niedziela, 20 lipca 2025

Matematyka rozrywkowa od A do Z - przewodnik po świecie łamigłówek, ciekawostek, gier i logicznych zagadek (2)



Często zastanawiamy się nad tym do czego przydają nam się figury płaskie. Z jednej strony wszyscy wiemy, że bez problemu znajdziemy dziesiątki czy nawet setki kształtów figur geometrycznych, które sobą obok nas w świecie rzeczywistym. Z drugiej strony uczymy się o figurach płaskich tych zagadnień, które wiążą się z ich bokami, wysokością, obwodem, polem a nawet właściwościami przekątnych.

To oczywiście ważne, aby później rozumieć jak można to wykorzystać. Przykładowo ile płytek trzeba kupić do łazienki na podłogę albo ile paneli jest niezbędne, aby położyć podłogę w największym pokoju (czy też wszystkich pokojach) w całym domu. Potem także uczymy się na temat tego ile trzeba kupić farby, aby pomalować pokój czy też wszystkie pokoje. Zastanawiam się jednak nad tym czy jednak nie warto byłoby więcej czasu poświęcić na tym, aby manipulować tymi figurami płaskimi, aby przekonać się w jaki sposób ze sobą się łączą oraz co dzięki takim niezwykłym przekształceniom można tworzyć.

Spróbujmy zatem uzupełnić tę lukę, bo mam wrażenie, że dzięki temu matematyka będzie mogła być postrzegana i doświadczana znacznie głębiej.

Od razu dodam, że już jest kilka gotowych artykułów, które stworzyłem, a można z nich skorzystać, bo są w nich pomysły, które nie tylko warto sprawdzić, ale także wykorzystać na zajęciach. Podzielę się nimi od razu, aby ci, którzy mają ochotę się z nimi zapoznać, mieli taką możliwość (te z gwiazdką mogą nie zawierać konkretnych pytań, lecz samą teorię).

1) Z jakim obiektem przystajesz takim się trójkątem stajesz

*2) Figury podobne są jak trójkąty ozdobne – kształt ten sam, ale inna skala… i to właśnie nas na kolana powala

*3) Figury podobne i skala – czyli o tym jak zabawa figurami radość i potencjał wyzwala

4) Proste i ich magiczne właściwości - odkrywamy i tworzymy ciekawe zależności (4)

5) Czy ten prostokąt jest trójkątem a tamten kwadrat na pewno jest kołem - czyli ustalenie oraz zaakceptowanie jednoznacznych definicji

6) Jak powstaje koło z kwadratu - czyli jak wygląda wnioskowanie na prostych koncepcjach

7) Jak z prostokąta powstaje trójkąt i dlaczego te eksperymenty są takie istotne

8) Klonowanie i układanie kwadratów, prostokątów i trójkątów - czyli budowanie zrozumienia właściwości podstawowych czworokątów

9) Klonowanie i układanie kwadratów, prostokątów i trójkątów dla zaawansowanych - czyli jak przemycić pociągi Sierpińskiego i trójkąty Pitagorasa


Warto pamiętać, że to jest moja propozycja z której można skorzystać, gdy ktoś potrzebuje ciekawych pomysłów. Niektóre z nich będą bardziej lub mniej przydatne, więc jeśli konkretny artykuł nie przypadł ci do gustu, to po prostu sprawdź następne. Wierzę, że spośród tych powyżej wymienionych znajdzie się co najmniej 1-2 pomysły, które mogą dać gotowy materiał do skorzystania na zajęciach lub też inspirację do własnych wytworów.

Zakładam, że wśród osób mnie czytających są zapewne takie, które w młodości bawiły się płaskimi figurami, którymi manipulowały albo na stole albo na podłodze - w takim celu, aby sprawdzić co się stanie, gdy się je ze sobą odpowiednio połączy. Tak, tak! To są tak zwanych "fajne wzorki", które są określane w taki sposób jak: parkietaże, mozaiki czy też po prostu układanie płytek, zaś matematycy fachowo nazywają to zagadnienie jako TESELACJA.

W ostatnim z polecanych artykułów wygenerowałem najwięcej pytań, które teraz pozwolę sobie przypomnieć. Przy okazji przedostatni artykuł również pokazuje jak bawić się figurami, a jednocześnie odkrywać ich własności.

CZĘŚĆ 1: Łączenie kwadratów ze sobą.

1) Ile klocków (kwadratów) potrzeba do tego, aby ułożyć figurę, która będzie miała 3, 5, 7, 10, 20, 30 warstw?

2) W jaki sposób obliczyć ile jest warstw tej figury jeśli znamy liczbę klocków?

3) Ile klocków potrzeba, aby z 5-warstwowca ułożyć 10-warstwowiec?

4) Co ci przypomina i z czym ci się kojarzy powstawanie kolejnych figur?

5) Jeśli bok każdego klocka (kwadratu) wynosi jeden, to jaki będzie obwód każdej z figur, która ma odpowiednio 3, 5, 7, 10, 20, 30 warstw?

6) Co się stanie z figurą jeśli jej prawą część odetniemy i przeniesiemy na lewą, aby powstała nowa figura? Jaka to będzie figura?

7) Czy pole nowej figury będzie inne niż podstawowej figury?

8) W jaki sposób najłatwiej obliczyć pole nowej figury w zależności od liczby warstw?


CZĘŚĆ 2: Łączenie trójkątów równobocznych ze sobą

1) ile różnych figur może powstać gdy połączymy ze sobą trzy trójkąty?

2) ułóż z trzech i pięciu trójkątów - trapez, a z sześciu - sześciokąt foremny

3) ułóż z czterech, dziewięciu i szesnastu trójkątów - trójkąt

4) jakie dostrzegasz zależności pomiędzy kolejnymi liczbami trójkątów: jak się mają do liczby kwadratów z których budujemy większe kwadraty?

5) wykorzystanie pytań, które zadawaliśmy w przypadku kwadratów (to samo co w części pierwszej) oraz wyjaśnienie czym jest analogia

*6) wprowadzenie w zagadnienie: trójkąt i dywan Sierpińskiego

7) Narysowanie dużego trójkąta, przekształcenie w trójkąt Sierpińskiego i następnie wycinanie niepotrzebnych części (trójkątów)


CZĘŚĆ 3: Budowanie (układanie) na trójkącie prostokątnym (połowa prostokąta): kwadratu, półkwadratusa i trójkąta równobocznego

1) na bokach trójkąta prostokątnego (połowa prostokąta) budujemy kwadraty

2) na bokach trójkąta prostokątnego (połowa prostokąta) budujemy półkwadratusy

3) na bokach trójkąta prostokątnego (połowa prostokąta) budujemy trójkąty równoboczne

4) pole której figury (zbudowanej na każdym z boków) jest największe i dlaczego?

5) jak się ma suma pól obu figur (zbudowanej na każdej z przyprostokątnych) w stosunku do pola największej figury?


No i teraz coś co jest wejściem na kolejne poziomy, które pokaże, że matematyka może być niezwykle wciągająca, jeśli tylko wybierzemy to, co będzie dla nas miało sens i wartość. Pamiętajmy o tym, że moje propozycje to jedynie uchylenie drzwi do niesamowitej krainy w której każdy znajdzie coś dla siebie.

Jedną z ciekawszych opcji jest wykorzystanie owych wielokątów do tego, aby móc nimi manipulować w określony sposób. Przykładem takiej gry logicznej, która opiera się na układaniu figur płaskich (wielokątów) w określone kształty jest TANGRAM.




W telegraficznym skrócie TANGRAM to:

Starożytna chińska sztuka układania konkretnych kształtów w określone kształty (obrazy). Warto pamiętać, że tangram to popularna aktywność matematyczna polegająca na rozwiązywaniu problemów, ponieważ trzeba wiele razy poszukiwać nieoczywistych rozwiązań i sprawdzać, które jest tym pasującym do naszego zadania.


Układanka tangram składa się z 7 geometrycznych elementów, znanych jako tany, które są zwykle umieszczone w pudełku w kształcie kwadratu. Są to: dwa małe, jeden średni i dwa duże trójkąty, jeden równoległobok i jeden kwadrat. Celem układanki jest utworzenie konkretnego kształtu (podanego jedynie w postaci konturu lub sylwetki) przy użyciu wszystkich siedmiu elementów, które nie mogą na siebie nachodzić.


No i teraz mamy dwie możliwości kształcenia naszej wyobraźni przestrzennej z użyciem tangramu - wersję na żywo (papierową, drewnianą czy też plastikową) bądź wersję online.

Najpierw wersja na żywo, bo nie wymaga ona żadnych urządzeń elektronicznych, ekranu czy też połączenia z internetem.

Na samym dole poniższej strony (link) mamy możliwość skorzystania z 5 dokumentów w których są podane wzory do układania. Jest ich razem około 140, a podzielone są na następujące kategorie: zwierzęta, obiekty wizualne, ludzie, cyfry oraz święta. Po kliknięciu w określoną miniaturę (obrazek), pojawia się nowe okno z dokumentem w formacie PDF.



I znowu: można wybrać sobie określone kształty, które chcemy układać, w zależności od tego ile mamy wolnego czasu i na co mamy ochotę.

Z kolei jedna z firm produkujących gry i zabawy publikuje wzory do układania, które nie tylko są podpisane po polsku oraz ponumerowane, ale dodatkowo przy większym powiększeniu widać linie, które podpowiadają, które z elementów (tanów) mają się znaleźć w określonych miejscach. Tych obrazków do układania jest aż 61, więc na pewno można mieć zabawę i rozrywkę na co najmniej kilka godzin, a w praktyce na kilkanaście tygodni.




No i jeszcze dochodzi wersja online. Tutaj wpisanie frazy "tangram online" spowoduje, że otrzymamy kilkanaście czy nawet kilkadziesiąt opcji związanych z tą układanką, więc ponownie każdy może sprawdzić, która wersja najlepiej mu będzie pasować. Ja proponuję zapoznać się z poniższą, którą w skrócie opiszę.



Ta wersja tangramu online jest o tyle ciekawa, bo spełnia kilka niezbędnych warunków, które dla mnie są istotne (zwłaszcza, gdy rodzice proszą mnie o to, aby ich dzieci mogły rozwijać wyobraźnię i jednocześnie uczyć się przekształcania elementów w konkretne obrazy czy też realizowania celu).


1) Jest to wersja w pełni bezpłatna (darmowa), co raczej nie jest jakoś specjalnie dziwne, ale jednak warto od tego zacząć.

2) Jest opcja pełnego wyboru ekranu, więc dzięki temu można się wyłącznie skupić na zadaniu (a nie na innych rozpraszaczach).

3) Jest opcja całkowitego wyłączenia dźwięku, który się pojawia w momencie gdy układamy dane elementy oraz ukończymy dany poziom.

4) Jest aż 60 poziomów trudności, więc tutaj na pewno zabawa na co najmniej kilka tygodni.

5) Nie możemy wybrać (układać elementów) wyższego poziomu, zanim nie ukończymy niższego, a więc mamy element rywalizacji ze sobą samym - czyli pokonywania trudności i docierania do celu.

6) Możemy układać dany poziom nieskończenie wiele razy, czyli praktycznie dochodzi jeszcze to, że można bawić się w to ile czasu zajmie nam przejście (ułożenie) powiedzmy 10, 20 czy 30 poziomów (gdy już mamy dane poziomy osiągnięte).

7) Prosta i elegancka kolorystyka wraz z trybem nocnym (ciemnoszarym), która również nie rozprasza i nie męczy zbytnio oczu.

8) Proste menu pod układanym obrazem, które można łatwo schować i wyjąć a przy okazji banalnie prosta nawigacja.

9) Magnetyczne przyciąganie elementów, więc nie trzeba się martwić, że nie trafimy w dane miejsce układanki danym kształtem.

10) Na samym dole pokazany elegancki pomarańczowy pasek postępu wraz z wyświetloną liczbą określonego poziomu spośród wszystkich dostępnych. A do tego pusta gwiazdka to poziom, który mamy odblokowany, zaś pełna to ten, który przeszliśmy. Poziomy niedostępne (nieodblokowane) oznaczone symbolem kłódki.



Biorąc pod uwagę wszystkie powyższe punkty można uznać, że jest to naprawdę znakomita propozycja, aby ćwiczyć umysł w rozpoznawaniu kształtów oraz odpowiedniego ich układania (manipulacji). Ostrzegam zapaleńców, że od poziomu powiedzmy 25, zaczynają się naprawdę wymagające wzory do ułożenia z różnych elementów, więc nie da się przejść wszystkich 60 na weekendzie. Gdyby ktoś tego dokonał (nie rozwiązując wszystkich poprzednio), to mówiąc z lekkim przymrużeniem oka - można od razu mieć część gotowej diagnozy (czy też testu) psychologicznej, która opiera się o sprawdzenie wyobraźni przestrzennej jak i manipulacji obiektami.


Myślę, że na ten moment wystarczy. W kolejnym odcinku postaram się ten temat jeszcze poszerzyć rozwinąć. Dlaczego? Ponieważ geometria jak też bardzo proste zasoby (tak naprawdę to można nawet na zwykłym papierze narysować, pomalować i wyciąć samodzielnie tangram) pozwalają na to, aby móc odkrywać matematyczne piękno, jednocześnie kontynuując niejako zabawę od przedszkola, w którym dzieci bawią się różnymi obiektami, którymi bardzo intensywnie manipulują.

W przypadku dzieci warto pamiętać o tym, że miewają one różne okresy aktywności oraz okresy rozwojowe. Jedne od razu w pełni zanurzą się w tej grze logiczno-przestrzennej, zaś inne bardziej będą wolały inne aktywności, które je zaciekawią. Mając powiedzmy ponad 60 pomysłów na matematykę, jest bardzo duża szansa, że przynajmniej 16 z nich (czyli co czwarty z całej puli) będzie dla dzieci nie tylko ciekawy, ale także praktyczny. Chodzi bowiem o to, aby zarówno dzieci, młodzież oraz dorośli mogli wspólnie wybierać dla każdego coś fajnego. Jeśli jeszcze udałoby się wspólnie bawić z dziećmi, pokazując im jak my dorośli to robimy oraz przekonując je, że dla nas pewne aktywności również mogą być trudne na początku (albo ogólnie), to już w ogóle mamy cud, miód i orzeszki.

Moim celem jest pokazanie tego co albo jest niewidoczne albo niedostrzegane albo też niewykorzystywane czy też niedoceniane. Matematyka bowiem oraz myślenie logiczne i krytyczne często są ukryte, więc tak naprawdę możemy nie być świadomi tego ile możliwości tkwi obecnie w tym, aby móc nie tylko zachwycać się matematyką z innej wymiaru, ale dodatkowo także pomagać w rozwijaniu potencjału na bazie gier, zabaw, łamigłówek oraz tego typu aktywności, w połączeniu z myśleniem, tworzeniem, odkrywaniem, testowaniem, wyciąganiem wniosków jak też przeżywaniem radości.

Jeśli bowiem damy dziecku możliwość wyboru tego co mu się spodoba a przy okazji będziemy go wspierać w dążeniu do osiągania sukcesu, to nagle okaże się, że matematyka wcale nie musi być taka straszna, a przy okazji nauka będzie kojarzyła się z radością, zabawą i świadomym wysiłkiem, a nie jedynie z rachowaniem i tysiącem rozwiązywanych zadań, które niemal w żaden istotny sposób nie przyczyniają się do rozwijaniu potencjału dziecka (ucznia).

Udowodnię na przykładzie serii matematyki rozrywkowej, że można zarówno polubić matematykę jak też móc się dzięki niej rozwijać, bez konieczności cierpienia związanego z matematyką szkolną, która niestety obecnie została za bardzo sprowadzona do rachunkowości oraz testów i wiecznych, niekończących się przygotowań do zdawania egzaminów.
o Brak komentarzy:

poniedziałek, 7 lipca 2025

Matematyka rozrywkowa od A do Z - przewodnik po świecie łamigłówek, ciekawostek, gier i logicznych zagadek (1)




Zaczynamy serię związaną z matematyką rozrywkową. Czym jest owa matematyka czy też jej rodzaj? Otóż jest to matematyka, której celem jest zaciekawić oraz sprawić, że damy się wciągnąć czy też zaprosić do świata w którym celem nie jest wynik, lecz zaciekawienie, stawianie pytań, tworzenie strategii związanych z odpowiedziami a jednocześnie dobra zabawa połączona ze świadomym wysiłkiem.

Zapytałem mojego asystenta (dodam, że nawet pomógł zrobić również dość przyzwoite grafiki) Claude AI, aby mi powiedział czym jest ów rodzaj matematyki i dostałem taką oto odpowiedź: [prompt: "Napisz w kilku zdaniach czym jest matematyka rozrywkowa - dla dziecka w wieku 12 lat"]

Matematyka rozrywkowa to sposób na odkrywanie matematyki przez zabawę! Zamiast nudnych zadań z podręcznika, możesz rozwiązywać zagadki, łamigłówki i gry, które wymagają logicznego myślenia. Na przykład, możesz składać kostki Rubika, rozwiązywać sudoku, bawić się magicznymi kwadratami lub zgadywać matematyczne sztuczki. To jak bycie detektywem - szukasz wzorów, rozwiązujesz tajemnice i odkrywasz, że matematyka może być naprawdę ekscytująca! Dzięki temu uczysz się myśleć kreatywnie i rozwiązywać problemy, nawet nie zdając sobie sprawy, że właśnie ćwiczysz matematykę.

I to jest właśnie celem tej serii. Będę starał się przedstawiać różne zagadnienia w możliwie najciekawszej, najprostszej oraz najbardziej przystępnej formie. Inaczej mówiąc, to będzie zaproszenie do poznawania i zachwycania się światem matematyki, który zawiera nie tylko złożone oraz wymagające dużego wysiłku koncepcje, ale również nietypowe i przyciągające ciekawostki, łamigłówki, zagadki logiczne czy też wyzwania związane z tym, aby patrzeć na świat z wielu perspektyw. Przy okazji oferuje ona przyglądanie się oraz rozumienie paradoksów czy różnych trików matematycznych.


Celem tej serii będzie zatem nie tyle rozwiązywanie zadań, które pojawiają się w szkole na zajęciach matematycznych, ile pokazywanie tego, że matematyka jest znacznie bliżej niż zdajemy sobie z tego sprawę. To bardziej zachęcenie do tego, aby nieco ruszyć głową oraz stawiać ciekawe pytania, tworzyć różne odpowiedzi oraz sprawdzać, które z nich oferują możliwość otwierania drzwi do kolejnych labiryntów. Warto pamiętać, że w tej serii będę bardziej inspirował do dalszych poszukiwań oraz do wspomagania się innymi źródłami czy także korzystania z pomocy specjalistów (pasjonatów) aniżeli dawał gotowe rozwiązania. Można powiedzieć, że będzie to seria nawiązująca do pytania sformułowanego następująco: "czy potrafisz się dziwić?"

Oprócz powyższych ciekawostek, łamigłówek, zagadek i gier logicznych będę także zachęcał do sprawdzenia różnych zasobów: książek, czasopism, gier, zabaw czy też konkretnych stron (witryn) internetowych. Dlaczego? Ponieważ obecnie mamy naprawdę bardzo dużo zasobów, które mogą pomagać w rozwijaniu myślenia oraz połączeniu nauki z zabawą, a bardzo często nie tylko z nich nie korzystamy, ale tym bardziej nie mamy pojęcia, że coś takiego w ogóle istnieje!

No i jeszcze co nieco na temat tego kto jest odbiorcą i jaki będzie poziom trudności.

Odbiorcami tym razem są wszyscy, którzy chcą się przekonać, że jednak matematyka to znacznie więcej niż tysiące rozwiązywanych zadań, nudne i trudne rachunki oraz niezrozumiałe wzory, twierdzenia czy definicje. Szczególnie zależy mi na tym, aby zachęcić dzieci i młodzież oraz ich rodziców (a nawet ciotki, wujków czy też dziadków oraz babcie) do tego, aby mogły wspólnie rozwijać myślenie, łącząc naukę z zabawą.

Jeśli chodzi o poziom trudności to tutaj raczej będzie to kwestia indywidualna. Podkreślę, że moim zadaniem będzie przekazanie pewnych treści w taki sposób, aby były jak najłatwiejsze do zrozumienia, bez względu na to czy koncepcja lub zagadka albo gra jest nowa czy stara. Mówiąc prościej: dla jednych dana koncepcja czy też aktywność będzie łatwa, a dla innych będzie wymagała więcej wysiłku. Tak samo jeśli chodzi o gry i łamigłówki: jednym będą się podobać te wymienione na początku, inni zaś odnajdą się w tych omawianych później, a jeszcze inni - tych na samym końcu. I to jest w pełni w porządku! Nieco metaforycznie można powiedzieć, że ja będę tworzył i zachęcał do tego, aby korzystać ze szwedzkiego stołu - każdy niechaj wybiera to co na ma ochotę i to co chce spróbować.


Koniec wprowadzenia, więc zaczynamy!

Pamiętacie o tym, że liczba Pi jest jedną z najbardziej popularnych jeśli chodzi o całą matematykę (zwłaszcza szkolną)?

Postawmy zatem kilka pytań i wspólnie poszukajmy odpowiedzi. Oto nasze pytania:

1) Dlaczego liczba Pi jest stała dla dowolnego okręgu lub koła?

2) Co by się stało, gdybyśmy rozcięli okrąg i tę krzywą linię wyprostowali oraz porównali ze średnicą?

3) Dlaczego liczba Pi nie ma wartości dokładnie 3,00? Jak to najłatwiej sprawdzić?

4) Co znaczy wyrażenie "pi razy drzwi"?

5) Dlaczego liczba Pi jest stała, skoro ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne?

6) Co się dzieje z polem pomiędzy większym wielokątem foremnym (opisanym na okręgu) oraz okręgiem?

7) Co się dzieje z polem pomiędzy mniejszym wielokątem foremnym (wpisanym w okrąg) oraz okręgiem?

8) Co to znaczy, że w dużym uproszczeniu "koło to taki nieskończony wielokąt foremny"?


To są pytania, które powinny pokazać nam, że zarówno poszukiwanie odpowiedzi jak i zrozumienie tego co nas ciekawi, może być nie tylko ciekawym wyzwaniem, ale jednocześnie źródłem satysfakcji oraz radości z odkrywania.

Zatem spróbujmy udzielić odpowiedzi na powyższe pytania. Uprzedzam, że każde pytanie może być znacznie bardziej rozbudowane, zaś odpowiedź pogłębiona na tyle na ile potrzebujemy zaspokoić naszą ciekawość.


Odpowiedź 1:

Liczba Pi jest stała dla dowolnego okręgu lub koła, ponieważ wyraża proporcję pomiędzy obwodem a średnicą. Inaczej mówiąc, jak rozetniemy obwód i porównamy jego długość ze średnicą, to zawsze będzie on "nieco więcej niż trzykrotnie" dłuższy aniżeli średnica. No i to "nieco więcej" to właśnie liczba Pi. Dodatkowo jest ona stała, ponieważ wraz ze wzrostem średnicy wzrasta również (proporcjonalnie) obwód. Inaczej mówiąc, im bardziej powiększamy okrąg (lub koło), tym bardziej powiększa się średnica. I analogicznie: im bardziej zmniejszamy okrąg (lub koło), tym bardziej zmniejsza się średnica! Obie z nich są ze sobą powiązane niewidzialną proporcją (skalą)!


Odpowiedź 2 i 3:

Gdybyśmy rozcięli okrąg i tę krzywą linię wyprostowali oraz porównali ze średnicą, to okazałoby się, że na wyprostowanym obwodzie (odcinku) możemy przyłożyć nieco więcej niż trzy odcinki o długości średnicy okręgu. Warto taki eksperyment przeprowadzić samemu, aby się o tym przekonać. Bez względu na to jak duże koło sprawdzimy, to gdy rozetniemy je tak, aby obwód mógł być odcinkiem, to za każdym razem przykładając trzy odcinki średnicy (jeden za drugim), to zawsze pozostanie kawałek obwodu, którego nie pokryły trzy odcinki średnicy. To jest najłatwiejszy sposób, aby sprawdzić, że wartość Pi to nie jest dokładnie 3,00.


Odpowiedź 4:

Wyrażenie "Pi razy drzwi" oznacza określenie przedstawienia czegoś w przybliżeniu. Przy okazji warto również wspomnieć, że istnieją również książki mającej Pi tytule. Oto recenzję dwóch z nich której zrobiłem jakiś czas temu. Dla tych, którzy chcą się zapoznać z nimi, zostawiam tutaj linki. Przy czym ta pierwsza jest zalecana dla nieco młodszych dzieci, zaś druga dla nieco starszych:

BIBLIOTEKA NAUCZYCIELA MATEMATYKI: Proste jak pi - czyli matematyka to bułka z masłem

BIBLIOTEKA NAUCZYCIELA MATEMATYKI: Pi razy oko – czyli komedia matematycznych pomyłek


Odpowiedź 5:

Liczba Pi jest stała pomimo, że ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne, ponieważ jest ona stosunkiem (ilorazem) obwodu do średnicy. Z kolei ów stosunek (proporcja) jest stały, ponieważ wraz ze wzrostem obwodu rośnie (tak samo szybko) średnica. Natomiast nieskończone rozwinięcie dziesiętne bierze się stąd, że wyciągamy średnią z obwodu wielokąta foremnego opisanego na okręgu i wpisanego w okrąg, więc jeśli owa średnia (suma obwodu większego i mniejszego wielokąta foremnego - oba związane z tym samym okręgiem) nie jest liczbą wymierną, wówczas podzielenie jej przez 2 (czyli wyciągnięcie średniej), spowoduje że jej wynik rozwinięcia dziesiętnego nigdy się nie (s)kończy.


Odpowiedź 6 i 7:




Pole pomiędzy większym i mniejszym wielokątem foremnym (opisanym na okręgu oraz wpisanym w okrąg) oraz okręgiem zmniejsza się coraz bardziej, gdy zwiększamy liczbę boków wielokąta foremnego. W przypadku tego wielokąta foremnego opisanego na okręgu, coraz bardziej dociska i "przytula się" swoimi bokami do okręgu. Natomiast odnośnie wielokąta foremnego wpisanego w okrąg, wraz ze wzrostem liczby boków coraz bardziej "rozpycha się", wciskając swoje boki w okrąg. Tak czy inaczej oba z nich coraz bardziej przypominają okrąg, zwłaszcza gdy wartość boków wynosi co najmniej 64 (wtedy wielokąt foremny niemal wtapia się w okrąg).


Odpowiedź 8:

Gdy wyjaśniałem okrąg czy też koło, to używałem czasami zwrotu: "koło to taki nieskończony wielokąt foremny". Teraz wyjaśnię go nieco bardziej. Mam nadzieję, że jeszcze lepiej zrozumiemy tajemnice okręgu i koła.


Przeprowadźmy zatem pewien eksperyment.

Sprawdźmy obwód (tzn. ich różnicę w stosunku do okręgu oraz średnią) dla wielokątów foremnych wpisanych i opisanych na okręgu o promieniu równym 5. Myślę, że najlepiej będzie to widoczne a zarazem przekonujące dla poniższych kilku przykładów wielokątów foremnych:

1) trójkąt (równoboczny)
2) czworokąt (kwadrat)
3) sześciokąt (foremny)
4) 8-kąt
5) 12-kąt
6) 16-kąt
7) 32-kąt
8) 64-kąt
9) 96-kąt

Zobaczmy na przykładzie wybranych wielokątów foremnych wpisanych i opisanych na okręgu co się dzieje, gdy zwiększamy liczbę ich boków. Obrazki powinny wszystko w miarę prosto przedstawiać.

Każda poniższa grafika pokazuje:

- Okrąg podstawowy (czerwony) - o promieniu 5
- Wielokąt wpisany (turkusowy) - wszystkie wierzchołki na okręgu
- Wielokąt opisany (niebieski) - wszystkie boki styczne do okręgu

- Przykłady różnych wielokątów (od trójkąta do 96-kąta)
- Obliczenie obwodów wielokątów wpisanych i opisanych na okręgu
- Porównanie z obwodem okręgu (2πr ≈ 31.42)












Wnioski z tego prostego eksperymentu są następujące:

- Im więcej boków, tym wielokąty foremne coraz bardziej przypominają okrąg
- Wielokąt foremny wpisany ma zawsze mniejszy obwód od okręgu
- Wielokąt foremny opisany ma zawsze większy obwód od okręgu
- Przy dużej liczbie boków (od 64 w górę) obwody praktycznie się równają obwodowi okręgu


Ta prosta wizualizacja idealnie pokazuje, jak wielokąty foremne zbliżają się do okręgu, co jest podstawą historycznej metody obliczania liczby π przez Archimedesa! Warto dodać, że liczba Pi leży pomiędzy obwodem wielokąta foremnego opisanego a obwodem wielokąta foremnego wpisanego w okrąg. Inaczej mówiąc, jeśli wyciągniemy średnią z tych dwóch wartości, wówczas otrzymamy jak najlepsze (najdokładniejsze) przybliżenie naszej liczby Pi.

Na tym kończymy krótki opis serii a zarazem pierwszy z wielu artykułów związany z odkrywaniem różnych matematycznych koncepcji oraz sprawdzaniem tego co nas ciekawi. Mam nadzieję, że ta seria będzie nie tylko dobrą inspiracją do tego, aby stawiać kolejne pytania, ale również poszukiwać odpowiedzi. Zależy mi na tym, aby pokazać matematykę jakiej jeszcze nie znacie. A ona niestety bywa nieco ukryta, więc postaram się ją nieco bardziej odkryć, czy też jak kto woli - znacznie przybliżyć. Liczę na to, że wspólnie będziemy mogli eksplorować ten matematyczny świat, który jest pełen niezwykłych tajemnic, zagadek, łamigłówek oraz ciekawostek. Sprawmy, aby matematyczne wyprawy mogły pomagać w przyjaznym rozwijaniu myślenia, bo ponoć myślenie ma przyszłość, prawda?

o Brak komentarzy:

poniedziałek, 28 kwietnia 2025

Matematyka jest fajna - magia okręgu i koła - czyli kto wszystkie tajemnice odkryć i zbadać zdoła (5)


Ostatnio analizowaliśmy sytuacje w których na obwodzie okręgu rysowaliśmy wybrane punkty, które ze sobą połączone dawały różne czworokąty. Wspomniałem, że pomiędzy dwoma najbliższymi punktami mamy dany łuk okręgu, który ma pewną długość. Mówiliśmy również o tym, żeby uczyć się dostrzegać pewne zależności związane z odległością wierzchołków od siebie oraz związkiem między cięciwą oraz łukiem okręgu.


Przypomnijmy, że długość łuku w danym okręgu jest taka sama, gdy odpowiednie cięciwy są sobie równe. Przy czym im dłuższa cięciwa, tym dłuższy łuk oraz im krótsza cięciwa, tym krótszy łuk. No i mam nadzieję, że pamiętamy także, że najdłuższą cięciwą jest oczywiście średnica okręgu.


Teraz przyjrzymy się temu jak można zmierzyć długość łuku oraz wycinek koła oparty o dany łuk. Z uwagi na to, że to zagadnienie jest stosunkowo proste, więc omówimy do tego także pojęcia kąta środkowego jak i wpisanego. Zaczynajmy!


Przy okazji dla chętnych proponuję zerknąć na wybrane zagadnienia, które napisałem w artykule opublikowanym w roku 2019 (jak ten czas leci!). Szczególnie polecam ostatni fragment na drugiej stronie, który w skrócie pokazuje to w jaki sposób powstaje pole i obwód koła. Jest to oczywiście forma maksymalnie uproszczona i skrócona, ale wierzę, że na nasze potrzeby w zupełności wystarczająca.




Zakładam, że wiemy już w jaki sposób obliczamy zarówno pole koła oraz długość obwodu koła (czy też w skrócie: długość okręgu).



1) Wycinek koła

Wycinek koła to pewna część całego koła, czyli inaczej mówiąc, jej ułamek. Wycinek koła to proporcja (iloraz) danego kąta środkowego do kąta pełnego pomnożona przez pole koła. Przykładowo, gdy nasz kąt środkowy wynosi 90 stopni, wtedy wycinek koła będzie wynosić 90/360 * pole koła. Jeśli z kolei skrócimy nasz ułamek do nieskracalnej postaci, wówczas otrzymamy 90/360 = 1/4. I teraz już wiemy, że taki wycinek koła to 1/4 pola (pełnego) koła.



Z tego wynika, że aby obliczyć dowolny wycinek koła musimy znać wartość kąta środkowego lub jeszcze lepiej - wiedzieć jakim jest ułamkiem kąta pełnego. Następnie wystarczy tę wartość ułamka pomnożyć przez wartość pełnego koła i mamy oczekiwany wynik.


2) Długość łuku

Długość łuku to pewna część całego okręgu (lub koła) czyli tak jak poprzednio - pewien jej ułamek. Długość łuku to proporcja (iloraz) danego kąta środkowego do kąta pełnego pomnożona przez obwód okręgu. Przykładowo, gdy nasz kąt środkowy wynosi 90 stopni, wtedy długość łuku będzie wynosić 90/360 * obwód okręgu. Jeśli z kolei znowu skrócimy nasz ułamek do nieskracalnej postaci, wówczas otrzymamy 90/360 = 1/4. I teraz już wiemy, że taka długość łuku to po prostu 1/4 (pełnego) obwodu okręgu (koła).



Analogicznie jak powyżej: aby obliczyć dowolną długość łuku musimy znać wartość kąta środkowego lub jeszcze lepiej - wiedzieć jakim jest ułamkiem kąta pełnego. Następnie wystarczy tę wartość ułamka pomnożyć przez wartość pełnego obwodu okręgu (koła) i po raz kolejny mamy potrzebny wynik.


Mam nadzieję, że już rozumiemy dlaczego zagadnienia wycinka koła i długości łuku tak szybko omówiliśmy. Są one tak proste, że na ten moment w zupełności wystarczy nam intuicyjne spostrzeżenie oraz dwa niezbędne wzory. To jest mniej więcej tak jakbyśmy podzielili dowolny wielokąt foremny na równe części i mieli obliczyć pole jednej z jego części (wycinek wielokąta) albo długość jednego z jego boków (długość odcinka). Tak, to jest naprawdę aż tak proste.


Spróbujmy jeszcze przyjrzeć się ciekawym zależnościom pomiędzy kątami w okręgu (lub kole): kątowi środkowemu oraz wpisanemu. Zapewniam, że są to równie łatwe elementy geometrii, które spokojnie można zrealizować w ramach nauki w szkole podstawowej. Wystarczy odrobina ciekawości, wolnego czasu jak i wysiłku.


3) Kąt środkowy

Kąt środkowy - to kąt, który ma wierzchołek w środku okręgu, a ramionami są promienie okręgu.



Kąt środkowy może mieć wartość z przedziału od 0 do 360 stopni (wtedy jest kątem pełnym) oprócz wartości skrajnych - czyli przedział (0, 360). Warto wyraźnie zaznaczyć kąt środkowy, aby było dla każdego w pełni jasne o jaki kąt chodzi (ostry, rozwarty czy może wklęsły) oraz zaznaczyć (pogrubić) kolorem łuk, którym się zajmujemy.


4) Kąt wpisany

Kąt wpisany - to kąt, który ma wierzchołek na okręgu, a ramionami są cięciwy okręgu.



Kąt wpisany może mieć wartość z przedziału od 0 do 180 stopni (wtedy jest kątem półpełnym) oprócz wartości skrajnych - czyli przedział (0, 180).

Warto wyraźnie zaznaczyć kąt wpisany, aby było dla każdego w pełni jasne o jaki kąt chodzi (ostry, prosty czy może rozwarty) oraz zaznaczyć (pogrubić) kolorem kąt, którym się zajmujemy.


I teraz najważniejsza zasada dotycząca kąta środkowego i wpisanego opartego na tym samym łuku. Warto to zapamiętać, a potem poćwiczyć na różnych przykładach, które opiszę poniżej. Zasada jest następująca:

Miara kąta środkowego jest dwukrotnie większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku (co kąt środkowy).




Inaczej mówiąc: jeśli mamy wspólny łuk dla kąta środkowego i wpisanego, to miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego, zaś miara kąta wpisanego jest analogicznie dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego.


Na koniec proponuję stopniowe odkrywanie i sprawdzanie tych zależności na praktycznych przykładach.


PRZYKŁADOWE AKTYWNOŚCI ZWIĄZANE Z KĄTAMI WPISANYMI i ŚRODKOWYMI W OKRĘGU

A) Kąt środkowy (cz.1) [ŁATWE]

1) rysujemy kąt środkowy o wartości mniejszej od 90 stopni (kąt ostry)
2) rysujemy kąt środkowy o wartości dokładnie 90 stopni (kąt prosty)
3) rysujemy kąt środkowy o wartości większej od 90 stopni, ale mniejszej od 180 stopni (kąt rozwarty)

I dopiero po narysowaniu powyższych kątów środkowych (każdy na innym okręgu), rysujemy odpowiedni do niego kąt wpisany, leżący na tym samym łuku. Kolejno kątomierzem mierzymy dokładną wartość kąta środkowego i wpisanego w danym okręgu i wpisujemy je pod nim. Oczywiście powinna między nimi być proporcja o wartości dwa (w zależności od tego czy mówimy o ilorazie czy iloczynie w stosunku do danej pary kątów opartych na tym samym łuku). Warto jest podkreślić, że w przypadku pomiaru owa proporcja może nie wynosić dokładnie dwa z uwagi powstałe błędy w procesie pomiaru lub rysunku. Niemniej chodzi o to, żeby proporcja tych kątów była jak najbardziej zbliżona do dwójki (warto stale przypominać dzieciom, że rysunki praktyczne są jak najlepszymi przybliżeniami oraz pewnymi uproszczeniami i mogą zawierać pewne błędy).


B) Kąt wpisany:

1) rysujemy kąt wpisany o wartości mniejszej od 90 stopni (kąt ostry)
2) rysujemy kąt wpisany o wartości dokładnie 90 stopni (kąt prosty)
3) rysujemy kąt wpisany o wartości większej od 90 stopni, ale mniejszej od 180 stopni (kąt rozwarty)

I analogicznie jak powyżej: po narysowaniu powyższych kątów wpisanych (każdy na innym okręgu), rysujemy odpowiedni do niego kąt środkowy, leżący na tym samym łuku. Dalej postępujemy tak samo jak powyżej.


C) Kąt środkowy (cz.2) [TRUDNE]

1) rysujemy kąt środkowy o wartości niewiele większej od 180 stopni, ale mniejszej od 360 stopni (kąt wklęsły), np. 210 stopni
2) rysujemy kąt środkowy o wartości większej od 180 stopni, ale mniejszej od 360 stopni (kąt wklęsły), np. 240 stopni
3) rysujemy kąt środkowy o wartości dużo większej od 180 stopni, ale mniejszej od 360 stopni (kąt wklęsły), np. 270 stopni


I znowu postępujemy analogicznie jak na samym początku tego ćwiczenia: po narysowaniu powyższych kątów środkowych wklęsłych (każdy na innym okręgu), rysujemy odpowiedni do niego kąt wpisany, leżący na tym samym łuku. Dalej postępujemy tak samo jak powyżej. Tym razem jednak zalecam ANALIZĘ i ODKRYWANIE tego w jaki sposób tworzony jest kąt wpisany, ponieważ jest to dość nieintuicyjne w stosunku do pierwszego ćwiczenia. Bardzo ważne jak też pomocne będzie zaznaczanie i wpisywanie wartości łuku danego kąta na rysunku oraz ich zakolorowanie. Na końcu oczywiście dobrze jest je zmierzyć i zobaczyć czy nadal proporcja o wartości dwa występuje oraz czy na ile duży jest błąd pomiaru.


Myślę, że przećwiczenie rysowania kątów wpisanych jak i środkowych opartych na tym samym łuku wraz z mierzeniem ich miary będzie dobrym pomysłem, aby później móc rozwiązywać zadania dotyczące tego tematu. Oczywiście jeśli ten temat zostanie dobrze zrozumiany i utrwalony, to można następnie przejść do tego, aby w okrąg wpisywać trójkąty oraz czworokąty i badać ich właściwości. W danym trójkącie jak i czworokącie można oczywiście dorysowywać kolejne odcinki będące promieniami łączącymi wierzchołki wielokątów ze środkiem okręgu. Na bazie dalszych ćwiczeń można robić naprawdę wiele ciekawych zadań i stawiać kolejne pytania: o miary poszczególnych kątów, długości boków, obwody danych figur czy nawet ich pola. Tutaj jest naprawdę dość duże pole do popisu zarówno dla ucznia jak i nauczyciela. Zalecam jednak wcześniejsze sprawdzenie zadań, aby nie okazały się po prostu zbyt trudne lub niemożliwe do rozwiązania dla dzieci na danym poziomie. Pamiętajmy również o tym, że nie zawsze musimy wszystko rozwiązywać (poprawnie), bo szalenie ważny jest proces odkrywania, analizowania oraz wyciągania wniosków, a nie typowe wyścigi o to kto szybciej rozwiąże więcej zadań. Tutaj główną myślą i przesłaniem jest mniej, ale porządnie niż więcej, ale byle jak.


PODSUMOWANIE: tym razem nauczyliśmy się o tym czym jest wycinek koła oraz obwód okręgu jak też w jaki sposób obliczać odpowiednio jego pole oraz długość łuku w danym okręgu (lub kole). Przy okazji w telegraficznym skrócie poznaliśmy także wzory na pole koła i obwód okręgu. Oprócz tego zrozumieliśmy jaka jest relacja pomiędzy kątem środkowym i wpisanym opartym na tym samym łuku. Reszta to oczywiście kwestia praktyki jak też obowiązkowo odkrywanie, testowanie, popełnianie błędów, pokonywanie trudności oraz analiza i za każdym razem wyciąganie wniosków.


Jestem pewien, że ta seria kilku artykułów poświęconych zagadnieniu okręgu i koła pozwoli znacznie lepiej zrozumieć najbardziej istotne relacje, które ich dotyczą. Jest to o tyle ważne, że łączą się one z wcześniej poznanymi elementami matematycznego świata: trójkątami, czworokątami oraz wielokątami foremnymi. Nie muszę chyba dodawać, że zrozumienie tych podstaw świata geometrii pozwala na to, aby później stawiać kolejne ciekawe pytania oraz rysować wyżej wymienione figury, które będą wpisane w okrąg lub opisane na okręgu. Ba! Mogą one odpowiednio stykać się z okręgiem czy też go przecinać! A jak ktoś zechce jeszcze głębiej zanurzyć się w ten mikroświat, to może bawić się większą liczbą (rysowanych) okręgów i wielokątów, przy czym można jeszcze zmieniać nie tylko ich liczbę, ale i rozmiar, położenie a nawet je obracać! I tak jak pisałem ostatnio: mam cichą nadzieję, że to wszystko sprawi, że kolejne matematyczne zagadnienia będą jeszcze lepiej zrozumiałe, jeszcze ciekawsze a jednocześnie dające poczucie radości związanej z odkrywaniem! Zachęcam wszystkich do rysowania, tworzenia oraz odkrywania tych niewidocznych relacji, bo za jakiś czas spróbujemy przyjrzeć im się z zupełnie innej perspektywy. Nie muszę chyba przekonywać, że w matematyce jest wiele niesamowicie ciekawych koncepcji, którymi warto się zajmować i odkrywać w nich to, co na pierwszy rzut oka niewidoczne.

o Brak komentarzy:

czwartek, 20 marca 2025

Matma jakiej nie znasz po 7 latach - blisko ćwierć miliona wyświetleń - mały jubileusz i krótkie podsumowanie




Z uwagi na to, że niebawem minie 7 lat od momentu opublikowania pierwszego postu na blogu, to chciałbym pokrótce wspomnieć o tym co się wydarzyło przez ten czas w telegraficznym skrócie. Postaram się zmieścić w możliwie najkrótszym oknie czasowym.


Przede wszystkim blog został założony w takim celu, aby wszystkie cenne informacje oraz pomysły, którymi dzieliłem się na grupach edukacyjnych (w tym także tych o charakterze typowo związanych z matematyką) po prostu nie zginęły w czeluściach Internetu. Obecnie mija około 10 lat od chwili, gdy zacząłem szukać rozwiązania problemu związanego z tym, że dzieci i młodzież nie lubiły matematyki. Dla mnie to było nie do pomyślenia, że młodzież wręcz przeklina zarówno matematykę jak i czasami także swoich nauczycieli, tylko dlatego, że owa matematyka niszczy ich marzenia o dalszym studiowaniu i rozwijaniu pasji, która nie musi przecież mieć dużo wspólnego z matematyką, prawda?


Najpierw zacząłem analizować kwestie związaną z tym, że uczniowie uczą się matematyki przez 13-14 lat (w zależności od modelu szkoły, obecnie nie mamy już gimnazjów), a nie są w stanie napisać matury z matematyki na poziomie 30% (taki jest próg zaliczenia). Było to dla mnie szokujące, bo oznaczało to, że albo zadania na maturze są kosmicznie trudne (a dodam, że cały czas mówię o maturze podstawowej) albo też uczniowie mają tak niski poziom kompetencji matematycznych, że po ponad dekadzie nauki dalej nie są w stanie ogarnąć solidnych podstaw matematycznych. Tak czy inaczej zaczęło mnie to poważnie martwić.


Po kilku latach analiz doszedłem do wniosku, że coś musi być niezrozumiałego w tym, że uczniowie uciekają od tej matematyki, a do tego pisanie dla nich matury z matematyki to jest jedno z najbardziej traumatycznych wydarzeń w ich życiu. Chwila, chwila! Czy ja powiedziałem stresujących czy traumatycznych? No właśnie. Nie przejęzyczyłem się.


Od roku 2014 do 2019 analizowałem treści w ramach podstawy programowej obowiązującej w szkole średniej (ponadpodstawowej), a do tego przeprowadziłem eksperyment związany z tym, że przyjrzę się uważnie podręcznikom oraz treściom jak też zadaniom, które miały w tak negatywny sposób oddziaływać na zdecydowanie zbyt dużą część młodzieży. Po tym czasie stwierdziłem, że o ile treści na tym etapie edukacyjnym są zdecydowanie zbyt abstrakcyjne dla młodzieży, to coś pewnie jeszcze za tym się kryć musi. Otóż, gdy coraz bardziej intensywnie czytałem komentarze i artykuły dotyczące nauczania matematyki w szkole średniej, to doszedłem do jakże odkrywczego wniosku, że skoro nauczyciele matematyki narzekają na zbyt niski poziom uczniów na początku kolejnego etapu nauki, to problem musi leżeć wcześniej!


Z uwagi na powyższe odkrycie, zdecydowałem, że nadszedł czas na to, aby sprawdzić czy matematyka uczona w ramach podstawy programowej w szkole podstawowej jest na tyle trudna, że dzieci i już praktycznie młodzież, nie są w stanie jej zrozumieć na wystarczającym poziomie, aby nauczyciele w szkole średniej nie rwali włosów z głowy? Tym razem okazało się, że analiza zagadnień oraz tego w jaki sposób są one prezentowane w podręcznikach, raczej nie będzie gwarancją tego, że dzieci wszystko zrozumieją na takim poziomie jaki jest niezbędny, aby w szkole średniej można było z nimi pracować na przyzwoitym poziomie.


Dlatego od mniej więcej roku 2019 analizowałem treści w ramach podstawy programowej obowiązującej w szkole podstawowej (nadal to robię) i wyraźnie widzę, że jest sporo tematów, które są zbyt trudne dla współczesnych dzieci. Po 6 latach stwierdzam, że nie tylko część zagadnień (np. dowodzenie i duża część zadań tekstowych) jest poza realnymi możliwościami dzieci kończących szkołę podstawową, ale także jako nauczyciele i edukatorzy zbyt często używamy metod i sposobów nauki, które dziś nie będą w stanie sprawić, że dzieci zrozumieją to, co niezbędne, aby ich poziom matematyczny był wystarczająco dobry.


No i w końcu wpadłem na pomysł, aby moje pomysły i tłumaczenia matematycznych zagadnień zebrać w jednym miejscu do którego każdy będzie miał dostęp, a pomysły jak też opis przebiegu zajęć mogły dać wszystkich nauczycielom i edukatorom, niezbędne narzędzie do tego, aby mogli tłumaczyć i wyjaśniać matematykę w taki sposób w jaki dzieci będą mogły ją zrozumieć. Nie muszę chyba dodawać, że matematyka, która jest przekazywana poprzez hermetyczny język, bez przejścia na poziom rozumowania dzieci, to tak naprawdę strata czasu. Często porównuję to do tego, gdybyśmy byli na wykładach po chińsku, kompletnie nie znając tego języka: skutek czy jak kto woli rezultat będzie taki sam.



Tak naprawdę to wcale nie byłem przekonany do tego, aby założyć bloga i pisywać na nim artykuły. Dlaczego? Po pierwsze dlatego, że po prostu nie wiedziałem jak się prowadzi bloga od strony technicznej. Po drugie: nie miałem pewności czy będę w stanie ułożyć na blogu wszystkie elementy matematyczne tak, aby były wystarczająco widoczne i jednocześnie zrozumiałe dla wszystkich. Po trzecie: nie za bardzo wierzyłem, że będę w stanie dotrzeć do kogokolwiek poza mną, moim kotem i babcią, czyli nie dowierzałem, że ktokolwiek będzie chciał czytać to co będę publikował. W jedno w co niezłomnie wierzyłem i nadal wierzę, to kwestia tego, że naprawdę wiem w jaki sposób wyjaśniać matematyczne zagadnienia w sposób ciekawy, inny, bardziej zrozumiały, przejrzysty, bardziej intuicyjny czy też po prostu ludzki. Byłem przekonany jednocześnie, że moje kalectwo jeśli chodzi o używanie technologii, sprawi że pomimo wartości merytorycznej wygląd będzie po prostu odstraszał każdego, kto nawet przypadkowo znajdzie się na moim blogu.


Tak czy inaczej, po wielu miesiącach wewnętrznej bitwy ze sobą i z myślami, postanowiłem że przynajmniej spróbuję. Jeśli spieprzę, to będę miał dowód na to, że wiem jak uczyć matematyki lepiej, ale nie potrafię przekazać w atrakcyjnej formie. Bałem się, że nie będę mógł odpowiednio wyrażać symboli i wzorów matematycznych, więc wszystko będzie wyglądać jak psu z gardła wyjęte. Potem w mojej pustej głowie pojawiła się jakże genialna myśl związana z tym, że przecież nie będę miał odpowiednich narzędzi do tego, aby powiedzmy narysować odpowiednie figury geometryczne oraz wszystkie relacje między nimi, za pomocą strzałek, odcinków czy też innych istotnych oznaczeń. I jak teraz na to patrzę z perspektywy tego, że moje obawy były tak oderwane od rzeczywistości, to zastanawiam się kto mi zhakował umysł. Niestety to byłem ja sam, za co teraz biję się w piersi i ostrzegam innych, którym podobne niestworzone pomysły biegają po głowie.

No i w końcu postanowiłem, że czas ruszyć i zaakceptowałem to, że jak coś spieprzę, to zawsze albo mogę to zmienić i poprawić albo przynajmniej będę miał doświadczenie związane z tym, czego się jeszcze muszę nauczyć i co przygotować, abym mógł przekazywać moje pomysły dla nauczycieli, którzy na nie czekali! I ta myśl o tym, że są tysiące dzieci, które chciałby zrozumieć matematykę, ale ich nauczyciele jeszcze nie dotarli do wystarczająco dobrych i prostych sposobów wyjaśniania różnych zagadnień, sprawiała że parłem do przodu. Wiedziałem, że nie piszę tego dla siebie, tylko dla tych, którzy czuli się nie tyle skrzywdzeni przez los, ile przez matematykę lub ich nauczyciela matematyki. Bez względu na to, który z powodów był prawdziwy, a który kompletnie od czapy, konieczne było rozpoczęcie procesu tworzenia i publikowania.



Pierwszy artykuł opublikowałem 23 maja 2018 roku, a jego tytuł brzmi: "Matematyka ciekawi i inspiruje... zaczynamy". Była to zapowiedź tego, czego można będzie się spodziewać w mojej przestrzeni w której będę publikował, a która to będzie dostępna dla każdego, kto będzie chciał czytać o tym w jaki sposób matematykę można lepiej uczyć i mówiąc po młodzieżowemu - łatwiej ogarnąć. Z technicznych kwestii to mogę dodać, że musiałem wybrać platformę na której będę publikował (blogspot), a do tego będzie konieczny tytuł bloga oraz logo. Co do tytułu, to spośród około 60 możliwych propozycji, które wypisałem, szukałem tego tytułu bloga, który najbardziej będzie opisywał to, co jest moim celem: pokazanie matematyki jakiej wielu uczniów, ale i nauczycieli... nie zna! No i w końcu wybór padł na "matma jakiej nie znasz". Niektórzy mogą powiedzieć, że przecież to jest igranie z ogniem, bo nauczyciele matematyki są bogami, którzy posiedli nadzwyczajny dar rozumienia całego wszechświata, więc z matematyki wszystko każdemu są w stanie bez problemy wytłumaczyć. Okazuje się jednak, że ja miałem naprawdę dość duże doświadczenie związane z bezpośrednim kontaktem z dziećmi i młodzieżą, którzy mi wyjaśniali to w jaki sposób w szkole ich nauczyciel wyjaśniał dane zagadnienia oraz na ile oni cokolwiek z tego zrozumieli. Nie muszę podkreślać, że brałem pod uwagę to, że jeśli uczeń w czasie lekcji nie jest skupiony, to nauczyciel może stawać na głowie, a pomimo tego, uczeń dalej niewiele będzie rozumiał. Tak czy inaczej miałem okazję uczyć różne dzieci, które były na tak niskim poziomie matematycznych kompetencji, że często się pytałem do której chodzą klasy, bo większość nauczycieli po kilku spotkaniach z takimi uczniami, wnioskowałaby o przeniesienie ich 2 lub niekiedy nawet 3 klasy niżej (na wcześniejszy etap edukacji). W skrócie mówiąc, wiedziałem że jeśli nie będę w stanie wyjaśniać matematycznych koncepcji w taki sposób, żeby zrozumiał nawet mój pies lub kot, to nie będę w stanie nic sensownego przekazać później nauczycielom, którzy mają owym dzieciom nalać magicznie matematycznego oleju do głowy. Oczywiście tego oleju, który wycisną na bazie moich artykułów w których będę hojnie dzielił się pomysłami i przykładowymi pytaniami do zajęć.


Potem kolejne artykuły poszły już w miarę płynnie. Pięć dni później wrzuciłem pierwszy merytoryczny artykuł związany z czymś co jest banalne, ale jednocześnie nie wszyscy o tym wiedzą. Było i cały czas jest to w większym lub mniejszym stopniu nawiązanie do tego o czym wcześniej wspomniałem: pokażę wam matmę jakie nie znacie! No i byłem przekonany, że tak zwane oczywiste rzeczy, są w większości oczywiste, ale niestety dla nauczycieli a nie dla uczniów. Nauczyciel, który kilka lub kilkanaście lat powtarza i uczy danego zagadnienia, staje się w nim niemal ekspertem, więc w pewnym momencie uznaje, że to jest tak banalne, że każdy to musi znać. Tak czy inaczej magiczne właściwości dwóch cyfr - 0 i 1 w akcji, musiały zostać ujawnione, wyjaśnione jak też przyswojone. Wiedziałem także, że muszę używać takich sposobów, aby dotrzeć do tych, którzy będą chcieli to dalej wykorzystywać. Jedną z takich sztuczek było i nadal jest rymowanie oraz poszukiwanie nietypowych fraz, które będą się dobrze kojarzyć i zapadną w pamięć.


No i następne artykuły pojawiały się coraz częściej na blogu. Oczywiście miałem wiele pomysłów na to, które zagadnienia i w jaki sposób mam opisać, aby były zrozumiałem, prosto wyjaśnione a jednocześnie możliwe do praktycznego zastosowania czy też chociażby trwałego zapamiętania. Przyznam, że w moim magicznym zeszycie na przestrzeni ostatniej dekady, zapisywałem różne pomysły i sposoby na to, aby wyjaśnić to co w podręczniku, ale znacznie lepiej, łatwiej i przystępniej. Niekiedy takie wyzwania byłem w stanie ukończyć po kilku tygodniach, ale bywały też i takie tematy, że musiałem próbować je złamać (podobnie jak szyfr Enigmy!), testując dziesiątki różnych sposobów. Rekordem jeśli dobrze kojarzę był czas poświęcony na wymyślenie i opracowanie tabeli związanej z najważniejszymi własnościami czworokątów: ich definicje jak też wszystkie kluczowe cechy w kontekście ich kątów oraz boków. Zajęło mi to jakieś 3 lata, ponieważ chciałem, aby dzieci mogły mieć jedną tabelę w której wszystko zostanie tak przedstawione, że będą mogły bez problemu zrozumieć wszystkie własności czworokątów, mając jednocześnie możliwość porównywania ich między sobą. To jest tabela z której jest dumny do dziś dnia. A co z tymi pomysłami w zeszycie? Nic. Po prostu zapisywałem je, a potem jak pojawiła się potrzeba, aby je zebrać do kupy, to przy wpisywaniu je na listę jeden po drugim, okazało się, że jest ich około stu! Mówiąc wprost - wystarczająco na to, aby spokojnie wystarczyło na powiedzmy 60-70 artykułów.


Tworzenie i publikowanie artykułów szło mi tak dobrze, że w pewnym momencie postanowiłem, że wezmę się za coś, co jest kompletną czarną magią dla uczniów, a nauczyciele kompletnie nie wiedzą jak to tłumaczyć uczniom - dowodami i dowodzeniem. Wydawało mi się, że skoro mam kilka zbiorów zadań z takimi zadaniami i książką, która opisuje w jaki sposób dowodzić dane kwestie, to przecież mogę takie książki przeczytać, przenalizować i na bazie tego podzielić się z nauczycielem magicznym eliksirem, który sprawi, że dzieci będą dowodziły tak, że każdy prawnik na sali sądowej będzie się przyglądał zachwytem. Po latach zrozumiałem, że są to zagadnienia na tyle trudne, że sam je ledwie rozumiem, więc ich tłumaczenie nauczycielom, aby mogli owe wyjaśnienia przelać do głów uczniów... raczej nie będzie możliwe.


W pewnym momencie zrozumiałem, że matematyka to nie tylko konkretne zagadnienia, ale także i książki, które mogą być pomocne zarówno w pracy nauczyciela jak i edukatora (może nim być rodzic lub ktoś kto formalnie nie jest nauczycielem po studiach, ale zajmuje się pomaganiem w nauce dzieciom i młodzieży). No i na pierwszy ogień poszła recenzja książki: Matematyka w 30 sekund - czyli 30 fascynujących zagadnień matematycznych wyjaśnionych w pół minuty. Szybko zorientowałem się, że dobrze byłoby, aby była to jakaś seria, więc nadałem jej nazwę BIBLIOTEKA NAUCZYCIELA MATEMATYKI, aby każdy natychmiast wiedział, że to recenzja książki, a nie artykuł merytoryczny.


Dalej praca szła dość intensywnie i miałem dużo pomysłów oraz inspirację do tego, aby pisać i dzielić się z innymi, tak długo jak długo będę w stanie to realizować. Pomyślałem o tym, że zagadnienia potęg i pierwiastków, pomimo że formalnie są bardziej intensywnie realizowane w szkole średniej, ale jednak występują jako podstawy w szkole podstawowej. Z uwagi na to zdecydowałem, że trzeba będzie się nimi zająć właśnie po to, aby dzieci rozumiały ich sens jak też wiedziały w jaki sposób można je zrozumieć. Tak się rozpędziłem, że powstała z tego seria 10 artykułów w którym omawiam dość dogłębnie wszystkie najważniejsze kwestie z nimi związane. Wydaje mi się, że wyszło dość dobrze, chociaż na pewno można byłoby jeszcze sporo ulepszyć.


Kolejno chciałem podgonić recenzję książek związanych z matematyką, ale takich, które mogłyby być także polecane dla osób, które nie specjalizują się w nauce matematyki. Było tak głównie dlatego, że w grupie edukacji domowej było wiele osób, które poszukiwały takich pozycji dla swoich bardziej zdolnych czy też bardzo ciekawych świata dzieci. Stąd napisałem i opublikowałem recenzję kilkunastu książek, w tym także takich, które mówią o nauczaniu i wspieraniu dzieci w rozwijaniu ich potencjału. W międzyczasie pojawiły się bardzo ładnie ilustrowane ekonomikony, którymi dzieliła się Magdalena Cyrczak-Skibniewska. Poprosiłem ją o zgodę na to, aby w jednym miejscu wkleić najważniejsze z tych przepięknych i prostych w zrozumieniu infografik, które wyjaśniały najważniejsze kwestie z ekonomii, ale w taki sposób, że każdy mógł je dobrze zrozumieć, a przy okazji jestem pewien, że mogą być wykorzystywane także na zajęciach z matematyki.


Potem powoli rozwijała się pandemia oraz lockdown sprawił, że świat mocno się zmienił. Przy okazji opublikowałem stosunkowo dużo z tego co planowałem, a że nie bardzo wiedziałem co jeszcze sensownego mógłbym przekazać światu matematycznemu (i oczywiście nauczycielom), to postanowiłem, że opracuję coś na kształt złotych zasad i porad, które sprawią, łatwiej będzie osiągać sukcesy w matematyce. To był czas w którym w wielu miejscach zastanawiano się w jaki sposób uczeń powinien funkcjonować, aby mieć niejako drogowskaz, który pomoże mu w podążaniu prawidłową drogą. 10 złotych zasad i porad - czyli wujek Tomek podpowiada jak osiągnąć matematyczny sukces, to tytuł artykułu, który pojawił się we środę, 20 kwietnia 2022 roku. W tamtym czasie cieszył się dużym uznaniem i wielu nauczycieli powiedziało, że właśnie czegoś takiego potrzebowali, ale nie bardzo wiedzieli gdzie mogą to znaleźć. No to tym bardziej utwierdziło mnie w przekonaniu, że artykuły na moim blogu nie czytam tylko ja, mój kot i moja babcia.


Kolejny milowy krok, to zaproszenie od Profesora Romana Lepperta do debaty (9 listopada 2022 roku) dotyczącej palącego tematu, który wybrzmiewał w kontekście badań nad logicznym myśleniem oraz wynikami dzieci w testach PISA z matematyki. Dyskusja była naprawdę potrzebna, a jej tytuł wyjątkowo trafny: O co chodzi z tą matematyką?
Do udziału w tej debacie zostały zaproszone pasjonatki, które zajmują się matematyką i mają naprawdę sporo do powiedzenia:
1) Doktor nauk społecznych Zuzanna Jastrzębska-Krajewska - kierującą Fundacją Wspomagania Rozwoju Dzieci Edyty Gruszczyk-Kolczyńskiej, znaną z prowadzenia profilu na Facebooku pod nazwą "Pani Zuzia";
2) Aleksandra Jakubczak - prowadząca profil "Odczaruj matematykę - przestrzeń pozytywnej edukacji";
3) Ewa Czajka - prowadzącą stronę "Matma prosta i półprosta";


Dodam, że to była jedna z najbardziej gorących oraz intensywnych debat związanych z matematyką, które były publicznie dostępne. Nie tylko my w wirtualnym studio byliśmy mocno zaskoczeni, ale także prowadzący - Profesor Roman Leppert, nie krył niedowierzania związanego z tym jak mocno ta dyskusja rozkręciła się na czacie. Wystarczy powiedzieć, że głos zabierali na czacie niemal wszyscy, którzy interesują się edukacją i wspierają ją w różnorodny sposób, a do tego w ciągu 2 godzin pojawiło się ponad 600 komentarzy. Profesor żartował nawet, że obawia się czy serwery na Facebooku na pewno wytrzymają taki napór ze strony wszystkich zainteresowanych. Tak czy inaczej ta dyskusja rezonuje we mnie do dziś dnia i wywołuje za każdym razie inne kierunki poszukiwań odpowiedzi na to jakże proste, aczkolwiek bogate w możliwości zgłębienia pytanie.


Następnie na początku roku 2023 miałem okazję wystąpić na międzynarodowej konferencji matematycznej (online), w której wybrani goście prezentowali swoje pomysły na matematykę. Z uwagi na to, że angielski akurat mam na dość przyzwoitym poziomie, to wystarczyło tylko nauczyć się matematycznych terminów, aby podzielić się tym w jaki sposób matematyka może być uczona naprawdę fajnie i ciekawie. Wszystko opisałem w artykule pod tytułem: Prezentacja rewolucyjnego podejścia do czworokątów - czyli dlaczego nigdy nie uczono nas tego w szkole. W skrócie dodam, że w mojej prezentacji zawarłem najważniejsze koncepcje nad którymi pracowałem przez ostatnie 4 lata.


Od lutego 2023 roku do końca lipca 2024 nastąpiła konieczna półtoraroczna przerwa, więc w tym czasie mogłem nieco naładować akumulatory i zająć się innymi sprawami, które wówczas poważnie spędzały mi sen z powiek (chociażby awaria komputera, utrata wielu istotnych danych na dysku, kwestie zdrowotne, etc.).


No i już pod koniec lipca roku 2024, opublikowałem kolejny artykuł, ponieważ znalazłem następne tematy, które mogę w taki sposób omówić, aby inni mogli mieć z nich pożytek. Mianowicie rozpocząłem serię pod tytułem "Matematyka jest fajna - magia okręgu i koła - czyli kto wszystkie tajemnice odkryć i zbadać zdoła", w której badam najciekawsze i najprostsze właściwości związane z figurą, która nie jest wielokątem. Na ten moment są już opublikowane cztery artykuły w tej serii, które przekonują, że zarówno okrąg jak i czworokąty mogą mieć między sobą coś więcej niż się wydaje na pierwszy rzut oka.



Tak mniej więcej w telegraficznym skrócie mógłbym opisać wybrane punkty na osi czasu, od początku bloga do dnia dzisiejszego. Oczywiście to nie są wszystkie najważniejsze momenty, lecz wybrane przeze mnie, aby pokazać coś na kształt widoku z loku ptaka. Teraz weźmy na dokładkę nieco danych, które mogą pokazać moją pracę i przygodę z tworzeniem oraz publikowaniem artykułów na blogu, od strony typowo matematycznej.



Na dzień dzisiejszy strona została wyświetlona blisko ćwierć miliona razy. Czytelnicy pozostawili na niej 161 komentarzy (dodam, że na przełomie tych kilku lat kilkadziesiąt komentarzy została skasowanych, bo niestety nie spełniały wymogów związanych z tym jaki jest cel bloga: a nie jest nim chociażby reklamowanie swoich firm lub oszustw). Z kolei jeśli chodzi o dziesiątkę najbardziej popularnych artykułów na blogu, to dzielenie pisemne w całkiem nowej odsłonie uzyskało ponad 18 tysięcy wyświetleń, za nim kolejność wykonywania zadań (blisko 15 tysięcy) jak też potęgi razem z pierwiastkami (nieco ponad 10 tysięcy). Resztę można sobie zobaczyć na obrazku na którym widać pozostałe tytuły wraz z liczbami odsłon.




Z technicznych kwestii dodam, że od wielu lat używam fantastycznego programu do tego, aby moje obrazy matematyczne wyglądały naprawdę dobrze (i to setki razy dziennie, a nie tylko do potrzeb związanych z blogiem). Jest nim program FastStone Capture (FSC), który jest spełnieniem moich marzeń jeśli chodzi o program w którym mogę zrobić najważniejsze operacje związane z edytowaniem obrazów, dodawaniem różnych elementów takich jak strzałki, różne ramki, odcinki, emoji, podświetlenia tekstu, etc. Program jest tak dobry, że nie wyobrażam sobie pracy bez niego, bo spełnia wszystkie moje potrzeby, a jeśli mam oczekiwania odnośnie opcji, których mi brakuje, to piszę do autora (Andrew Lu) i ten odpisuje mi co i jak może na to poradzić. Rewolucją jest dla mnie opcja "Zapisz wszystko jako (nazwa)", bo dzięki temu mogę zapisać powiedzmy 300 zrzutów ekranu (popularnych screenshotów) w ciągu kilkunastu sekund! Ten program wygląda bardzo niepozornie, ale dla mnie to jest kosmicznie dobry pomocnik. Mogę nie tylko zrzucać dowolne ekrany (w tym przewijane!), ale także edytować je w taki sposób w jaki potrzebuję, bez potrzeby kupowania potężnych programów graficznych lub też uczenia się ich przez kilka lat, aby mieć w nich dobre rozeznanie. Przy okazji ten program ma w sobie również wbudowaną nagrywarkę ekranu (screen recorder), która oferuje takie możliwości, że pierwotnie gdy kupowałem ten program (jakieś 7 lat temu), to nie wierzyłem, że w takiej cenie autor oferuje coś tak potężnego. Dla porównania: większość programów typu nagrywarka ekranu (screen recorder) kosztuje 3-5 krotnie więcej aniżeli ten program, a ich możliwości są albo takie same albo niekiedy nawet gorsze, bo coś się albo zawiesza bądź też ich obsługa jest daleka od przyjaznej i intuicyjnej.



Dlatego w tym miejscu dziękuję wszystkim, którzy mnie wspierają w tej podróży matematycznej oraz podziękowania kieruję właśnie do Andrew Lu - twórcy programu FastStone Capture (FSC), który towarzyszy mi od momentu publikacji pierwszego artykułu. Szczerze mówiąc, to autor nie wiedział o tym, bo podzieliłem się z nim dopiero kilka dni temu, gdy pisałem prośbę odnośnie kolejnych opcji, które ułatwiałyby mi pracę. Gorąco polecam ten program każdemu, kto potrzebuje bardzo wydajnego, małego i taniego programu, którym można obrabiać praktycznie wszystkie obrazki jak też nagrywać wszystko to co pojawia się na ekranie (ja często nagrywam różne clipy, które przeglądam na YouTube lub Facebooku). Dodam, że moje podziękowania dla autora i zareklamowanie tego fantastycznego programu programu nie są sponsorowane przez nikogo. Po prostu chcę, aby każdy wiedział, że za moim sukcesem (a nim jest to, że dobijamy do blisko ćwierć miliona odsłon) stoją różne osoby i często są to osoby, które są w cieniu, bo nie potrzebują żadnego rozgłosu i uwagi. Przy okazji może się okaże, że są także tacy ludzie, którzy potrzebują identycznego narzędzia jakie ja stosuję od 7 lat i ogromnie sobie cenię, bo mogę dzięki niemu zrobić wszystko czego potrzebuję. W takiej sytuacji wszyscy wygrywamy (ja bo się cieszę, że poleciłem świetny program, osoba która go będzie używała i będzie ułatwiała jak też przyspieszała swoją pracę, oraz autor programu, bo będzie miał feedback, że jego praca nad tym programem jest doceniana przez innych, którzy korzystają z niego i są zadowoleni!).

LINK do strony autora (kilka fajnych różnych programów): Faststone.org
LINK do program FastStone Capture: https://www.faststone.org/FSCaptureDetail.htm


o Brak komentarzy:
Subskrybuj: Posty (Atom)