W poprzedniej części uchyliłem rąbka tajemnicy dotyczącej tego czym zamierzam zajmować się w kilku najbliższych odcinkach poświęconych zagadnieniom potęg i pierwiastków.
Artykuł ten będzie składał się z dwóch części - PIERWSZE KROKI oraz POTĘGOWANIE. Osoby, które chcą natychmiast przejść do istoty potęgowania zachęcam do przeczytania tylko części drugiej. Natomiast tych, którzy chcą sobie przypomnieć i odświeżyć wiedzę z najniższego etapu (edukacja wczesnoszkolna), zachęcam do przeczytania całości - od początku aż do końca.
Na wstępie zaczniemy od przypomnienia absolutnych podstaw. Może to się wydać zbędne, ale zapewniam, że wnioski z tych oczywistych opisów będą nam bardzo przydatne do pełnego zrozumienia kolejnych elementów zagadnień, które w pewnym momencie stanowią przeszkodę nie do przejścia dla wielu dzieci. A wcale tak być nie musi, co za chwilę udowodnię i będę przekonywał w kolejnych odsłonach. A więc zaczynamy!
PIERWSZE KROKI - czyli na czym polega istota dodawania i odejmowania oraz dlaczego są one działaniami odwrotnymi
Pierwszym elementem z którym spotykają się dzieci na swojej drodze odkrywania świata są obiekty, które są wokół nich. Zaczynają je intensywnie testować, sprawdzając co się z nimi stanie jeśli zostaną poddane różnym pomysłom, które dziecko będzie realizowało.
Weźmy za przykład dowolne liczmany (obiekty, którymi można swobodne manipulować). Mogą to być żetony, patyczki czy też zakrętki a nawet kasztany czy klocki. Dziecko bierze żetony i gromadzi je w kupkę (grupuje), nie do końca uświadamiając sobie, że właśnie je do siebie dodaje. Jeśli znudzi mu się część z nich i będzie chciało się ich pozbyć, wówczas odkłada bądź odrzuca je od siebie... a matematycznie oczywiście odejmuje.
No i teraz przechodzimy na formę zapisu matematycznego. I tak, umawiamy się, że dodawanie zapisujemy jako plus ("+"), zaś odejmowanie jako mius ("-"). Przechodzimy do naszego procesu dodawania i odejmowania.
Najprostszy i zarazem fundamentalny zapis to suma (jako proces, czyli działanie) dwóch elementów, która daje określoną wartość (suma jako wynik działania). Zauważmy, że w takim układzie mamy 3 elementy. Przy działaniu 4+2=6, widzimy, że dodajemy do 4 kasztanów (klocków, żetonów) jeszcze 2. Możemy powiedzieć też, że do 2 dodajemy 4. Bez względu na to jak to zrobimy, to i tak całość naszego zbioru będzie liczyć 6 elementów.
Natomiast jeśli chcemy odwrócić działanie, wówczas nadal wykonujemy operację na dwóch elementach, zaś trzeci stanowi wynik tego działania. Zatem zapis 6-2=4 mówi nam o tym, że mieliśmy 6 zakrętek, następnie odejmujemy (odrzucamy, odkładamy) od nich dwie, więc na końcu tego działania pozostaje nam jedynie cztery.
Teraz spójrzmy na pierwsze zagadnienie, które jest pozornie mega proste, ale mam wrażenie, że nie zawsze dobrze zrozumiane (nie mam na myśli poziomu mechanicznego, lecz zrozumienie jego istoty). Zauważmy bowiem, że dodawanie jest przemienne, bo suma obu składników daje nam tę samą wartość, bez względu na to od której zaczniemy dodawać. Zatem kolejność w której łączymy (gromadzimy) ze sobą elementy nie ma znaczenia. Zarówno 4+2 jak i 2+4 daje nam 6.
No dobrze, ale co z tego wynika? Z całym szacunkiem, ale to bardzo ważny element w całej układance. Jeśli bowiem uświadomimy sobie, że odejmowanie jest odwrotną czynnością (operacją) do dodawania, to jesteśmy już o kolejny krok do pełniejszego zrozumienia. W przypadku odejmowania mamy jednak dwa warianty: możemy od 6 odejmować 2 albo 4 (6-2 lub 6-4). Inaczej mówiąc od sumy zbioru możemy odjąć albo pierwszy albo drugi element zbioru. No i logiczne jest to, że jeśli odejmiemy pierwszy to zostanie nam drugi. Analogicznie gdy odejmiemy od całości drugi element, to będziemy mieli tylko pierwszy. Z uwagi na to, że pierwszy element nie jest równymi drugiemu, więc pamiętajmy, że odejmowanie nie jest przemienne. Jest różnica czy odejmujemy od 6 dwa czy cztery - wynik będzie odmienny.
Teraz kolej na następną istotną część. Bierzemy dowolne liczmany (kasztany, zakrętki, żetony, patyczki czy kostki) i ćwiczymy operację dodawania oraz odejmowania. Chodzi o to, aby mieć bardzo dobrze utrwalone to, że: 4+2=6, bo 6-2=4. Analogicznie 2+4=6, więc 6-4=2.
Warto to dobrze przećwiczyć, aby w kolejnych etapach brak zrozumienia tego procesu nie zakłócił możliwości objęcia nieco bardziej wymagających koncepcji.
POTĘGOWANIE - czyli na czym polega istota mnożenia tych samych elementów i jak to przedstawić w postaci graficznej
Przechodzimy dalej. Co by się stało, gdybyśmy dodawali do siebie te same obiekty (elementy)? Otóż już dawno poradzono sobie z tym problemem. Zamiast zapisywać 3+3+3+3+3, 2+2+2+2, 1+1+1, możemy powiedzieć ile razy występuje ten sam element i zapisać to w skróconej postaci, wykorzystując mnożenie. Tak więc w pierwszym przykładzie grupujemy trójki, wiec mamy 5x3, w kolejnej dwójki - 4x2, a w ostatniej jedynki 3x1.
Wniosek? Dodawanie tych samych elementów nazywamy mnożeniem. Trzeba wyraźnie podkreślić, że chodzi o identyczne elementy (zbiory o tej samej liczebności), które do siebie dodajemy. Będzie to ważne przy analizie błędów podczas potęgowania. Czyli wniosek jest taki, że skrócone (sprytne) dodawanie to mnożenie.
Teraz zastanówmy się nad tym, co by się stało, gdybyśmy chcieli przez siebie mnożyć te same elementy? Inaczej mówiąc będziemy mnożyć daną liczebność zbioru (np. 4 kasztany w kupce) przez tę samą liczbę (czyli czterokrotnie w naszym przypadku). I właśnie na tym polega sprytne (skrócone) mnożenie!
Weźmy za przykład trójkę. Spróbujmy kilka razy pomnożyć ją przez samą siebie. Działanie, które polega na mnożeniu tych samych liczb przez siebie nazywamy potęgowaniem. Używając śmiesznej metafory, potęgowanie to taki dziadek dla wnuczka (dodawanie), którego ojcem jest mnożenie.
Podobnie jak w dodawaniu i odejmowaniu, również w potęgowaniu mamy trzy elementy. Ostatnim z nich jest wynik (wartość), a pozostałe to podstawa i wykładnik.
Podstawa potęgi mówi nam o tym jaką liczbę będziemy mnożyli, zaś wykładnik podpowiada ile razy będziemy taką operację wykonywali.
Teraz zobaczmy istotę potęgowania, która zostanie przedstawiona w możliwie najprostszej i zarazem ciekawej formie. Narysujmy trójkąt - najlepiej równoboczny lub maksymalnie do niego zbliżony (chociaż może być też taki, który jest prostokątny i zarazem równoramienny - połowa kwadratu). Jak doskonale wiemy i pamiętamy każdy trójkąt ma trzy wierzchołki.
Następnym krokiem będzie to, aby od każdego wierzchołka narysowanego trójkąta, poprowadzić przerywaną (albo ciągłą) linię. Na końcu każdej linii rysujemy identyczny trójkąt. A co dalej? Otóż wiemy, że potęgowanie to rozmnażanie tego samego, więc dalej kopiujemy trójkąty raz jeszcze.
Zobaczmy co takiego powstało z naszego rysunku. Zróbmy krótkie omówienie i podsumowanie tego co widzimy.
Gdy za pierwszym razem narysowaliśmy trójkąt (poziom pierwszy), to razem mieliśmy dokładnie 3 wierzchołki. Dlaczego akurat trzy? Ponieważ chcieliśmy badać jak się będzie zachowywała trójka jeśli chodzi o potęgowanie. Pójdźmy dalej. Drugie rozmnożenie trójkątów spowodowało, że na danym poziomie (u nas jest to poziom drugi) mamy już 9 wierzchołków. Z kolei przejście na poziom trzeci sprawiło, że mamy na nim aż 27 wierzchołków.
Jaki z tego wyciągniemy wniosek? Otóż podstawa potęgi mówi nam o liczbie, którą będziemy potęgować. U nas ta liczba (trójka) była zakodowana graficznie - chodziło bowiem o liczbę wierzchołków w trójkącie, czyli 3. Natomiast wykładnik lub też stopień potęgi jest to nic innego niż poziom na którym zatrzymaliśmy się w naszym procesie potęgowania - a w przypadku wyjaśniania ambitnemu 5-latkowi - rysowania (trójkątów).
Mam nieodparte wrażenie, że w tym momencie dużo może się rozjaśnić i być może nawet... źrenice oczu mogą się mocno poszerzyć.
Zerknijmy jeszcze na drugi przykład. Weźmiemy sobie na warsztat czwórkę i dla zabawy (oraz prostoty) zakodujemy ją jako kwadrat. A wiemy doskonale, że każdy kwadrat jest identyczny (jeśli chodzi o właściwości), więc będziemy mogli tak samo go rozmnażać jak zrobiliśmy to z trójkątem chwilę wcześniej.
Wnioski z tego przykładu są oczywiście te same, chociaż wartości w tabeli ulegną odpowiednim zmianom. Proces i ilustracja potęgowania pozostaje niezmienna. Nie jest to oczywiście jedyny sposób, ale na pewno oryginalny i łatwy do zrozumienia dla każdego dziecka (także 8-9 latka).
Na tym kończymy ten wykład. W kolejnym odcinku będziemy dalej zgłębiali potęgowanie i zastanowimy się co ma tak naprawdę wspólnego z dodawaniem. Wiemy, że potęgowanie to sprytne (skrócone) mnożenie, ale gdzie tu miejsce na dodawanie? Niebawem tajemnica się wyjaśni. Chętnych do samodzielnego odkrywania kolejnych wniosków zapraszam do wykonania koniecznej pracy. Powiada się, że jeden rysunek jest wart tysiąca słów. Jeśli dany rysunek zawiera solidną koncepcję, która została odpowiednio zrozumiale wyjaśniona, wówczas to powiedzenie może nie być tylko pustym frazesem...
Podsumowanie: Potęgowanie to sprytne mnożenie, którego istotą jest rozmnażanie tego co jest podstawą. To mniej więcej tak jak epidemia wirusa, która rozprzestrzenia się w zastraszającym tempie. Zrozumienie istoty dodawania i odejmowania będzie przydatne na kolejnych etapach zrozumienia potęgowania. Na chwilę obecną warto dobrze przeanalizować powyższą koncepcję zaprezentowaną jako nietypowe rysunki (drzewka). To będzie procentowało w kolejnych etapach, gdy pojawią się bardziej wymagające koncepcje, które tak naprawdę wcale nie będą trudne.
Artykuł ten będzie składał się z dwóch części - PIERWSZE KROKI oraz POTĘGOWANIE. Osoby, które chcą natychmiast przejść do istoty potęgowania zachęcam do przeczytania tylko części drugiej. Natomiast tych, którzy chcą sobie przypomnieć i odświeżyć wiedzę z najniższego etapu (edukacja wczesnoszkolna), zachęcam do przeczytania całości - od początku aż do końca.
Na wstępie zaczniemy od przypomnienia absolutnych podstaw. Może to się wydać zbędne, ale zapewniam, że wnioski z tych oczywistych opisów będą nam bardzo przydatne do pełnego zrozumienia kolejnych elementów zagadnień, które w pewnym momencie stanowią przeszkodę nie do przejścia dla wielu dzieci. A wcale tak być nie musi, co za chwilę udowodnię i będę przekonywał w kolejnych odsłonach. A więc zaczynamy!
PIERWSZE KROKI - czyli na czym polega istota dodawania i odejmowania oraz dlaczego są one działaniami odwrotnymi
Pierwszym elementem z którym spotykają się dzieci na swojej drodze odkrywania świata są obiekty, które są wokół nich. Zaczynają je intensywnie testować, sprawdzając co się z nimi stanie jeśli zostaną poddane różnym pomysłom, które dziecko będzie realizowało.
Weźmy za przykład dowolne liczmany (obiekty, którymi można swobodne manipulować). Mogą to być żetony, patyczki czy też zakrętki a nawet kasztany czy klocki. Dziecko bierze żetony i gromadzi je w kupkę (grupuje), nie do końca uświadamiając sobie, że właśnie je do siebie dodaje. Jeśli znudzi mu się część z nich i będzie chciało się ich pozbyć, wówczas odkłada bądź odrzuca je od siebie... a matematycznie oczywiście odejmuje.
No i teraz przechodzimy na formę zapisu matematycznego. I tak, umawiamy się, że dodawanie zapisujemy jako plus ("+"), zaś odejmowanie jako mius ("-"). Przechodzimy do naszego procesu dodawania i odejmowania.
Najprostszy i zarazem fundamentalny zapis to suma (jako proces, czyli działanie) dwóch elementów, która daje określoną wartość (suma jako wynik działania). Zauważmy, że w takim układzie mamy 3 elementy. Przy działaniu 4+2=6, widzimy, że dodajemy do 4 kasztanów (klocków, żetonów) jeszcze 2. Możemy powiedzieć też, że do 2 dodajemy 4. Bez względu na to jak to zrobimy, to i tak całość naszego zbioru będzie liczyć 6 elementów.
Natomiast jeśli chcemy odwrócić działanie, wówczas nadal wykonujemy operację na dwóch elementach, zaś trzeci stanowi wynik tego działania. Zatem zapis 6-2=4 mówi nam o tym, że mieliśmy 6 zakrętek, następnie odejmujemy (odrzucamy, odkładamy) od nich dwie, więc na końcu tego działania pozostaje nam jedynie cztery.
Teraz spójrzmy na pierwsze zagadnienie, które jest pozornie mega proste, ale mam wrażenie, że nie zawsze dobrze zrozumiane (nie mam na myśli poziomu mechanicznego, lecz zrozumienie jego istoty). Zauważmy bowiem, że dodawanie jest przemienne, bo suma obu składników daje nam tę samą wartość, bez względu na to od której zaczniemy dodawać. Zatem kolejność w której łączymy (gromadzimy) ze sobą elementy nie ma znaczenia. Zarówno 4+2 jak i 2+4 daje nam 6.
No dobrze, ale co z tego wynika? Z całym szacunkiem, ale to bardzo ważny element w całej układance. Jeśli bowiem uświadomimy sobie, że odejmowanie jest odwrotną czynnością (operacją) do dodawania, to jesteśmy już o kolejny krok do pełniejszego zrozumienia. W przypadku odejmowania mamy jednak dwa warianty: możemy od 6 odejmować 2 albo 4 (6-2 lub 6-4). Inaczej mówiąc od sumy zbioru możemy odjąć albo pierwszy albo drugi element zbioru. No i logiczne jest to, że jeśli odejmiemy pierwszy to zostanie nam drugi. Analogicznie gdy odejmiemy od całości drugi element, to będziemy mieli tylko pierwszy. Z uwagi na to, że pierwszy element nie jest równymi drugiemu, więc pamiętajmy, że odejmowanie nie jest przemienne. Jest różnica czy odejmujemy od 6 dwa czy cztery - wynik będzie odmienny.
Teraz kolej na następną istotną część. Bierzemy dowolne liczmany (kasztany, zakrętki, żetony, patyczki czy kostki) i ćwiczymy operację dodawania oraz odejmowania. Chodzi o to, aby mieć bardzo dobrze utrwalone to, że: 4+2=6, bo 6-2=4. Analogicznie 2+4=6, więc 6-4=2.
Warto to dobrze przećwiczyć, aby w kolejnych etapach brak zrozumienia tego procesu nie zakłócił możliwości objęcia nieco bardziej wymagających koncepcji.
POTĘGOWANIE - czyli na czym polega istota mnożenia tych samych elementów i jak to przedstawić w postaci graficznej
Przechodzimy dalej. Co by się stało, gdybyśmy dodawali do siebie te same obiekty (elementy)? Otóż już dawno poradzono sobie z tym problemem. Zamiast zapisywać 3+3+3+3+3, 2+2+2+2, 1+1+1, możemy powiedzieć ile razy występuje ten sam element i zapisać to w skróconej postaci, wykorzystując mnożenie. Tak więc w pierwszym przykładzie grupujemy trójki, wiec mamy 5x3, w kolejnej dwójki - 4x2, a w ostatniej jedynki 3x1.
Wniosek? Dodawanie tych samych elementów nazywamy mnożeniem. Trzeba wyraźnie podkreślić, że chodzi o identyczne elementy (zbiory o tej samej liczebności), które do siebie dodajemy. Będzie to ważne przy analizie błędów podczas potęgowania. Czyli wniosek jest taki, że skrócone (sprytne) dodawanie to mnożenie.
Teraz zastanówmy się nad tym, co by się stało, gdybyśmy chcieli przez siebie mnożyć te same elementy? Inaczej mówiąc będziemy mnożyć daną liczebność zbioru (np. 4 kasztany w kupce) przez tę samą liczbę (czyli czterokrotnie w naszym przypadku). I właśnie na tym polega sprytne (skrócone) mnożenie!
Weźmy za przykład trójkę. Spróbujmy kilka razy pomnożyć ją przez samą siebie. Działanie, które polega na mnożeniu tych samych liczb przez siebie nazywamy potęgowaniem. Używając śmiesznej metafory, potęgowanie to taki dziadek dla wnuczka (dodawanie), którego ojcem jest mnożenie.
Podobnie jak w dodawaniu i odejmowaniu, również w potęgowaniu mamy trzy elementy. Ostatnim z nich jest wynik (wartość), a pozostałe to podstawa i wykładnik.
Podstawa potęgi mówi nam o tym jaką liczbę będziemy mnożyli, zaś wykładnik podpowiada ile razy będziemy taką operację wykonywali.
Teraz zobaczmy istotę potęgowania, która zostanie przedstawiona w możliwie najprostszej i zarazem ciekawej formie. Narysujmy trójkąt - najlepiej równoboczny lub maksymalnie do niego zbliżony (chociaż może być też taki, który jest prostokątny i zarazem równoramienny - połowa kwadratu). Jak doskonale wiemy i pamiętamy każdy trójkąt ma trzy wierzchołki.
Następnym krokiem będzie to, aby od każdego wierzchołka narysowanego trójkąta, poprowadzić przerywaną (albo ciągłą) linię. Na końcu każdej linii rysujemy identyczny trójkąt. A co dalej? Otóż wiemy, że potęgowanie to rozmnażanie tego samego, więc dalej kopiujemy trójkąty raz jeszcze.
Graficzne przedstawienie potęgowania na przykładzie liczby 3, zakodowanej jako trójkąt (trzy wierzchołki)
Zobaczmy co takiego powstało z naszego rysunku. Zróbmy krótkie omówienie i podsumowanie tego co widzimy.
Gdy za pierwszym razem narysowaliśmy trójkąt (poziom pierwszy), to razem mieliśmy dokładnie 3 wierzchołki. Dlaczego akurat trzy? Ponieważ chcieliśmy badać jak się będzie zachowywała trójka jeśli chodzi o potęgowanie. Pójdźmy dalej. Drugie rozmnożenie trójkątów spowodowało, że na danym poziomie (u nas jest to poziom drugi) mamy już 9 wierzchołków. Z kolei przejście na poziom trzeci sprawiło, że mamy na nim aż 27 wierzchołków.
Jaki z tego wyciągniemy wniosek? Otóż podstawa potęgi mówi nam o liczbie, którą będziemy potęgować. U nas ta liczba (trójka) była zakodowana graficznie - chodziło bowiem o liczbę wierzchołków w trójkącie, czyli 3. Natomiast wykładnik lub też stopień potęgi jest to nic innego niż poziom na którym zatrzymaliśmy się w naszym procesie potęgowania - a w przypadku wyjaśniania ambitnemu 5-latkowi - rysowania (trójkątów).
Tabela potęgowa dla liczby 3 - zakodowanej jako trójkąt: najważniejsze właściwości potęgowania jak na dłoni
Mam nieodparte wrażenie, że w tym momencie dużo może się rozjaśnić i być może nawet... źrenice oczu mogą się mocno poszerzyć.
Zerknijmy jeszcze na drugi przykład. Weźmiemy sobie na warsztat czwórkę i dla zabawy (oraz prostoty) zakodujemy ją jako kwadrat. A wiemy doskonale, że każdy kwadrat jest identyczny (jeśli chodzi o właściwości), więc będziemy mogli tak samo go rozmnażać jak zrobiliśmy to z trójkątem chwilę wcześniej.
Graficzne przedstawienie potęgowania na przykładzie liczby 4, zakodowanej jako kwadrat (cztery wierzchołki)
Wnioski z tego przykładu są oczywiście te same, chociaż wartości w tabeli ulegną odpowiednim zmianom. Proces i ilustracja potęgowania pozostaje niezmienna. Nie jest to oczywiście jedyny sposób, ale na pewno oryginalny i łatwy do zrozumienia dla każdego dziecka (także 8-9 latka).
Tabela potęgowa dla liczby 4 - zakodowanej jako kwadrat: najważniejsze właściwości potęgowania jak na dłoni
Na tym kończymy ten wykład. W kolejnym odcinku będziemy dalej zgłębiali potęgowanie i zastanowimy się co ma tak naprawdę wspólnego z dodawaniem. Wiemy, że potęgowanie to sprytne (skrócone) mnożenie, ale gdzie tu miejsce na dodawanie? Niebawem tajemnica się wyjaśni. Chętnych do samodzielnego odkrywania kolejnych wniosków zapraszam do wykonania koniecznej pracy. Powiada się, że jeden rysunek jest wart tysiąca słów. Jeśli dany rysunek zawiera solidną koncepcję, która została odpowiednio zrozumiale wyjaśniona, wówczas to powiedzenie może nie być tylko pustym frazesem...
Podsumowanie: Potęgowanie to sprytne mnożenie, którego istotą jest rozmnażanie tego co jest podstawą. To mniej więcej tak jak epidemia wirusa, która rozprzestrzenia się w zastraszającym tempie. Zrozumienie istoty dodawania i odejmowania będzie przydatne na kolejnych etapach zrozumienia potęgowania. Na chwilę obecną warto dobrze przeanalizować powyższą koncepcję zaprezentowaną jako nietypowe rysunki (drzewka). To będzie procentowało w kolejnych etapach, gdy pojawią się bardziej wymagające koncepcje, które tak naprawdę wcale nie będą trudne.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz
Jeśli chcesz, aby twoja wiadomość nie została odrzucona przez system jako spam (usunięte), to podpisz się swoim imieniem lub pseudonimem. Dziękuję :)