Miniatury Matematyczne - ciekawie podawana matematyka do umysłu głęboko przenika

Wiele osób postrzega matematykę jako nudną, suchą oraz trudną, a nawet niezrozumiałą. Niestety bywają przypadki w których jest ona nie tylko tak postrzegana (odbierana), ale i przekazywana. Można jednak inaczej. Jak? Twórczo, fachowo, ciekawie oraz bardzo praktycznie. Co należy zrobić, aby matematykę w ten sposób doświadczać? Jest wiele opcji. Jedną z nich jest lektura niezwykłego czasopisma jakim jest seria o wdzięcznej nazwie Miniatury Matematyczne. Moim zdaniem to obecnie lider na rynku wydawniczym pod względem cech o których wyżej wspomniałem. Zobaczmy zatem czym wyróżnia się to czasopismo.

Oto w jaki sposób piszą o tej uroczej serii Olga i Małgorzata Mikołajczyk (cytat ze strony: http://www.matematyka.wroc.pl/polecamy/ksiazki). Oto fragment recenzji:

To seria niedużych książeczek zawierających zadania i łamigłówki opracowane z myślą o uczestnikach konkursu Kangurek (stamtąd pochodzi część wykorzystanych w książkach zadań). Zainteresują z pewnością wszystkich uczniów lubiących rozwiązywanie ciekawych zagadek. Są też świetną pomocą do pracy na kółku matematycznym lub zielonej szkole. Do wszystkich zadań zamieszczono odpowiedzi i wskazówki lub pełne rozwiązania.

Seria miniatur matematycznych dla uczniów starszych (kl. IV-VI SP, GM i LO) ukazuje się od 2001 roku. Miniatury dla dzieci młodszych wychodzą dopiero od roku 2012. Co rok wychodzi jedna książeczka dla każdej kategorii wiekowej.

To oczywiście tak w dość dużym skrócie. Dla chętnych podaję linki do opisów poszczególnych kategorii.

Miniatury matematyczne dla SP (klas I-III)
http://www.matematyka.wroc.pl/czasopismaksiazki/miniatury-matematyczne-dla-klas-iiii-sp

Miniatury matematyczne dla SP (klasy IV-VI)
http://www.matematyka.wroc.pl/czasopismaksiazki/miniatury-matematyczne-dla-sp

Miniatury matematyczne dla GM (gimnazjum)
http://www.matematyka.wroc.pl/czasopismaksiazki/maniatury-matematyczne-dla-gim

Miniatury matematyczne dla LO (liceum i technikum)
http://www.matematyka.wroc.pl/czasopismaksiazki/maniatury-matematyczne-dla-lo

W skrócie wydawca (AKSJOMAT) tak opisuje swoje czasopismo (cytat z opisu pierwszego numeru):

Organizowany od 1991 roku Międzynarodowy Konkurs Matematyczny „Kangur Europejski” zyskuje z roku na rok coraz większą popularność, szczególnie w kategorii "Maluch". Organizatorów cieszy masowość tego konkursu i ożywienie, jakie wnosi on w budzenie zainteresowań matematycznych. Pragniemy podtrzymać tę dobrą atmosferę dostarczając młodym uczniom zainteresowanym matematyką dodatkowego bodźca.

Być może spełni tę rolę seria książeczek „Miniatury Matematyczne”, której pierwszy tomik przekazujemy w Wasze ręce. Znajdziecie w nim ciekawe i nieszablonowe teksty matematyczne, nie wykraczające jednak poza Wasze możliwości.

Mamy nadzieję, że lektura tych tekstów zaowocuje jeszcze lepszymi wynikami w konkursie „Kangur Europejski” i pomoże Wam przygotować się do innych zawodów matematycznych. Wiele problemów zawartych w miniaturach wykorzystywanych było, z dobrym skutkiem, podczas zajęć Międzyszkolnych Kół Matematycznych prowadzonych przez Toruński Oddział Polskiego Towarzystwa Matematycznego.

Spodziewamy się, że zawartość tej książeczki może pomóc kolegom nauczycielom w budzeniu i rozwijaniu uzdolnień matematycznych swoich wychowanków.

Przy okazji można sobie przejrzeć opisy poszczególnych numerów i sprawdzić, który z nich należy do danej kategorii. Poniżej link do wydawnictwa:

https://www.aksjomat.torun.pl/pl/c/Miniatury-Matematyczne/29

W miarę możliwości będę chciał opisywać poszczególne numery tego czasopisma, ponieważ uważam, że jest ono ogromną pomocą dla każdej grupy wiekowej: począwszy od uczniów szkoły podstawowej, kończąc na uczniach szkoły średniej. Podkreślę, że nie będzie to pełny i obszerny opis zawartości czasopisma, lecz raczej zwrócenie uwagi na najciekawsze perełki, które według mnie zasługują na uznanie.

Podsumowanie: Miniatury Matematyczne to szczególnie wartościowe czasopismo, które jest adresowane do szerokiego grona odbiorców. Mogą z niego korzystać nie tylko dzieci, ale i rodzice. W przypadku nauczycieli taka lektura i jej wykorzystanie na zajęciach powinna być standardem i jednocześnie znakiem rozpoznawczym najlepszych belfrów.

Pomysłów oraz różnorodnych zagadnień jest bowiem w tej serii tak dużo, że spokojnie wystarczy na kilkadziesiąt zajęć w ramach kółka matematycznego. W chwili obecnej (lipiec 2018) zostały wydane 63 numery. Miejmy nadzieję, że autorzy i wydawnictwo będą kontynuowali tę tradycję jeszcze przez długie, długie lata.

Z mojej strony składam słowa uznania, za wydawanie tej serii i popularyzowanie piękna nauki jaką jest bez wątpienia Królowa Nauk - czyli matematyka.

Dlaczego reszta z dzielenia daje wiele okazji do przemyślenia

... bo zbliża nas do pełnego zrozumienia i solidnego utrwalenia!

Wiele dociekliwych osób zastanawia się dlaczego w cechach podzielności nie ma liczby 0 ani 1. Przecież to też liczby, więc czemu nikt się nimi nie zajmuje?

Otóż powód jest prozaiczny - dzielenie przez 1 nie zmienia wartości. Inaczej mówiąc każda liczba podzielona przez 1 jest nadal tą samą liczbą. To mniej więcej tak jakbyśmy biegli w miejscu (chociażby na bieżni). W pełni odczuwamy ruch, ponieważ nasze ciało je wykonuje, ale w stosunku do ziemi pozostajemy cały czas w tym samym miejscu.

A jeśli chodzi o zero? W przypadku podzielności przez zero jest inna bajka. Mianowicie dzielenie przez zero jest niewykonalne. Spróbujmy przeprowadzić proste rozumowanie.

Przykładowo mając 12 cukierków możemy je podzielić (po równo) na:
a) 12 osób, wtedy każda otrzymuje po 1 cukierku,
b) 6 osób, wtedy każda otrzymuje po 2 cukierki,
c) 4 osoby, wtedy każda otrzymuje po 3 cukierki,
d) 3 osoby, wtedy każda otrzymuje po 4 cukierki,
e) 2 osoby, wtedy każda otrzymuje po 6 cukierków,
f) 1 osobę, wtedy każda (w tym wypadku jedyna) otrzymuje po 12 cukierków (czyli dostaje wszystkie słodycze).

I teraz doszliśmy do naturalnej granicy poniżej której już nie możemy zejść. Nie da się podzielić cukierków na zero osób. Dlaczego? Ponieważ nie miałby kto tych cukierków dostać! Można łatwo zapamiętać tę regułę: Nie dzielimy przez zero, bo wychodzi error ("error", to po angielsku słowo oznaczające błąd). Z tego wniosek, że nie ma cechy podzielności przez zero, ponieważ taki podział jest niewykonalny (niedozwolony).

Pojawia się jednak dodatkowe pytanie. A co jeśli zero zechcemy podzielić przez inną liczbę? Ile wtedy będziemy mieli dzielników? Otóż zero ma nieskończenie wiele dzielników. Co to oznacza? Tylko tyle, że nasze zero możemy podzielić przez każdą liczbę (oprócz zera!) i wynikiem zawsze będzie zero. Przykładowo: 0:2 = 0, 0:10 = 0, 0:25 = 0. Jeśli ktoś chce zrozumieć dlaczego jest to możliwe i czemu wynikiem jest zero, niechaj pomyśli co się dzieje, gdy dzielimy "udawane cukierki" w ręku na dwie osoby. Każda dostaje tyle samo, ale z uwagi na to, że nic nie mieliśmy, więc z pustego nawet Salomon nie naleje. Słowem jeśli nic nie mamy, to dzieląc się tym z innymi... nasi obdarowani dostaną tyle samo.

Natomiast w przypadku liczby 1 mamy tylko jeden dzielnik. Inaczej mówiąc, jedynka dzieli się tylko przez 1, bo dzieląc przez każdą inną liczbę otrzymamy resztę. Zobaczmy, że 1:1 = 1 (brak reszty), ale już 1:2 = 0 r 2 (czyli zero całości i reszty 2). Jedną pizzę kroimy na dwie części i nie mamy żadnej całości, ale za to mamy dwa równe kawałki (to właśnie ta matematyczna reszta).

Zbierając wszystkie wnioski widzimy, że:
- nie ma cechy podzielności przez 0, ponieważ żadna liczba nie dzieli się przez 0 (bo wychodzi error),
- nie ma cechy podzielności przez 1, ponieważ każda liczba dzieli się przez 1 (wynikiem jest zawsze wyjściowa liczba).

Z kolei w przypadku, gdybyśmy chcieli:
- sprawdzić ile dzielników ma liczba 0 - czyli na ile części (bez reszty) możemy podzielić 0, wówczas okazuje się, że ma nieskończenie wiele dzielników (oprócz zera),
- sprawdzić ile dzielników ma liczba 1 - czyli na ile części (bez reszty) możemy podzielić 1, wówczas okazuje się, że ma tylko jeden dzielnik (jest nią ta sama jedynka).

Z pewnością tabela powinna wszystko rozjaśnić. Zapamiętajmy, że przy mnożeniu (iloczyn) kolejność elementów (czynników) nie ma znaczenia, ale w przypadku dzielenia (iloraz) spowoduje odwrotność wyniku. No i przez jakiś czas powtarzajmy jak mantrę: Nie dzielimy przez zero, bo wychodzi error. To powinno szybko zostać zakodowane w umyśle, aby wykluczyć to działanie.

Widzimy wyraźnie, że kończąc omawianie tematu cech podzielności automatycznie wkraczamy w zagadnienie wielokrotności, dzielników oraz reszty z dzielenia. Tym jednak zajmiemy się następnym razem.

Podsumowanie: cechy podzielności dwóch niesfornych liczb (zera i jedynki) mogą początkowo wydawać się nieco niezrozumiałe. Dobrze jest jednak kilkukrotnie do nich podejść (przeczytać i przemyśleć na spokojnie więcej niż raz), tak aby w końcu weszły nam do głowy. Będą one również miały specjalne miejsce przy omawianiu tematu liczb pierwszych i złożonych. Wówczas obecna wiedza powinna jeszcze lepiej nam się ułożyć.

Dodam na marginesie, że zrozumienie istoty (niedozwolonego) dzielenia przez zero jest konieczne do tego, aby wykluczyć (ominąć) nieprawidłowe rozwiązania w przypadku chociażby równań wymiernych. Jeśli teraz nie zostanie to dobrze zrozumiane, to później może sprawiać pewne kłopoty.

Wyjaśnienie mechanizmu dzielenia i nagle wszystko się zmienia

...bo kolejne cechy podzielności dają nam wiele do przemyślenia!

Czasami dociekliwe umysły dzieci zastanawiają się nad tym jak to jest z tymi nietypowymi cechami podzielności. Być może warto rzucić odrobinę światła w stronę ciemności, aby to zagadnienie stało się znacznie bardziej zrozumiałe. Zwłaszcza, że nie są to specjalnie trudne rozważania, a z pewnością mogą pomóc w opanowywaniu kolejnych elementów matematycznej sztuki.

Spróbujmy zatem przyjrzeć się kilku cechom podzielności, które najczęściej w edukacji szkolnej są albo pomijane milczeniem albo niewystarczająco wyjaśniane. Poniżej pokrótce wyjaśnię tworzenie i sprawdzanie cech podzielności przez: 4, 12, 15 i 25.

Jak podzielić liczbę przez 4? Jak sprawdzić czy jest podzielna przez 4 niekoniecznie uzyskując wynik końcowy? Pokażę prostą sztuczkę i mam nadzieję, że wszystko będzie odrobinę prostsze.

Pamiętajmy jeszcze o tym, że jeśli liczba wyjściowa nie jest parzysta, to automatycznie nie jest podzielna przez 4. Stąd wniosek, że rozpatrujemy tylko te liczby, których ostatnia cyfra to: 0, 2, 4, 6 lub 8. Jeśli po podzieleniu przez 2 dana liczba jest parzysta, wówczas wyjściowa liczba jest "podwójnie parzysta", a więc musi być podzielna przez 4. Prawda, że proste?

Jeśli chodzi o podzielność przez 12 to musi to być liczba podzielna jednocześnie przez 3 i 4. A czemu nie przez 6 i 2? Powody są co najmniej dwa. Pierwszy i najważniejszy jest taki, że można znaleźć bardzo łatwe obalenie. Mianowicie liczba 18 nie jest podzielna przez 12, pomimo że dzieli się zarówno przez 6 jak i przez 2. Drugim powodem jest to, że w rozkładzie liczby 12 na czynniki pierwsze mamy: 2*2*3, więc trójka musi być osobno, zaś iloczyn obu dwójek (tych samych czynników) daje nam czwórkę. Warto to wziąć pod uwagę. Celem utrwalenia i lepszego zrozumienia materiału proponuję sprawdzenie (opracowanie) cechy podzielności przez 18. Pojawia się pytanie - czy każda liczba jest podzielna przez 18 jeśli jest jednocześnie podzielna przez 6 i 3 czy też przez 9 i 2? Odpowiedź będzie analogiczna jak powyżej.

Natomiast w przypadku liczby podzielnej przez 15 jest już bardzo łatwo, gdyż wiemy, iż musi spełniać warunek podzielności przez 3 i 5. Czemu akurat w ten sposób? Odpowiedź jest prosta: z uwagi na to, że liczba 15 ma tylko taki rozkład na czynniki pierwsze. Na marginesie dodam, że innym rozkładem liczby 15 jest 1*15, ale nic on nam nie daje, bo każda liczba jest podzielna przez 1... i nadal musimy stworzyć drugą cechą podzielności... przez 15.

Z kolei jeśli chodzi o podzielność przez 25, to każda liczba będzie podzielna przez 25 jeśli dwiema jej ostatnimi cyframi będą: 25, 50, 75 lub 00. W przypadku liczby jednocyfrowej (albo mniejszej niż 25) to żadna z nich nie będzie podzielna przez 25. Wyjątkiem jest zero, które jest podzielne przez każdą liczbę oprócz zera! Każdy już powinien doskonale wiedzieć, że (istotnym) rozkładem liczby 25 jest tylko 5*5, więc nie możemy stworzyć krótszej cechy podzielności aniżeli powyższa.

Podsumowanie: cechy podzielności są dość ważne, gdyż dzięki ich dobrej znajomości w przyszłości będzie możliwość wykonywania istotnych operacji (logicznych) na liczbach bez ich fizycznego rozkładania (znajdowania końcowego wyniku ilorazu). Poza tym dzięki temu przy ułamkach jak i potęgach oraz pierwiastkach będziemy mogli wspomagać się umiejętnościami z tego zakresu.


Warto podkreślić, że w praktyce wystarczy poznanie i zrozumienie około 10-12 cech podzielności, aby być w stanie płynnie posługiwać się tą wiedzą w innych zagadnieniach matematyki. Niektóre cechy podzielności są albo dość trudne albo w praktyce niemal nieużywane. Oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie, aby chętni samodzielnie zgłębiali ten temat.

Dlaczego reszta z dzielenia jest niemożliwa do obalenia

...bo każdy umysł w potężny komputer przemienia!

Nauka cech podzielności może być fajną zabawą. Szczególnie wtedy, gdy temat jest opracowany solidnie oraz dzieci (uczniowie) mogą samodzielnie dochodzić do odkrywania ukrytych tajemnic matematycznych jakimi są relacje wynikające z dzielenia. Dobrze jest pokrótce przypomnieć to czym jest dzielenie i na czym polega reszta. Najprościej zrobić to na cukierkach, monetach, owocach czy też kulkach (albo kostkach). Dzięki temu będzie doskonale widoczne i zrozumiałe to czym jest owa reszta - sierotka, która nie znalazła innych przyjaciół, które razem z nią tworzyłyby całość.

Teraz przejdźmy do tego czym jest owa podzielność. Wiemy, że można dzielić przez różne liczby, ale czy można odgadnąć (bez żmudnego liczenia) czy dana liczba dzieli się bez reszty? Z resztą czy bez... oto jest pytanie! Zresztą sami się o tym przekonajmy!

Zobaczmy na czym polegają niesamowite sztuczki związane z podzielnością liczb. Dodam, że można je znaleźć praktycznie w każdym podręczniku czy też w całym wirtualnym świecie - jak kto woli w Internecie. Poniżej moja wersja podzielności.

Przez 2: liczba, której ostatnia cyfra to: 0, 2, 4, 6 lub 8.
Przez 3: liczba, której suma cyfr daje liczbę będącą podzielną przez 3.
Przez 9: liczba, której suma cyfr daje liczbę będącą podzielną przez 9.
Przez 5: liczba, której ostatnia cyfra to: 0 lub 5.
Przez 10: liczba, której ostatnia cyfra to 0.
Przez 20: liczba, której przedostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6 lub 8, a ostatnia cyfra to 0.
Przez 4: liczba, której dwie ostatnie cyfry to liczba podzielna przez 4.
Przez 6: liczba, która jest jednocześnie podzielna przez 2 i 3.

Wszyscy doskonale wiedzą, że takie lub podobne definicje są bez problemu do odnalezienia w różnych źródłach. Jednak pozostaje pewien niedosyt, ponieważ niektóre zagadnienia pozostają bez odpowiedzi. Spróbuję nieco uchylić rąbka tajemnicy.

W przypadku podzielności przez 2 można w skrócie powiedzieć, że musi być to liczba parzysta. W takim wypadku nie jest konieczne wypisywanie kilku możliwości, które przybiera liczba parzysta. Tak samo jest w przypadku podzielności przez 20: można zapisać to w taki sposób, że przedostatnia cyfra ma być parzysta, zaś ostatnia musi być zerem.

Jeśli chodzi o podzielność przez 4, to najprostszy sposób jest taki, że zakrywamy wszystkie wcześniejsze cyfry i pozostawiamy jedynie ostatnie dwie. I wtedy jest już łatwo - dwucyfrową liczbę dość szybko można w pamięci sprawdzić czy jest podzielna przez 4. A dalsza historia jest już prosta. Jeśli mamy liczbę dwucyfrową, która jest podzielna przez 4 (niechaj to będzie przykładowo 28), wówczas możemy przed nią dopisywać dowolną liczbę cyfr i nadal każda w ten sposób utworzona będzie podzielna przez 4.

Podzielność przez 6 jest bardzo dobrze widoczna w tabeli (zobacz poniżej). Jeśli bowiem dana liczba jest podzielna przez 2, wówczas wstawiamy "+". Następnie sprawdzamy czy jest również podzielna przez 3... i jeśli jest to również wpisujemy "+". A to z automatu sprawia, że jest podzielna przez 6. Inaczej mówiąc, jeśli w obu rubrykach (kratkach) mamy plusy, wtedy wpisujemy plusa dla danej liczby w odpowiedniej rubryce (kolumnie) z tytułem "przez 6".

Najrzadziej jednak jest odkrywana tajemnica podzielności przez 3 i 9. Jak to?! Przecież wszystkie podręczniki podają to jak byk! A no właśnie nie do końca! Czemu? Otóż niemal nikt nie podaje tego, że ta podzielność może być wielokrotnie stosowana! Jak to rozumieć? Otóż zobaczmy na przykładzie. Czy liczba 123123123 jest podzielna przez 3? Sprawdźmy jej sumę cyfr. Wychodzi dokładnie 18. Każdy wie, że 18 jest podzielna przez 3, a więc nasza wyjściowa liczba 123123123 też jest podzielna przez 3.

A teraz weźmy większą liczbę. Niechaj będzie to liczba 369369369. Suma jej cyfr to 54. Tutaj znowu można szybko sprawdzić, że jest podzielna przez 3. A gdybyśmy mieli ocenić liczbę 999999999666666333 (9 dziewiątek, 6 szóstek i 3 trójki), to czy też to będzie tak proste? Zobaczmy. Otóż suma cyfr tej liczby to 81+36+9, a zatem 126. I tutaj już konieczne byłoby dzielenie przez 3 liczby 126 albo na kalkulatorze albo pisemnie. A gdyby dodać sumę cyfr tej ostatniej liczby i wtedy zobaczyć czy jest podzielna przez 3? Suma cyfr liczby 126 to 9. A podzielność tej jest nawet do sprawdzenia na palcach! Wniosek? Możemy sobie w tym wypadku pomagać wielokrotnie sumując cyfry i sprawdzając czy da nam ona liczbę podzielną przez 3.

Czyż matematyka nie jest banalnie prosta? A gdyby w przypadku podzielności przez 9, również możliwe byłoby użycie tej sztuczki? Liczba 9999666333 jest podzielna przez 9, ponieważ suma jej cyfr daje liczbę 63, zaś suma liczby 63 daje 9. No a 9 jest podzielna przez samą siebie, prawda? Magia czy może po prostu tajemnice o których nie wszyscy powszechnie mówią?

Myślę, że teraz najwyższy czas na to, aby nieco poćwiczyć. Poniżej mamy tabelę do wypełnienia za pomocą "+" oraz "-". Plusa wpisujemy wówczas, gdy dana liczba (w wierszu) jest podzielna przez konkretną liczbę (w kolumnie), zaś minusa, gdy nie jest. A jak już to zrobimy to możemy sobie (skopiować) wydrukować następną przykładową kartę w której samodzielnie wymyślamy liczby i wpisujemy je w pierwszą kolumnę. W drugiej kolumnie ("S") mamy możliwość wpisania sumy ocenianej liczby, tak aby nie popełniać prostych błędów wynikających z dekoncentracji (bo uwaga jest skupiona na procesie sprawdzania).

Na koniec warto zadać sobie serię pytań. Pytania do lekcji na temat (cech) podzielności mogą wyglądać chociażby tak:

1) Czy wynik dzielenia obu liczb naturalnych (np. 24:3) może być liczbą mieszaną? Czy może zawierać resztę? Jeśli może być reszta to jaka? Czy reszta może być równa dzielnikowi lub od niej większa?

2) W jaki sposób można udowodnić, że dana liczba (X) jest podzielna przez 5, jeśli wiemy, że po jej podzieleniu otrzymamy wynik 12?

3) Czym jest wielokrotność w stosunku do dzielenia (a nawet dzielnej)?

4) Dlaczego w cechach podzielności nie ma liczby 0 ani 1?

5) Jak sprytnie zliczać sumę cyfr, aby otrzymana liczba była bezbłędna? Jak sprawić, aby szansa popełnienia błędu była jak najbardziej znikoma (chodzi o tak zwane minimalizowanie błędu)?

6) Na podstawie tabeli opracuj samodzielnie cechę podzielności przez 15, 25 i 100. Jakie niezbędne informacje musimy do tego wykorzystać? Dlaczego trudniej jest zrozumieć cechę podzielności przez 15 aniżeli przez 25? Z czego wynika owa trudność?

To oczywiście tylko przykładowe pytania, które mają wyzwolić ciekawość i inspirację do dalszych poszukiwań.

Podsumowanie: sztuką jest takie dopasowywanie procesu nauki oraz narzędzi, sposobów i metod pracy, aby w umysłach wyzwolić poczucie twórczości, samodzielności oraz poczucie sprawstwa... przy okazji pozwalając dzieciom na odkrywanie, przeżywanie, doświadczanie jak też podejmowanie decyzji i branie odpowiedzialności za własny rozwój. Temu właśnie może służyć temat cech podzielności liczb, zwłaszcza jeśli zostanie odpowiednio przygotowany.

Przykładem ciekawej lekcji może być wpisywanie liczb, które będą datami urodzenia ważnych dla nas osób czy też wydarzeń historycznych. Wreszcie można zabawić się w to, aby bez wpisywania liczb pomyśleć co zrobić, aby dopiero po wpisaniu mogła spełniać jednocześnie kilka cech podzielności. A co zrobić, aby spełniała wszystkie? Takie właśnie pytania powinny obowiązkowo pojawiać się w procesie odkrywania niezwykłych zależności, które wydają się niewiarygodne i nieodgadnione na pierwszy rzut oka. Pamiętajmy o tym, że jak dotąd umysł ludzki pozostaje najpotężniejszym superkomputerem, który potrafi tworzyć cuda.

Matematyczne pytania i odpowiedzi - czyli jak nasza ciekawość poszukuje podpowiedzi (1)

Naturalna ciekawość dzieci prowadzi do tego, że zaczynają one zadawać różne pytania, które często sprawiają, iż dorośli nie wiedzą co i jak odpowiedzieć. Być może warto od czasu do czasu poczytać sobie taki zestaw pytań i odpowiedzi, bo nigdy nie wiadomo co w umyśle poszukującego dziecka tak naprawdę siedzi. Powszechnie wiadomo, że są to takie niewygodne i trudne pytania, które w dorosłych wywołują sporo wahania oraz niedowierzania.

Temu właśnie będzie służyć seria "Kto pyta, nie błądzi". Będzie to zbiór pytań i odpowiedzi, które przynajmniej na początkowym etapie mogą służyć jako zaspokojenie ciekawości. Oczywiście warto poszukiwać pogłębionych odpowiedzi w tych zagadnieniach w których nasza ciekawość nas prowadzi.

Na początek seria pytań i odpowiedzi związana z szeroko pojętymi liczbami. Pamiętajmy zawsze o tym, że te proponowane odpowiedzi są jedynie drogowskazem, który pokazuje kierunek poszukiwań. Często bowiem na jedno pytanie można byłoby zawrzeć pogłębioną odpowiedź na kilku lub nawet kilkunastu stronach! Tak, to nie pomyłka! Razem z wyjaśnieniem niektórych zagadnień potrzebne są odpowiednie przykłady i ćwiczenia, bo dopiero dzięki nim można tak naprawdę zrozumieć istotę tego o co nas pytają inni.

 

 

 

 

 

Pamiętajmy, że dobra odpowiedź to taka, która sprawia, że nasz umysł domaga się dalszych odpowiedzi... i sam stawia kolejne pytania! Dlatego dobrze jest zaakceptować i zrozumieć, że niekończące się pytania to naturalna ciekawość, która zostaje zaspokojona tylko chwilowo. Dopiero dalsze samodzielne zgłębianie tematów oraz testowanie różnych pomysłów może sprawić, że zaczniemy wyciągać pewne wnioski i budować kolejne piętra naszej wiedzy i zrozumienia na fundamencie nieskrępowanych i oryginalnych pytań. Kto pyta... nie błądzi! :)

Liczby parzyste i nieparzyste - na pozór dla wszystkich szalenie oczywiste

Na pewnym etapie nauki matematyki poznajemy liczby, a potem ich klasyfikacje. Jedną z pierwszych jest ta w której jest mowa o tym czy liczba jest parzysta czy też nieparzysta.

Zastanówmy się zatem jak odróżnić liczbę parzystą od nieparzystej? Najprościej jest to zrobić w ten sposób, iż skojarzymy "parzysta" ze słowem "para". Para butów, para rękawiczek, para spodni czy nawet para okularów. We wszystkich wypadkach chodzi o dwie sztuki tego samego rodzaju. O ile w przypadku dwóch pierwszych obiektów jest to oczywiste, to w przypadku spodni mamy dwie nogawki, zaś co do okularów to będą to dwa szkła (soczewki) na które składają się okulary. Natomiast jeśli myślimy o liczbach nieparzystych, wówczas widzimy przedrostek "nie", który informuje nas o tym, że akurat te liczby nie tworzą (pełnej) pary.

No dobrze. Zarys już rozumiemy, ale co dalej z tego wynika? Otóż liczby parzyste rozpoznajemy po tym, że są podzielne "na pary", zaś nieparzyste już nie. A jak jeszcze zamienimy zwrot "na pary" na "na dwa", to mamy definicję liczby parzystej: to taka liczba, która dzieli się na dwa. Z kolei liczba nieparzysta nie ma tej właściwości, ponieważ jeśli wydzielimy z niej pary, to zostanie jeszcze jedna sierotka (obiekt) bez pary. Stąd liczby takie jak 5, 7, 9, 11 czy 13 po wydzieleniu z nich par będą miały w sobie sierotkę (obiekt) bez pary.

Przejdźmy teraz co głównej zawartości opisującej własności dzisiejszych bohaterów.

Widzimy, że tematyka podziału i klasyfikacji liczb prowadzi nas automatycznie do zagadnienia związanego z dzieleniem. Następnym razem przyjrzymy się temu czym jest owa podzielność, jak sobie z nią radzić i co to jest ta reszta z dzielenia.

A jaką zabawę proponuję na dziś? Z uwagi na to, że mamy weekend, to moim zdaniem dobrze byłoby nieco się zabawić. Poćwiczymy dzięki temu nie tylko iloczyn, ale i mniejszą oraz większą tabliczkę mnożenia (do 36 przy 2 kościach i do 216 przy 3).

Bierzemy dwie sześcienne kostki do gry. Każdy z graczy ma po dwie kości.

1) Zadaniem każdego z graczy jest wypełnienie 10 kratek w tabeli: w przypadku gracza A - liczb parzystych, zaś B - nieparzystych. Liczby losujemy rzucając obydwoma kościami i mnożymy liczbę oczek widoczną na każdej z wyrzuconych kości. Wynik wpisujemy w tabelę o 36 polach (6x6). Jeśli wynik już się pojawił (jest zapisany w tabeli) to dany gracz rzuca ponownie. Jeśli tym razem znowu trafił na liczbę wpisaną w tabeli, to traci kolejkę. Wygrywa ten zawodnik, który pierwszy osiągnie wymaganą liczbę parzystych lub nieparzystych liczb wpisaną w tabeli. Może to być 12, 10, 8 czy 6 - w zależności od tego jak się umówimy.

2) Umawiamy się na to, że wygrywają obie liczby oczek: a) parzyste, b) nieparzyste, c) iloczyn obu oczek parzysty, d) iloczyn obu oczek nieparzysty, e) iloczyn obu oczek większy od 10, g) iloczyn obu oczek mniejszy od 18, h) obie wyrzucone kości mają te same oczka, i) obie wyrzucone kości mają te same oczka parzyste (lub nieparzyste). Wygrywa ten zawodnik, który pierwszy osiągnie 10 wygranych (gramy do 10 zwycięstw).

Drugi wariant ostatniej z powyższych zabaw (znacznie bardziej wymagający) polega na tym, że posługujemy się 3 kostkami. Warto pamiętać, że w tym wypadku wartość maksymalna to 216. Zalecany jest szczególnie tym graczom, którzy dobrze opanowali tabliczkę mnożenia do 36.


Podsumowanie: podział i klasyfikacja liczb może być świetną zabawą. Obowiązkowo trzeba przemycać różne dodatkowe tematy takie jak: suma (ciągu), iloczyn liczb parzystych (nieparzystych) czy też sposoby zliczania wartości parzystych i nieparzystych. Tego typu ćwiczenia w kolejnych etapach ułatwią zrozumienie tematu rozkładu liczb czynniki pierwsze czy też cech związanych z podzielnością liczb oraz resztą z dzielenia. A to z kolei prosta droga do tego, aby jeszcze lepiej pojąć określanie ułamków i tego czym jest ich rozwinięcie dziesiętne okresowe nieskończone.

Pozornie proste tematy jakimi są  liczby parzyste i nieparzyste mogą i powinny być zrealizowane w taki sposób, aby w umysłach były tworzone i rozwijane różnorodne koncepcje. I to wszystko ładnie podlane radością z samodzielnego odkrywania, testowania i wyciągania wniosków - z pewnością zaprocentuje na dalszym etapie nauki. Proces nauki matematyki musi sprawiać dużą radość i satysfakcję, bo tylko dzięki temu wszelkie wcześniejsze zagadnienia będą solidnie i głęboko utrwalone.

Nietypowe sztuczki potęgowania inspirują do dalszego odkrywania

... bo zachęcają do testowania jak też dają radość działania.

Bardzo często matematyczne sztuczki z liczbami wywołują zaciekawienie, niedowierzanie czy wręcz szok. Dzieje się tak, gdyż wydaje się, że umysł nie jest w stanie tak sprawnie posługiwać się liczbami, aby wykonywać na nich operacje tak szybko jak kalkulator. Niemniej są pewne sztuczki, które mogą sprawić, że każdy będzie chciał poznać nie tylko tajemnice błyskawicznego liczenia, ale również sam posiąść tę umiejętność. Takich magicznych sztuczek i trików jest wiele. Tym razem pokażę dwie, które mogą być z powodzeniem wykorzystane do zaprezentowania "efektu wow".

Pierwsza sztuczka jest związana z mnożeniem dwóch tych samych liczb przez siebie, których ostatnia cyfra to 5. Zauważmy, że druga potęga liczby 5 wynosi 25, więc to będą ostatnie dwie cyfry naszego wyniku. A co dopisujemy przed nimi? Otóż wykonujemy mnożenie (iloczyn) liczby (cyfry) występującej przed 5 przez liczbę (cyfrę) o 1 większą. Sztuczka jest dość prosta, ale wymaga przećwiczenia. Warto dodać, że im lepiej znamy potęgowanie kwadratowe (przynajmniej do 20), tym szybciej możemy obliczyć wynik naszej liczby.

Pozornie wydaje się, że tak prosta sztuczka nic nie wnosi do umysłu dziecka lub początkującej osoby. Niemniej jeśli odpowiednio zaprojektujemy ćwiczenia, to okaże się, że może ona być znacznie bardziej wartościowa aniżeli można na pierwszy rzut oka zauważyć.

 

Dodatkowo można pobawić się potęgami (kwadratowymi) w taki sposób, aby temat twierdzenia Pitagorasa wydał się całkiem znajomy. Co w tym celu warto zrobić? Otóż poszukujemy takich dwóch liczb, których suma kwadratów da nam kwadrat trzeciej liczby. Najprostszym przykładem są liczb 3 i 4. Dlaczego? Otóż kwadrat 3 to 9, zaś kwadrat 4 to 16. Po dodaniu do siebie 9 i 16 otrzymujemy 25, a ta liczba to jest kwadratem 5. Dobrze jest w tym ćwiczeniu mieć widoczną tabelę z potęgami kwadratowymi od 2 do 20. Dzięki temu unikniemy błędów wynikających ze zbytniego obciążenia pamięci. Dodam jeszcze, że do wartości 400, takimi liczbami kwadratowymi są przykładowo: 6, 8 i 10 (36+64=100), a następnie 9, 12, 15 (81+144=225) oraz 12, 16 i 20 (144+256=400).

Na koniec jeszcze jeden pomysł do wykorzystania i inspiracji. Chodzi o sztuczkę związaną z jedynkami. Obrazek poniżej powinien wszystko wyjaśnić. Natomiast dzieci samodzielnie powinny odkrywać schemat (regułę) dzięki któremu powstaje kolejny wynik. Jednym z prostych wyjaśnień może być to, że zaczynamy od 1 i wchodzimy pod górkę (po schodach) aż do środkowej wartości, a potem zjeżdżamy (schodzimy) w dół z górki (po schodach) aż do 1. Można również zacząć od środka i dopisywać po obu stronach cyfry o 1 mniejsze - tak jakby odbijały nam się w lustrze. I w końcu można zapisać tylko jedną część do środka i przystawić lustro w środkowej liczbie, a w lustrze widzimy odbicie drugiej (pozostałej) części liczby. Na koniec warto jeszcze pomyśleć w jaki sposób sprytnie możemy zliczyć sumę wszystkich cyfr naszej końcowej liczby. Im więcej pomysłów, tym lepiej! Pamiętajmy, że to właśnie dzięki takim ćwiczeniom rozwijamy naszą wyobraźnię, twórczość oraz dostrzegamy ukryte zależności i relacje. A to właśnie kolejny krok do sukcesu i mistrzostwa w odkrywaniu matematycznych tajemnic!

Podsumowanie: zabawa z potęgami ma wiele istotnych zastosowań. Dzięki odkrywaniu zależności, tworzeniu reguł oraz sprawdzaniu naszych pomysłów możemy dostrzegać coraz więcej matematycznych cudów i tajemnic, które potem będziemy mogli podziwiać jak i wykorzystywać w realnym świecie. Im więcej ciekawych oraz inspirujących elementów będziemy mogli dostrzegać i łączyć ze sobą, tym szybciej zrozumiemy, że matematyka jest niesamowicie ciekawą nauką, której odkrywanie może sprawiać ogromną radość i dawać poczucie szczęścia.

Nie tylko potęgi kwadratowe i sześcienne są podobne i wymienne

... lecz przy okazji są naprawdę przydatne i zarazem cenne!

W procesie nauki na poziomie szkoły średniej pojawiają się pewne wartości (liczby), które warto znać. Występują one na tyle często, że ich znajomość przynosi większą płynność podczas rozwiązywania zadań. To z kolei przekłada się na lepsze ich zrozumienie, gdyż umysł nie jest przeciążony nadmiernymi obliczeniami rachunkowymi.

Od dłuższego czasu zastanawiałem się nad tym jakie wartości związane z potęgami kwadratowymi i sześciennymi (drugiego i trzeciego stopnia) warto znać. Okazuje się, że w praktyce jest ich zaledwie około 50-60. Dlaczego akurat te liczby są tak istotne? Otóż powód jest prosty: występują one stosunkowo najczęściej, gdyż dobrze widać na nich różne matematyczne sztuczki dzięki którym nie jest konieczne liczenie wszystkiego na piechotę. Chodzi o to, aby używając matematycznych wzorów i logicznych reguł, przekształcać w taki sposób dane wyrażenie, aby dojść do celu (wyniku) jak najkrótszą i zarazem najprostszą drogą.

Poniżej mamy właśnie tę magiczną tabelę, która powinna zostać zapisana w pamięci naszego umysłu (na naszym wewnętrznym dysku). Dzięki temu ćwiczenia związane z potęgami oraz procesem potęgowania będą przebiegały znacznie płynniej.

W jakiej kolejności należy się uczyć tej tabeli? Każdy może samodzielnie o tym zdecydować - w zależności od tego, które wartości będą mu potrzebne. Ja uczę się tego w ten sposób:

1. Najpierw pionowa kolumna dla wartości drugiej potęgi. Począwszy od wyniku 4, a kończąc na 400.
2. Następnie poziomy wierszy dla wartości liczby 2. I zaczynamy od 4 i kończymy na 1024.
3. Później to samo (poziomy wiersz) dla liczby 3.
4. Dalsza nauka dla liczby 4 - przy czym wystarczy do wartości 4096.
5. Potem już z górki, bo to samo dla liczby od 5 do 9.

I na sam koniec - jak już wszystkie pozostałe wartości są naprawdę bardzo dobrze opanowane - można zająć się kolumną zaznaczoną na fioletowo. Są to wartości trzeciej potęgi dla liczb od 11 do 20.

Z mojego doświadczenia i analiz zadań wynika, że opanowanie tych wartości jest wystarczające, aby płynnie rozwiązywać około 90-95% zadań w których konieczne jest odtworzenie wyniku. Znacznie bardziej istotne będzie znajdowanie relacji między tymi wynikami, bo to bardzo mocno przyspieszy nam proces dojścia do celu.

A gdyby z tej tabeli jeszcze wybrać absolutnie najważniejsze liczby, których opanowanie jest niezbędne? Moim zdaniem wystarczy opuścić naukę fioletowych liczb oraz wartości dla 7 i 8 potęgi liczby 3 i 4 (są nimi odpowiednio: 2187, 6561 i 16384, 65536). I dzięki temu mamy zaledwie 50 liczb, które dadzą nam płynność w liczeniu. Można to potraktować jako poszerzoną tabliczkę mnożenia, która obowiązuje aż do ukończenia nauki na poziomie szkoły średniej. Tylko tyle... i aż tyle!

Tak naprawdę biegłość (mistrzostwo) w potęgach będzie polegała na tym, aby szybko i poprawnie rozbijać wartości na mniejsze potęgi. Jeśli wiemy potęgą jakiej liczby jest dana wartość, wówczas przekształcenia będą leciały z prędkością pocisku wystrzelonego z karabinu maszynowego.

I na koniec małe co nieco. Dobrym pomysłem jest przećwiczenie tabeli, tak więc zalecana karta pracy do sprawdzenia siebie.

Po małej rozgrzewce można spróbować sił w zadaniach dotyczących działań na potęgach. Pozornie wyglądają groźnie, ale w praktyce wystarczy porozbijać liczby na takie w których podstawa potęgi będzie jednakowa i przy dalszym obliczaniu zastosować dwa magiczne wzory (mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach). Jest to dużo prostsze niż się na początku wydaje, ale tak jak inne matematyczne zagadnienia - zrozumienie wymaga przećwiczenia.

 
Przy okazji dla tych, którzy chcą nieco więcej przykładów - polecam darmowy rozdział o potęgach i pierwiastkach. Dodam, że powyższe przykłady pochodzą z książki: Na dobry start do liceum. Zadania (autor Piotr Drozdowski, wydawnictwo Pazdro). https://pazdro.com.pl/matematyka,295

Podsumowanie: nauka pamięciowa pewnych wartości jest konieczna, aby proces obliczeń przebiegał płynnie, poprawnie i szybko. Dzięki temu łatwiej będzie również przy nauce pierwiastków, ponieważ wystarczy odwrócić kierunek działania, aby otrzymać pierwiastek kwadratowy (drugiego stopnia) z danej liczby. A jeśli dodamy do tego potęgi wyższych stopni, wówczas będziemy mogli wyciągać (i rozumieć) pierwiastki na kolejnych poziomach.

Warto zaznaczyć, że konieczna jest praktyka, tak aby dobrze utrwalić materiał i być w stanie zauważać coraz więcej relacji między liczbami. To sprawi, że nasza nauka będzie coraz bardziej efektywna i kolejne tematy będą mogły jeszcze lepiej wplatać się w nasz system.

Potęgi kwadratowe do zapamiętania gotowe - to warto wiedzieć

W praktyce po opanowaniu tabliczki mnożenia, dochodzi do sytuacji w której trzeba poznać i zapamiętać potęgi kwadratowe (drugiego stopnia) od 10 do 20. Oczywiście zawsze można posłużyć się kalkulatorem, ale dobrze jest także pewne wartości mieć zapisane w pamięci naszego umysłu. Dzięki temu proces obliczeń będzie przebiegał szybciej a przy okazji będziemy mogli się cieszyć tym, że potrafimy znaleźć wartość potęgi bez pomocy kalkulatora.

Poniżej mój pomysł na to, aby w miarę szybko i skutecznie zapamiętać te wartości. Oczywiście to tylko jeden z wielu przykładów (sposobów) na to, aby w trakcie nauki dobrze się bawić. W praktyce wychodzi na to, że najwięcej powtórek wymaga ćwiczenie związane z wartościami potęg kwadratowych liczb 17, 18 i 19.

Na koniec mamy przykładowe ćwiczenia dotyczące potęg kwadratowych od 10 do 20. Dodatkowo dla osób ambitnych polecam obliczenie potęg kwadratowych powyżej 20. Pamiętajmy, aby zrobić to sprytnie, czyli takim sposobem, aby zużyć jak najmniej energii, a uzyskać poprawny wynik. Innymi słowy - zasada mini-max: minimum wysiłku - maksimum rezultatu (efektu).

 

 

Podsumowanie: nauka pamięciowa pewnych wartości jest konieczna, aby proces obliczeń przebiegał płynnie, poprawnie i szybko. Dzięki temu łatwiej będzie również przy nauce pierwiastków, ponieważ wystarczy odwrócić kierunek działania, aby otrzymać pierwiastek kwadratowy (drugiego stopnia) z danej liczby.

Celem nauki tych wartości jest nie tyle zrozumienie procesu, lecz możliwość bezbłędnego i natychmiastowego odtwarzania wartości danych potęg. To mniej więcej tak jakbyśmy musieli za każdym razem zastanawiać się nad tym jak się nazywamy czy też jaka jest nasza data urodzenia albo dzisiejsza data. Za każdym razem można przecież wyciągnąć komórkę lub dowód (legitymację), ale chyba wyglądałoby to trochę dziwnie, prawda? Tak samo jest właśnie z tą poszerzoną tabliczką mnożenia - czyli kwadratowymi potęgami, które już na zawsze... w pamięci będą z nami.

Podzielone trójkąty - klasyfikacja i grupowanie

... bo w sumie ten temat to proste wyzwanie!

W tej odsłonie powiemy sobie co nieco na temat trójkątów i tego w jaki sposób możemy je pogrupować.

Każdy nauczyciel samodzielnie musi określić poziom grupy i to w jaki sposób zechce zrealizować temat. Na pewno jednak przydatne ku temu będzie zastanowienie się nad tym jakie elementy powinny zostać omówione i na co należy zwrócić szczególną uwagę. Zagadnienie może być zrealizowane bez problemu już w przypadku 10-latków (4 klasa), ale równie dobrze jako lekcja powtórzeniowa dla 11-12-latków (5-6 klasa). A jeśli dodamy jeszcze wiadomości (moduł) na temat dwusiecznych, przekątnych i wysokości w trójkątach, wówczas może wywołać zainteresowanie nawet u 13-14-latków.

Oczywiście można także przemycić temat obwodu, pola, osi symetrii oraz figur przystających (a nawet podobnych). Wszystko zależy od wyobraźni, celu i podejścia nauczyciela oraz potrzeb i możliwości danej grupy.

W naszym wypadku zajmiemy się tylko klasyfikacją trójkątów, ale w taki sposób, aby wiadomości na ich temat były możliwie jak najpełniej zrozumiane i przyswojone. Zatem zaczynamy!

Najwięcej uwagi warto zwrócić na dwa rodzaje trójkąta: równoramienny i równoboczny. Moim zdaniem muszą pojawić się przynajmniej takie oto zagadnienia (w formie pytania lub jeszcze lepiej - samodzielnego odkrywania przez dzieci).

1. Czy trójkąt równoramienny musi mieć te same kąty przy podstawie?
2. Czy te same kąty przy podstawie zawsze oznaczają, że trójkąt jest równoramienny?
3. Czy znając sumę kątów przy podstawie dowolnego trójkąta możemy obliczyć kąt przy wierzchołku?
4. Czy znając sumę kątów przy podstawie trójkąta równoramiennego możemy obliczyć kąt przy wierzchołku?
5. Czy znając wartość jednego kąta przy podstawie trójkąta równoramiennego możemy obliczyć kąt przy wierzchołku?
6. Czy znając wartość kąta przy wierzchołku trójkąta równoramiennego możemy obliczyć wartość jednego kąta przy podstawie? A można znaleźć wartość obu kątów przy podstawie?
7. Czy wiedząc, że wartość kąta przy wierzchołku trójkąta równoramiennego jest dwa razy mniejsza od kąta przy podstawie można obliczyć ile ma kąt przy podstawie? A jeśli kąt przy wierzchołku jest 3, 4, 6 czy 12 razy mniejszy? A jeśli jest 3, 4, 6 czy 12 razy większy? A jeśli jest o 10, 20, 30 stopni większy (mniejszy) od kąta przy podstawie?
8. Czy trójkąt równoboczny jest trójkątem równoramiennym? A czy trójkąt równoramiennym jest zawsze równoboczny?
9. Czy trójkąt równoboczny może mieć każdy z kątów różny od 60 stopni? Jeśli tak (nie) to dlaczego?
10. Czy może istnieć trójkąt równoboczny, który nie ma wszystkich kątów po 60 stopni?
11. Czy każdy trójkąt równoramienny, który ma przy wierzchołku 60 stopni jest równoboczny?
12. Czy każdy trójkąt równoramienny, który ma przy podstawie jeden z kątów 60 stopni jest równoboczny?
13. Czy każdy trójkąt równoramienny, który ma przy podstawie 120 stopni jest równoboczny?

Poniżej przykładowa karta pracy, którą można wydrukować i na tej podstawie przeprowadzić ciekawe lekcje. Nie zawsze konieczne jest zrealizowanie całego tematu na jednej lekcji. W tym wypadku dobrym pomysłem mogłoby się okazać poświęcenie dwóch jednostek lekcyjnych (2 razy po 20-30 minut), tak aby wszyscy uczniowie mieli okazję na spokojnie zrozumieć zagadnienie i mieć okazję do przemyśleń i wyciągnięcia wniosków.

(kliknij na obrazek, aby powiększyć)

Podsumowanie: temat klasyfikacji trójkątów powinien zostać zrealizowany poprzez sesję pytań i odpowiedzi, podważania, testowania, sprawdzania oraz uzasadniania. I to zarówno na poziomie logicznym (matematycznym) jak i praktycznym (rysowanie, wycinanie, kolorowanie). Im lepiej opracowana lekcja i dostosowana do możliwości dzieci, tym szybciej i trwalej będą one w stanie zrozumieć istotę tego co naprawdę ważne i często niewidoczne.