W poprzednim artykule napisałem, że jeśli ktoś odczuwa niedosyt oraz potrzebuje pewnej dawki inspiracji i ćwiczeń, aby być rozgrzanym na kolejny wykład, to proponuję nieco głębiej zastanowić się nad kilkoma problemami. Dzisiaj postaram się rzucić nieco światła na kilka z nich, tak aby stopniowo przechodzić do sedna zagadnienia i dać możliwość szerokiego spojrzenia na temat wielokrotności i dzielników. Temat bowiem wydaje się dość ciekawy, ale dopiero w kontekście powiązania go z innymi elementami. Natomiast o tych elementach będę opowiadał w tym i kolejnych wykładach.
Proszę zatem zaopatrzyć się w kubek ciepłej kawy lub herbaty i rozpocząć uważną oraz wnikliwą lekturę. Nie muszę chyba dodawać, że dzięki temu można samodzielnie opracować fajne i wartościowe ćwiczenia, prawda? Od razu uprzedzam, że w tej odsłonie będę mówił o rzeczach oczywistych i doskonale znanych. Niemniej podejrzewam, że dzięki takiemu "uświadomieniu doskonale znanego" można będzie zobaczyć temat świeżym okiem. A to z kolei może pociągnąć za sobą wczucie się w perspektywę dziecka, które nie do końca odnajduje się w świecie matematycznych zagadek. Zatem zapraszam do oczywistej lektury...
Dzisiejszy wykład będzie omawiany w dwóch częściach. Pierwsza z nich będzie dotyczyła analizy liczb poprzez pryzmat trzech podstawowych działań matematycznych, zaś druga czwartego jakim jest dzielenie. Warto zastanowić się jaki jest związek dodawania z mnożeniem oraz odejmowania z dzieleniem. Dzięki temu można będzie jeszcze głębiej zrozumieć istotę i cel omawianego tematu jak też nieco szerszej analizy.
Zastanówmy się co się stanie w przypadku, gdy poddamy dwie liczby naturalne czterem podstawowym działaniom (operacjom) matematycznym. Naszym pryzmatem i zarazem lupą będzie analiza z uwagi na podział na liczby parzyste jak i nieparzyste.
Tabela pierwsza i druga pokazują wyraźnie, że w przypadku pomnożenia liczby parzystej przez nieparzystą, wynik będzie parzysty (kolejność nie ma znaczenia). Jeśli chodzi o dodawanie i odejmowanie, to okazuje się, że przy kombinacji liczb parzystej i nieparzystej, wynik będzie nieparzysty. I to bez względu na to w jakiej kolejności je dodajemy bądź odejmujemy. Przy odejmowaniu warto wspomnieć, że jeśli pierwsza z liczb będzie mniejsza od drugiej, wówczas wynik nadal będzie nieparzysty, tyle że ze znakiem ujemnym.
Trzecia tabela pokazuje kombinacje działań dla dwóch liczb parzystych. Co z niej wynika? Widać wyraźnie, że każde z trzech działań poza dzieleniem (omówię je poniżej osobno) zawsze daje wartość parzystą. Przy okazji pamiętajmy, że liczby ujemne także dzielimy na parzyste i nieparzyste.
Ostatnia tabela przedstawia sytuację gdzie manipulujemy dwiema liczbami nieparzystymi. I szybko można zauważyć, że w przypadku mnożenia, wynik będzie nieparzysty, zaś przy dodawaniu i odejmowaniu - zawsze parzysty.
Teraz pora na omówienie dzielenia w każdej z powyższych tabel. W przypadku tego działania mamy pewne ograniczenia (np. nie wolno dzielić przez zero). Przy okazji muszę dodać, że w wielu przypadkach nie można jednoznacznie określić typu wyniku końcowego (parzysta lub nieparzysta) dla tego działania. Dlatego omówimy sobie je nieco bardziej szczegółowo. Zaznaczam, że do analizy wziąłem tylko dwie liczby całkowite dodatnie (naturalne), przy uwzględnieniu warunku, że pierwsza (dzielna) jest większa od drugiej (dzielnik) i obie są różne od zera. Chodzi bowiem o to, aby ta prezentacja wraz z krótkim omówieniem była maksymalnie zrozumiała i mogła stanowić punkt wyjścia dla dalszych poszukiwań oraz formułowania wniosków.
Rozpatrzymy cztery przypadki dzielenia, czyli wszystkie możliwe kombinacje dla dwóch liczb.
W przypadku dzielenia liczby parzystej przez nieparzystą, wynikiem może być albo "czysta" liczba parzysta albo nieokreślona liczba całkowita (to znaczy zarówno parzysta jak i nieparzysta) z dowolną resztą (tabela 1).
Wynik ilorazu (tego bez reszty) mówi nam o tym, że obie liczby - zarówno dzielnik (3) jak i wynik dzielenia (6) - są dzielnikami liczby wyjściowej (18), która dla obu z nich jest także wspólną wielokrotnością. Z kolei, gdy otrzymujemy wynik z resztą, wtedy mamy gwarancję, że liczba przez którą dzielimy (5) nie jest jednym z dzielników wyjściowej liczby (16). Dodatkowo wiemy również, że nasza liczba wyjściowa (16) nie jest wielokrotnością dzielnika (5). Niby oczywiste, ale moim zdaniem warto o tym chwilę pomyśleć.
Z kolei w przypadku dzielenia liczby nieparzystej przez parzystą, okazuje się, że jedyne co jest pewne to fakt, że nie otrzymamy liczby całkowitej (tabela 2). Wiemy jeszcze to, że reszta będzie na pewno nieparzysta. Wynika to z tego, że przy mnożeniu przez liczbę parzystą otrzymujemy wynik w postaci parzystej. A u nas wyjściowa liczba jest nieparzysta (15), więc (brakująca) reszta również musi mieć taką postać. Inaczej mówiąc wielokrotność (7) liczby parzystej (2) daje nam liczbę parzystą (14), więc reszta nie może być parzysta. Dobrze jest samodzielnie wymyślić kilka przykładów i sprawdzić tę regułę.
Dochodzimy do sytuacji w której dzielimy dwie liczby parzyste. I w tej sytuacji możemy z pewnością stwierdzić, że na pewno wynikiem będzie liczba całkowita (tabela 3). Nie wiemy jednak czy będzie ona parzysta czy nieparzysta. Gdybyśmy zerknęli na wyniki ilorazu (3 i 10) i pomnożyli przez liczby, które były naszymi dzielnikami (odpowiednio 6 i 2), to okaże się, że teraz wynik będzie parzysty (wcześniej nasza wyjściowa liczba - odpowiednio 18 i 20). Dlatego nie możemy jednoznacznie odpowiedzieć na pytanie o rodzaj wyniku (parzysty czy nieparzysty), gdy wiemy tylko, że obie liczby, które dzielimy są parzyste.
Ostatnia tabela pokazuje nam co się dzieje, gdy obie liczby, które dzielimy są nieparzyste. W przypadku dzielenia obu liczb nieparzystych, wynikiem może być albo "czysta" liczba nieparzysta albo nieokreślona liczba całkowita (to znaczy zarówno parzysta jak i nieparzysta) z dowolną resztą (tabela 4).
Wynik ilorazu (tego bez reszty) mówi nam o tym, że obie liczby - zarówno dzielnik (3) jak i wynik dzielenia (5) - są dzielnikami liczby wyjściowej (15), która dla obu z nich jest także wspólną wielokrotnością. Z kolei, gdy otrzymujemy wynik z resztą, wtedy mamy gwarancję, że liczba przez którą dzielimy (5) nie jest jednym z dzielników wyjściowej liczby (21). Dodatkowo wiemy również, że nasza liczba wyjściowa (21) nie jest wielokrotnością dzielnika (5). Niby oczywiste, ale moim zdaniem warto o tym chwilę pomyśleć.
I teraz wnioski końcowe dotyczące dzielenia (zakładamy, że dzielna jest większa od dzielnika i obie liczby są naturalne):
- iloraz liczby parzystej przez nieparzystą daje nam liczbę parzystą (liczba wyjściowa jest wielokrotnością dzielnika, np. 18/3 = 6),
- iloraz dwóch liczb nieparzystych daje nam liczbę nieparzystą (liczba wyjściowa jest wielokrotnością dzielnika, np. 15/3 = 5),
- iloraz dwóch liczb parzystych (liczba wyjściowa jest wielokrotnością dzielnika, np. 18/6 lub 20/2) daje wynik bez reszty,
- reszta z dzielenia liczby nieparzystej przez parzystą, jest również nieparzysta (15/2 = 7 reszta 1)
- reszta z dzielenia występuje tylko wtedy, gdy liczba wyjściowa nie jest wielokrotnością dzielnika (np. 12/5, bo wielokrotność 5 nie daje 12, czy też 16/3, bo wielokrotność 3 nie daje 16).
Przy okazji odpowiemy sobie na pytanie - jaki jest związek wielokrotności z dzielnikami. Otóż każdy iloraz, który nie daje reszty (czyli jak kto woli - daje resztę zerową) pokazuje dzielniki danej liczby. Przykładowo weźmy sobie na warsztat mamy liczbę 12. Możemy ją rozbić na takie iloczyny jak: a) 12*1, 2*6, 3*4, a potem te same iloczyny tylko w odwrotnej kolejności. I każda para liczb (12,1 i 2,6 oraz 3,4) mówi nam o dzielnikach. W naszym wypadku są nimi: 1, 2, 3, 4, 6 i 12. Zauważmy, że 5 ani 7 nie są dzielnikami liczby 12, ponieważ 12 nie jest ich wielokrotnością! Inaczej mówiąc, dzieląc liczbę 12 przez 5 albo przez 7 otrzymamy resztę. Natomiast jeśli w wyniku dzielenia dostajemy resztę, to ani dzielnik ani liczba całkowita (ta zawierająca w sobie jeszcze resztę!) nie są dzielnikami liczby wyjściowej. W naszym przypadku 12/2 = 5 r2, więc ani 2 (mowa o dzielniku, a nie o reszcie) ani 5 nie są dzielnikami 12. Analogicznie przy 12/7 = 1 r5, więc również ani 7 ani 1 nie są dzielnikami 12.
Jeszcze jedna rzecz o której warto pamiętać. Otóż jeśli dana liczba jest dzielnikiem liczby wyjściowej (dzielna), to jej wielokrotność (czyli iloczyn przez liczbę całkowitą) musi dać naszą dzielną. Zatem jeśli chcę mieć pewność, że 18 jest dzielnikiem 54, to muszę uzyskać 54 za pomocą mnożenia 18 przez liczbę całkowitą. Jeśli chcę natomiast szybko obalić stwierdzenie, że 16 jest dzielnikiem 54, to wystarczy, że powiem iż 16x3 = 48 (za mała), zaś 16x4 = 64 (za duża), czyli nasza poszukiwana liczba 54 znajduje się pomiędzy 48 a 64. Żartując można powiedzieć, że potrójna wielokrotność 16 jest za mała, zaś poczwórna - zbyt duża. Na pewno zatem nie będzie to całkowita wielokrotność, co sprawia, że sprawdzana liczba 16 nie jest (nie może być) dzielnikiem liczby 54.
Podsumowanie: Myślę, że w tej odsłonie powiedzieliśmy sobie wystarczająco dużo na temat tego co na kolejnych etapach może nam ułatwić lepsze zrozumienie zagadnienia wielokrotności i dzielników. Warto na spokojnie zastanowić się nad tym co powyżej zaprezentowałem, ponieważ mam wrażenie, że dla dzieci te treści są zupełnie nieznane bądź nieoczywiste. Dając im szanse na to, aby odkrywały te wnioski i zależności, sprawiamy że będą mogły zobaczyć ten temat w szerszej perspektywie. A przecież chyba o to chodzi, aby te małe części układanki pasowały do całego obrazu, prawda?
Proszę zatem zaopatrzyć się w kubek ciepłej kawy lub herbaty i rozpocząć uważną oraz wnikliwą lekturę. Nie muszę chyba dodawać, że dzięki temu można samodzielnie opracować fajne i wartościowe ćwiczenia, prawda? Od razu uprzedzam, że w tej odsłonie będę mówił o rzeczach oczywistych i doskonale znanych. Niemniej podejrzewam, że dzięki takiemu "uświadomieniu doskonale znanego" można będzie zobaczyć temat świeżym okiem. A to z kolei może pociągnąć za sobą wczucie się w perspektywę dziecka, które nie do końca odnajduje się w świecie matematycznych zagadek. Zatem zapraszam do oczywistej lektury...
Dzisiejszy wykład będzie omawiany w dwóch częściach. Pierwsza z nich będzie dotyczyła analizy liczb poprzez pryzmat trzech podstawowych działań matematycznych, zaś druga czwartego jakim jest dzielenie. Warto zastanowić się jaki jest związek dodawania z mnożeniem oraz odejmowania z dzieleniem. Dzięki temu można będzie jeszcze głębiej zrozumieć istotę i cel omawianego tematu jak też nieco szerszej analizy.
Zastanówmy się co się stanie w przypadku, gdy poddamy dwie liczby naturalne czterem podstawowym działaniom (operacjom) matematycznym. Naszym pryzmatem i zarazem lupą będzie analiza z uwagi na podział na liczby parzyste jak i nieparzyste.
MNOŻENIE, DODAWANIE i ODEJMOWANIE DWÓCH LICZB NATURALNYCH
Tabela 1. Działania na dwóch liczbach - parzysta i nieparzysta.
Tabela 2. Działania na dwóch liczbach - nieparzysta i parzysta.
Tabela 3. Działania na dwóch liczbach - obie parzyste.
Tabela 4. Działania na dwóch liczbach - obie nieparzyste.
Tabela pierwsza i druga pokazują wyraźnie, że w przypadku pomnożenia liczby parzystej przez nieparzystą, wynik będzie parzysty (kolejność nie ma znaczenia). Jeśli chodzi o dodawanie i odejmowanie, to okazuje się, że przy kombinacji liczb parzystej i nieparzystej, wynik będzie nieparzysty. I to bez względu na to w jakiej kolejności je dodajemy bądź odejmujemy. Przy odejmowaniu warto wspomnieć, że jeśli pierwsza z liczb będzie mniejsza od drugiej, wówczas wynik nadal będzie nieparzysty, tyle że ze znakiem ujemnym.
Trzecia tabela pokazuje kombinacje działań dla dwóch liczb parzystych. Co z niej wynika? Widać wyraźnie, że każde z trzech działań poza dzieleniem (omówię je poniżej osobno) zawsze daje wartość parzystą. Przy okazji pamiętajmy, że liczby ujemne także dzielimy na parzyste i nieparzyste.
Ostatnia tabela przedstawia sytuację gdzie manipulujemy dwiema liczbami nieparzystymi. I szybko można zauważyć, że w przypadku mnożenia, wynik będzie nieparzysty, zaś przy dodawaniu i odejmowaniu - zawsze parzysty.
DZIELENIE DWÓCH LICZB NATURALNYCH
Teraz pora na omówienie dzielenia w każdej z powyższych tabel. W przypadku tego działania mamy pewne ograniczenia (np. nie wolno dzielić przez zero). Przy okazji muszę dodać, że w wielu przypadkach nie można jednoznacznie określić typu wyniku końcowego (parzysta lub nieparzysta) dla tego działania. Dlatego omówimy sobie je nieco bardziej szczegółowo. Zaznaczam, że do analizy wziąłem tylko dwie liczby całkowite dodatnie (naturalne), przy uwzględnieniu warunku, że pierwsza (dzielna) jest większa od drugiej (dzielnik) i obie są różne od zera. Chodzi bowiem o to, aby ta prezentacja wraz z krótkim omówieniem była maksymalnie zrozumiała i mogła stanowić punkt wyjścia dla dalszych poszukiwań oraz formułowania wniosków.
Rozpatrzymy cztery przypadki dzielenia, czyli wszystkie możliwe kombinacje dla dwóch liczb.
1) LICZBA PARZYSTA przez NIEPARZYSTĄ
W przypadku dzielenia liczby parzystej przez nieparzystą, wynikiem może być albo "czysta" liczba parzysta albo nieokreślona liczba całkowita (to znaczy zarówno parzysta jak i nieparzysta) z dowolną resztą (tabela 1).
Wynik ilorazu (tego bez reszty) mówi nam o tym, że obie liczby - zarówno dzielnik (3) jak i wynik dzielenia (6) - są dzielnikami liczby wyjściowej (18), która dla obu z nich jest także wspólną wielokrotnością. Z kolei, gdy otrzymujemy wynik z resztą, wtedy mamy gwarancję, że liczba przez którą dzielimy (5) nie jest jednym z dzielników wyjściowej liczby (16). Dodatkowo wiemy również, że nasza liczba wyjściowa (16) nie jest wielokrotnością dzielnika (5). Niby oczywiste, ale moim zdaniem warto o tym chwilę pomyśleć.
2) LICZBA NIEPARZYSTA przez PARZYSTĄ
Z kolei w przypadku dzielenia liczby nieparzystej przez parzystą, okazuje się, że jedyne co jest pewne to fakt, że nie otrzymamy liczby całkowitej (tabela 2). Wiemy jeszcze to, że reszta będzie na pewno nieparzysta. Wynika to z tego, że przy mnożeniu przez liczbę parzystą otrzymujemy wynik w postaci parzystej. A u nas wyjściowa liczba jest nieparzysta (15), więc (brakująca) reszta również musi mieć taką postać. Inaczej mówiąc wielokrotność (7) liczby parzystej (2) daje nam liczbę parzystą (14), więc reszta nie może być parzysta. Dobrze jest samodzielnie wymyślić kilka przykładów i sprawdzić tę regułę.
3) LICZBA PARZYSTA przez PARZYSTĄ
Dochodzimy do sytuacji w której dzielimy dwie liczby parzyste. I w tej sytuacji możemy z pewnością stwierdzić, że na pewno wynikiem będzie liczba całkowita (tabela 3). Nie wiemy jednak czy będzie ona parzysta czy nieparzysta. Gdybyśmy zerknęli na wyniki ilorazu (3 i 10) i pomnożyli przez liczby, które były naszymi dzielnikami (odpowiednio 6 i 2), to okaże się, że teraz wynik będzie parzysty (wcześniej nasza wyjściowa liczba - odpowiednio 18 i 20). Dlatego nie możemy jednoznacznie odpowiedzieć na pytanie o rodzaj wyniku (parzysty czy nieparzysty), gdy wiemy tylko, że obie liczby, które dzielimy są parzyste.
4) LICZBA NIEPARZYSTA przez NIEPARZYSTĄ
Ostatnia tabela pokazuje nam co się dzieje, gdy obie liczby, które dzielimy są nieparzyste. W przypadku dzielenia obu liczb nieparzystych, wynikiem może być albo "czysta" liczba nieparzysta albo nieokreślona liczba całkowita (to znaczy zarówno parzysta jak i nieparzysta) z dowolną resztą (tabela 4).
Wynik ilorazu (tego bez reszty) mówi nam o tym, że obie liczby - zarówno dzielnik (3) jak i wynik dzielenia (5) - są dzielnikami liczby wyjściowej (15), która dla obu z nich jest także wspólną wielokrotnością. Z kolei, gdy otrzymujemy wynik z resztą, wtedy mamy gwarancję, że liczba przez którą dzielimy (5) nie jest jednym z dzielników wyjściowej liczby (21). Dodatkowo wiemy również, że nasza liczba wyjściowa (21) nie jest wielokrotnością dzielnika (5). Niby oczywiste, ale moim zdaniem warto o tym chwilę pomyśleć.
I teraz wnioski końcowe dotyczące dzielenia (zakładamy, że dzielna jest większa od dzielnika i obie liczby są naturalne):
- iloraz liczby parzystej przez nieparzystą daje nam liczbę parzystą (liczba wyjściowa jest wielokrotnością dzielnika, np. 18/3 = 6),
- iloraz dwóch liczb nieparzystych daje nam liczbę nieparzystą (liczba wyjściowa jest wielokrotnością dzielnika, np. 15/3 = 5),
- iloraz dwóch liczb parzystych (liczba wyjściowa jest wielokrotnością dzielnika, np. 18/6 lub 20/2) daje wynik bez reszty,
- reszta z dzielenia liczby nieparzystej przez parzystą, jest również nieparzysta (15/2 = 7 reszta 1)
- reszta z dzielenia występuje tylko wtedy, gdy liczba wyjściowa nie jest wielokrotnością dzielnika (np. 12/5, bo wielokrotność 5 nie daje 12, czy też 16/3, bo wielokrotność 3 nie daje 16).
Przy okazji odpowiemy sobie na pytanie - jaki jest związek wielokrotności z dzielnikami. Otóż każdy iloraz, który nie daje reszty (czyli jak kto woli - daje resztę zerową) pokazuje dzielniki danej liczby. Przykładowo weźmy sobie na warsztat mamy liczbę 12. Możemy ją rozbić na takie iloczyny jak: a) 12*1, 2*6, 3*4, a potem te same iloczyny tylko w odwrotnej kolejności. I każda para liczb (12,1 i 2,6 oraz 3,4) mówi nam o dzielnikach. W naszym wypadku są nimi: 1, 2, 3, 4, 6 i 12. Zauważmy, że 5 ani 7 nie są dzielnikami liczby 12, ponieważ 12 nie jest ich wielokrotnością! Inaczej mówiąc, dzieląc liczbę 12 przez 5 albo przez 7 otrzymamy resztę. Natomiast jeśli w wyniku dzielenia dostajemy resztę, to ani dzielnik ani liczba całkowita (ta zawierająca w sobie jeszcze resztę!) nie są dzielnikami liczby wyjściowej. W naszym przypadku 12/2 = 5 r2, więc ani 2 (mowa o dzielniku, a nie o reszcie) ani 5 nie są dzielnikami 12. Analogicznie przy 12/7 = 1 r5, więc również ani 7 ani 1 nie są dzielnikami 12.
Jeszcze jedna rzecz o której warto pamiętać. Otóż jeśli dana liczba jest dzielnikiem liczby wyjściowej (dzielna), to jej wielokrotność (czyli iloczyn przez liczbę całkowitą) musi dać naszą dzielną. Zatem jeśli chcę mieć pewność, że 18 jest dzielnikiem 54, to muszę uzyskać 54 za pomocą mnożenia 18 przez liczbę całkowitą. Jeśli chcę natomiast szybko obalić stwierdzenie, że 16 jest dzielnikiem 54, to wystarczy, że powiem iż 16x3 = 48 (za mała), zaś 16x4 = 64 (za duża), czyli nasza poszukiwana liczba 54 znajduje się pomiędzy 48 a 64. Żartując można powiedzieć, że potrójna wielokrotność 16 jest za mała, zaś poczwórna - zbyt duża. Na pewno zatem nie będzie to całkowita wielokrotność, co sprawia, że sprawdzana liczba 16 nie jest (nie może być) dzielnikiem liczby 54.
Podsumowanie: Myślę, że w tej odsłonie powiedzieliśmy sobie wystarczająco dużo na temat tego co na kolejnych etapach może nam ułatwić lepsze zrozumienie zagadnienia wielokrotności i dzielników. Warto na spokojnie zastanowić się nad tym co powyżej zaprezentowałem, ponieważ mam wrażenie, że dla dzieci te treści są zupełnie nieznane bądź nieoczywiste. Dając im szanse na to, aby odkrywały te wnioski i zależności, sprawiamy że będą mogły zobaczyć ten temat w szerszej perspektywie. A przecież chyba o to chodzi, aby te małe części układanki pasowały do całego obrazu, prawda?
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz
Jeśli chcesz, aby twoja wiadomość nie została odrzucona przez system jako spam (usunięte), to podpisz się swoim imieniem lub pseudonimem. Dziękuję :)