Zaczynamy serię związaną z matematyką rozrywkową. Czym jest owa matematyka czy też jej rodzaj? Otóż jest to matematyka, której celem jest zaciekawić oraz sprawić, że damy się wciągnąć czy też zaprosić do świata w którym celem nie jest wynik, lecz zaciekawienie, stawianie pytań, tworzenie strategii związanych z odpowiedziami a jednocześnie dobra zabawa połączona ze świadomym wysiłkiem.
Zapytałem mojego asystenta (dodam, że nawet pomógł zrobić również dość przyzwoite grafiki) Claude AI, aby mi powiedział czym jest ów rodzaj matematyki i dostałem taką oto odpowiedź: [prompt: "Napisz w kilku zdaniach czym jest matematyka rozrywkowa - dla dziecka w wieku 12 lat"]
Matematyka rozrywkowa to sposób na odkrywanie matematyki przez zabawę! Zamiast nudnych zadań z podręcznika, możesz rozwiązywać zagadki, łamigłówki i gry, które wymagają logicznego myślenia. Na przykład, możesz składać kostki Rubika, rozwiązywać sudoku, bawić się magicznymi kwadratami lub zgadywać matematyczne sztuczki. To jak bycie detektywem - szukasz wzorów, rozwiązujesz tajemnice i odkrywasz, że matematyka może być naprawdę ekscytująca! Dzięki temu uczysz się myśleć kreatywnie i rozwiązywać problemy, nawet nie zdając sobie sprawy, że właśnie ćwiczysz matematykę.
I to jest właśnie celem tej serii. Będę starał się przedstawiać różne zagadnienia w możliwie najciekawszej, najprostszej oraz najbardziej przystępnej formie. Inaczej mówiąc, to będzie zaproszenie do poznawania i zachwycania się światem matematyki, który zawiera nie tylko złożone oraz wymagające dużego wysiłku koncepcje, ale również nietypowe i przyciągające ciekawostki, łamigłówki, zagadki logiczne czy też wyzwania związane z tym, aby patrzeć na świat z wielu perspektyw. Przy okazji oferuje ona przyglądanie się oraz rozumienie paradoksów czy różnych trików matematycznych.
Celem tej serii będzie zatem nie tyle rozwiązywanie zadań, które pojawiają się w szkole na zajęciach matematycznych, ile pokazywanie tego, że matematyka jest znacznie bliżej niż zdajemy sobie z tego sprawę. To bardziej zachęcenie do tego, aby nieco ruszyć głową oraz stawiać ciekawe pytania, tworzyć różne odpowiedzi oraz sprawdzać, które z nich oferują możliwość otwierania drzwi do kolejnych labiryntów. Warto pamiętać, że w tej serii będę bardziej inspirował do dalszych poszukiwań oraz do wspomagania się innymi źródłami czy także korzystania z pomocy specjalistów (pasjonatów) aniżeli dawał gotowe rozwiązania. Można powiedzieć, że będzie to seria nawiązująca do pytania sformułowanego następująco: "czy potrafisz się dziwić?"
Oprócz powyższych ciekawostek, łamigłówek, zagadek i gier logicznych będę także zachęcał do sprawdzenia różnych zasobów: książek, czasopism, gier, zabaw czy też konkretnych stron (witryn) internetowych. Dlaczego? Ponieważ obecnie mamy naprawdę bardzo dużo zasobów, które mogą pomagać w rozwijaniu myślenia oraz połączeniu nauki z zabawą, a bardzo często nie tylko z nich nie korzystamy, ale tym bardziej nie mamy pojęcia, że coś takiego w ogóle istnieje!
No i jeszcze co nieco na temat tego kto jest odbiorcą i jaki będzie poziom trudności.
Odbiorcami tym razem są wszyscy, którzy chcą się przekonać, że jednak matematyka to znacznie więcej niż tysiące rozwiązywanych zadań, nudne i trudne rachunki oraz niezrozumiałe wzory, twierdzenia czy definicje. Szczególnie zależy mi na tym, aby zachęcić dzieci i młodzież oraz ich rodziców (a nawet ciotki, wujków czy też dziadków oraz babcie) do tego, aby mogły wspólnie rozwijać myślenie, łącząc naukę z zabawą.
Jeśli chodzi o poziom trudności to tutaj raczej będzie to kwestia indywidualna. Podkreślę, że moim zadaniem będzie przekazanie pewnych treści w taki sposób, aby były jak najłatwiejsze do zrozumienia, bez względu na to czy koncepcja lub zagadka albo gra jest nowa czy stara. Mówiąc prościej: dla jednych dana koncepcja czy też aktywność będzie łatwa, a dla innych będzie wymagała więcej wysiłku. Tak samo jeśli chodzi o gry i łamigłówki: jednym będą się podobać te wymienione na początku, inni zaś odnajdą się w tych omawianych później, a jeszcze inni - tych na samym końcu. I to jest w pełni w porządku! Nieco metaforycznie można powiedzieć, że ja będę tworzył i zachęcał do tego, aby korzystać ze szwedzkiego stołu - każdy niechaj wybiera to co na ma ochotę i to co chce spróbować.
Koniec wprowadzenia, więc zaczynamy!
Pamiętacie o tym, że liczba Pi jest jedną z najbardziej popularnych jeśli chodzi o całą matematykę (zwłaszcza szkolną)?
Postawmy zatem kilka pytań i wspólnie poszukajmy odpowiedzi. Oto nasze pytania:
1) Dlaczego liczba Pi jest stała dla dowolnego okręgu lub koła?
2) Co by się stało, gdybyśmy rozcięli okrąg i tę krzywą linię wyprostowali oraz porównali ze średnicą?
3) Dlaczego liczba Pi nie ma wartości dokładnie 3,00? Jak to najłatwiej sprawdzić?
4) Co znaczy wyrażenie "pi razy drzwi"?
5) Dlaczego liczba Pi jest stała, skoro ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne?
6) Co się dzieje z polem pomiędzy większym wielokątem foremnym (opisanym na okręgu) oraz okręgiem?
7) Co się dzieje z polem pomiędzy mniejszym wielokątem foremnym (wpisanym w okrąg) oraz okręgiem?
8) Co to znaczy, że w dużym uproszczeniu "koło to taki nieskończony wielokąt foremny"?
To są pytania, które powinny pokazać nam, że zarówno poszukiwanie odpowiedzi jak i zrozumienie tego co nas ciekawi, może być nie tylko ciekawym wyzwaniem, ale jednocześnie źródłem satysfakcji oraz radości z odkrywania.
Zatem spróbujmy udzielić odpowiedzi na powyższe pytania. Uprzedzam, że każde pytanie może być znacznie bardziej rozbudowane, zaś odpowiedź pogłębiona na tyle na ile potrzebujemy zaspokoić naszą ciekawość.
Odpowiedź 1:
Liczba Pi jest stała dla dowolnego okręgu lub koła, ponieważ wyraża proporcję pomiędzy obwodem a średnicą. Inaczej mówiąc, jak rozetniemy obwód i porównamy jego długość ze średnicą, to zawsze będzie on "nieco więcej niż trzykrotnie" dłuższy aniżeli średnica. No i to "nieco więcej" to właśnie liczba Pi. Dodatkowo jest ona stała, ponieważ wraz ze wzrostem średnicy wzrasta również (proporcjonalnie) obwód. Inaczej mówiąc, im bardziej powiększamy okrąg (lub koło), tym bardziej powiększa się średnica. I analogicznie: im bardziej zmniejszamy okrąg (lub koło), tym bardziej zmniejsza się średnica! Obie z nich są ze sobą powiązane niewidzialną proporcją (skalą)!
Odpowiedź 2 i 3:
Gdybyśmy rozcięli okrąg i tę krzywą linię wyprostowali oraz porównali ze średnicą, to okazałoby się, że na wyprostowanym obwodzie (odcinku) możemy przyłożyć nieco więcej niż trzy odcinki o długości średnicy okręgu. Warto taki eksperyment przeprowadzić samemu, aby się o tym przekonać. Bez względu na to jak duże koło sprawdzimy, to gdy rozetniemy je tak, aby obwód mógł być odcinkiem, to za każdym razem przykładając trzy odcinki średnicy (jeden za drugim), to zawsze pozostanie kawałek obwodu, którego nie pokryły trzy odcinki średnicy. To jest najłatwiejszy sposób, aby sprawdzić, że wartość Pi to nie jest dokładnie 3,00.
Odpowiedź 4:
Wyrażenie "Pi razy drzwi" oznacza określenie przedstawienia czegoś w przybliżeniu. Przy okazji warto również wspomnieć, że istnieją również książki mającej Pi tytule. Oto recenzję dwóch z nich której zrobiłem jakiś czas temu. Dla tych, którzy chcą się zapoznać z nimi, zostawiam tutaj linki. Przy czym ta pierwsza jest zalecana dla nieco młodszych dzieci, zaś druga dla nieco starszych:
BIBLIOTEKA NAUCZYCIELA MATEMATYKI: Proste jak pi - czyli matematyka to bułka z masłem
BIBLIOTEKA NAUCZYCIELA MATEMATYKI: Pi razy oko – czyli komedia matematycznych pomyłek
Odpowiedź 5:
Liczba Pi jest stała pomimo, że ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne, ponieważ jest ona stosunkiem (ilorazem) obwodu do średnicy. Z kolei ów stosunek (proporcja) jest stały, ponieważ wraz ze wzrostem obwodu rośnie (tak samo szybko) średnica. Natomiast nieskończone rozwinięcie dziesiętne bierze się stąd, że wyciągamy średnią z obwodu wielokąta foremnego opisanego na okręgu i wpisanego w okrąg, więc jeśli owa średnia (suma obwodu większego i mniejszego wielokąta foremnego - oba związane z tym samym okręgiem) nie jest liczbą wymierną, wówczas podzielenie jej przez 2 (czyli wyciągnięcie średniej), spowoduje że jej wynik rozwinięcia dziesiętnego nigdy się nie (s)kończy.
Odpowiedź 6 i 7:
Pole pomiędzy większym i mniejszym wielokątem foremnym (opisanym na okręgu oraz wpisanym w okrąg) oraz okręgiem zmniejsza się coraz bardziej, gdy zwiększamy liczbę boków wielokąta foremnego. W przypadku tego wielokąta foremnego opisanego na okręgu, coraz bardziej dociska i "przytula się" swoimi bokami do okręgu. Natomiast odnośnie wielokąta foremnego wpisanego w okrąg, wraz ze wzrostem liczby boków coraz bardziej "rozpycha się", wciskając swoje boki w okrąg. Tak czy inaczej oba z nich coraz bardziej przypominają okrąg, zwłaszcza gdy wartość boków wynosi co najmniej 64 (wtedy wielokąt foremny niemal wtapia się w okrąg).
Odpowiedź 8:
Gdy wyjaśniałem okrąg czy też koło, to używałem czasami zwrotu: "koło to taki nieskończony wielokąt foremny". Teraz wyjaśnię go nieco bardziej. Mam nadzieję, że jeszcze lepiej zrozumiemy tajemnice okręgu i koła.
Przeprowadźmy zatem pewien eksperyment.
Sprawdźmy obwód (tzn. ich różnicę w stosunku do okręgu oraz średnią) dla wielokątów foremnych wpisanych i opisanych na okręgu o promieniu równym 5. Myślę, że najlepiej będzie to widoczne a zarazem przekonujące dla poniższych kilku przykładów wielokątów foremnych:
1) trójkąt (równoboczny)
2) czworokąt (kwadrat)
3) sześciokąt (foremny)
4) 8-kąt
5) 12-kąt
6) 16-kąt
7) 32-kąt
8) 64-kąt
9) 96-kąt
Zobaczmy na przykładzie wybranych wielokątów foremnych wpisanych i opisanych na okręgu co się dzieje, gdy zwiększamy liczbę ich boków. Obrazki powinny wszystko w miarę prosto przedstawiać.
Każda poniższa grafika pokazuje:
- Okrąg podstawowy (czerwony) - o promieniu 5
- Wielokąt wpisany (turkusowy) - wszystkie wierzchołki na okręgu
- Wielokąt opisany (niebieski) - wszystkie boki styczne do okręgu
- Przykłady różnych wielokątów (od trójkąta do 96-kąta)
- Obliczenie obwodów wielokątów wpisanych i opisanych na okręgu
- Porównanie z obwodem okręgu (2πr ≈ 31.42)
Wnioski z tego prostego eksperymentu są następujące:
- Im więcej boków, tym wielokąty foremne coraz bardziej przypominają okrąg
- Wielokąt foremny wpisany ma zawsze mniejszy obwód od okręgu
- Wielokąt foremny opisany ma zawsze większy obwód od okręgu
- Przy dużej liczbie boków (od 64 w górę) obwody praktycznie się równają obwodowi okręgu
Ta prosta wizualizacja idealnie pokazuje, jak wielokąty foremne zbliżają się do okręgu, co jest podstawą historycznej metody obliczania liczby π przez Archimedesa! Warto dodać, że liczba Pi leży pomiędzy obwodem wielokąta foremnego opisanego a obwodem wielokąta foremnego wpisanego w okrąg. Inaczej mówiąc, jeśli wyciągniemy średnią z tych dwóch wartości, wówczas otrzymamy jak najlepsze (najdokładniejsze) przybliżenie naszej liczby Pi.
Na tym kończymy krótki opis serii a zarazem pierwszy z wielu artykułów związany z odkrywaniem różnych matematycznych koncepcji oraz sprawdzaniem tego co nas ciekawi. Mam nadzieję, że ta seria będzie nie tylko dobrą inspiracją do tego, aby stawiać kolejne pytania, ale również poszukiwać odpowiedzi. Zależy mi na tym, aby pokazać matematykę jakiej jeszcze nie znacie. A ona niestety bywa nieco ukryta, więc postaram się ją nieco bardziej odkryć, czy też jak kto woli - znacznie przybliżyć. Liczę na to, że wspólnie będziemy mogli eksplorować ten matematyczny świat, który jest pełen niezwykłych tajemnic, zagadek, łamigłówek oraz ciekawostek. Sprawmy, aby matematyczne wyprawy mogły pomagać w przyjaznym rozwijaniu myślenia, bo ponoć myślenie ma przyszłość, prawda?
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz
Jeśli chcesz, aby twoja wiadomość nie została odrzucona przez system jako spam (usunięte), to podpisz się swoim imieniem lub pseudonimem. Dziękuję :)