Rola i znaczenie błędów w nauce matematyki i nie tylko - cz.2

W poprzedniej części wyjaśniłem to jakie informacje niesie ze sobą błąd i co powoduje. Tym razem zastanowimy się nad tym co sprawia, że nasze błędy są niezbędnym elementem rozwoju.

Zacznijmy od akceptacji tego, że w drodze do mistrzostwa niezbędne jest popełnianie błędów. Sztuką jest wyciąganie z nich wniosków oraz świadoma praca nad tym, aby dawały nam one możliwość wspinania się na kolejny poziom.

Błędy mogą być bardzo wartościową wskazówką do tego, co jest nam trudno przyjąć. Mogą nam pokazywać, że jeszcze nie opanowaliśmy danego zagadnienia lub nie mamy wystarczających umiejętności, do tego, aby móc płynnie i swobodnie poruszać się w danych obszarze.

Prawdopodobnie jeden z najbardziej popularnych błędów na świecie - absolutna klasyka matematyki

Jak to przejawia się w matematyce? Pokażę na przykładzie. Załóżmy, że zaczynamy wyjaśnianie tematu dodawania liczb w zbiorze naturalnym. I mamy dwa jabłka, do tego dokładamy jeszcze trzy, więc razem mamy ich pięć. Zapis jest prosty: 2+3=5. No dobrze, a gdy do 7 jabłek dodamy 3? Tak, otrzymamy 10, ponieważ suma 7 i 3, to właśnie tyle! Teraz zadajmy sobie pytanie - czy moglibyśmy od 7 jabłek odjąć 10? A czy od 2 możemy odjąć 5? Jeśli odpowiedzią jest to, że "tak się nie da", wówczas popełniamy błąd. Otóż można i należy jedynie stwierdzić, że w obecnej chwili oraz bez dodatkowych pojęć... nie wiemy jak tego dokonać. Niemniej przychodzi kolejny etap w którym dziecko poznaje liczby całkowite i wtedy okazuje się, że jednak się da. Dlaczego? Dlatego, że 5-2 oraz 2-5 to w sumie to samo działanie (odejmowanie), tylko jego wynik będzie "po drugiej stronie lustra". Jest ono realizowane w tym samym kierunku, chociaż wynik będzie po drugiej stronie zera. Tak samo jak 10-7 oraz 7-10. Zobaczmy, że odległością między tymi liczbami jest stale wartość trzy. Raz trójka jest dodatnia, a raz ujemna. Niemniej za każdym razem jest to ta sama trójka.

I jak teraz to wyjaśnić dziecku? Wystarczy w tym momencie pokazać i wytłumaczyć to czym jest winda, jak działa termometr okienny czy też wskazać odniesienie do poziomu morza. Zobacz Marysiu: jeśli mamy 10 stopni i temperatura zmniejszy się o 7, wówczas będzie 3 stopnie (zaznaczamy pierwszy punkt). A jeśli byłoby 7 stopni i spadła by o kolejne 10? Co wtedy? Tak, wówczas przechodzi przez pewną granicę, która rozdziela liczby (wartości) dodatnie i ujemne. Stąd wynikiem będzie -3 i zaznaczamy drugi punkt. I teraz wystarczy tylko dokładnie przyjrzeć się temu w jakiej odległości od zera (granicy) są 3 i -3. Okazuje się, że są dokładnie tak samo oddalone od zera! A jeśli niebawem przypomnimy ten przykład, to wystarczy dodać, że zarówno w górę jak i w dół obie trójki są oddalone o 3 jednostki. Stąd właśnie wartość bezwzględna dla 3 i -3 jest taka sama.

Myślę, że teraz wyraźnie widać w jaki sposób popełnienie błędu bez wyciągnięcia wniosków, będzie wpływało na hamowanie procesu rozwoju dziecka, prawda?

No dobrze, to ładne i ciekawe rozważanie teoretyczne. Pytanie jednak jak u mnie przejawiają się błędy i co mi one dają? Pozwolę sobie opisać ten fascynujący temat na własnym przykładzie.

Weźmy pierwszy z brzegu przykład. Fascynowało mnie to dlaczego dzieci popełniają błędy w przypadku zadań związanych z polami figur. Przede wszystkim mylą wzory w których jest "przez dwa" z tymi w których nie ma. Postawiłem sobie proste pytanie - dlaczego? I okazało się, że sam również tego nie rozumiałem, ponieważ wiedzę dotyczącą wzorów miałem podaną w szkole na zbyt często stosowanej uczniowskiej zasadzie "trzy zet" - zapamiętaj, zalicz, zapomnij.

I z uwagi na to, że chcę nie tylko samemu tę dziurę w wiedzy załatać, ale również pomóc nauczycielom w tym, aby mogli jeszcze lepiej uczyć swoich uczniów... więc zgłębiłem temat. Na pierwszy ogień poszedł temat trójkątów. Wiadomo, że trójkąty są lekkie, łatwe i przyjemne, więc co mogło w nich stanowić jakikolwiek problem? Otóż była nim wysokość! Tak, coś co wydaje się banalne i oczywiste... było dla mnie poważnym problemem i zarazem wyzwaniem. Podjąłem decyzję, że przyjrzę się tej wysokości i spróbuję wejść w rolę dziecka, które zupełnie nie rozumie dlaczego są akurat trzy wysokości w każdym trójkącie (!) oraz czemu niektóre z nich są w środku trójkąta, inne idą po jego bokach, a jeszcze kolejne wychodzą poza trójkąt!

W ten oto sposób powstała seria: "Wysokość w figurach rewelacyjnie opisana - to matematyka świetnie zrozumiana i solidnie opanowana". Poniżej podaję linki do tych poszczególnych części, bo za chwilę będę o nich opowiadał (w telegraficznym skrócie oczywiście). O tym w jaki sposób mój proces zgłębiania tematu coraz bardziej otwierał przede mną kolejne drzwi.

Oto odnośniki (linki) do pięciu części serii dotyczącej wysokości w figurach płaskich.

1) część 1: https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2019/01/wysokosc-w-figurach-rewelacyjnie.html

2) część 2: https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2019/01/wysokosc-w-figurach-rewelacyjnie_28.html

3) część 3: https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2019/02/wysokosc-w-figurach-rewelacyjnie.html

4) część 4: https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2019/03/wysokosc-w-figurach-rewelacyjnie.html

5) część 5: https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2019/03/wysokosc-w-figurach-rewelacyjnie_24.html


Na początku postanowiłem przyjrzeć się temu co by się stało, gdybyśmy wykorzystali koncepcję szyn (torów) do tego, aby mieścić w niej nasze wysokości. Okazało się, że zastosowana koncepcja jest rewelacyjna, ponieważ teraz doskonale rozumiem dlaczego wyznaczamy ją z wierzchołka do podstawy. Musiałem zdefiniować wysokość i wyjaśnić (przede wszystkim sobie!) to jaka jest jest rola.

W kolejnej odsłonie przyjrzałem się innemu elementowi: w jaki sposób będzie wyglądała wysokość w trójkącie prostokątnym i rozwartokątnym. Z uwagi na to, że miałem już wszystkie niezbędne informacje, więc postanowiłem zebrać je w jednym miejscu w postaci tabeli. Nastąpiła kolejna wielka chwila, ponieważ zrozumiałem co się dzieje z punktem przecięcia wysokości (tzw. ortocentrum) w zależności od tego jak bardzo rozwiera się trójkąt. Okazało się, że w trójkącie ostrokątnym przecięcie jest w środku trójkąta, w prostokątnym - w wierzchołku kąta prostego, zaś rozwartokątnym - poza nim (nad największym kątem). Poza tym zrobiłem krótkie podsumowanie i podałem wskazówki. Teraz wiem jak najprościej wyznaczyć dowolną wysokość w trójkącie.

Trzecie podejście było konieczne, ponieważ wiedziałem już o wysokościach w trójkątach, ale musiałem mieć pewność, że rozumiem ją również na przykładzie czworokątów. I poszedłem o krok dalej, bo zastosowałem koncepcję szyn (pudełka) do tego, aby zobaczyć na ile będzie pomocna w wyjaśnianiu tego jak powstają czworokąty. Znów okazało się, że pójście o krok dalej daje pozwala mi otworzyć kolejne drzwi. Byłem mocno i zarazem mile zaskoczony tym, że nie da się niepoprawnie narysować danej figury, wykorzystując koncepcje szyn oraz wskazówki, którymi należy się kierować konstruując daną figurę. Rezultatem tych poszukiwań była moja wisienka na torcie. Tak, to właśnie tabela, która wyraźnie i prosto pokazuje, jakie właściwości ma każda z figur i która z nich należy do innej grupy. Przyznam, że akurat z tego odkrycia i dobrego opracowania jestem cholernie dumny. Czemu? Otóż dlatego, że to jedna z nielicznych tabel, która może w bardzo prosty sposób pomóc dzieciom utrwalić to czy prostokąt jest równoległobokiem zaś trapez prostokątem. I co mega ważne - jest to opracowane nie tylko poprawnie, ale również w postaci fajnej zabawy z dwiema kostkami.

Czwarta część dała mi impuls do tego, aby odkryć co takiego wiąże z tymi figurami. Powiem tylko, że zaprezentowałem pewien pomysł na to jak można pokazać i wyjaśnić sens powstawania wzorów na obliczanie pól figur. Ten artykuł akurat był dość krótki, ponieważ poprzedni był bardzo dogłębny i zrozumiałem, że nie muszę już rozpisywać się o czymś, co jest w tym momencie w pełni zrozumiałe jak też intuicyjne. Przy okazji mimochodem doszło do mnie to dlaczego jednostkami, które używamy do określenia pola... są jednostki kwadratowe, a nie powiedzmy, trójkątne.

Ostatnia część została opracowana po to, aby powiedzieć co nieco na temat specjalnych trójkątów równoramiennych. Podczas wielokrotnej analizy takich figur jak kwadrat, równoległobok oraz romb... magicznie pojawiały mi się w polu świadomości dziwne obiekty, których nie potrafiłem nazwać, chociaż stale je dostrzegałem. No i szybko powstały jak Feniks z popiołów - półkwadratus i półrombus. I to właśnie one dostały swoje pięć minut, aby zabłysnąć.

Zwieńczeniem całości był zestaw propozycji twórczych ćwiczeń dla dzieci - rysowanie, układanie, rozcinanie, łączenie i wnioski. Jestem przekonany, że na bazie tych właściwości można zaprojektować bardzo ciekawe i rozwijające twórczość ćwiczenia. Dodałem do tego również to, że jeśli tylko damy dzieciom odpowiednie warunki do rozwoju, wówczas ich ciekawość samodzielnie będzie je prowadzić w kierunku tego co ich pociąga. Wystarczy tylko stworzyć odpowiednie warunki i zachęcać do tworzenia, sprawdzania, opisywania, odkrywania i wnioskowania.

Po tym krótkim opisie wrócę do tego co jest sednem tego artykułu. W pewnym momencie zdałem sobie sprawę, że mam pewne braki oraz zrozumiałem to, że błędy, które popełniają dzieci... mają swoją przyczynę. Postanowiłem zatem poszukać tego co może sprawić, że uda się wyeliminować te błędy. Niemniej, aby dojść do tych koncepcji i wniosków, które zaprezentowałem w serii o wysokości, musiałem popełnić wiele błędów. Wystarczy powiedzieć, że minął rok od chwili, gdy obiecałem jednej z osób, że zajmę się tym zagadnieniem na poważnie. I w końcu po wielu przemyśleniach oraz analizach i próbach, odważyłem się na to, aby podzielić się tym czego nie rozumiałem. Dziesiątki razy musiałem moje koncepcje sprawdzać i co chwilę coś mi się rozpadało. Gdybym miał oszacować, to podejrzewam, że na stworzenie powyższej serii poświęciłem co najmniej 60-80 godzin. Teraz czytelnik może się lekko zdziwić, bo wydaje się przecież, że napisanie kilku artykułów to kwestia 10-15 godzin pracy, prawda? W moim wypadku cała praca łącznie z opracowywaniem grafik, tabel i wizualnej strony tekstu (artykułów) zamknęła się w około 100 godzinach.

Błędy w moim wypadku stale pokazywały (i nadal oczywiście pokazują!) mi to, że muszę wziąć pod uwagę informacje, które one mi przekazują. Za każdym razem próbowałem przyglądać się temu dlaczego się one pojawiają i co takiego chcą mi przekazać. Bez błędów nie byłbym w stanie stworzyć tego czym się podzieliłem, a co za tym idzie - nie byłbym o kolejny krok do przodu jeśli chodzi o moją matematyczną edukację w kierunku mistrzostwa (pełni zrozumienia).

Wnioski, które chciałem przekazać w tym artykułu są takie:
1. Błędy są integralną częścią i absolutnie niezbędnym elementem rozwoju.
2. Z każdego błędu wyciągajmy odpowiednie wnioski.
3. Zachęcajmy dzieci do tego, aby chciały odkrywać i tworzyć.
4. Twórzmy optymalne warunki do rozwoju, poprzez wyjaśnianie i docenianie błędów.
5. Pokazujmy na własnym przykładzie, to że im lepsze wnioski wyciągamy, tym lepsze błędy popełniamy.
6. Dawajmy poczucie bezpieczeństwa oraz wspierajmy do tego, aby popełniać wartościowe błędy.

Mam nadzieję, że w pierwszej odsłonie opisałem krótko to dlaczego błędy są niezbędne w naszym rozwoju. W tym miejscu na własnym przykładzie pokazałem jak to działa i jakie przynosi owoce (rezultaty). W kolejnych odsłonach będę przekonywał i pokazywał w jaki sposób można dawać dzieciom radość oraz poczucie sprawczości, wolności tworzenia oraz rozwijania swojego potencjału.

PODSUMOWANIE: Zdaję sobie sprawę, że kilka początkowych artykułów może wydawać się w niezbyt dużym stopniu matematycznymi, ale spieszę zapewnić, że po omówieniu powyższych solidnych podstaw (zobacz punkty we wnioskach), będę również pokazywał typowo matematyczne błędy i to w jaki sposób możemy je eliminować i na co najbardziej trzeba zwracać uwagę. Na razie jednak chcę zbudować solidne fundamenty teoretyczne, które mogą być stosowane do każdej aktywności, aby potem przejść do obszaru matematycznej edukacji. Dobrze jest bowiem mieć ogólny zarys tego z czym jest związana tematyka błędów, aby później nie musieć zadawać sobie trochę dziwnych pytań - chociażby takich jak "czy nie lepiej jest od razu podać gotowego rozwiązania" lub też stwierdzić, że "wystarczy tylko rozwiązywać tysiące zadań". Tego bowiem absolutnie chciałbym uniknąć.