Rola i znaczenie błędów w nauce matematyki i nie tylko - cz.1

W tej serii artykułów będę omawiał błędy i to co jest z nimi związane. Temat ważny i uważam, że nie można zwlekać z nim dłużej, bo jego niezrozumienie sprawia, że wiele dzieci jest krzywdzonych.

Zacznę może od tego, że z tematem błędów wiążą się również inne zagadnienia, które często są nierozłącznie z nimi związane. Bez ich omówienia temat może być zupełnie nieprawidłowo zrozumiany, a nie taka jest moja intencja. Chcę, aby ludzie mądrze i odpowiedzialnie dyskutowali na temat błędów i tego jakie mają one znaczenie!

Na początek zastanówmy się nad tym jakie informacje przynosi nam błąd. Można ogólnie stwierdzić, że jeśli popełnimy błąd to:
1. nie uzyskujemy prawidłowego wyniku.
2. nie osiągamy zamierzonego celu.
3. nie otrzymujemy tego co chcieliśmy.
4. możemy doświadczyć konsekwencji, których nie chcieliśmy.
5. dochodzi do zaburzenia pewnego porządku lub zasad.

Przykładem niechaj będzie sytuacja w której dodajemy 200 złotych i 600 złotych i otrzymujemy 1000. Okazuje się, że popełniliśmy błąd, więc nie możemy kupić rzeczy za 1000 zł, więc nie dostajemy tego co chcieliśmy. Wracamy do domu i doświadczamy konsekwencji w postaci tego, że straciliśmy czas na dojście lub dojazd do sklepu, potem poczucie rozczarowania lub wstydu w momencie, gdy chcieliśmy kupić dany towar, a nie mieliśmy wystarczającej ilości gotówki. Można zatem stwierdzić, ze zaburzyliśmy pewien porządek i możemy obwiniać siebie o to, że albo jesteśmy głupi albo wyrzucać sobie to jak mogliśmy popełnić (tak prosty) błąd. Generalną konsekwencją będzie strata energii i czasu. W zależności jak duża jest strata tych zasobów i jaką mamy regułę związaną z wyjaśnieniami naszych błędów względem samych siebie... chęć ukarania siebie albo wyciągniemy wniosek z tego co się stało, aby na przyszłość nie mieć do siebie pretensji.

Pytanie jak się będzie to miało do nauki lub nauczania matematyki? Oto jak ja to widzę. Opiszę sytuację hipotetyczną z perspektywy ucznia oraz nauczyciela. Wierzę, że może to być ciekawym pomysłem do tego, aby przemyśleć temat i przyjrzeć mu się we własnej perspektywie.

PERSPEKTYWA ucznia

 

Załóżmy, że uczeń przygotowuje się do egzaminu maturalnego z matematyki. Interesuje go wyłącznie zdanie tego egzaminu, tak aby mieć otwartą drogę na studia. I teraz uczy się, ale na egzaminie popełnia błędy, które sprawiają, że nie zdaje matury (uzyskując 20%, zamiast minimalnego progu 30%, gwarantującego zdanie).

Dobrze jest przyjrzeć się temu o czym informuje nas wynik (skutek):
1. Nie zdał matury, więc w tej chwili nie może zostać przyjęty na studia.
2. Jego błędy popełnione na maturze sprawiły, że nie uzyskał oczekiwanego wyniku.
3. Jego wysiłek, który podjął, aby zdać egzamin okazał się nie wystarczający.

A co by było gdybyśmy spróbowali spojrzeć inaczej na te same informacje, ale jako wnioski związane z rozwojem? Można to nazwać wstępem do konstruktywnej krytyki lub informacje zwrotne dotyczące tego egzaminu.

1. Czy może jest jakiś sposób, aby uczeń najszybciej zdał maturę, aby jeszcze w tym roku dostał się na studia? Odpowiedzią może być to, że w przypadku gdy uczeń nie zdał jednego przedmiotu, to może przystąpić do egzaminu poprawkowego (w sierpniu). Gdyby wynik był bliski progu zdawalności, to racjonalne mogłoby być odwołanie się od wyniku końcowego. Istnieje szansa, że egzaminator mógł niedokładnie sprawdzić pracę lub przypadkowo pomylić się przy podliczaniu punktów. Akurat w tym wypadku różnica aż 10 punktów procentowych oznacza, że to ostatnie rozwiązanie raczej niewiele zmieni.

2. W tym wypadku jeśli uczeń wie jakie błędy popełnił, wówczas może przyjrzeć się im na spokojnie i pomyśleć w jaki sposób je wyeliminować. Często wystarczy kilka spotkań z kimś kto się zna na matematyce i potrafi wyjaśnić dane zagadnienie i podpowiedzieć w jaki sposób pozbyć się błędów, które powaliły maturę.

3. Być może jednak wysiłek, który uczeń włożył był niewystarczający? Może warto uderzyć się w pierś i przyznać się przed sobą do tego, że praca była zbyt krótka i po łebkach? Czy przygotowanie do matury w postaci obejrzenia kilku filmików w serwisie YouTube (dwa dni przed maturą!) na pewno sprawiło, że uczeń wiedział co i jak ma zrobić, aby ją zdać?

PERSPEKTYWA nauczyciela

Nauczyciel przygotowuje się do lekcji. Chce dzieciom wyjaśnić czym są pola figur i skąd się biorą wzory na pola każdej z figur. W czasie lekcji jednak popełnia kilka błędów i wracając do domu postanawia ze sobą porozmawiać.

Dobrze jest przyjrzeć się temu o czym informuje nas wynik (skutek):
1. Źle wyjaśnił pole trapezu, bo nie wyjaśnił dlaczego suma podstaw musi być nawiasie.
2. Nie potrafił odpowiedzieć dlaczego jednostki w których podajemy pola są kwadratowe (a nie trójkątne).
3. Nie był w stanie odpowiedzieć co sprawia, że w jednych figurach zawsze będą przekątne prostopadłe, a w innych nie.
4. Nie dał rady wyjaśnić tego czym jest wysokość w każdej z figur i jakie są jej warunki konieczne.

A co by było gdybyśmy spróbowali spojrzeć inaczej na te same informacje, ale jako wnioski związane z rozwojem? Można to nazwać wstępem do konstruktywnej krytyki lub informacje zwrotne dotyczące tego egzaminu.

1. Jeśli nauczyciel nie pokazał dzieciom tego, aby samodzielnie narysowali dwa trapezy obok siebie, które w połączeniu dają prostokąt, więc błąd mógł być w pełni uzasadniony. Co zrobić? Następnym razem nadrobić tę zaległość i wyjaśnić, że w przypadku trapezu dzielimy przez 2, ponieważ potrzebujemy połowy prostokąta. Natomiast suma długości podstaw musi być w nawiasie, ponieważ w przeciwnym wypadku otrzymalibyśmy tylko część pełnego trapezu. I nagle błąd zostaje naprawiony, a dzieci rozumieją to, czemu służy zastosowany nawias.

2. Tutaj jest możliwość, że nigdy się nad tym tak naprawdę nie zastanawiamy, więc tego typu pytania będą nas zaskakiwać. Jeśli jednak rozumiemy, że kwadrat jest idealną do tego figurą, bo każdy z nich jest taki sam i łatwo może je zmieścić obok siebie bez pustej przestrzeni... to zrozumiemy czemu nie stosujemy jednostek trójkątnych. Niemniej gdybyśmy ustalili, że wypełniamy dana figurę trójkątami równoramiennymi o kącie prostym (połowa kwadratu), to okazałoby się, że też jest to możliwe.

3. W tym wypadku może być konieczne zastanowienie się czy i kiedy da się narysować kwadrat a kiedy romb, gdy przekątne (odcinki) przecinają się w połowie i gdy obie z nich są takie samej długości. I szybko okaże się, że zawsze będziemy mieli romb, chyba że obie przekątne (odcinki) będą zarazem prostopadłe - wówczas będzie to kwadrat. Natomiast, gdy przekątnej są prostopadłe i również tej samej długości, ale nie przecinają się w środku, wówczas po połączeniu ich końców, powstaje trapez równoramienny.

4. Wysokość to niestety termin, który najlepiej znamy z potocznego użycia. Niemniej jest duże prawdopodobieństwo, że tak naprawdę nigdy nie mieliśmy okazję bliżej mu się przyjrzeć. Można w domowym zaciszu nadrobić te zaległości i na kolejnych zajęciach wyjaśnić to co było trudne bądź niezrozumiałe (czy też błędnie wyjaśnione). Jedną z pomocy może być koncepcja opracowana przeze mnie: Wysokość w figurach rewelacyjnie opisana - to matematyka świetnie zrozumiana i solidnie opanowana. Mnie opracowanie tej seria zajęło aż 5 odcinków, ale myślę, że istotnie zgłębiłem pojęcie wysokości i jestem znacznie lepiej przygotowany na niespodziewane pytania.

https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2019/01/wysokosc-w-figurach-rewelacyjnie.html (cz.1)

PODSUMOWANIE: Na tym zakończymy ten artykuł (seria będzie kontynuowana), który powinien uzmysłowić nam to, że błędy mogą być nie tylko postrzegane w kategoriach zagrożenia, ale mogą być istotnym impulsem do tego, aby zobaczyć to czego nie umiemy, nie rozumiemy czy też to z czym się zmagamy. Mam nadzieję, że wyraźnie pokazałem, iż w przypadku ucznia, błędy dają nam informację o tym czego nam jeszcze brakuje do zrealizowania celu. Natomiast w przypadku nauczyciela z pewnością dają one okazję do tego, aby dane zagadnienia zgłębić do tego stopnia, który jest nam potrzebny. Dzięki temu jest szansa, że w przyszłości nie będziemy musieli ich powielać.

Pamiętam jak jeden z mądrych ludzi powiedział, że największą sztuką jest nigdy nie popełniać tego samego błędu (po raz drugi). Nikt natomiast nie mówił o tym, aby w ogóle błędów nie popełniać, lecz istotą jest wyciąganie z nich wniosków. Błądzenie jest rzeczą ludzką, ale dobrowolne trwanie w błędzie jest rzeczą diabelską (Aureliusz Augustyn, znany jako święty Augustyn). No, a gdyby tak dojść do perfekcji i nigdy nie popełniać żadnych błędów? Obawiam się, że to trochę ryzykowne podejście, ale spróbujmy...

Nie myli się jedynie ten... kto nie robi nic!

A teraz... kto z was naprawdę nie chce nigdy więcej popełniać jakichkolwiek błędów???