Wyjaśnienie mechanizmu dzielenia i nagle wszystko się zmienia

...bo kolejne cechy podzielności dają nam wiele do przemyślenia!

Czasami dociekliwe umysły dzieci zastanawiają się nad tym jak to jest z tymi nietypowymi cechami podzielności. Być może warto rzucić odrobinę światła w stronę ciemności, aby to zagadnienie stało się znacznie bardziej zrozumiałe. Zwłaszcza, że nie są to specjalnie trudne rozważania, a z pewnością mogą pomóc w opanowywaniu kolejnych elementów matematycznej sztuki.

Spróbujmy zatem przyjrzeć się kilku cechom podzielności, które najczęściej w edukacji szkolnej są albo pomijane milczeniem albo niewystarczająco wyjaśniane. Poniżej pokrótce wyjaśnię tworzenie i sprawdzanie cech podzielności przez: 4, 12, 15 i 25.

Jak podzielić liczbę przez 4? Jak sprawdzić czy jest podzielna przez 4 niekoniecznie uzyskując wynik końcowy? Pokażę prostą sztuczkę i mam nadzieję, że wszystko będzie odrobinę prostsze.

Pamiętajmy jeszcze o tym, że jeśli liczba wyjściowa nie jest parzysta, to automatycznie nie jest podzielna przez 4. Stąd wniosek, że rozpatrujemy tylko te liczby, których ostatnia cyfra to: 0, 2, 4, 6 lub 8. Jeśli po podzieleniu przez 2 dana liczba jest parzysta, wówczas wyjściowa liczba jest "podwójnie parzysta", a więc musi być podzielna przez 4. Prawda, że proste?

Jeśli chodzi o podzielność przez 12 to musi to być liczba podzielna jednocześnie przez 3 i 4. A czemu nie przez 6 i 2? Powody są co najmniej dwa. Pierwszy i najważniejszy jest taki, że można znaleźć bardzo łatwe obalenie. Mianowicie liczba 18 nie jest podzielna przez 12, pomimo że dzieli się zarówno przez 6 jak i przez 2. Drugim powodem jest to, że w rozkładzie liczby 12 na czynniki pierwsze mamy: 2*2*3, więc trójka musi być osobno, zaś iloczyn obu dwójek (tych samych czynników) daje nam czwórkę. Warto to wziąć pod uwagę. Celem utrwalenia i lepszego zrozumienia materiału proponuję sprawdzenie (opracowanie) cechy podzielności przez 18. Pojawia się pytanie - czy każda liczba jest podzielna przez 18 jeśli jest jednocześnie podzielna przez 6 i 3 czy też przez 9 i 2? Odpowiedź będzie analogiczna jak powyżej.

Natomiast w przypadku liczby podzielnej przez 15 jest już bardzo łatwo, gdyż wiemy, iż musi spełniać warunek podzielności przez 3 i 5. Czemu akurat w ten sposób? Odpowiedź jest prosta: z uwagi na to, że liczba 15 ma tylko taki rozkład na czynniki pierwsze. Na marginesie dodam, że innym rozkładem liczby 15 jest 1*15, ale nic on nam nie daje, bo każda liczba jest podzielna przez 1... i nadal musimy stworzyć drugą cechą podzielności... przez 15.

Z kolei jeśli chodzi o podzielność przez 25, to każda liczba będzie podzielna przez 25 jeśli dwiema jej ostatnimi cyframi będą: 25, 50, 75 lub 00. W przypadku liczby jednocyfrowej (albo mniejszej niż 25) to żadna z nich nie będzie podzielna przez 25. Wyjątkiem jest zero, które jest podzielne przez każdą liczbę oprócz zera! Każdy już powinien doskonale wiedzieć, że (istotnym) rozkładem liczby 25 jest tylko 5*5, więc nie możemy stworzyć krótszej cechy podzielności aniżeli powyższa.

Podsumowanie: cechy podzielności są dość ważne, gdyż dzięki ich dobrej znajomości w przyszłości będzie możliwość wykonywania istotnych operacji (logicznych) na liczbach bez ich fizycznego rozkładania (znajdowania końcowego wyniku ilorazu). Poza tym dzięki temu przy ułamkach jak i potęgach oraz pierwiastkach będziemy mogli wspomagać się umiejętnościami z tego zakresu.


Warto podkreślić, że w praktyce wystarczy poznanie i zrozumienie około 10-12 cech podzielności, aby być w stanie płynnie posługiwać się tą wiedzą w innych zagadnieniach matematyki. Niektóre cechy podzielności są albo dość trudne albo w praktyce niemal nieużywane. Oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie, aby chętni samodzielnie zgłębiali ten temat.