Ułamki skończone czy nieskończone - sprytnie podzielisz dwie liczby, a grupa cyfr na ekranie zapłonie

W poprzednim odcinku pokazałem prosty sposób na to, aby sprawdzić czy ułamek zwykły w rozwinięciu dziesiętnym będzie skończony czy nieskończony. Zadałem proste pytanie: Po czym rozpoznać czy rozwinięcie dziesiętne ułamka będzie się ciągnęło w nieskończoność, a kiedy na pewno skończy się na danym miejscu? (cyfrze).

Teraz warto się przyjrzeć temu co się stanie, gdy ułamek zwykły będzie miał rozwinięcie nieskończone (okresowe). Dodam od razu, że jeśli dzielimy dwie liczby całkowite przez siebie (pamiętamy, iż mianownik nie może być zerem), to zawsze będziemy mieli do czynienia z liczbą wymierną. Natomiast jeśli mianownik ułamka nie będzie można zapisać jako kombinacji 2 i/lub 5 (od razu lub po skróceniu), wówczas będzie miał rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe. Dziesiętne czyli takie po przecinku, nieskończone to znaczy nie mające końca, ale okresowe to znaczy jakie? Takie w którym będzie powtarzała się cyfra lub grupa cyfr. I to powtarzanie będzie trwało w nieskończoność. Przy okazji zapamiętajmy, że takie ułamki również są liczbami wymiernymi! (niewymierne to te w których nie powtarza się żadna grupa cyfr: przykładem jest chociażby sławna liczba Pi bądź pierwiastki z liczb całkowitych z których nie można wyciągnąć całości, np. pierwiastek z 3, 5 czy 7).

Przykładami ułamków, które mają rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe (dalej zwanymi okresowymi) są chociażby takie liczby jak: 1/7, 2/3, 4/9, 5/11 i tak dalej. Można samodzielnie sprawdzić dlaczego tak się dzieje. Otóż nawet zapisując (zamieniając) w liczniku dowolną inną liczbę całkowitą (oprócz zera i wielokrotności mianownika) nadal będą one ułamkami okresowymi nieskończonymi. Dlaczego? Właśnie dlatego, że nie można ich sprowadzić do postaci dziesiętnej (jako kombinacja 2 i/lub 5 w mianowniku), co już wcześniej zostało powiedziane.

Teraz zobaczmy co się będzie działo, gdy nasza dziecięca fantazja zechce nieco pobawić się w poszukiwanie ciekawego sposobu, aby złapać za ogon nieskończoną okresową liczbę, tak aby sprytnie zapisać ją w postaci ułamka.

Podsumowanie: Ułamki, które nie dają się zapisać w postaci rozwinięcia skończonego są ułamkami nieskończonymi okresowymi. A te mają ciekawe właściwości, które często pojawiają się w nietypowych zadaniach (zwykle konkursowych). Następnym razem zobaczymy kilka zadań praktycznych, które będą wyjaśniały w jaki sposób można wykorzystywać właściwości związane z powtarzaniem się określonej grupy cyfr. Mam nadzieję, że dzięki temu temat ułamków skończonych i nieskończonych będzie miał w końcu solidną podstawę (jak kto woli dobre wprowadzenie).