Często zastanawiamy się nad tym do czego przydają nam się figury płaskie. Z jednej strony wszyscy wiemy, że bez problemu znajdziemy dziesiątki czy nawet setki kształtów figur geometrycznych, które sobą obok nas w świecie rzeczywistym. Z drugiej strony uczymy się o figurach płaskich tych zagadnień, które wiążą się z ich bokami, wysokością, obwodem, polem a nawet właściwościami przekątnych.
To oczywiście ważne, aby później rozumieć jak można to wykorzystać. Przykładowo ile płytek trzeba kupić do łazienki na podłogę albo ile paneli jest niezbędne, aby położyć podłogę w największym pokoju (czy też wszystkich pokojach) w całym domu. Potem także uczymy się na temat tego ile trzeba kupić farby, aby pomalować pokój czy też wszystkie pokoje. Zastanawiam się jednak nad tym czy jednak nie warto byłoby więcej czasu poświęcić na tym, aby manipulować tymi figurami płaskimi, aby przekonać się w jaki sposób ze sobą się łączą oraz co dzięki takim niezwykłym przekształceniom można tworzyć.
Spróbujmy zatem uzupełnić tę lukę, bo mam wrażenie, że dzięki temu matematyka będzie mogła być postrzegana i doświadczana znacznie głębiej.
Od razu dodam, że już jest kilka gotowych artykułów, które stworzyłem, a można z nich skorzystać, bo są w nich pomysły, które nie tylko warto sprawdzić, ale także wykorzystać na zajęciach. Podzielę się nimi od razu, aby ci, którzy mają ochotę się z nimi zapoznać, mieli taką możliwość (te z gwiazdką mogą nie zawierać konkretnych pytań, lecz samą teorię).
1) Z jakim obiektem przystajesz takim się trójkątem stajesz
*2) Figury podobne są jak trójkąty ozdobne – kształt ten sam, ale inna skala… i to właśnie nas na kolana powala
*3) Figury podobne i skala – czyli o tym jak zabawa figurami radość i potencjał wyzwala
4) Proste i ich magiczne właściwości - odkrywamy i tworzymy ciekawe zależności (4)
5) Czy ten prostokąt jest trójkątem a tamten kwadrat na pewno jest kołem - czyli ustalenie oraz zaakceptowanie jednoznacznych definicji
6) Jak powstaje koło z kwadratu - czyli jak wygląda wnioskowanie na prostych koncepcjach
7) Jak z prostokąta powstaje trójkąt i dlaczego te eksperymenty są takie istotne
8) Klonowanie i układanie kwadratów, prostokątów i trójkątów - czyli budowanie zrozumienia właściwości podstawowych czworokątów
9) Klonowanie i układanie kwadratów, prostokątów i trójkątów dla zaawansowanych - czyli jak przemycić pociągi Sierpińskiego i trójkąty Pitagorasa
Warto pamiętać, że to jest moja propozycja z której można skorzystać, gdy ktoś potrzebuje ciekawych pomysłów. Niektóre z nich będą bardziej lub mniej przydatne, więc jeśli konkretny artykuł nie przypadł ci do gustu, to po prostu sprawdź następne. Wierzę, że spośród tych powyżej wymienionych znajdzie się co najmniej 1-2 pomysły, które mogą dać gotowy materiał do skorzystania na zajęciach lub też inspirację do własnych wytworów.
Zakładam, że wśród osób mnie czytających są zapewne takie, które w młodości bawiły się płaskimi figurami, którymi manipulowały albo na stole albo na podłodze - w takim celu, aby sprawdzić co się stanie, gdy się je ze sobą odpowiednio połączy. Tak, tak! To są tak zwanych "fajne wzorki", które są określane w taki sposób jak: parkietaże, mozaiki czy też po prostu układanie płytek, zaś matematycy fachowo nazywają to zagadnienie jako TESELACJA.
W ostatnim z polecanych artykułów wygenerowałem najwięcej pytań, które teraz pozwolę sobie przypomnieć. Przy okazji przedostatni artykuł również pokazuje jak bawić się figurami, a jednocześnie odkrywać ich własności.
CZĘŚĆ 1: Łączenie kwadratów ze sobą.
1) Ile klocków (kwadratów) potrzeba do tego, aby ułożyć figurę, która będzie miała 3, 5, 7, 10, 20, 30 warstw?
2) W jaki sposób obliczyć ile jest warstw tej figury jeśli znamy liczbę klocków?
3) Ile klocków potrzeba, aby z 5-warstwowca ułożyć 10-warstwowiec?
4) Co ci przypomina i z czym ci się kojarzy powstawanie kolejnych figur?
5) Jeśli bok każdego klocka (kwadratu) wynosi jeden, to jaki będzie obwód każdej z figur, która ma odpowiednio 3, 5, 7, 10, 20, 30 warstw?
6) Co się stanie z figurą jeśli jej prawą część odetniemy i przeniesiemy na lewą, aby powstała nowa figura? Jaka to będzie figura?
7) Czy pole nowej figury będzie inne niż podstawowej figury?
8) W jaki sposób najłatwiej obliczyć pole nowej figury w zależności od liczby warstw?
CZĘŚĆ 2: Łączenie trójkątów równobocznych ze sobą
1) ile różnych figur może powstać gdy połączymy ze sobą trzy trójkąty?
2) ułóż z trzech i pięciu trójkątów - trapez, a z sześciu - sześciokąt foremny
3) ułóż z czterech, dziewięciu i szesnastu trójkątów - trójkąt
4) jakie dostrzegasz zależności pomiędzy kolejnymi liczbami trójkątów: jak się mają do liczby kwadratów z których budujemy większe kwadraty?
5) wykorzystanie pytań, które zadawaliśmy w przypadku kwadratów (to samo co w części pierwszej) oraz wyjaśnienie czym jest analogia
*6) wprowadzenie w zagadnienie: trójkąt i dywan Sierpińskiego
7) Narysowanie dużego trójkąta, przekształcenie w trójkąt Sierpińskiego i następnie wycinanie niepotrzebnych części (trójkątów)
CZĘŚĆ 3: Budowanie (układanie) na trójkącie prostokątnym (połowa prostokąta): kwadratu, półkwadratusa i trójkąta równobocznego
1) na bokach trójkąta prostokątnego (połowa prostokąta) budujemy kwadraty
2) na bokach trójkąta prostokątnego (połowa prostokąta) budujemy półkwadratusy
3) na bokach trójkąta prostokątnego (połowa prostokąta) budujemy trójkąty równoboczne
4) pole której figury (zbudowanej na każdym z boków) jest największe i dlaczego?
5) jak się ma suma pól obu figur (zbudowanej na każdej z przyprostokątnych) w stosunku do pola największej figury?
No i teraz coś co jest wejściem na kolejne poziomy, które pokaże, że matematyka może być niezwykle wciągająca, jeśli tylko wybierzemy to, co będzie dla nas miało sens i wartość. Pamiętajmy o tym, że moje propozycje to jedynie uchylenie drzwi do niesamowitej krainy w której każdy znajdzie coś dla siebie.
Jedną z ciekawszych opcji jest wykorzystanie owych wielokątów do tego, aby móc nimi manipulować w określony sposób. Przykładem takiej gry logicznej, która opiera się na układaniu figur płaskich (wielokątów) w określone kształty jest TANGRAM.
W telegraficznym skrócie TANGRAM to:
Starożytna chińska sztuka układania konkretnych kształtów w określone kształty (obrazy). Warto pamiętać, że tangram to popularna aktywność matematyczna polegająca na rozwiązywaniu problemów, ponieważ trzeba wiele razy poszukiwać nieoczywistych rozwiązań i sprawdzać, które jest tym pasującym do naszego zadania.
Układanka tangram składa się z 7 geometrycznych elementów, znanych jako tany, które są zwykle umieszczone w pudełku w kształcie kwadratu. Są to: dwa małe, jeden średni i dwa duże trójkąty, jeden równoległobok i jeden kwadrat. Celem układanki jest utworzenie konkretnego kształtu (podanego jedynie w postaci konturu lub sylwetki) przy użyciu wszystkich siedmiu elementów, które nie mogą na siebie nachodzić.
No i teraz mamy dwie możliwości kształcenia naszej wyobraźni przestrzennej z użyciem tangramu - wersję na żywo (papierową, drewnianą czy też plastikową) bądź wersję online.
Najpierw wersja na żywo, bo nie wymaga ona żadnych urządzeń elektronicznych, ekranu czy też połączenia z internetem.
Na samym dole poniższej strony (link) mamy możliwość skorzystania z 5 dokumentów w których są podane wzory do układania. Jest ich razem około 140, a podzielone są na następujące kategorie: zwierzęta, obiekty wizualne, ludzie, cyfry oraz święta. Po kliknięciu w określoną miniaturę (obrazek), pojawia się nowe okno z dokumentem w formacie PDF.
I znowu: można wybrać sobie określone kształty, które chcemy układać, w zależności od tego ile mamy wolnego czasu i na co mamy ochotę.
Z kolei jedna z firm produkujących gry i zabawy publikuje wzory do układania, które nie tylko są podpisane po polsku oraz ponumerowane, ale dodatkowo przy większym powiększeniu widać linie, które podpowiadają, które z elementów (tanów) mają się znaleźć w określonych miejscach. Tych obrazków do układania jest aż 61, więc na pewno można mieć zabawę i rozrywkę na co najmniej kilka godzin, a w praktyce na kilkanaście tygodni.
No i jeszcze dochodzi wersja online. Tutaj wpisanie frazy "tangram online" spowoduje, że otrzymamy kilkanaście czy nawet kilkadziesiąt opcji związanych z tą układanką, więc ponownie każdy może sprawdzić, która wersja najlepiej mu będzie pasować. Ja proponuję zapoznać się z poniższą, którą w skrócie opiszę.
Ta wersja tangramu online jest o tyle ciekawa, bo spełnia kilka niezbędnych warunków, które dla mnie są istotne (zwłaszcza, gdy rodzice proszą mnie o to, aby ich dzieci mogły rozwijać wyobraźnię i jednocześnie uczyć się przekształcania elementów w konkretne obrazy czy też realizowania celu).
1) Jest to wersja w pełni bezpłatna (darmowa), co raczej nie jest jakoś specjalnie dziwne, ale jednak warto od tego zacząć.
2) Jest opcja pełnego wyboru ekranu, więc dzięki temu można się wyłącznie skupić na zadaniu (a nie na innych rozpraszaczach).
3) Jest opcja całkowitego wyłączenia dźwięku, który się pojawia w momencie gdy układamy dane elementy oraz ukończymy dany poziom.
4) Jest aż 60 poziomów trudności, więc tutaj na pewno zabawa na co najmniej kilka tygodni.
5) Nie możemy wybrać (układać elementów) wyższego poziomu, zanim nie ukończymy niższego, a więc mamy element rywalizacji ze sobą samym - czyli pokonywania trudności i docierania do celu.
6) Możemy układać dany poziom nieskończenie wiele razy, czyli praktycznie dochodzi jeszcze to, że można bawić się w to ile czasu zajmie nam przejście (ułożenie) powiedzmy 10, 20 czy 30 poziomów (gdy już mamy dane poziomy osiągnięte).
7) Prosta i elegancka kolorystyka wraz z trybem nocnym (ciemnoszarym), która również nie rozprasza i nie męczy zbytnio oczu.
8) Proste menu pod układanym obrazem, które można łatwo schować i wyjąć a przy okazji banalnie prosta nawigacja.
9) Magnetyczne przyciąganie elementów, więc nie trzeba się martwić, że nie trafimy w dane miejsce układanki danym kształtem.
10) Na samym dole pokazany elegancki pomarańczowy pasek postępu wraz z wyświetloną liczbą określonego poziomu spośród wszystkich dostępnych. A do tego pusta gwiazdka to poziom, który mamy odblokowany, zaś pełna to ten, który przeszliśmy. Poziomy niedostępne (nieodblokowane) oznaczone symbolem kłódki.
Biorąc pod uwagę wszystkie powyższe punkty można uznać, że jest to naprawdę znakomita propozycja, aby ćwiczyć umysł w rozpoznawaniu kształtów oraz odpowiedniego ich układania (manipulacji). Ostrzegam zapaleńców, że od poziomu powiedzmy 25, zaczynają się naprawdę wymagające wzory do ułożenia z różnych elementów, więc nie da się przejść wszystkich 60 na weekendzie. Gdyby ktoś tego dokonał (nie rozwiązując wszystkich poprzednio), to mówiąc z lekkim przymrużeniem oka - można od razu mieć część gotowej diagnozy (czy też testu) psychologicznej, która opiera się o sprawdzenie wyobraźni przestrzennej jak i manipulacji obiektami.
Myślę, że na ten moment wystarczy. W kolejnym odcinku postaram się ten temat jeszcze poszerzyć rozwinąć. Dlaczego? Ponieważ geometria jak też bardzo proste zasoby (tak naprawdę to można nawet na zwykłym papierze narysować, pomalować i wyciąć samodzielnie tangram) pozwalają na to, aby móc odkrywać matematyczne piękno, jednocześnie kontynuując niejako zabawę od przedszkola, w którym dzieci bawią się różnymi obiektami, którymi bardzo intensywnie manipulują.
W przypadku dzieci warto pamiętać o tym, że miewają one różne okresy aktywności oraz okresy rozwojowe. Jedne od razu w pełni zanurzą się w tej grze logiczno-przestrzennej, zaś inne bardziej będą wolały inne aktywności, które je zaciekawią. Mając powiedzmy ponad 60 pomysłów na matematykę, jest bardzo duża szansa, że przynajmniej 16 z nich (czyli co czwarty z całej puli) będzie dla dzieci nie tylko ciekawy, ale także praktyczny. Chodzi bowiem o to, aby zarówno dzieci, młodzież oraz dorośli mogli wspólnie wybierać dla każdego coś fajnego. Jeśli jeszcze udałoby się wspólnie bawić z dziećmi, pokazując im jak my dorośli to robimy oraz przekonując je, że dla nas pewne aktywności również mogą być trudne na początku (albo ogólnie), to już w ogóle mamy cud, miód i orzeszki.
Moim celem jest pokazanie tego co albo jest niewidoczne albo niedostrzegane albo też niewykorzystywane czy też niedoceniane. Matematyka bowiem oraz myślenie logiczne i krytyczne często są ukryte, więc tak naprawdę możemy nie być świadomi tego ile możliwości tkwi obecnie w tym, aby móc nie tylko zachwycać się matematyką z innej wymiaru, ale dodatkowo także pomagać w rozwijaniu potencjału na bazie gier, zabaw, łamigłówek oraz tego typu aktywności, w połączeniu z myśleniem, tworzeniem, odkrywaniem, testowaniem, wyciąganiem wniosków jak też przeżywaniem radości.
Jeśli bowiem damy dziecku możliwość wyboru tego co mu się spodoba a przy okazji będziemy go wspierać w dążeniu do osiągania sukcesu, to nagle okaże się, że matematyka wcale nie musi być taka straszna, a przy okazji nauka będzie kojarzyła się z radością, zabawą i świadomym wysiłkiem, a nie jedynie z rachowaniem i tysiącem rozwiązywanych zadań, które niemal w żaden istotny sposób nie przyczyniają się do rozwijaniu potencjału dziecka (ucznia).
Udowodnię na przykładzie serii matematyki rozrywkowej, że można zarówno polubić matematykę jak też móc się dzięki niej rozwijać, bez konieczności cierpienia związanego z matematyką szkolną, która niestety obecnie została za bardzo sprowadzona do rachunkowości oraz testów i wiecznych, niekończących się przygotowań do zdawania egzaminów.
Jeśli bowiem damy dziecku możliwość wyboru tego co mu się spodoba a przy okazji będziemy go wspierać w dążeniu do osiągania sukcesu, to nagle okaże się, że matematyka wcale nie musi być taka straszna, a przy okazji nauka będzie kojarzyła się z radością, zabawą i świadomym wysiłkiem, a nie jedynie z rachowaniem i tysiącem rozwiązywanych zadań, które niemal w żaden istotny sposób nie przyczyniają się do rozwijaniu potencjału dziecka (ucznia).
Udowodnię na przykładzie serii matematyki rozrywkowej, że można zarówno polubić matematykę jak też móc się dzięki niej rozwijać, bez konieczności cierpienia związanego z matematyką szkolną, która niestety obecnie została za bardzo sprowadzona do rachunkowości oraz testów i wiecznych, niekończących się przygotowań do zdawania egzaminów.
