Matematyka jest fajna - magia okręgu i koła - czyli kto wszystkie tajemnice odkryć i zbadać zdoła (5)

Ostatnio analizowaliśmy sytuacje w których na obwodzie okręgu rysowaliśmy wybrane punkty, które ze sobą połączone dawały różne czworokąty. Wspomniałem, że pomiędzy dwoma najbliższymi punktami mamy dany łuk okręgu, który ma pewną długość. Mówiliśmy również o tym, żeby uczyć się dostrzegać pewne zależności związane z odległością wierzchołków od siebie oraz związkiem między cięciwą oraz łukiem okręgu.

Przypomnijmy, że długość łuku w danym okręgu jest taka sama, gdy odpowiednie cięciwy są sobie równe. Przy czym im dłuższa cięciwa, tym dłuższy łuk oraz im krótsza cięciwa, tym krótszy łuk. No i mam nadzieję, że pamiętamy także, że najdłuższą cięciwą jest oczywiście średnica okręgu.

Teraz przyjrzymy się temu jak można zmierzyć długość łuku oraz wycinek koła oparty o dany łuk. Z uwagi na to, że to zagadnienie jest stosunkowo proste, więc omówimy do tego także pojęcia kąta środkowego jak i wpisanego. Zaczynajmy!

Przy okazji dla chętnych proponuję zerknąć na wybrane zagadnienia, które napisałem w artykule opublikowanym w roku 2019 (jak ten czas leci!). Szczególnie polecam ostatni fragment na drugiej stronie, który w skrócie pokazuje to w jaki sposób powstaje pole i obwód koła. Jest to oczywiście forma maksymalnie uproszczona i skrócona, ale wierzę, że na nasze potrzeby w zupełności wystarczająca.

Zakładam, że wiemy już w jaki sposób obliczamy zarówno pole koła oraz długość obwodu koła (czy też w skrócie: długość okręgu).

1) Wycinek koła

Wycinek koła to pewna część całego koła, czyli inaczej mówiąc, jej ułamek. Wycinek koła to proporcja (iloraz) danego kąta środkowego do kąta pełnego pomnożona przez pole koła. Przykładowo, gdy nasz kąt środkowy wynosi 90 stopni, wtedy wycinek koła będzie wynosić 90/360 * pole koła. Jeśli z kolei skrócimy nasz ułamek do nieskracalnej postaci, wówczas otrzymamy 90/360 = 1/4. I teraz już wiemy, że taki wycinek koła to 1/4 pola (pełnego) koła.

Z tego wynika, że aby obliczyć dowolny wycinek koła musimy znać wartość kąta środkowego lub jeszcze lepiej - wiedzieć jakim jest ułamkiem kąta pełnego. Następnie wystarczy tę wartość ułamka pomnożyć przez wartość pełnego koła i mamy oczekiwany wynik.

2) Długość łuku

Długość łuku to pewna część całego okręgu (lub koła) czyli tak jak poprzednio - pewien jej ułamek. Długość łuku to proporcja (iloraz) danego kąta środkowego do kąta pełnego pomnożona przez obwód okręgu. Przykładowo, gdy nasz kąt środkowy wynosi 90 stopni, wtedy długość łuku będzie wynosić 90/360 * obwód okręgu. Jeśli z kolei znowu skrócimy nasz ułamek do nieskracalnej postaci, wówczas otrzymamy 90/360 = 1/4. I teraz już wiemy, że taka długość łuku to po prostu 1/4 (pełnego) obwodu okręgu (koła).

Analogicznie jak powyżej: aby obliczyć dowolną długość łuku musimy znać wartość kąta środkowego lub jeszcze lepiej - wiedzieć jakim jest ułamkiem kąta pełnego. Następnie wystarczy tę wartość ułamka pomnożyć przez wartość pełnego obwodu okręgu (koła) i po raz kolejny mamy potrzebny wynik.

Mam nadzieję, że już rozumiemy dlaczego zagadnienia wycinka koła i długości łuku tak szybko omówiliśmy. Są one tak proste, że na ten moment w zupełności wystarczy nam intuicyjne spostrzeżenie oraz dwa niezbędne wzory. To jest mniej więcej tak jakbyśmy podzielili dowolny wielokąt foremny na równe części i mieli obliczyć pole jednej z jego części (wycinek wielokąta) albo długość jednego z jego boków (długość odcinka). Tak, to jest naprawdę aż tak proste.

Spróbujmy jeszcze przyjrzeć się ciekawym zależnościom pomiędzy kątami w okręgu (lub kole): kątowi środkowemu oraz wpisanemu. Zapewniam, że są to równie łatwe elementy geometrii, które spokojnie można zrealizować w ramach nauki w szkole podstawowej. Wystarczy odrobina ciekawości, wolnego czasu jak i wysiłku.

3) Kąt środkowy

Kąt środkowy - to kąt, który ma wierzchołek w środku okręgu, a ramionami są promienie okręgu.

Kąt środkowy może mieć wartość z przedziału od 0 do 360 stopni (wtedy jest kątem pełnym) oprócz wartości skrajnych - czyli przedział (0, 360). Warto wyraźnie zaznaczyć kąt środkowy, aby było dla każdego w pełni jasne o jaki kąt chodzi (ostry, rozwarty czy może wklęsły) oraz zaznaczyć (pogrubić) kolorem łuk, którym się zajmujemy.

4) Kąt wpisany

Kąt wpisany - to kąt, który ma wierzchołek na okręgu, a ramionami są cięciwy okręgu.

Kąt wpisany może mieć wartość z przedziału od 0 do 180 stopni (wtedy jest kątem półpełnym) oprócz wartości skrajnych - czyli przedział (0, 180).

Warto wyraźnie zaznaczyć kąt wpisany, aby było dla każdego w pełni jasne o jaki kąt chodzi (ostry, prosty czy może rozwarty) oraz zaznaczyć (pogrubić) kolorem kąt, którym się zajmujemy.

I teraz najważniejsza zasada dotycząca kąta środkowego i wpisanego opartego na tym samym łuku. Warto to zapamiętać, a potem poćwiczyć na różnych przykładach, które opiszę poniżej. Zasada jest następująca:

Miara kąta środkowego jest dwukrotnie większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku (co kąt środkowy).

Inaczej mówiąc: jeśli mamy wspólny łuk dla kąta środkowego i wpisanego, to miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego, zaś miara kąta wpisanego jest analogicznie dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego.

Na koniec proponuję stopniowe odkrywanie i sprawdzanie tych zależności na praktycznych przykładach.

PRZYKŁADOWE AKTYWNOŚCI ZWIĄZANE Z KĄTAMI WPISANYMI i ŚRODKOWYMI W OKRĘGU

A) Kąt środkowy (cz.1) [ŁATWE]

1) rysujemy kąt środkowy o wartości mniejszej od 90 stopni (kąt ostry)

2) rysujemy kąt środkowy o wartości dokładnie 90 stopni (kąt prosty)

3) rysujemy kąt środkowy o wartości większej od 90 stopni, ale mniejszej od 180 stopni (kąt rozwarty)

I dopiero po narysowaniu powyższych kątów środkowych (każdy na innym okręgu), rysujemy odpowiedni do niego kąt wpisany, leżący na tym samym łuku. Kolejno kątomierzem mierzymy dokładną wartość kąta środkowego i wpisanego w danym okręgu i wpisujemy je pod nim. Oczywiście powinna między nimi być proporcja o wartości dwa (w zależności od tego czy mówimy o ilorazie czy iloczynie w stosunku do danej pary kątów opartych na tym samym łuku). Warto jest podkreślić, że w przypadku pomiaru owa proporcja może nie wynosić dokładnie dwa z uwagi powstałe błędy w procesie pomiaru lub rysunku. Niemniej chodzi o to, żeby proporcja tych kątów była jak najbardziej zbliżona do dwójki (warto stale przypominać dzieciom, że rysunki praktyczne są jak najlepszymi przybliżeniami oraz pewnymi uproszczeniami i mogą zawierać pewne błędy).

B) Kąt wpisany:

1) rysujemy kąt wpisany o wartości mniejszej od 90 stopni (kąt ostry)

2) rysujemy kąt wpisany o wartości dokładnie 90 stopni (kąt prosty)

3) rysujemy kąt wpisany o wartości większej od 90 stopni, ale mniejszej od 180 stopni (kąt rozwarty)

I analogicznie jak powyżej: po narysowaniu powyższych kątów wpisanych (każdy na innym okręgu), rysujemy odpowiedni do niego kąt środkowy, leżący na tym samym łuku. Dalej postępujemy tak samo jak powyżej.

C) Kąt środkowy (cz.2) [TRUDNE]

1) rysujemy kąt środkowy o wartości niewiele większej od 180 stopni, ale mniejszej od 360 stopni (kąt wklęsły), np. 210 stopni

2) rysujemy kąt środkowy o wartości większej od 180 stopni, ale mniejszej od 360 stopni (kąt wklęsły), np. 240 stopni

3) rysujemy kąt środkowy o wartości dużo większej od 180 stopni, ale mniejszej od 360 stopni (kąt wklęsły), np. 270 stopni

I znowu postępujemy analogicznie jak na samym początku tego ćwiczenia: po narysowaniu powyższych kątów środkowych wklęsłych (każdy na innym okręgu), rysujemy odpowiedni do niego kąt wpisany, leżący na tym samym łuku. Dalej postępujemy tak samo jak powyżej. Tym razem jednak zalecam ANALIZĘ i ODKRYWANIE tego w jaki sposób tworzony jest kąt wpisany, ponieważ jest to dość nieintuicyjne w stosunku do pierwszego ćwiczenia. Bardzo ważne jak też pomocne będzie zaznaczanie i wpisywanie wartości łuku danego kąta na rysunku oraz ich zakolorowanie. Na końcu oczywiście dobrze jest je zmierzyć i zobaczyć czy nadal proporcja o wartości dwa występuje oraz czy na ile duży jest błąd pomiaru.

Myślę, że przećwiczenie rysowania kątów wpisanych jak i środkowych opartych na tym samym łuku wraz z mierzeniem ich miary będzie dobrym pomysłem, aby później móc rozwiązywać zadania dotyczące tego tematu. Oczywiście jeśli ten temat zostanie dobrze zrozumiany i utrwalony, to można następnie przejść do tego, aby w okrąg wpisywać trójkąty oraz czworokąty i badać ich właściwości. W danym trójkącie jak i czworokącie można oczywiście dorysowywać kolejne odcinki będące promieniami łączącymi wierzchołki wielokątów ze środkiem okręgu. Na bazie dalszych ćwiczeń można robić naprawdę wiele ciekawych zadań i stawiać kolejne pytania: o miary poszczególnych kątów, długości boków, obwody danych figur czy nawet ich pola. Tutaj jest naprawdę dość duże pole do popisu zarówno dla ucznia jak i nauczyciela. Zalecam jednak wcześniejsze sprawdzenie zadań, aby nie okazały się po prostu zbyt trudne lub niemożliwe do rozwiązania dla dzieci na danym poziomie. Pamiętajmy również o tym, że nie zawsze musimy wszystko rozwiązywać (poprawnie), bo szalenie ważny jest proces odkrywania, analizowania oraz wyciągania wniosków, a nie typowe wyścigi o to kto szybciej rozwiąże więcej zadań. Tutaj główną myślą i przesłaniem jest mniej, ale porządnie niż więcej, ale byle jak.

PODSUMOWANIE: tym razem nauczyliśmy się o tym czym jest wycinek koła oraz obwód okręgu jak też w jaki sposób obliczać odpowiednio jego pole oraz długość łuku w danym okręgu (lub kole). Przy okazji w telegraficznym skrócie poznaliśmy także wzory na pole koła i obwód okręgu. Oprócz tego zrozumieliśmy jaka jest relacja pomiędzy kątem środkowym i wpisanym opartym na tym samym łuku. Reszta to oczywiście kwestia praktyki jak też obowiązkowo odkrywanie, testowanie, popełnianie błędów, pokonywanie trudności oraz analiza i za każdym razem wyciąganie wniosków.

Jestem pewien, że ta seria kilku artykułów poświęconych zagadnieniu okręgu i koła pozwoli znacznie lepiej zrozumieć najbardziej istotne relacje, które ich dotyczą. Jest to o tyle ważne, że łączą się one z wcześniej poznanymi elementami matematycznego świata: trójkątami, czworokątami oraz wielokątami foremnymi. Nie muszę chyba dodawać, że zrozumienie tych podstaw świata geometrii pozwala na to, aby później stawiać kolejne ciekawe pytania oraz rysować wyżej wymienione figury, które będą wpisane w okrąg lub opisane na okręgu. Ba! Mogą one odpowiednio stykać się z okręgiem czy też go przecinać! A jak ktoś zechce jeszcze głębiej zanurzyć się w ten mikroświat, to może bawić się większą liczbą (rysowanych) okręgów i wielokątów, przy czym można jeszcze zmieniać nie tylko ich liczbę, ale i rozmiar, położenie a nawet je obracać! I tak jak pisałem ostatnio: mam cichą nadzieję, że to wszystko sprawi, że kolejne matematyczne zagadnienia będą jeszcze lepiej zrozumiałe, jeszcze ciekawsze a jednocześnie dające poczucie radości związanej z odkrywaniem! Zachęcam wszystkich do rysowania, tworzenia oraz odkrywania tych niewidocznych relacji, bo za jakiś czas spróbujemy przyjrzeć im się z zupełnie innej perspektywy. Nie muszę chyba przekonywać, że w matematyce jest wiele niesamowicie ciekawych koncepcji, którymi warto się zajmować i odkrywać w nich to, co na pierwszy rzut oka niewidoczne.