Dlaczego reszta z dzielenia jest niemożliwa do obalenia

...bo każdy umysł w potężny komputer przemienia!

Nauka cech podzielności może być fajną zabawą. Szczególnie wtedy, gdy temat jest opracowany solidnie oraz dzieci (uczniowie) mogą samodzielnie dochodzić do odkrywania ukrytych tajemnic matematycznych jakimi są relacje wynikające z dzielenia. Dobrze jest pokrótce przypomnieć to czym jest dzielenie i na czym polega reszta. Najprościej zrobić to na cukierkach, monetach, owocach czy też kulkach (albo kostkach). Dzięki temu będzie doskonale widoczne i zrozumiałe to czym jest owa reszta - sierotka, która nie znalazła innych przyjaciół, które razem z nią tworzyłyby całość.

Teraz przejdźmy do tego czym jest owa podzielność. Wiemy, że można dzielić przez różne liczby, ale czy można odgadnąć (bez żmudnego liczenia) czy dana liczba dzieli się bez reszty? Z resztą czy bez... oto jest pytanie! Zresztą sami się o tym przekonajmy!

Zobaczmy na czym polegają niesamowite sztuczki związane z podzielnością liczb. Dodam, że można je znaleźć praktycznie w każdym podręczniku czy też w całym wirtualnym świecie - jak kto woli w Internecie. Poniżej moja wersja podzielności.

Przez 2: liczba, której ostatnia cyfra to: 0, 2, 4, 6 lub 8.
Przez 3: liczba, której suma cyfr daje liczbę będącą podzielną przez 3.
Przez 9: liczba, której suma cyfr daje liczbę będącą podzielną przez 9.
Przez 5: liczba, której ostatnia cyfra to: 0 lub 5.
Przez 10: liczba, której ostatnia cyfra to 0.
Przez 20: liczba, której przedostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6 lub 8, a ostatnia cyfra to 0.
Przez 4: liczba, której dwie ostatnie cyfry to liczba podzielna przez 4.
Przez 6: liczba, która jest jednocześnie podzielna przez 2 i 3.

Wszyscy doskonale wiedzą, że takie lub podobne definicje są bez problemu do odnalezienia w różnych źródłach. Jednak pozostaje pewien niedosyt, ponieważ niektóre zagadnienia pozostają bez odpowiedzi. Spróbuję nieco uchylić rąbka tajemnicy.

W przypadku podzielności przez 2 można w skrócie powiedzieć, że musi być to liczba parzysta. W takim wypadku nie jest konieczne wypisywanie kilku możliwości, które przybiera liczba parzysta. Tak samo jest w przypadku podzielności przez 20: można zapisać to w taki sposób, że przedostatnia cyfra ma być parzysta, zaś ostatnia musi być zerem.

Jeśli chodzi o podzielność przez 4, to najprostszy sposób jest taki, że zakrywamy wszystkie wcześniejsze cyfry i pozostawiamy jedynie ostatnie dwie. I wtedy jest już łatwo - dwucyfrową liczbę dość szybko można w pamięci sprawdzić czy jest podzielna przez 4. A dalsza historia jest już prosta. Jeśli mamy liczbę dwucyfrową, która jest podzielna przez 4 (niechaj to będzie przykładowo 28), wówczas możemy przed nią dopisywać dowolną liczbę cyfr i nadal każda w ten sposób utworzona będzie podzielna przez 4.

Podzielność przez 6 jest bardzo dobrze widoczna w tabeli (zobacz poniżej). Jeśli bowiem dana liczba jest podzielna przez 2, wówczas wstawiamy "+". Następnie sprawdzamy czy jest również podzielna przez 3... i jeśli jest to również wpisujemy "+". A to z automatu sprawia, że jest podzielna przez 6. Inaczej mówiąc, jeśli w obu rubrykach (kratkach) mamy plusy, wtedy wpisujemy plusa dla danej liczby w odpowiedniej rubryce (kolumnie) z tytułem "przez 6".

Najrzadziej jednak jest odkrywana tajemnica podzielności przez 3 i 9. Jak to?! Przecież wszystkie podręczniki podają to jak byk! A no właśnie nie do końca! Czemu? Otóż niemal nikt nie podaje tego, że ta podzielność może być wielokrotnie stosowana! Jak to rozumieć? Otóż zobaczmy na przykładzie. Czy liczba 123123123 jest podzielna przez 3? Sprawdźmy jej sumę cyfr. Wychodzi dokładnie 18. Każdy wie, że 18 jest podzielna przez 3, a więc nasza wyjściowa liczba 123123123 też jest podzielna przez 3.

A teraz weźmy większą liczbę. Niechaj będzie to liczba 369369369. Suma jej cyfr to 54. Tutaj znowu można szybko sprawdzić, że jest podzielna przez 3. A gdybyśmy mieli ocenić liczbę 999999999666666333 (9 dziewiątek, 6 szóstek i 3 trójki), to czy też to będzie tak proste? Zobaczmy. Otóż suma cyfr tej liczby to 81+36+9, a zatem 126. I tutaj już konieczne byłoby dzielenie przez 3 liczby 126 albo na kalkulatorze albo pisemnie. A gdyby dodać sumę cyfr tej ostatniej liczby i wtedy zobaczyć czy jest podzielna przez 3? Suma cyfr liczby 126 to 9. A podzielność tej jest nawet do sprawdzenia na palcach! Wniosek? Możemy sobie w tym wypadku pomagać wielokrotnie sumując cyfry i sprawdzając czy da nam ona liczbę podzielną przez 3.

Czyż matematyka nie jest banalnie prosta? A gdyby w przypadku podzielności przez 9, również możliwe byłoby użycie tej sztuczki? Liczba 9999666333 jest podzielna przez 9, ponieważ suma jej cyfr daje liczbę 63, zaś suma liczby 63 daje 9. No a 9 jest podzielna przez samą siebie, prawda? Magia czy może po prostu tajemnice o których nie wszyscy powszechnie mówią?

Myślę, że teraz najwyższy czas na to, aby nieco poćwiczyć. Poniżej mamy tabelę do wypełnienia za pomocą "+" oraz "-". Plusa wpisujemy wówczas, gdy dana liczba (w wierszu) jest podzielna przez konkretną liczbę (w kolumnie), zaś minusa, gdy nie jest. A jak już to zrobimy to możemy sobie (skopiować) wydrukować następną przykładową kartę w której samodzielnie wymyślamy liczby i wpisujemy je w pierwszą kolumnę. W drugiej kolumnie ("S") mamy możliwość wpisania sumy ocenianej liczby, tak aby nie popełniać prostych błędów wynikających z dekoncentracji (bo uwaga jest skupiona na procesie sprawdzania).

Na koniec warto zadać sobie serię pytań. Pytania do lekcji na temat (cech) podzielności mogą wyglądać chociażby tak:

1) Czy wynik dzielenia obu liczb naturalnych (np. 24:3) może być liczbą mieszaną? Czy może zawierać resztę? Jeśli może być reszta to jaka? Czy reszta może być równa dzielnikowi lub od niej większa?

2) W jaki sposób można udowodnić, że dana liczba (X) jest podzielna przez 5, jeśli wiemy, że po jej podzieleniu otrzymamy wynik 12?

3) Czym jest wielokrotność w stosunku do dzielenia (a nawet dzielnej)?

4) Dlaczego w cechach podzielności nie ma liczby 0 ani 1?

5) Jak sprytnie zliczać sumę cyfr, aby otrzymana liczba była bezbłędna? Jak sprawić, aby szansa popełnienia błędu była jak najbardziej znikoma (chodzi o tak zwane minimalizowanie błędu)?

6) Na podstawie tabeli opracuj samodzielnie cechę podzielności przez 15, 25 i 100. Jakie niezbędne informacje musimy do tego wykorzystać? Dlaczego trudniej jest zrozumieć cechę podzielności przez 15 aniżeli przez 25? Z czego wynika owa trudność?

To oczywiście tylko przykładowe pytania, które mają wyzwolić ciekawość i inspirację do dalszych poszukiwań.

Podsumowanie: sztuką jest takie dopasowywanie procesu nauki oraz narzędzi, sposobów i metod pracy, aby w umysłach wyzwolić poczucie twórczości, samodzielności oraz poczucie sprawstwa... przy okazji pozwalając dzieciom na odkrywanie, przeżywanie, doświadczanie jak też podejmowanie decyzji i branie odpowiedzialności za własny rozwój. Temu właśnie może służyć temat cech podzielności liczb, zwłaszcza jeśli zostanie odpowiednio przygotowany.

Przykładem ciekawej lekcji może być wpisywanie liczb, które będą datami urodzenia ważnych dla nas osób czy też wydarzeń historycznych. Wreszcie można zabawić się w to, aby bez wpisywania liczb pomyśleć co zrobić, aby dopiero po wpisaniu mogła spełniać jednocześnie kilka cech podzielności. A co zrobić, aby spełniała wszystkie? Takie właśnie pytania powinny obowiązkowo pojawiać się w procesie odkrywania niezwykłych zależności, które wydają się niewiarygodne i nieodgadnione na pierwszy rzut oka. Pamiętajmy o tym, że jak dotąd umysł ludzki pozostaje najpotężniejszym superkomputerem, który potrafi tworzyć cuda.