Dziś powiemy sobie co nieco na temat tego jaki jest jego związek potęgowania z dodawaniem. Do tego przyjrzymy się również temu czym jest mnożenie i dzielenie oraz przypomnimy sobie pojęcie liczby odwrotnej. To wszystko powinno pomóc nam ułożyć sobie kolejną cegiełkę w budowli naszego matematycznego domu.
W poprzednim odcinku dowiedzieliśmy się tego czym jest potęgowanie oraz czym jest podstawa i wykładnik potęgi. Przypomnę krótko, że podstawa potęgi mówi nam o tym jaką liczbę będziemy mnożyli, zaś wykładnik podpowiada ile razy będziemy taką operację wykonywali.
W tym artykule przyjrzymy się temu co się będzie działo, gdy wykładniki będą liczbami całkowitymi dodatnimi lub ujemnymi.
Ostatnim przykładem, który analizowaliśmy była zabawa z czwórką. Były to wartości 4^1, 4^2 i 4^3. Wiemy, że wykładnik mówi nam ile razy pojawia się dana liczba (podstawa) jako iloczyn tych samych czynników. I tak w przypadku 4^1 = 4, 4^2 = 4*4 = 16 i 4^3 = 4*4*4 = 64. Oznacza to, że jeśli mamy w wykładniku jedynkę, wtedy wartość będzie równa podstawie (nic nie mnożymy), przy dwójce będzie mnożenie dwóch identycznych liczb (podstaw), a mając trójkę, będzie konieczne trzykrotne pomnożenie tych samych liczb podstawy.
Wniosek z tego jest taki, że wraz ze wzrostem wykładnika - zwiększa się (proporcjonalnie) liczba czynników, czyli liczb (podstawy), które mnożymy przez siebie.
I teraz istotna uwaga. Tak naprawdę gdy przed daną liczbą (wartością) nie ma żadnego znaku, to uznajemy, że jest ona dodatnia. Inaczej mówiąc przyjmujemy, że +3 to po prostu 3, zaś +5 to 5. Ba! Jest to tak oczywiste, że nawet się nad tym nie zastanawiamy! To jednak ważne, jak się zaraz zresztą okaże.
Przypomnijmy sobie oś liczbową. Pomyślmy również w ten sposób, że zwiększanie liczby (wartości) to przesuwanie jej w prawo, zaś zmniejszanie - w lewo. No dobrze, ale jaki to ma związek z potęgowaniem? Wiemy już, że wraz ze wzrostem wykładnika, zwiększeniu ulega liczba czynników (tych samych liczb, które mnożymy przez siebie), prawda?
Zastanówmy się jednak, co się stanie, gdy liczbę w wykładniku zaczniemy po prostu zmniejszać. Otóż wraz ze zmniejszaniem się liczby wykładnika będzie coraz mniej czynników. Do tej pory analizowaliśmy tylko taką sytuację w której najmniejszym wykładnikiem była jedynka. W takiej sytuacji pamiętamy, że wtedy mamy liczbę, która jest naszą wyjściową (podstawą potęgi).
Zaobserwujmy pewien schemat i poszukajmy związku (zależności), który będzie pokazywał co się dzieje przy zmniejszaniu się wykładnika.
Weźmy na początek nieco większą liczbę. Niechaj będzie nią 4^6 czyli 4096. Schodzimy z potęgami od większej do mniejszej (tabelę czytamy od prawej do lewej). Zatem:
Teraz zauważmy, że przy każdym obniżeniu (zmniejszeniu) wykładnika potęgi, dzielimy daną liczbę przez podstawę (u nas jest nią 4). Dlatego dalej będzie to wyglądać w taki oto sposób (znów tabelę czytamy od prawej do lewej).
Wynika z tego prosty fakt, że w momencie, gdy dochodzimy do zerowego wykładnika potęgi, wówczas nasza liczba staje się jednością (jedynką). A co się dzieje dalej? Otóż później tak jak w lustrze odbijają się te same liczby (z prawej), tylko zapisane jako ułamki zwykłe (po lewej). Różnica jest taka, że w każdej z liczb po lewej mamy w liczniku jedynkę, a w mianowniku lustrzaną liczbę.
Czym są liczby odwrotne i jak je łatwo zrozumieć? Najprościej mówiąc, liczby odwrotne, to te, które mają odwrócone liczniki z mianownikami. W naszym przypadku jeśli mamy liczbę 4, wówczas odwrotnością jest 1/4, a dla 16 odwrotna liczba to oczywiście 1/16. Dlaczego? Otóż dlatego, że czwórkę traktujemy jako 4/1, więc gdy odwrócimy ją do góry nogami, wówczas powstanie właśnie jej odwrotność czyli 1/4. Prawda, że proste?
Gdybyśmy na podstawie powyższych rozważań narysowali prosty schemat, wtedy okazałoby się, że zero w wykładniku potęgi daje nam liczbę równą jedności (jedynkę). A ta jedność właśnie rozdziela wykładniki dodatnie (po prawej) od ujemnych (po lewej).
A jak przedstawia się proces, który ukazuje zasadę na podstawie której możemy ustalić co się dzieje z wartościami liczb potęgowanych? Proszę bardzo, zobaczmy to na rysunku. Ostrzegam, że prostota wyjaśnienia może lekko przerazić.
I teraz zapewne nasze oczy znowu się nieco szerzej otwierają, a źrenice mocno poszerzają. Tak, to właśnie najczęściej tego brakuje w wyjaśnianiu istoty potęgowania dla wykładnika całkowitego dodatniego i ujemnego.
No dobrze, ale czy ten schemat naprawdę działa? Tak. Działa dla wszystkich liczb? Tak. Czy działa również dla ułamków, które będą w podstawie? Tak. Czy ten schemat działa tylko dla wykładnika całkowitego? Ustalmy, że tak. Dlaczego w tym wypadku nie do końca jasna odpowiedź? Otóż dzieje się tak, ponieważ w przypadku jeśli wykładnik nie będzie liczbą całkowitą, wtedy będzie trzeba zarówno potęgować jak i pierwiastkować. A z uwagi na to, że jeszcze nie zakończyliśmy w pełni zagadnienia potęg (nie rozpoczynając pierwiastków), więc musimy odrobinę poczekać na to czym są i na czym polegają pierwiastki. A potem wszystko ze sobą pięknie połączymy i powstanie... matematyka jakiej dotychczas nie znaliście.
Tak więc na chwilę obecną bierzemy pod uwagę tylko wykładnik całkowity, zgoda? Natomiast jako podstawa potęgi - na razie liczby dodatnie całkowite. W kolejnej odsłonie wrócimy do tego tematu i go poszerzymy a przy okazji powiemy sobie coś więcej. Co takiego? Otóż zastanowimy się co będzie się działo, gdy podstawa będzie liczbą całkowitą, ale ujemną, a potem także ułamkiem (i to też ujemnym!). Czyli zajmiemy się sytuacją w której w podstawie będziemy mieć ułamki, które mogą być ujemne i jeszcze do tego będziemy mogli je podnosić do potęgi... ujemnej! A jakże! Jak szaleć, to na całego, prawda?
Chciałbym, aby za moich czasów matematyka była tak cudownie piękna, spójna, logiczna, wciągająca... i mega prosta! Myślę, że dzięki moim artykułom jest szansa, że przynajmniej dla moich czytelników będzie o niebo łatwiejsza. Chcę wam bowiem pokazywać i wyjaśniać matematykę jakiej jeszcze nie znacie. Bo ja takiej matematyki niestety nigdy nie znałem.
Podsumowanie: temat potęgowania, który pozornie jest bardzo trudny, nagle okazuje się być zadziwiająco prosty. Uważam, że dzieje się tak, ponieważ jeśli dane zagadnienie nie jest wyjaśniane za pomocą dobrych koncepcji, wówczas staje się niezrozumiałe. Natomiast w przypadku, gdy dany temat wydaje się być trudny, to najczęściej oznacza to, że niestety, ale jest niewystarczająco dobrze wyjaśniony. Stoję na stanowisku, że potęgowanie jest o tyle proste, że przy odrobinie ćwiczeń i solidnej metodyce... będzie niemal dla wszystkich proste jak bułka z masłem!
W poprzednim odcinku dowiedzieliśmy się tego czym jest potęgowanie oraz czym jest podstawa i wykładnik potęgi. Przypomnę krótko, że podstawa potęgi mówi nam o tym jaką liczbę będziemy mnożyli, zaś wykładnik podpowiada ile razy będziemy taką operację wykonywali.
W tym artykule przyjrzymy się temu co się będzie działo, gdy wykładniki będą liczbami całkowitymi dodatnimi lub ujemnymi.
Ostatnim przykładem, który analizowaliśmy była zabawa z czwórką. Były to wartości 4^1, 4^2 i 4^3. Wiemy, że wykładnik mówi nam ile razy pojawia się dana liczba (podstawa) jako iloczyn tych samych czynników. I tak w przypadku 4^1 = 4, 4^2 = 4*4 = 16 i 4^3 = 4*4*4 = 64. Oznacza to, że jeśli mamy w wykładniku jedynkę, wtedy wartość będzie równa podstawie (nic nie mnożymy), przy dwójce będzie mnożenie dwóch identycznych liczb (podstaw), a mając trójkę, będzie konieczne trzykrotne pomnożenie tych samych liczb podstawy.
Wniosek z tego jest taki, że wraz ze wzrostem wykładnika - zwiększa się (proporcjonalnie) liczba czynników, czyli liczb (podstawy), które mnożymy przez siebie.
I teraz istotna uwaga. Tak naprawdę gdy przed daną liczbą (wartością) nie ma żadnego znaku, to uznajemy, że jest ona dodatnia. Inaczej mówiąc przyjmujemy, że +3 to po prostu 3, zaś +5 to 5. Ba! Jest to tak oczywiste, że nawet się nad tym nie zastanawiamy! To jednak ważne, jak się zaraz zresztą okaże.
Przypomnijmy sobie oś liczbową. Pomyślmy również w ten sposób, że zwiększanie liczby (wartości) to przesuwanie jej w prawo, zaś zmniejszanie - w lewo. No dobrze, ale jaki to ma związek z potęgowaniem? Wiemy już, że wraz ze wzrostem wykładnika, zwiększeniu ulega liczba czynników (tych samych liczb, które mnożymy przez siebie), prawda?
Zastanówmy się jednak, co się stanie, gdy liczbę w wykładniku zaczniemy po prostu zmniejszać. Otóż wraz ze zmniejszaniem się liczby wykładnika będzie coraz mniej czynników. Do tej pory analizowaliśmy tylko taką sytuację w której najmniejszym wykładnikiem była jedynka. W takiej sytuacji pamiętamy, że wtedy mamy liczbę, która jest naszą wyjściową (podstawą potęgi).
Zaobserwujmy pewien schemat i poszukajmy związku (zależności), który będzie pokazywał co się dzieje przy zmniejszaniu się wykładnika.
Weźmy na początek nieco większą liczbę. Niechaj będzie nią 4^6 czyli 4096. Schodzimy z potęgami od większej do mniejszej (tabelę czytamy od prawej do lewej). Zatem:
TABELA nr 1. (P-L) Zmniejszanie się potęg z jednoczesnym zmniejszaniem wartości.
Teraz zauważmy, że przy każdym obniżeniu (zmniejszeniu) wykładnika potęgi, dzielimy daną liczbę przez podstawę (u nas jest nią 4). Dlatego dalej będzie to wyglądać w taki oto sposób (znów tabelę czytamy od prawej do lewej).
TABELA nr 2. (P-L) Zmniejszanie się potęg z przekroczeniem wykładnika zerowego.
Wynika z tego prosty fakt, że w momencie, gdy dochodzimy do zerowego wykładnika potęgi, wówczas nasza liczba staje się jednością (jedynką). A co się dzieje dalej? Otóż później tak jak w lustrze odbijają się te same liczby (z prawej), tylko zapisane jako ułamki zwykłe (po lewej). Różnica jest taka, że w każdej z liczb po lewej mamy w liczniku jedynkę, a w mianowniku lustrzaną liczbę.
Czym są liczby odwrotne i jak je łatwo zrozumieć? Najprościej mówiąc, liczby odwrotne, to te, które mają odwrócone liczniki z mianownikami. W naszym przypadku jeśli mamy liczbę 4, wówczas odwrotnością jest 1/4, a dla 16 odwrotna liczba to oczywiście 1/16. Dlaczego? Otóż dlatego, że czwórkę traktujemy jako 4/1, więc gdy odwrócimy ją do góry nogami, wówczas powstanie właśnie jej odwrotność czyli 1/4. Prawda, że proste?
Gdybyśmy na podstawie powyższych rozważań narysowali prosty schemat, wtedy okazałoby się, że zero w wykładniku potęgi daje nam liczbę równą jedności (jedynkę). A ta jedność właśnie rozdziela wykładniki dodatnie (po prawej) od ujemnych (po lewej).
TABELA nr 3. Graficzne przedstawienie przechodzenia wykładnika z części dodatniej do ujemnej.
A jak przedstawia się proces, który ukazuje zasadę na podstawie której możemy ustalić co się dzieje z wartościami liczb potęgowanych? Proszę bardzo, zobaczmy to na rysunku. Ostrzegam, że prostota wyjaśnienia może lekko przerazić.
TABELA nr 4. Uniwersalny schemat dotyczący przeciwnych wykładników i odwrotnych wartości.
I teraz zapewne nasze oczy znowu się nieco szerzej otwierają, a źrenice mocno poszerzają. Tak, to właśnie najczęściej tego brakuje w wyjaśnianiu istoty potęgowania dla wykładnika całkowitego dodatniego i ujemnego.
No dobrze, ale czy ten schemat naprawdę działa? Tak. Działa dla wszystkich liczb? Tak. Czy działa również dla ułamków, które będą w podstawie? Tak. Czy ten schemat działa tylko dla wykładnika całkowitego? Ustalmy, że tak. Dlaczego w tym wypadku nie do końca jasna odpowiedź? Otóż dzieje się tak, ponieważ w przypadku jeśli wykładnik nie będzie liczbą całkowitą, wtedy będzie trzeba zarówno potęgować jak i pierwiastkować. A z uwagi na to, że jeszcze nie zakończyliśmy w pełni zagadnienia potęg (nie rozpoczynając pierwiastków), więc musimy odrobinę poczekać na to czym są i na czym polegają pierwiastki. A potem wszystko ze sobą pięknie połączymy i powstanie... matematyka jakiej dotychczas nie znaliście.
Tak więc na chwilę obecną bierzemy pod uwagę tylko wykładnik całkowity, zgoda? Natomiast jako podstawa potęgi - na razie liczby dodatnie całkowite. W kolejnej odsłonie wrócimy do tego tematu i go poszerzymy a przy okazji powiemy sobie coś więcej. Co takiego? Otóż zastanowimy się co będzie się działo, gdy podstawa będzie liczbą całkowitą, ale ujemną, a potem także ułamkiem (i to też ujemnym!). Czyli zajmiemy się sytuacją w której w podstawie będziemy mieć ułamki, które mogą być ujemne i jeszcze do tego będziemy mogli je podnosić do potęgi... ujemnej! A jakże! Jak szaleć, to na całego, prawda?
Chciałbym, aby za moich czasów matematyka była tak cudownie piękna, spójna, logiczna, wciągająca... i mega prosta! Myślę, że dzięki moim artykułom jest szansa, że przynajmniej dla moich czytelników będzie o niebo łatwiejsza. Chcę wam bowiem pokazywać i wyjaśniać matematykę jakiej jeszcze nie znacie. Bo ja takiej matematyki niestety nigdy nie znałem.
Podsumowanie: temat potęgowania, który pozornie jest bardzo trudny, nagle okazuje się być zadziwiająco prosty. Uważam, że dzieje się tak, ponieważ jeśli dane zagadnienie nie jest wyjaśniane za pomocą dobrych koncepcji, wówczas staje się niezrozumiałe. Natomiast w przypadku, gdy dany temat wydaje się być trudny, to najczęściej oznacza to, że niestety, ale jest niewystarczająco dobrze wyjaśniony. Stoję na stanowisku, że potęgowanie jest o tyle proste, że przy odrobinie ćwiczeń i solidnej metodyce... będzie niemal dla wszystkich proste jak bułka z masłem!
Tabela nr 2. Przekątne do siebie nieprostopadłe oraz figury, które powstają w wyniku zabawy nimi.
