Dlaczego reszta z dzielenia daje wiele okazji do przemyślenia

... bo zbliża nas do pełnego zrozumienia i solidnego utrwalenia!

Wiele dociekliwych osób zastanawia się dlaczego w cechach podzielności nie ma liczby 0 ani 1. Przecież to też liczby, więc czemu nikt się nimi nie zajmuje?

Otóż powód jest prozaiczny - dzielenie przez 1 nie zmienia wartości. Inaczej mówiąc każda liczba podzielona przez 1 jest nadal tą samą liczbą. To mniej więcej tak jakbyśmy biegli w miejscu (chociażby na bieżni). W pełni odczuwamy ruch, ponieważ nasze ciało je wykonuje, ale w stosunku do ziemi pozostajemy cały czas w tym samym miejscu.

A jeśli chodzi o zero? W przypadku podzielności przez zero jest inna bajka. Mianowicie dzielenie przez zero jest niewykonalne. Spróbujmy przeprowadzić proste rozumowanie.

Przykładowo mając 12 cukierków możemy je podzielić (po równo) na:
a) 12 osób, wtedy każda otrzymuje po 1 cukierku,
b) 6 osób, wtedy każda otrzymuje po 2 cukierki,
c) 4 osoby, wtedy każda otrzymuje po 3 cukierki,
d) 3 osoby, wtedy każda otrzymuje po 4 cukierki,
e) 2 osoby, wtedy każda otrzymuje po 6 cukierków,
f) 1 osobę, wtedy każda (w tym wypadku jedyna) otrzymuje po 12 cukierków (czyli dostaje wszystkie słodycze).

I teraz doszliśmy do naturalnej granicy poniżej której już nie możemy zejść. Nie da się podzielić cukierków na zero osób. Dlaczego? Ponieważ nie miałby kto tych cukierków dostać! Można łatwo zapamiętać tę regułę: Nie dzielimy przez zero, bo wychodzi error ("error", to po angielsku słowo oznaczające błąd). Z tego wniosek, że nie ma cechy podzielności przez zero, ponieważ taki podział jest niewykonalny (niedozwolony).

Pojawia się jednak dodatkowe pytanie. A co jeśli zero zechcemy podzielić przez inną liczbę? Ile wtedy będziemy mieli dzielników? Otóż zero ma nieskończenie wiele dzielników. Co to oznacza? Tylko tyle, że nasze zero możemy podzielić przez każdą liczbę (oprócz zera!) i wynikiem zawsze będzie zero. Przykładowo: 0:2 = 0, 0:10 = 0, 0:25 = 0. Jeśli ktoś chce zrozumieć dlaczego jest to możliwe i czemu wynikiem jest zero, niechaj pomyśli co się dzieje, gdy dzielimy "udawane cukierki" w ręku na dwie osoby. Każda dostaje tyle samo, ale z uwagi na to, że nic nie mieliśmy, więc z pustego nawet Salomon nie naleje. Słowem jeśli nic nie mamy, to dzieląc się tym z innymi... nasi obdarowani dostaną tyle samo.

Natomiast w przypadku liczby 1 mamy tylko jeden dzielnik. Inaczej mówiąc, jedynka dzieli się tylko przez 1, bo dzieląc przez każdą inną liczbę otrzymamy resztę. Zobaczmy, że 1:1 = 1 (brak reszty), ale już 1:2 = 0 r 2 (czyli zero całości i reszty 2). Jedną pizzę kroimy na dwie części i nie mamy żadnej całości, ale za to mamy dwa równe kawałki (to właśnie ta matematyczna reszta).

Zbierając wszystkie wnioski widzimy, że:
- nie ma cechy podzielności przez 0, ponieważ żadna liczba nie dzieli się przez 0 (bo wychodzi error),
- nie ma cechy podzielności przez 1, ponieważ każda liczba dzieli się przez 1 (wynikiem jest zawsze wyjściowa liczba).

Z kolei w przypadku, gdybyśmy chcieli:
- sprawdzić ile dzielników ma liczba 0 - czyli na ile części (bez reszty) możemy podzielić 0, wówczas okazuje się, że ma nieskończenie wiele dzielników (oprócz zera),
- sprawdzić ile dzielników ma liczba 1 - czyli na ile części (bez reszty) możemy podzielić 1, wówczas okazuje się, że ma tylko jeden dzielnik (jest nią ta sama jedynka).

Z pewnością tabela powinna wszystko rozjaśnić. Zapamiętajmy, że przy mnożeniu (iloczyn) kolejność elementów (czynników) nie ma znaczenia, ale w przypadku dzielenia (iloraz) spowoduje odwrotność wyniku. No i przez jakiś czas powtarzajmy jak mantrę: Nie dzielimy przez zero, bo wychodzi error. To powinno szybko zostać zakodowane w umyśle, aby wykluczyć to działanie.

Widzimy wyraźnie, że kończąc omawianie tematu cech podzielności automatycznie wkraczamy w zagadnienie wielokrotności, dzielników oraz reszty z dzielenia. Tym jednak zajmiemy się następnym razem.

Podsumowanie: cechy podzielności dwóch niesfornych liczb (zera i jedynki) mogą początkowo wydawać się nieco niezrozumiałe. Dobrze jest jednak kilkukrotnie do nich podejść (przeczytać i przemyśleć na spokojnie więcej niż raz), tak aby w końcu weszły nam do głowy. Będą one również miały specjalne miejsce przy omawianiu tematu liczb pierwszych i złożonych. Wówczas obecna wiedza powinna jeszcze lepiej nam się ułożyć.

Dodam na marginesie, że zrozumienie istoty (niedozwolonego) dzielenia przez zero jest konieczne do tego, aby wykluczyć (ominąć) nieprawidłowe rozwiązania w przypadku chociażby równań wymiernych. Jeśli teraz nie zostanie to dobrze zrozumiane, to później może sprawiać pewne kłopoty.