto wspomnieć, że jedyną parzystą liczbą pierwszą jest dwójka. Wszystkie inne są oczywiście nieparzyste (rzecz jasna bez jedynki).
Nasuwa się natychmiast pytanie: ile jest wszystkich dwucyfrowych liczby nieparzystych (nie będących pierwszymi) w naszym podstawowym zbiorze liczb z sita Eratostenesa (od 2 do 100)? Otóż wbrew pozorom nie ma ich tak wiele oraz wcale nie tworzą długiego szeregu - jest ich tylko 24. Oto one ustawione w kolejności rosnącej (wybrane z powyższego szeregu): 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39, 45, 49, 51, 55, 57, 63, 65, 69, 75, 77, 81, 85, 87, 91, 93, 95 i 99. Zapamiętajmy ten szereg liczb, bo pod koniec jeszcze do nich wrócimy.
Teraz chcemy zająć się na chwilę liczbami z powyższego łańcuszka, które są podzielne przez 3. Jak je znajdziemy? Otóż wykorzystując cechę podzielności, która mówi o tym, że liczba podzielna przez 3 musi mieć sumę cyfr, która daje liczbę podzielną przez 3. I przypominam, że takie sumowanie można robić tak długo, aż otrzymamy liczbę jednocyfrową. Zatem usunęliśmy wszystkie liczby, które nie dzielą się przez 3 (z wyjściowego szeregu wykreślamy te, które nie mają sumy końcowej wynoszącej 3, 6 lub 9). W takim układzie, te które nam zostaną to takie oto liczby (nieparzyste i podzielne przez 3): 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87, 93 i 99 - razem 15 liczb.
Pozornie zadanie wydaje się (sprawdzenie ile mają dzielników powyższe liczby) wyjątkowo trudne, żmudne i czasochłonne, prawda? A tymczasem...
Teraz rozkładamy te liczby jako iloczyn trójki i sprawdzamy dalsze ich dzielniki. Zerknijmy do tabeli i popatrzmy jak to będzie wyglądać:
Liczby nieparzyste które są wielokrotnością trójki (bez pierwszych), powstają poprzez iloczyn trójki i liczby nieparzystej (lewa kolumna) bądź liczby pierwszej (prawa kolumna).
Wiemy, że liczby pierwsze nie mają żadnych dzielników oprócz samej siebie i jedynki, więc wszystkimi dzielnikami liczb w prawej kolumnie są te zaznaczone na czerwono (liczby pierwsze, a więc dwa dzielniki) oraz stojąca przed nimi trójka (trzeci dzielnik).
Przykładowe rozkłady na różne iloczyny liczb 39, 51, 87 i 93 (z prawej kolumny) będą wyglądały następująco:
Widać zatem wyraźnie, że w przypadku, gdy mamy iloczyn dwóch liczb pierwszych, wówczas mamy możliwość ich zapisu jako iloczyn tylko na dwa sposoby. Pierwszym z nich rozkład podstawowy - jako iloczyn jedynki i liczby wyjściowej (1x39 i 1x51), zaś drugi to wielokrotność liczby pierwszej (różnej od jedynki) oraz drugiej (pozostałej) liczby pierwszej (3x13 i 3x17).
Natomiast dzielnikami są wszystkie liczby biorące udział w obu rozkładach. I tak dla liczby 39 będą to: 1, 3, 13, 39; dla 51 - 1, 3, 17, 51; dla 87 - 1, 3, 29, 87, zaś dla 93 - 1, 3, 31, 93. W tym przypadku dla każdej z liczb mamy tylko cztery dzielniki, ponieważ jest tylko jeden dodatkowy rozkład poza podstawowym (zaznaczony na szaro).
Teraz zajmiemy się drugą (lewą) kolumną dla iloczynu (wielokrotności) trójki i liczby nieparzystej (nie będącą liczbą pierwszą). Widzimy, że tym razem będziemy mieli znacznie więcej dzielników jak też możliwości rozkładu na iloczyn różnych kombinacji dla dwóch liczb.
Przykładowe rozkłady na różne iloczyny liczb 45, 75, 81 i 99 (z lewej kolumny) będą wyglądały następująco:
Widać zatem wyraźnie, że w przypadku, gdy mamy liczbę nieparzystą, wówczas mamy możliwość jej zapisu jako iloczyn dwóch liczb nieparzystych (żadna z nich nie jest liczbą pierwszą) przynajmniej na kilka sposobów (zawsze na co najmniej dwa, gdy badana liczba nie jest pierwsza jak widzieliśmy poprzednio). Liczba sposobów uzależniona jest od tego na ile (czynników pierwszych) możemy rozbić drugą część rozkładu (liczby). W naszym badanym przypadku pierwszą częścią rozkładu jest trójka.
Jak już doskonale wiemy z poprzedniego ćwiczenia, pierwszym z rozkładów jest ten podstawowy - zawsze jako iloczyn jedynki i liczby wyjściowej (1x45 i 1x75). Z kolei drugi to wielokrotność kolejnej liczby pierwszej (pamiętajmy, że liczby nieparzyste nie dzielą się przez 2) oraz drugiej części rozkładu danego iloczynu (3x15 i 3x25, 5x9 i 5x15), która zawsze jest liczbą nieparzystą.
A co w takim razie z naszymi dzielnikami? Otóż dzielnikami są wszystkie kombinacje (różne iloczyny) czynników pierwszych, biorących udział w danym rozkładzie liczby wyjściowej.
Jaki z tego wniosek? Otóż jeśli mamy liczbę podzielną przez 3, to po rozłożeniu jej na czynniki pierwsze, możemy wypisać jej dzielniki w kolejności rosnącej. Następnie dobieramy je w pary (jako iloczyn): pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim i tak dalej... aż wyczerpiemy wszystkie pary bądź też trafimy na środkowy czynnik (gdy liczba dzielników jest nieparzysta). Co wtedy? Otóż w takiej sytuacji mnożymy go przez siebie i mamy już wszystkie iloczyny (jako pary) podanej liczby.
No dobrze, niby wszystko już jasne, ale co z dzielnikami? Jak je wyznaczamy mając rozłożoną liczbę na czynniki pierwsze? Otóż dzielniki tworzymy ze wszystkich kombinacji rozkładu na czynniki pierwsze. Zatem im więcej czynników pierwszych, tym więcej możliwości zapisu danej liczby jako iloczynu dwóch liczb! Dodam w sekrecie, że w przypadku liczb potęgowych (nieparzystych!) sprawa jest jeszcze prostsza! Ba! Jest tak prosta, że aż boli! Mianowicie w rozkładzie na czynniki pierwsze będzie możliwa jedynie kombinacja tych samych czynników. I wtedy można w ciągu kilku (kilkunastu) sekund wypisać wszystkie jej dzielniki! Przykładem niechaj będzie liczba 81. Składa się ona z iloczynu czterech trójek (3 do potęgi 4). Zatem jej dzielnikami będą jedynka (3^0), dalej 3 (3^1), kolejno 9 (3^2) i ostatnia to 27 (3^3).
Gdybyśmy mieli liczbę składającą się z nieparzystej liczby czynników pierwszych, to również stosujemy ten sam schemat. Weźmy jeszcze liczbę 3125. Składa się ona z iloczynu pięciu piątek (5 do potęgi 5). Zatem jej dzielnikami będą jedynka (5^0), dalej 5 (5^1), kolejno 25 (5^2), dalej 125 (5^3), następnie 625 (5^4) i ostatnia to 3125 (5^5). Z kolei ich rozkładami na iloczyny dwóch liczb będą odpowiednio: a) dla liczby 81: 1*81, 3*27, 9*9 oraz b) dla liczby 3125: 1*3125, 5*625, 25*125. Jak zatem widzimy, są pewne liczby przy których zarówno proces rozkładania na czynniki pierwsze, znajdowanie wszystkich dzielników oraz zapisywanie ich jako różne iloczyny dwóch liczb... może być wyjątkowo proste!
W ten oto sposób tajemnica wszystkich rozkładów na czynniki pierwsze, dzielników oraz różnych kombinacji iloczynów dwóch liczb dla liczb nieparzystych... została właśnie rozwikłana! Prawda, że teraz jest to jeszcze bardziej jasne?
TABELA 5, 6, 7. Materiały do samodzielnego wykorzystania (analizy) lub inspracji - nieparzysta wielokrotność piątki, siódemki i dziewiątki (iloczyn z liczbą nieparzystą lub pierwszą).
Analogiczne rozważania można wykonać dla liczby 5, 7 i 9 (tak, tych które wykorzystywaliśmy w sicie Eratostenesa jako wykreślane kolejnych ich wielokrotności), żeby naprawdę solidnie zrozumieć w jaki sposób dokonuje się rozkład na czynniki pierwsze, znajdowanie dzielników, a następnie łączenie w pary (grupowanie) dwóch liczb jako różnych iloczynów tej samej liczby.
Zaznaczyłem wyraźnie, że wśród nieparzystych liczb mamy liczby pierwsze i złożone. I o ile te liczby pierwsze zostały nam na samym końcu, to znaczy że nie miały żadnych ("normalnych") dzielników poza dwoma, które wynikają z definicji (dzielą się przez siebie samą i przez jeden). Natomiast ("normalne") liczby nieparzyste (czyli te, które nie są pierwszymi) musiały być podzielne przez 3, 5 lub 7... lub też być nieparzystymi wielokrotnościami liczb pierwszych! Dlaczego akurat nieparzystymi? Ponieważ przy parzystej wielokrotności liczb nieparzystych zawsze otrzymujemy liczbę parzystą, a my teraz zajmujemy się wyłącznie nieparzystymi.
No i to właśnie odkrycie sprawia, że niebawem wszystko stanie się jasne!
Jaki z tego wniosek? Otóż wystarczy odsiać (wykreślić) wszystkie wielokrotności liczb 2, 3, 5, 7: pozostałe liczby - czyli te, które nie zostały wykreślone (usunięte)... są liczbami pierwszymi. Zanim to zrobimy, to jeszcze garść ciekawych informacji.
Co zatem wiemy na temat liczb nieparzystych, które jednocześnie nie są pierwszymi? Oto najważniejsze spostrzeżenia:
- nie dzielą się przez 2, 4, 6, 8, 10 i każdą inną liczbę parzystą (dowolną wielokrotność dwójki),
- nie mają swojej całkowitej połowy, więc jej rozkładem jest (może być) najmniejszy iloczyn 3xA (jeśli liczba jest podzielna przez 3), zaś druga część rozkładu tego iloczynu jest zarazem przedostatnim maksymalnym dzielnikiem,
- mogą być podzielne przez 3, tylko wtedy gdy są nieparzystą wielokrotnością trójki (np. 3x3=9, 5x3=15, 7x3=21, 9x3=27 itd.), więc oba czynniki iloczynu są (muszą być) nieparzyste,
- jeśli są podzielne przez 5, to dana liczba musi mieć na końcu wyłącznie piątkę (nie może mieć zera, bo byłaby parzysta),
- mogą być podzielne przez 7, tylko wtedy gdy są nieparzystą wielokrotnością siódemki (np. 3x7=21, 5x7=35, 7x7=49, 9x7=63 itd.) i tutaj również oba czynniki są (muszą być) nieparzyste,
- mogą być podzielne przez 9, tylko wtedy gdy są nieparzystą wielokrotnością dziewiątki (np. 3x9=27, 5x9=45, 7x9=63, 9x9=81, 11x9=99) i tutaj znowu oba czynniki są (muszą być) nieparzyste.
- każda z liczb podzielnych przez 3 (nieparzysta wielokrotność trójki) jednocześnie wykreśli (odnajdzie) te, które są podzielne przez 9. Dlatego właśnie nie ma konieczności usuwania liczb podzielnych przez 9, gdy poprawnie wykreśliliśmy wszystkie podzielne przez 3 (ponieważ już nie ma żadnej wielokrotności dziewiątki do wykreślenia).
Z powyższych wniosków możemy zobaczyć i następnie zrozumieć ciekawe zależności. Myślę, że w formie w tabeli to wszystko wygląda nieco lepiej niż słowne wyjaśnienia. Dzięki temu będzie łatwiej zobaczyć o czym mowa i zrozumieć opisywane zależności. Za chwilę zobaczymy bardzo nietypowe tabele wraz z ich wyjaśnieniem.
DZIELNIKI LICZB NIEPARZYSTYCH
Weźmy teraz na warsztat wszystkie dwucyfrowe liczby nieparzyste (nie będące pierwszymi) i zobaczmy jak niewiele mają one dzielników (i przy okazji rozkładu jako iloczyn dwóch liczb całkowitych). Inaczej mówiąc, wykażemy że mogą one powstać z wielokrotności tylko kilku różnych niewielkich liczb. Albo nieco bardziej matematycznie - mają nie tylko mało dzielników, ale także niewiele możliwości rozkładu jako iloczyn dwóch liczb całkowitych.
Zanim jednak wypiszemy te liczby, zerknijmy na wykaz początkowych liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 i 97. Jest ich w pierwszej setce dokładnie 25. Przy okazji warto wspomnieć, że jedyną parzystą liczbą pierwszą jest dwójka. Wszystkie inne są oczywiście nieparzyste (rzecz jasna bez jedynki).
Nasuwa się natychmiast pytanie: ile jest wszystkich dwucyfrowych liczby nieparzystych (nie będących pierwszymi) w naszym podstawowym zbiorze liczb z sita Eratostenesa (od 2 do 100)? Otóż wbrew pozorom nie ma ich tak wiele oraz wcale nie tworzą długiego szeregu - jest ich tylko 24. Oto one ustawione w kolejności rosnącej (wybrane z powyższego szeregu): 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39, 45, 49, 51, 55, 57, 63, 65, 69, 75, 77, 81, 85, 87, 91, 93, 95 i 99. Zapamiętajmy ten szereg liczb, bo pod koniec jeszcze do nich wrócimy.
Teraz chcemy zająć się na chwilę liczbami z powyższego łańcuszka, które są podzielne przez 3. Jak je znajdziemy? Otóż wykorzystując cechę podzielności, która mówi o tym, że liczba podzielna przez 3 musi mieć sumę cyfr, która daje liczbę podzielną przez 3. I przypominam, że takie sumowanie można robić tak długo, aż otrzymamy liczbę jednocyfrową. Zatem usunęliśmy wszystkie liczby, które nie dzielą się przez 3 (z wyjściowego szeregu wykreślamy te, które nie mają sumy końcowej wynoszącej 3, 6 lub 9). W takim układzie, te które nam zostaną to takie oto liczby (nieparzyste i podzielne przez 3): 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87, 93 i 99 - razem 15 liczb.
Pozornie zadanie wydaje się (sprawdzenie ile mają dzielników powyższe liczby) wyjątkowo trudne, żmudne i czasochłonne, prawda? A tymczasem...
Teraz rozkładamy te liczby jako iloczyn trójki i sprawdzamy dalsze ich dzielniki. Zerknijmy do tabeli i popatrzmy jak to będzie wyglądać:
TABELA 1. Nieparzysta wielokrotność trójki (iloczyn z liczbą nieparzystą lub pierwszą).
Liczby nieparzyste które są wielokrotnością trójki (bez pierwszych), powstają poprzez iloczyn trójki i liczby nieparzystej (lewa kolumna) bądź liczby pierwszej (prawa kolumna).
Wiemy, że liczby pierwsze nie mają żadnych dzielników oprócz samej siebie i jedynki, więc wszystkimi dzielnikami liczb w prawej kolumnie są te zaznaczone na czerwono (liczby pierwsze, a więc dwa dzielniki) oraz stojąca przed nimi trójka (trzeci dzielnik).
Przykładowe rozkłady na różne iloczyny liczb 39, 51, 87 i 93 (z prawej kolumny) będą wyglądały następująco:
TABELA 2. Dzielniki wybranych liczb (iloczyn trójki i liczby pierwszej).
Widać zatem wyraźnie, że w przypadku, gdy mamy iloczyn dwóch liczb pierwszych, wówczas mamy możliwość ich zapisu jako iloczyn tylko na dwa sposoby. Pierwszym z nich rozkład podstawowy - jako iloczyn jedynki i liczby wyjściowej (1x39 i 1x51), zaś drugi to wielokrotność liczby pierwszej (różnej od jedynki) oraz drugiej (pozostałej) liczby pierwszej (3x13 i 3x17).
Natomiast dzielnikami są wszystkie liczby biorące udział w obu rozkładach. I tak dla liczby 39 będą to: 1, 3, 13, 39; dla 51 - 1, 3, 17, 51; dla 87 - 1, 3, 29, 87, zaś dla 93 - 1, 3, 31, 93. W tym przypadku dla każdej z liczb mamy tylko cztery dzielniki, ponieważ jest tylko jeden dodatkowy rozkład poza podstawowym (zaznaczony na szaro).
Teraz zajmiemy się drugą (lewą) kolumną dla iloczynu (wielokrotności) trójki i liczby nieparzystej (nie będącą liczbą pierwszą). Widzimy, że tym razem będziemy mieli znacznie więcej dzielników jak też możliwości rozkładu na iloczyn różnych kombinacji dla dwóch liczb.
Przykładowe rozkłady na różne iloczyny liczb 45, 75, 81 i 99 (z lewej kolumny) będą wyglądały następująco:
TABELA 3. Dzielniki wybranych liczb (iloczyn trójki i liczby nieparzystej).
Widać zatem wyraźnie, że w przypadku, gdy mamy liczbę nieparzystą, wówczas mamy możliwość jej zapisu jako iloczyn dwóch liczb nieparzystych (żadna z nich nie jest liczbą pierwszą) przynajmniej na kilka sposobów (zawsze na co najmniej dwa, gdy badana liczba nie jest pierwsza jak widzieliśmy poprzednio). Liczba sposobów uzależniona jest od tego na ile (czynników pierwszych) możemy rozbić drugą część rozkładu (liczby). W naszym badanym przypadku pierwszą częścią rozkładu jest trójka.
TABELA 4. Dzielniki wybranych liczb w kontekście grupowania iloczynu dwóch liczb!
Jak już doskonale wiemy z poprzedniego ćwiczenia, pierwszym z rozkładów jest ten podstawowy - zawsze jako iloczyn jedynki i liczby wyjściowej (1x45 i 1x75). Z kolei drugi to wielokrotność kolejnej liczby pierwszej (pamiętajmy, że liczby nieparzyste nie dzielą się przez 2) oraz drugiej części rozkładu danego iloczynu (3x15 i 3x25, 5x9 i 5x15), która zawsze jest liczbą nieparzystą.
A co w takim razie z naszymi dzielnikami? Otóż dzielnikami są wszystkie kombinacje (różne iloczyny) czynników pierwszych, biorących udział w danym rozkładzie liczby wyjściowej.
RYSUNEK 1. Dzielniki wybranych liczb w kontekście grupowania iloczynu dwóch liczb!
Jaki z tego wniosek? Otóż jeśli mamy liczbę podzielną przez 3, to po rozłożeniu jej na czynniki pierwsze, możemy wypisać jej dzielniki w kolejności rosnącej. Następnie dobieramy je w pary (jako iloczyn): pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim i tak dalej... aż wyczerpiemy wszystkie pary bądź też trafimy na środkowy czynnik (gdy liczba dzielników jest nieparzysta). Co wtedy? Otóż w takiej sytuacji mnożymy go przez siebie i mamy już wszystkie iloczyny (jako pary) podanej liczby.
No dobrze, niby wszystko już jasne, ale co z dzielnikami? Jak je wyznaczamy mając rozłożoną liczbę na czynniki pierwsze? Otóż dzielniki tworzymy ze wszystkich kombinacji rozkładu na czynniki pierwsze. Zatem im więcej czynników pierwszych, tym więcej możliwości zapisu danej liczby jako iloczynu dwóch liczb! Dodam w sekrecie, że w przypadku liczb potęgowych (nieparzystych!) sprawa jest jeszcze prostsza! Ba! Jest tak prosta, że aż boli! Mianowicie w rozkładzie na czynniki pierwsze będzie możliwa jedynie kombinacja tych samych czynników. I wtedy można w ciągu kilku (kilkunastu) sekund wypisać wszystkie jej dzielniki! Przykładem niechaj będzie liczba 81. Składa się ona z iloczynu czterech trójek (3 do potęgi 4). Zatem jej dzielnikami będą jedynka (3^0), dalej 3 (3^1), kolejno 9 (3^2) i ostatnia to 27 (3^3).
Gdybyśmy mieli liczbę składającą się z nieparzystej liczby czynników pierwszych, to również stosujemy ten sam schemat. Weźmy jeszcze liczbę 3125. Składa się ona z iloczynu pięciu piątek (5 do potęgi 5). Zatem jej dzielnikami będą jedynka (5^0), dalej 5 (5^1), kolejno 25 (5^2), dalej 125 (5^3), następnie 625 (5^4) i ostatnia to 3125 (5^5). Z kolei ich rozkładami na iloczyny dwóch liczb będą odpowiednio: a) dla liczby 81: 1*81, 3*27, 9*9 oraz b) dla liczby 3125: 1*3125, 5*625, 25*125. Jak zatem widzimy, są pewne liczby przy których zarówno proces rozkładania na czynniki pierwsze, znajdowanie wszystkich dzielników oraz zapisywanie ich jako różne iloczyny dwóch liczb... może być wyjątkowo proste!
W ten oto sposób tajemnica wszystkich rozkładów na czynniki pierwsze, dzielników oraz różnych kombinacji iloczynów dwóch liczb dla liczb nieparzystych... została właśnie rozwikłana! Prawda, że teraz jest to jeszcze bardziej jasne?
Analogiczne rozważania można wykonać dla liczby 5, 7 i 9 (tak, tych które wykorzystywaliśmy w sicie Eratostenesa jako wykreślane kolejnych ich wielokrotności), żeby naprawdę solidnie zrozumieć w jaki sposób dokonuje się rozkład na czynniki pierwsze, znajdowanie dzielników, a następnie łączenie w pary (grupowanie) dwóch liczb jako różnych iloczynów tej samej liczby.
ODWRÓCONE SITO ERATOSTENESA?
Przypomnijmy sobie liczby z szeregu o którym była mowa na początku - wszystkie dwucyfrowe nieparzyste (nie będących pierwszymi) ustawione w kolejności rosnącej (wybrane z powyższego szeregu): 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39, 45, 49, 51, 55, 57, 63, 65, 69, 75, 77, 81, 85, 87, 91, 93, 95 i 99.
KROK 1: Przesiewamy wszystkie liczby przez filtr podzielności przez 3.
Teraz z tej grupy, usuwamy wszystkie liczby podzielne przez 3 (ich suma to 3, 6 lub 9), więc otrzymujemy liczby nieparzyste, ale niepodzielne przez 3. Są nimi tylko takie liczby: 25, 35, 49, 55, 65, 77, 85, 91, 95. Zostało ich niewiele, ale chyba szybko odkryjemy dlaczego. Nie są one parzyste, więc odpadła nam połowa (druga połowa to parzyste). Spośród 49 liczb nieparzystych (pierwszą z nich była 3), wyrzuciliśmy liczby pierwsze (25), więc w ten sposób otrzymaliśmy wszystkie dwucyfrowe liczby nieparzyste, których jest 24. A z tej grupy znowu wykreśliliśmy te podzielne przez 3 (było ich 15), zatem zostało ich zaledwie 9.
KROK 2: Przesiewamy wszystkie liczby przez filtr podzielności przez 5.
Co by się stało gdybyśmy teraz chcieli je przesiać pod kątem podzielnych przez 5? Otóż byłby to błyskawiczny proces. Dlaczego? Z uwagi na to, że liczby nieparzyste podzielne przez 5, muszą mieć na końcu właśnie taką cyfrę! Czyli odpadną nam te oto liczby: 25, 35, 55, 65, 85 i 95. Co nam jeszcze zostanie? Jakie liczby i o jakich własnościach (cechach) związanych z wielokrotnością i podzielnością? Otóż będą to zaledwie trzy liczby: 49, 77 i 91.
KROK 3: Przesiewamy wszystkie liczby przez filtr podzielności przez 7.
Pytanie czy jest ktoś kto już domyśla się, że nasze trzy sierotki (49, 77 i 91) są one podzielne przez 7? Tak! Każda z nich jest wielokrotnością siódemki (odpowiednio 7, 11 i 13-krotną), więc oznacza to, że siódemka jest dla nich dzielnikiem. I w ten oto sposób nie pozostała nam żadna z liczb (ze zbioru 2-100), która nie byłaby podzielna przez 2, 3, 5 lub 7. Oczywiście braliśmy pod uwagę liczby dwucyfrowe, ale doskonale wiadomo, że jednocyfrowe nieparzyste (3, 5, 7, 9) są również podzielne właśnie przez 3, 5 lub 7. Zatem nie musimy ich badać.
Pozostaje nam teraz radość i satysfakcja z tego, że sprawdziliśmy, że po operacji usunięcia liczb parzystych, a następnie wykreślenia tych podzielnych przez 3, 5 oraz 7... otrzymamy właśnie te liczby pierwsze, które zostają na sicie Eratostenesa! Można nawet powiedzieć, że jest to trochę zakręcona i odwrócona forma sprawdzania liczb z naszego znajomego sita.
====== SCHEMAT ODWRÓCONEGO SITA ERATOSTENESA ======
Bardzo przydatne. Do tego polecam książkę "Twierdzenie papugi"
OdpowiedzUsuńDziękuję za komentarz oraz polecenie książki. Przyznam, że jeszcze się z tym tytułem nie zetknąłem, więc spróbuję dowiedzieć się więcej na temat tej papugi :).
Usuń