Dzisiaj znowu krótki wykład - spojrzymy na to co poprzednio mówiliśmy oraz przyjrzymy się temu co się będzie działo, gdy wykładnik potęgi będzie ułamkiem. Na początek przeanalizujemy wyłącznie elementarne (dodatnie) przypadki, tak aby w kolejnych odsłonach zapoznać się z tymi, które wymagają nieco więcej przemyśleń. Tak czy inaczej powoli już widać nasz koniec serii, więc myślę, że tempo naszych rozważań jest całkiem dobre. Zaczynamy kolejny wykład! Proszę zatem zajmować miejsca...
Z uwagi na to, że teoria nie dopuszcza pierwiastków stopnia ujemnego, więc zobaczmy co z tego dla nas wynika. Otóż w moich rozważaniach ujemne liczby w stopniu pierwiastka powodowały odwrócenie wartości (liczby) podpierwiastkowej. Tę funkcję spełnia jednak znak ujemny dotyczący wykładnika potęgi przy których nie ma żadnych ograniczeń... więc nie musimy się martwić tym, że nie będziemy mogli używać ujemnych stopni pierwiastków.
Dodam jeszcze jedną rzecz o której wcześniej wspominałem: oficjalnie w matematyce stopień pierwiastek może być tylko liczbą naturalną od 2 w górę. Czyli umawiamy się na to, że nie stosujemy także pierwiastka w stopniu pierwszym, nawet jeśli byłby on w pełni logiczny i zrozumiały (przypominam, że zwracał on tę samą liczbę podpierwiastkową). Potraktujmy to jako przygodę intelektualną, którą trzeba wykonać, gdy chce się dostać doktorat z matematyki, za opracowanie koncepcji, która jeszcze nie istnieje w matematyce.
Wracamy do głównego wątku naszych rozważań. Wiemy, że możemy pierwiastkować zarówno liczby całkowite jak i ułamki. Pamiętamy również o tym, że w przypadku, gdy pod pierwiastkiem jest liczba (wartość) ujemna, wówczas stopień pierwiastka musi być nieparzysty.
Zastanówmy się teraz co by się stało, gdybyśmy w wykładniku potęgi wpisali zamiast liczby całkowitej... ułamek.
Na początek weźmiemy znowu podstawę potęgi dodatnią całkowitą i zobaczymy jakie zmiany będą zachodziły w przypadku wykładnika, który jest ułamkiem.
W przypadku wykładnika, który jest ułamkiem mamy połączenie potęgowania i pierwiastkowania. Oto wyjawienie sekretu, dlaczego nie mogłem wcześniej wyjaśnić tego co się dzieje z liczbami, które są poddawane potęgowaniu mającemu w wykładniku ułamek.
Sprawdźmy liczby, które już wcześniej badaliśmy. W ułamku wykładnika mamy licznik (wyżej) oraz mianownik (niżej). Pomiędzy nimi mamy kreskę ułamkową, która oddziela je od siebie.
I teraz wiadomość na którą czekaliśmy dość długo: w wykładniku potęgi licznik mówi nam o tym do jakiej potęgi podnosimy liczbę, zaś mianownik w jakim stopniu ją pierwiastkujemy.
Inaczej mówiąc najpierw naszą liczbę klonujemy i rozmnażamy (potęgowanie), a potem ją niejako rozbijamy na elementy w najmniejszej grupie (pierwiastkowanie).
Zerknijmy na kilka elementarnych przykładów.
Podnosząc liczbę 4 do potęgi 1/2, widzimy, że w liczniku wykładnika mamy potęgę do której podnosimy naszą 4, zaś w mianowniku wykładnika - liczbę, która mówi nam w jakim stopniu mamy wyciągnąć z niej pierwiastek (drugim).
Analogicznie jest z pozostałymi liczbami, czyli 16 i 64. Mówiąc nieco bardziej obrazowo, liczba w wykładniku, która jest najwyżej (nad kreską ułamkową) wędruje do naszej podstawy potęgi, zaś na niżej w mianowniku (pod kreską ułamkową) przechodzi przed nią, tworząc dla niej ładne gniazdo, czyli znak pierwiastka... siadając jednocześnie na jego przedniej gałęzi.
Pamiętajmy, że ten fenomen działa oczywiście w obie strony. Czyli pierwiastek możemy zamienić na potęgę... zaś potęgę na pierwiastek.
Dodatkowo mamy również dwie formy zapisywania potęgi (o wykładniku ułamka).
1) wykładnik potęgi, który był w liczniku - wchodzi pod pierwiastek jako wykładnik liczby
2) wykładnik potęgi, który był w liczniku - wychodzi poza całe wyrażenie (liczbę) jako wykładnik liczby
Możemy to zobaczyć na kilku przykładach, które szybko i wyraźnie pokażą o co chodzi.
W kolejnym odcinku przyjrzymy się temu co się będzie działo, gdy wykładnik potęgi będzie nie tylko ułamkiem, ale również będzie dodatkowo ujemny. A potem jeszcze będziemy mogli dodać sytuację w której podstawa potęgi będzie ujemna... więc będziemy znali już wszystko to zostało zaplanowane w ramach naszych wykładów.
Uchylę rąbka tajemnicy, że na końcu serii bez problemu będziemy mogli rozwikłać poniższą dość nietypową superzagadkę pierwiastkowo-potęgową. Chętnych, którzy chcą samodzielnie sprawdzić swoje możliwości - zapraszam do pogłówkowania. Wierzę, że zwłaszcza Marysia będzie stawała na głowie, aby istotę tej zagadki nie tylko zrozumieć, ale również wyjaśnić mamie albo koleżance...
SUPERZAGADKA DLA MARYSI - kto się odważy tę zagadkę rozwiązać, a kto nawet wyjaśnić ją zdoła... gdy wszyscy wokół będą mieli zdziwione miny dookoła?
Podsumowanie: wykładnik potęgi, który jest ułamkiem mówi nam o tym, że będziemy mieli mieszankę potęgowania (licznik) oraz pierwiastkowania (mianownik). Tym razem zobaczyliśmy co się dzieje w najprostszym przypadku, a kolejne odsłony pokażą nam jeszcze kilka możliwości podniesienia poprzeczki w zagadnieniu potęgowania i pierwiastkowania.
PS. Okazuje się, że ujemne stopnie pierwiastków nie będą nam do niczego potrzebne, więc jeśli sama matematyka mówi (podziękowania dla pani Agnieszki I. za wyjaśnienie i pomoc związaną z tym, że ta koncepcja może być albo jest nieprawidłowa), że to nie jest dobra droga, to skupiamy się wyłącznie na tych naturalnych dodatnich, które zaczynają się od dwójki. Dodam jeszcze, że pierwszy stopień pierwiastka również nam nic nie zmienia, więc nie będziemy go również używali. Poradzimy sobie bez nich.
Z uwagi na to, że teoria nie dopuszcza pierwiastków stopnia ujemnego, więc zobaczmy co z tego dla nas wynika. Otóż w moich rozważaniach ujemne liczby w stopniu pierwiastka powodowały odwrócenie wartości (liczby) podpierwiastkowej. Tę funkcję spełnia jednak znak ujemny dotyczący wykładnika potęgi przy których nie ma żadnych ograniczeń... więc nie musimy się martwić tym, że nie będziemy mogli używać ujemnych stopni pierwiastków.
Dodam jeszcze jedną rzecz o której wcześniej wspominałem: oficjalnie w matematyce stopień pierwiastek może być tylko liczbą naturalną od 2 w górę. Czyli umawiamy się na to, że nie stosujemy także pierwiastka w stopniu pierwszym, nawet jeśli byłby on w pełni logiczny i zrozumiały (przypominam, że zwracał on tę samą liczbę podpierwiastkową). Potraktujmy to jako przygodę intelektualną, którą trzeba wykonać, gdy chce się dostać doktorat z matematyki, za opracowanie koncepcji, która jeszcze nie istnieje w matematyce.
Wracamy do głównego wątku naszych rozważań. Wiemy, że możemy pierwiastkować zarówno liczby całkowite jak i ułamki. Pamiętamy również o tym, że w przypadku, gdy pod pierwiastkiem jest liczba (wartość) ujemna, wówczas stopień pierwiastka musi być nieparzysty.
Zastanówmy się teraz co by się stało, gdybyśmy w wykładniku potęgi wpisali zamiast liczby całkowitej... ułamek.
Na początek weźmiemy znowu podstawę potęgi dodatnią całkowitą i zobaczymy jakie zmiany będą zachodziły w przypadku wykładnika, który jest ułamkiem.
W przypadku wykładnika, który jest ułamkiem mamy połączenie potęgowania i pierwiastkowania. Oto wyjawienie sekretu, dlaczego nie mogłem wcześniej wyjaśnić tego co się dzieje z liczbami, które są poddawane potęgowaniu mającemu w wykładniku ułamek.
Sprawdźmy liczby, które już wcześniej badaliśmy. W ułamku wykładnika mamy licznik (wyżej) oraz mianownik (niżej). Pomiędzy nimi mamy kreskę ułamkową, która oddziela je od siebie.
I teraz wiadomość na którą czekaliśmy dość długo: w wykładniku potęgi licznik mówi nam o tym do jakiej potęgi podnosimy liczbę, zaś mianownik w jakim stopniu ją pierwiastkujemy.
Inaczej mówiąc najpierw naszą liczbę klonujemy i rozmnażamy (potęgowanie), a potem ją niejako rozbijamy na elementy w najmniejszej grupie (pierwiastkowanie).
Zerknijmy na kilka elementarnych przykładów.
Podnosząc liczbę 4 do potęgi 1/2, widzimy, że w liczniku wykładnika mamy potęgę do której podnosimy naszą 4, zaś w mianowniku wykładnika - liczbę, która mówi nam w jakim stopniu mamy wyciągnąć z niej pierwiastek (drugim).
Analogicznie jest z pozostałymi liczbami, czyli 16 i 64. Mówiąc nieco bardziej obrazowo, liczba w wykładniku, która jest najwyżej (nad kreską ułamkową) wędruje do naszej podstawy potęgi, zaś na niżej w mianowniku (pod kreską ułamkową) przechodzi przed nią, tworząc dla niej ładne gniazdo, czyli znak pierwiastka... siadając jednocześnie na jego przedniej gałęzi.
Pamiętajmy, że ten fenomen działa oczywiście w obie strony. Czyli pierwiastek możemy zamienić na potęgę... zaś potęgę na pierwiastek.
Dodatkowo mamy również dwie formy zapisywania potęgi (o wykładniku ułamka).
1) wykładnik potęgi, który był w liczniku - wchodzi pod pierwiastek jako wykładnik liczby
2) wykładnik potęgi, który był w liczniku - wychodzi poza całe wyrażenie (liczbę) jako wykładnik liczby
Możemy to zobaczyć na kilku przykładach, które szybko i wyraźnie pokażą o co chodzi.
W kolejnym odcinku przyjrzymy się temu co się będzie działo, gdy wykładnik potęgi będzie nie tylko ułamkiem, ale również będzie dodatkowo ujemny. A potem jeszcze będziemy mogli dodać sytuację w której podstawa potęgi będzie ujemna... więc będziemy znali już wszystko to zostało zaplanowane w ramach naszych wykładów.
Uchylę rąbka tajemnicy, że na końcu serii bez problemu będziemy mogli rozwikłać poniższą dość nietypową superzagadkę pierwiastkowo-potęgową. Chętnych, którzy chcą samodzielnie sprawdzić swoje możliwości - zapraszam do pogłówkowania. Wierzę, że zwłaszcza Marysia będzie stawała na głowie, aby istotę tej zagadki nie tylko zrozumieć, ale również wyjaśnić mamie albo koleżance...
SUPERZAGADKA DLA MARYSI - kto się odważy tę zagadkę rozwiązać, a kto nawet wyjaśnić ją zdoła... gdy wszyscy wokół będą mieli zdziwione miny dookoła?
Podsumowanie: wykładnik potęgi, który jest ułamkiem mówi nam o tym, że będziemy mieli mieszankę potęgowania (licznik) oraz pierwiastkowania (mianownik). Tym razem zobaczyliśmy co się dzieje w najprostszym przypadku, a kolejne odsłony pokażą nam jeszcze kilka możliwości podniesienia poprzeczki w zagadnieniu potęgowania i pierwiastkowania.
PS. Okazuje się, że ujemne stopnie pierwiastków nie będą nam do niczego potrzebne, więc jeśli sama matematyka mówi (podziękowania dla pani Agnieszki I. za wyjaśnienie i pomoc związaną z tym, że ta koncepcja może być albo jest nieprawidłowa), że to nie jest dobra droga, to skupiamy się wyłącznie na tych naturalnych dodatnich, które zaczynają się od dwójki. Dodam jeszcze, że pierwszy stopień pierwiastka również nam nic nie zmienia, więc nie będziemy go również używali. Poradzimy sobie bez nich.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz
Jeśli chcesz, aby twoja wiadomość nie została odrzucona przez system jako spam (usunięte), to podpisz się swoim imieniem lub pseudonimem. Dziękuję :)