Ostatnio odkrywaliśmy właściwości związane ze znajdywaniem środka okręgu lub koła.
Wiemy już, że każdy czworokąt możemy wpisać w okrąg, wtedy gdy przekątne danego czworokąta przecinają się w połowie i są tej samej długości.
Zatem z uwagi na spełnienie tej właściwości mamy pewność, że kwadrat i dowolny prostokąt może zostać wpisany w okrąg. Dlaczego? Właśnie dlatego, że punkt przecięcia ich przekątnych jest jednocześnie środkiem okręgu, a każdy odcinek biegnący od środka okręgu do wierzchołka czworokąta jednocześnie ma tę samą długość, będąc promieniem okręgu.
Zastanówmy się teraz jakie cechy muszą spełniać inne czworokąty, aby możliwe było wpisanie ich w okrąg.
Mamy w zasadzie dwa pomysły, które za to odpowiadają: albo są nimi kąty wewnętrzne albo długości boków czworokąta. Teraz kolej na to, żeby się dowiedzieć, które z nich i w jaki sposób działają, żeby dobrze zrozumieć i jednocześnie zapamiętać, to co istotne.
I tutaj natychmiast możemy dodać, że wszystkie wielokąty foremne zawsze mogą być wpisane w okrąg. Przy okazji warto podkreślić, że spełniają one oba warunki związane z kątami wewnętrznymi i bokami czworokąta: obie wartości są równe dla miary kątów i długości boków. Dlatego szybko je eliminujemy, a jednocześnie wiemy, że nie musimy ich już badać.
Pójdźmy dalej tym tropem. Gdybyśmy chcieli wpisać jeden z wielokątów formenych zwany kwadratem w okrąg, to okazuje się, że bez problemu możemy to zrobić. Jeśli jednak chcielibyśmy to samo zrobić z rombem, wtedy okazuje się, że nie jest to możliwe (pomijamy przypadek w którym romb jest kwadratem). Jaki z tego wniosek? Okazuje się, że długość boków nie gra kluczowej roli, bo pomimo, iż w rombie są one identycznej długości, to wpisanie go w okrąg nie jest możliwe. Dlatego podążając dalej, dochodzimy do tego, że trzeba sprawdzić kąty wewnętrzne.
Wniosek: w sprawdzeniu tego, czy czworokąt może zostać wpisany w okrąg... musi zatem chodzić o kąty.
Weźmy zatem na warsztat trapez równoramienny, który wpiszemy w okrąg.
Co takiego możemy zaobserwować? Otóż okazuje się, że taki trapez możemy bez problemu wpisać w okrąg. Pytanie jednak dlaczego jest to możliwe? Co sprawia, że wszystkie wierzchołki możemy zawrzeć na okręgu, które połączone razem tworzą trapez równoramienny?
Okazuje się, że prowadząc prostopadłą linię do obu podstaw, która przecina je w połowie, jesteśmy w stanie znaleźć na niej punkt, od którego odległość do dowolnego punktu na obwodzie (u nas są nimi wierzchołki trapezu) jest taka sama. Inaczej mówiąc, od tego punktu możemy narysować odcinki równej długości do każdego z wierzchołków, których długość jest identyczna. A te odcinki to oczywiście promienie okręgu.
Można oczywiście wyznaczyć trapez w okręgu w następujący sposób:
1) narysuj dwa dowolne odcinki (cięciwy) prostopadłe do siebie, które są różnej długości
2) połącz ze sobą wszystkie cztery punkty na obwodzie, które są wierzchołkami trapezu równoramiennego
3) w ten sposób skonstruowałeś jeden z wielu możliwych przykładów trapezu równoramiennego
Podążajmy dalej. Na przykładzie trapezu równoramiennego szybko odkryjemy ogólną (złotą) regułę, która zapewnia możliwość wpisania dowolnego czworokąta w okrąg.
Na poniższych dwóch rysunkach widzimy nasz trapez równoramienny wpisany w okrąg. Teraz zbadajmy dwie możliwości, których analiza da nam złotą regułę, której poszukujemy.
Pierwsza możliwość - porównanie sumy długości obu przeciwległych boków.
Okazuje się, że w tym wypadku szybko dostrzeżemy, iż obie podstawy trapezu są dłuższe aniżeli oba ramiona. Tak naprawdę nie chodzi nawet o to czy jedne pary boków są dłuższe czy krótsze od drugich, tylko o to, że nie są sobie równe.
Druga możliwość - porównanie sumy miar obu przeciwległych kątów.
W tym wypadku widać gołym okiem, że obie sumy miar przeciwległych kątów sumują się do 180 stopni. Warto podkreślić w tym momencie, że w dowolnym trapezie suma kątów przy każdym z ramion jest zawsze równa 180 stopni. W naszym układzie chodzi jednak o sumę kątów przeciwległych, która musi się sumować do wartości 180 stopni, jeśli dowolny czworokąt ma być wpisany w okrąg.
Teraz możemy sformułować naszą złotą regułę. Brzmi ona następująco:
Czworokąt można wpisać w okrąg jeżeli jest spełniony warunek: sumy dwóch par naprzeciwległych kątów dają wartość 180 stopni.
Na koniec warto pobawić się w sprawdzanie tej reguły (najlepiej mając wcześniej przygotowane na kartce 6 lub 9 okręgów, tak aby nie tracić czasu na ich rysowanie) na przykładzie wpisywania w okrąg dowolnego*:
1) prostokąta
2) kwadratu (czy w dany okrąg można wpisać więcej niż jeden kwadrat? Uzasadnij swoją odpowiedź)
3) równoległoboku (dlaczego nie da się go wpisać?)
4) rombu (dlaczego nie da się go wpisać?)
5) trapezu równoramiennego
6) trapezu prostokątnego (dlaczego nie da się go wpisać?)
7) trapezu różnobocznego (dlaczego nie da się go wpisać?)
8) czworokąta nie będącego żadnym z powyższych (tu najlepiej sprawdzić przynajmniej 3-4 różne przykłady)
Na tej podstawie można dość szybko przekonać się praktycznie o co chodzi z tą regułą i zrozumieć dlaczego, aby wpisać dowolny czworokąt, musi zostać spełniona nasza złota reguła (dotycząca wpisywania w okrąg). Warto ją dobrze przećwiczyć, bo za jakiś czas spróbujemy się dowiedzieć co się dzieje, gdy będziemy chcieli opisywać dowolny czworokąt na okręgu. Czy to będzie ta sama reguła czy też może inna? O tym dowiemy się niebawem.
Bardzo istotne jest to, aby wyciągać jak najwięcej wniosków na bazie naszych znanych figur, które wiemy, że dają się wpisać w okrąg: prostokąta, kwadratu i trapezu równoramiennego. Na bazie analizy ich zmian można dość szybko zrozumieć czemu inne znane czworokąty nie mogą zostać wpisane w okrąg. Im więcej takich wniosków wyciągniemy, tym lepiej i dogłębniej zrozumiemy to zagadnienie.
* UWAGA: przyjmujemy na potrzeby tego zadania (ćwiczenia) brak badania wyjątków jeśli chodzi o czworokąty. Przykładowo istnieje romb, który ma wszystkie kąty proste, ale wtedy jest on kwadratem. Tak samo przykładowo istnieje trapez równoramienny, który ma wszystkie kąty proste, ale wtedy jest on prostokątem (lub kwadratem). Mam nadzieję, że teraz będzie to w pełni jasne.
Insipracja i zachęta dla nauczycieli (oraz bardziej ambitnych uczniów lubiących większe wyzwania).
No i na koniec wklejam coś o czym warto pomyśleć w kontekście efektywnej nauki. Zwłaszcza adresuję to proste opracowanie (ściągawkę z pytań) do nauczycieli matematyki, bo obecne możliwości zastosowania technologii sztucznej inteligencji (AI), do zadań nie wymagających logicznego myślenia (chociażby tak zwane zadania z treścią lub zadania tekstowe) są naprawdę na wysokim poziomie (podstawowe zastosowania są najczęściej także bezpłatne). Dzięki temu można sobie nie tylko ułatwić pracę, ale przede wszystkim nie tracić energii i czasu na realizowanie mechanicznych czynności.
