BIBLIOTEKA NAUCZYCIELA MATEMATYKI: Matematyczna pizza - czyli jak matematyka może być wspaniałą zabawą

Książek, które sprawiają, że dzieci odczuwają radość na samą myśl o tym, aby mieć swoją matematyczną bajkę, nie jest wcale tak wiele. Tym bardziej cenne są te, które są warte polecenia. Jedną z takich pozycji, które niedawno wpadły mi w ręce jest książka Matematyczna pizza, której autorką jest Anna Ludwicka. Książka na pierwszy rzut oka nie robi jakiegoś oszałamiającego wrażenia, ale to tylko pozory. Dziecięce rysunki mogą bowiem oznaczać, coś znacznie głębszego. Dlatego zapraszam do krótkiej wyprawy wgłąb tej książki. Tym bardziej, że jest to poważny kandydat do naprawdę wysokiej noty...

 Okładka niezwykłej książki o smacznym tytule: Matematyczna pizza (Anna Ludwicka)

Na samym początku książki (strona piąta) autorka w ten oto sposób zwraca się do czytelnika:

To nie jest zwyczajna książka do matematyki!

To książka rozrywkowa, zbiór zagadek i zagadnień, które uczą myślenia matematycznego w sposób zupełnie inny niż podręczniki szkolne. Jest ona także podróżą w świat logiki, wizytą na dworze królowej nauk, gdzie wyśmienici kucharze przygotowali dla Ciebie wspaniałą ucztę. Jestem przekonana, że spałaszujesz matematyczną pizzę ze smakiem, nie zostawiając nawet okruszków, za to w Twojej głowie na całe życie pozostaną wspaniałe wspomnienia i wiedza.

Z kolei na ostatniej stronie (okładce) mamy taką oto zachętę:

Kto ma ochotę na smakowity kawałek matematycznej pizzy?

Anna Ludwicka, matematyczka i graficzka, stworzyła książkę pełną ciekawostek i fascynujących zadań, dzięki którym każde dziecko przekona się, że matematyka może być wspaniałą zabawą, a może nawet dziedziną sztuki. Czytelnicy będą mieli okazję narysować drzewo binarne, stworzyć obraz z użyciem kostki do gry, zaprojektować matematyczny dywan, poprowadzić ślimaka po wstędze Möbiusa, a na koniec wymyślić figurę niemożliwą.

Pojawia się automatycznie pytanie, na ile powyższe zapowiedzi mają swoje odzwierciedlenie w rzeczywistości, a na ile są standardowymi hasłami reklamowymi, które mają sprawić, że wiele osób kupi tę książkę. Zatem przekonajmy się o tym.

Przykładowe strony z książki Matematyczna pizza (link na końcu artykułu do darmowego fragmentu)

Opowiem w skrócie jakie są moje wrażenia po lekturze tej książki.

Przede wszystkim warto zaznaczyć, że jest to książka, która pokazuje matematykę praktyczną. Nie jest to typowa teoria matematyczna, lecz właśnie matematyka w wydaniu, które dzieci lubią najbardziej - narysuj, wytnij, pokoloruj,  dopisz i na końcu też sprawdź.

Na 80 stronach formatu A4 możemy zasmakować w 40 tematach matematycznych, które zostały podane w bardzo przystępnej formie. Są niesamowite zagadki, nietypowe konstrukcje oraz niemożliwe kształty. Mamy wiele różnych przykładów na to, że matematyka może być naprawdę fajna oraz dawać dużo frajdy, dzięki praktycznemu sprawdzaniu jej własności.

Można powiedzieć, że w tej pozycji Anna Ludwicka zawarła najciekawsze matematyczne perełki, które mogą być z łatwością i powodzeniem sprawdzone w akcji przez każde dziecko. Moim zdaniem każde dziecko, które ma co najmniej 8 lat będzie mogło wykonać znaczną część przykładów z niewielką pomocą rodzica, zaś dzieci w wieku 10-11 lat bez problemu samodzielnie.

Różnorodność przedstawionych zagadnień sprawia, że każdy z pewnością znajdzie coś dla siebie. Jedni zachwycą się wstęgą Möbiusa, inni sitem Eratostenesa, a jeszcze inni fraktalami czy dywanem Sierpińskiego. Poza tym mamy też złotą proporcję i odcinek, nietypowe parkiety, którymi można pokryć płaszczyznę, jak też poezję liczb oraz złudzenia optyczne.

Wszystkie polecenia są podane prostym i zrozumiałym językiem, chociaż trzeba przyznać, że niektóre zadania są wyjątkowo oryginalne i naprawdę niełatwe. Na pewno jednak można opuścić te "diabelskie", aby rozkoszować się pozostałymi.

Na końcu książki mamy dwie strony na których są odpowiedzi do wybranych pytań (zagadek) umieszczonych w książce. Ciekawym dodatkiem jest również spis 7 książek, które mogą służyć do poszerzenia tematów. Drobnym problemem może być znalezienie numeru stron, bo są one schowane w prawym górnym rogu (niewielka biała czcionka na tle czarnego pieska).

Generalnie uważam, że książka jest świetnym wprowadzeniem w świat matematyki, ale w ujęciu praktycznym i tak, aby dziecko mogło przeżywać i odkrywać, to czym się zajmuje. Jestem pewien, że niektóre tematy mogą znacznie bardziej wciągnąć, więc wtedy dobrze byłoby poszukać innych pozycji, które omawiają dane zagadnienie. Pomimo, że jest to typowa książka dla dzieci, to myślę, że nauczyciele edukacji na niższym poziomie mogą znaleźć co najmniej kilkanaście ciekawych pomysłów na lekcje, które sprawią, że dzieci jeszcze bardziej polubią matematykę.

Jest to jedna z niewielu książek, która ma wszystko to co powinna mieć przyjazna dla dziecka książka. Duże kartki, duża czcionka, wyraźne rysunki, jasne polecenia, fachowe ramki informacyjne, wyraźne przestrzenie do rysowania lub kolorowania, kilka dobrze dobranych kolorów, które nie rozpraszają uwagi, dobrej jakości papier i rewelacyjnie dobrane zagadnienia. To wszystko sprawia, że wystawiam tej książce maksymalną ocenę, czyli szkolną 6 (10/10).

Jako podsumowanie mogę powiedzieć, że z niecierpliwością czekam na kolejną matematyczną potrawę. Myślę, że byłaby ona z wielką radością przyjęta przez nieco starsze dzieci (11-14 lat), tak aby również one miały okazję do tego, aby posmakować matematyki, której zazwyczaj w szkole nie będą miały okazji doświadczyć.

Podsumowanie: co sprawiło, że autorka dostała maksymalną ocenę? Odpowiedź jest prosta - świetny pomysł i wykonanie. Można powiedzieć, że jest to bardzo dobra pozycja. A tajemnica sukcesu może być nieco jaśniejsza, gdy dodam, że Anna Ludwikowska pracowała między innymi jako redaktorka, autorka artykułów popularnonaukowych i ilustratorka w czasopiśmie „Delta”, współautorka działu „Zrób to sam” w cyklu podręczników „Tropiciele”. Inaczej mówiąc, nasza autorka zebrała swoje pomysły w jedną książkę i podzieliła się z nami. Dziękuję pani Anno i czekamy na kolejne części!

Przy okazji warto wspomnieć, że można ściągnąć sobie darmowy fragment książki (12 stron) w formacie PDF: https://nk.com.pl/matematyczna-pizza/2405/ksiazka.html

Potęgi razem z pierwiastkami - pozornie trudne zagadnienia... i już wszelkie trudności za nami - cz.10

Dziś opowiem o tym, co się stanie gdy wykładnik potęgi będzie nie tylko ułamkiem, ale również będzie dodatkowo ujemny. Dodatkowo zobaczymy jak superzagadka z poprzedniego odcinka może być łatwo rozwiązana. I przy okazji zobaczymy dlaczego każda liczba (oprócz zera) podniesiona do zerowej potęgi daje nam jedynkę. No to lecimy!

Pamiętamy o tym, że minus w wykładniku potęgi powoduje odwrócenie wyjściowej liczby. I teraz można wybrać dowolny sposób w jaki obliczymy wartość końcową. Zobaczmy o co chodzi na poniższym przykładzie liczby 16 oraz 4.

Jeśli naszą liczbą jest liczba ujemna, wówczas nic się nie zmienia oprócz jednej bardzo ważnej rzeczy. Musimy sprawdzić czy nie dojdzie do sytuacji w której będziemy mieli liczbę ujemną pod pierwiastkiem stopnia parzystego. Pamiętamy, że nie wolno nam wyciągać pierwiastka stopnia parzystego z liczby ujemnej, więc jeśli w mianowniku wykładnika potęgi mamy liczbę parzystą, wtedy trzeba sprawdzić ten warunek - czy liczba podpierwiastkowa nie będzie ujemna. Gdyby okazało się, że jest ujemna, wówczas zadanie nie jest możliwe do rozwiązania (bierzemy pod uwagę wyłącznie działania na zbiorze liczb rzeczywistych).

W końcu możemy mieć jeszcze w podstawie ujemny ułamek oraz w wykładniku potęgi również ułamek ujemny. Można powiedzieć, że to końcowy etap skali trudności jeśli chodzi o potęgi i pierwiastki.

Oczywiście można również wykorzystywać wzory związane z potęgami i pierwiastkami, bo często bardzo mocno pomagają one w uproszczeniu i przyspieszeniu wszelkich operacji. Oto dwa przykłady, które widzieliśmy powyżej, tyle że obliczone z zastosowaniem wzorów.

W poprzedniej odsłonie pokazywałem bardzo nietypowy pierwiastek, który wyglądał niemal kosmicznie. Tak naprawdę jednak tylko jego zapis mógł trochę odstraszać, bo znając przekształcenia na potęgach i pierwiastkach, możemy bez problemu go rozgryźć. Zobaczmy go raz jeszcze i zerknijmy na to jak można się do niego dobrać i rozłożyć na części elementarne.

 

SUPERZAGADKA rozwiązana

Poniżej w skrócie wyjaśnię jakie czynności należy wykonać.

Krok 1. Stopień pierwiastka to pierwiastek sześcienny z 8 czyli 2.
Krok 2. Minus w potędze wykładnika (stojący przy 1/2) zamieniam na odwrócenie wartości, czyli z 81/16 odwracam na 16/81.
Krok 3. Zamieniam 16 na 4 do kwadratu, tak samo jak 81 jako 9 do kwadratu.
Krok 4. Stosuję wzór związany z potęgowaniem potęgi, polegający na tym, że mnożymy przez siebie wykładniki. Po wymnożeniu w liczniku ułamka pod pierwiastkiem mamy 4, zaś w mianowniku 9.
Krok 5. Wyciągamy pierwiastek kwadratowy z 4/9 i mamy końcowy wynik, którym jest 2/3.

Wspomnę jeszcze o dwóch sytuacjach, które mogą być ważne i użyteczne.

Zero do potęgi zerowej jest nie jednoznaczne, ponieważ przyjmuje dwie wartości: 0 albo 1. Dlatego na nasze potrzeby w zupełności wystarczy nam stwierdzenie, że nie możemy używać tego zapisu, ponieważ spowoduje błąd (error). Wyjaśnienie tego jest dość kłopotliwe, dlatego na chwilę obecną wystarczy uznać, że matematycy ustalili to w taki sposób, więc niech tak będzie (jest to nieco wyższa matematyka).

Natomiast wyjaśnienie tego dlaczego dowolna liczba (oprócz zera) podniesiona do potęgi zerowej daje jeden - jest o tyle łatwe co i zrozumiałe. Wyjaśnię to aż na 3 przykładach, więc każdy będzie mógł wybrać dla siebie ten sposób, który jest najbardziej przejrzysty i odpowiedni.

SPOSÓB 1: potęgi rosnące i malejące.

Widzimy w tabeli, że w zależności od kierunku w którym będziemy analizowali - wartość naszej potęgi zwiększa się lub zmniejsza czterokrotnie. I zarówno w jednym jak i w drugim kierunku musi przejść przez jedynkę - czyli w naszym wypadku 4 do potęgi zerowej (co daje jeden).

SPOSÓB 2: dodawanie lub odejmowanie zera w wykładniku potęgi nie zmienia jej wartości.

Wiemy doskonale, że tylko mnożenie i dzielenie przez jeden nie zmienia wartości, więc nasza zaznaczona kolorem liczba (4 do potęgi 0) musi mieć wartość 1. Inaczej nie byłoby równości pomiędzy kolejnymi etapami.

SPOSÓB 3: dzielenie dwóch tych samym liczb zawsze daje nam jeden.

Następnym krokiem jest przejście do wzorów na potęgowanie i pierwiastkowanie oraz wykonanie kilku ćwiczeń na każdym z nich. Dzięki temu będzie można poczuć to co wiąże się z płynnym stosowaniem wzorów, aby dojść do celu - maksymalnie prosto i minimalnym nakładem sił. Z uwagi na to, że to jest zupełnie inna część tematu, więc nie będę jej tutaj w ogóle omawiał.

Na koniec wspomnę jeszcze, iż do końca serii pozostały już tylko dwie części. W odcinku 11 podsumujemy sobie wszystko to co omówiliśmy do tej pory, zaś ostatni (dwunasty) odcinek będzie poświęcony notacji wykładniczej. W skrócie powiem, że wykorzystuje potęgi do zapisywania bardzo dużych i małych liczb w najkrótszej postaci.

Podsumowanie: Jeśli w wykładniku potęgi mamy ułamek, wówczas wiemy, że będzie to połączenie potęgowania z pierwiastkiem. Ujemny wykładnik odwraca nam wartość (liczbę) potęgowaną, a reszta to tylko uważne realizowanie operacji na liczbach. Wykorzystując wzory możemy ułatwić sobie życie, tak aby sprawniej wykonać zadanie i uprościć do niezbędnego minimum - konieczne przekształcenia i obliczenia. Warto również zapamiętać, że każda liczba oprócz zera, która w wykładniku przechodzi przez punkt pomiędzy dodatnimi a ujemnymi potęgami (czyli przez zero)... daje nam jedność, czyli jedynkę. Tak naprawdę teraz może to wyglądać znacznie prościej niż wydawało się na pierwszy rzut oka. Głębsze zrozumienie tego zagadnienia wymaga przynajmniej odrobiny ćwiczeń w czasie których będziemy uważnie analizowali i realizowali poszczególne operacje na potęgach i pierwiastkach.

Potęgi razem z pierwiastkami - pozornie trudne zagadnienia... i już wszelkie trudności za nami - cz.9

Dzisiaj znowu krótki wykład - spojrzymy na to co poprzednio mówiliśmy oraz przyjrzymy się temu co się będzie działo, gdy wykładnik potęgi będzie ułamkiem. Na początek przeanalizujemy wyłącznie elementarne (dodatnie) przypadki, tak aby w kolejnych odsłonach zapoznać się z tymi, które wymagają nieco więcej przemyśleń. Tak czy inaczej powoli już widać nasz koniec serii, więc myślę, że tempo naszych rozważań jest całkiem dobre. Zaczynamy kolejny wykład! Proszę zatem zajmować miejsca...

Z uwagi na to, że teoria nie dopuszcza pierwiastków stopnia ujemnego, więc zobaczmy co z tego dla nas wynika. Otóż w moich rozważaniach ujemne liczby w stopniu pierwiastka powodowały odwrócenie wartości (liczby) podpierwiastkowej. Tę funkcję spełnia jednak znak ujemny dotyczący wykładnika potęgi przy których nie ma żadnych ograniczeń... więc nie musimy się martwić tym, że nie będziemy mogli używać ujemnych stopni pierwiastków.

Dodam jeszcze jedną rzecz o której wcześniej wspominałem: oficjalnie w matematyce stopień pierwiastek może być tylko liczbą naturalną od 2 w górę. Czyli umawiamy się na to, że nie stosujemy także pierwiastka w stopniu pierwszym, nawet jeśli byłby on w pełni logiczny i zrozumiały (przypominam, że zwracał on tę samą liczbę podpierwiastkową). Potraktujmy to jako przygodę intelektualną, którą trzeba wykonać, gdy chce się dostać doktorat z matematyki, za opracowanie koncepcji, która jeszcze nie istnieje w matematyce.

Wracamy do głównego wątku naszych rozważań. Wiemy, że możemy pierwiastkować zarówno liczby całkowite jak i ułamki. Pamiętamy również o tym, że w przypadku, gdy pod pierwiastkiem jest liczba (wartość) ujemna, wówczas stopień pierwiastka musi być nieparzysty.

Zastanówmy się teraz co by się stało, gdybyśmy w wykładniku potęgi wpisali zamiast liczby całkowitej... ułamek.

Na początek weźmiemy znowu podstawę potęgi dodatnią całkowitą i zobaczymy jakie zmiany będą zachodziły w przypadku wykładnika, który jest ułamkiem.

W przypadku wykładnika, który jest ułamkiem mamy połączenie potęgowania i pierwiastkowania. Oto wyjawienie sekretu, dlaczego nie mogłem wcześniej wyjaśnić tego co się dzieje z liczbami, które są poddawane potęgowaniu mającemu w wykładniku ułamek.

Sprawdźmy liczby, które już wcześniej badaliśmy. W ułamku wykładnika mamy licznik (wyżej) oraz mianownik (niżej). Pomiędzy nimi mamy kreskę ułamkową, która oddziela je od siebie.

I teraz wiadomość na którą czekaliśmy dość długo: w wykładniku potęgi licznik mówi nam o tym do jakiej potęgi podnosimy liczbę, zaś mianownik w jakim stopniu ją pierwiastkujemy.

Inaczej mówiąc najpierw naszą liczbę klonujemy i rozmnażamy (potęgowanie), a potem ją niejako rozbijamy na elementy w najmniejszej grupie (pierwiastkowanie).

Zerknijmy na kilka elementarnych przykładów.

Podnosząc liczbę 4 do potęgi 1/2, widzimy, że w liczniku wykładnika mamy potęgę do której podnosimy naszą 4, zaś w mianowniku wykładnika - liczbę, która mówi nam w jakim stopniu mamy wyciągnąć z niej pierwiastek (drugim).

Analogicznie jest z pozostałymi liczbami, czyli 16 i 64. Mówiąc nieco bardziej obrazowo, liczba w wykładniku, która jest najwyżej (nad kreską ułamkową) wędruje do naszej podstawy potęgi, zaś na niżej w mianowniku (pod kreską ułamkową) przechodzi przed nią, tworząc dla niej ładne gniazdo, czyli znak pierwiastka... siadając jednocześnie na jego przedniej gałęzi.

Pamiętajmy, że ten fenomen działa oczywiście w obie strony. Czyli pierwiastek możemy zamienić na potęgę... zaś potęgę na pierwiastek.

Dodatkowo mamy również dwie formy zapisywania potęgi (o wykładniku ułamka).

1) wykładnik potęgi, który był w liczniku - wchodzi pod pierwiastek jako wykładnik liczby
2) wykładnik potęgi, który był w liczniku - wychodzi poza całe wyrażenie (liczbę) jako wykładnik liczby

Możemy to zobaczyć na kilku przykładach, które szybko i wyraźnie pokażą o co chodzi.

W kolejnym odcinku przyjrzymy się temu co się będzie działo, gdy wykładnik potęgi będzie nie tylko ułamkiem, ale również będzie dodatkowo ujemny. A potem jeszcze będziemy mogli dodać sytuację w której podstawa potęgi będzie ujemna... więc będziemy znali już wszystko to zostało zaplanowane w ramach naszych wykładów.

Uchylę rąbka tajemnicy, że na końcu serii bez problemu będziemy mogli rozwikłać poniższą dość nietypową superzagadkę pierwiastkowo-potęgową. Chętnych, którzy chcą samodzielnie sprawdzić swoje możliwości - zapraszam do pogłówkowania. Wierzę, że zwłaszcza Marysia będzie stawała na głowie, aby istotę tej zagadki nie tylko zrozumieć, ale również wyjaśnić mamie albo koleżance...

SUPERZAGADKA DLA MARYSI - kto się odważy tę zagadkę rozwiązać, a kto nawet wyjaśnić ją zdoła... gdy wszyscy wokół będą mieli zdziwione miny dookoła?

Podsumowanie: wykładnik potęgi, który jest ułamkiem mówi nam o tym, że będziemy mieli mieszankę potęgowania (licznik) oraz pierwiastkowania (mianownik). Tym razem zobaczyliśmy co się dzieje w najprostszym przypadku, a kolejne odsłony pokażą nam jeszcze kilka możliwości podniesienia poprzeczki w zagadnieniu potęgowania i pierwiastkowania.

PS. Okazuje się, że ujemne stopnie pierwiastków nie będą nam do niczego potrzebne, więc jeśli sama matematyka mówi (podziękowania dla pani Agnieszki I. za wyjaśnienie i pomoc związaną z tym, że ta koncepcja może być albo jest nieprawidłowa), że to nie jest dobra droga, to skupiamy się wyłącznie na tych naturalnych dodatnich, które zaczynają się od dwójki. Dodam jeszcze, że pierwszy stopień pierwiastka również nam nic nie zmienia, więc nie będziemy go również używali. Poradzimy sobie bez nich.

Potęgi razem z pierwiastkami - pozornie trudne zagadnienia... i już wszelkie trudności za nami - cz.8

Pierwiastki mogą również być wyciągane (obliczane) z ułamków. To temat na tyle łatwy, że możemy go zrobić błyskawicznie, zwłaszcza, że niemal identyczna tabela (tyle, że z liczbami całkowitymi) już była prezentowana.

Warto podkreślić, że ułamek pod pierwiastkiem ma ten stopień pierwiastka, który obejmuje całą wartość. Tabela powinna wszystko wyjaśnić. Warto na spokojnie przyjrzeć się zawartości tabeli (jej siostra była w odcinku o numerze 6) ...i lecimy dalej.

Tabela 1: ZNAJOMA TABELA DO KTÓREJ NIE TRZEBA WRACAĆ JEŚLI ZROZUMIEMY JEJ SENS

Kolejnym zagadnieniem, na które warto zwrócić uwagę jest ujemny wykładnik oraz stopień pierwiastka. Tutaj myślę, że może być sporo ciekawych tajemnic.

Pamiętamy, że w przypadku ujemnego wykładnika potęgi, odwraca nam on daną liczbę. Czyli mówiąc krótko - przy dojściu do potęgi zerowej następuje jedność (każda liczba podniesiona do potęgi zerowej (oprócz samego zera) staje się jednością). Następnie każda ujemna potęga sprawia to, że podstawa potęgi (liczba potęgowana) musi zostać odwrócona. I nie ma akurat znaczenia czy przed potęgowaniem czy po nim.

Teraz jednak mamy pierwiastki. I wiemy, że w przypadku pierwiastków o stopniach całkowitych dodatnich wszystko jest raczej jasne. Z definicji pierwiastka wynika, że jest to rozbijanie danej liczby na iloczyn tych samych elementów (czynników). Przykładowo przy pierwiastku czwartego stopnia z 16, pytamy się jak zapisać 16 jako iloczyn 4 jednakowych czynników. I wiemy, że akurat jest to możliwe, bo 16=2*2*2*2. Z tego wynika, że podstawą jest dwójka, czyli to wynik naszego pierwiastkowania. Analogicznie wyciągnięcie pierwiastka trzeciego stopnia z 8, to 2, bo możemy 8 rozbić na 3 identyczne czynniki iloczynu (8=2*2*2). Podobnie dzieje się z pierwiastkiem kwadratowym z 4, gdzie wynikiem jest 2 (bo 4=2*2)... no i jeszcze pierwiastek stopnia pierwszego (w ogóle nie używamy w literaturze), który zwraca nam tą samą wyjściową liczbę.

Pójdźmy dalej. Czy można spierwiastkować liczbę zero razy? Okazuje się, że nie, bo nie można byłoby tego jak zapisać. Czyli musimy się pogodzić z tym, że nie stosujemy pierwiastka stopnia zerowego dla jakiejkolwiek liczby (wartości).

Teraz teoria, która może nie być spójna z innymi częściami matematyki, ale pomimo tego chcę ją zaprezentować, bo jak dotychczas nie znalazłem jej obalenia.

ORYGINALNA KONCEPCJA UJEMNEGO STOPNIA PIERWIASTKA, to albo herezja... albo geniuszu namiastka

Koncepcja ujemnego stopnia pierwiastka jest niespotykana w literaturze. Dlatego uprzedzam, że może być kompletnie błędna, chociaż ja do tej pory nie znalazłem logicznego błędu w niej. Ba! Jest ona tak bardzo pomocna w dopełnianiu zagadnienia potęg i pierwiastków, że zdecydowałem się ją pokazać światu, nawet jeśli ktoś znajdzie jej obalenie i cała padnie jak domek z kart. No, ale do rzeczy.

Dziś krótko powiemy sobie o niej, a w następnym odcinku zobaczymy jakie ciekawe może być ich zastosowanie. Tym razem wymagana będzie jeszcze większa samodzielna praca, aby odkrywać zależności na bazie liczb w tabelach.

Tabela 2: Potęgi i pierwiastki - połączenie jakiego jeszcze nie znaliście

Tabela 3: Podwójny zapis pierwiastków, których wartość jest identyczna

Tabela 4: Pary pierwiastków, które mają przeciwne znaki wykładników potęg i odwrócone wartości (liczby) pod pierwiastkami... i te same wartości

Tabela 5: Strzałki pokazujące wszystkie z par pierwiastków, których zarówno wartości pod pierwiastkami są odwrócone jak też znaki zamienione na przeciwne w stopniach pierwiastków

Dobrze jest uważnie przyjrzeć się tabelom oraz wszelkim liczbom w nich zawartych. Im więcej zależności znajdziemy, tym szybciej będziemy mogli wchłonąć kolejną dawkę matematycznej strawy. Podpowiem, że warto patrzeć i poszukiwać relacji między poszczególnymi polami - po liniach poziomych i pionowych oraz postawić sobie w środku tabeli lustro i zobaczyć oraz pomyśleć co się odbija po jednej i drugiej stronie oraz dlaczego tak się dzieje.

Podsumowanie: pierwiastki coraz mocniej odbijają się w potęgach i widać jak na dłoni, że świetnie ze sobą współpracują. Kolejne odkrycia będą prowadziły nas do końcowych wniosków, które będą mogły być stosowane do najbardziej zaskakujących elementów sztuki matematycznej. W końcu będziemy w stanie zrozumieć dlaczego musieliśmy nieco dlużej zaczekać na to, aby sprawdzić i zrozumieć co się stanie, gdy wykładnik potęgi będzie (ujemnym) ułamkiem. Wyjaśni się również sekret tego czym są pierwiastki niewyciągalne (należące do zbioru liczb niewymiernych) no i po czym je można rozpoznać.

Potęgi razem z pierwiastkami - pozornie trudne zagadnienia... i już wszelkie trudności za nami - cz.7

Poprzednie wykłady były na tyle wymagające, że dobrze byłoby, aby dzisiejsze zajęcia były nieco luźniejsze. Dlaczego? Otóż chodzi o to, aby dać chwilę odsapnąć naszemu umysłowi, bo kolejne lekcja będą coraz bardziej wymagające. Zapewniam jednak, że końcowy zestaw pytań i odpowiedzi jeszcze bardziej rozpalą w was ochotę i ciekawość ku temu, aby zobaczyć jak niesamowicie ciekawe zagadki i tajemnice oraz sztuczki kryją się w świecie pierwiastków.

Dzisiaj powiemy sobie o tym czym jest tabela potęgowa i pierwiastkowa od 11 do 19, a na koniec w telegraficznym skrócie odpowiem na pytania ekspertów z przedszkola, wśród których musiałem zdać egzamin, aby móc was uczyć. Dodam, że po tym teście wyszedłem mocno spocony, ale naprawdę moja wiedza i zrozumienie poszybowały na kolejny poziom. Zatem zaczynamy!

W praktyce dobrze jest znać na pamięć poszerzoną tabliczkę mnożenia. Ta podstawowa obejmuje liczby potęgowe (stopnia drugiego) od 1 do 10, czyli 1*1, 2*2, ..., 9*9 i 10*10. Teraz dobrze byłoby poznać i nauczyć się biegle potęg kwadratowych liczb od 11 do 19. I temu w dużej części poświęcimy dzisiejszy wykład.

Poniżej widzimy dwie tabele. W obu zawartość jest tego samego typu. Pierwsza kolumna informuje nas jaką liczbę potęgujemy przez siebie (czyli kwadrat danej liczby), kolejna kolumna pokazuje zapis matematyczny wraz z wynikiem, zaś ostatnia - mówi nam o sposobie w jaki możemy pomóc naszej pamięci, aby je dobrze utrwaliła i poprawnie odtwarzała.

TABELA nr 1: Tabela potęgowa i pierwiastkowa od 11 do 14.

Pierwsza tabela pokazuje wartości kwadratowe (drugiej potęgi) dla liczb od 11 do 14, zaś druga - od 15 do 19. Nie wpisałem 10, ponieważ jej wartość jest w podstawowej tabliczce mnożenia, zaś przy 20, wynik jest mega prosty do zapamiętania, bo jest nim 400.

TABELA nr 2: Tabela potęgowa i pierwiastkowa od 15 do 19.

A na czym polega tabela pierwiastkowa skoro nie ma w niej żadnych pierwiastków? Otóż chodzi o to, aby przypomnieć sobie to, że odwrotnością potęgowania jest pierwiastkowanie. Zatem jeśli będziemy czytali od lewej do prawej, to mamy potęgowanie, ale już odwrócenie kierunku czytania - od prawej do lewej, sprawi że będziemy mieli do czynienia z pierwiastkowaniem. Czytając zatem z pierwszej tabeli będziemy mieli pierwiastek kwadratowy (drugiego stopnia, bo wykładnik też był taki) ze 121 daje nam 11 (czyli podstawę potęgi). Następnie ze 144 będzie 12, 169 oczywiście 13 i tak dalej.

Przypominam, że dobrze jest to opanować, aby nie musieć stale szukać kalkulatora. I dodam, że jest to w pewien sposób poszerzona tabliczka mnożenia, którą każdy dobry student matematyki powinien płynnie opanować.


Z uwagi na to, że tak jak wspominałem, tym razem będzie nieco luźniejszy wykład, więc pozwólcie, że odpowiem na zapytania naszych studentów, którzy nieprzypadkowo znani są jako eksperci z grupy Misiów.

1. Czy pierwiastek kwadratowy musi mieć zapisany stopień czy też można go pominąć?

Otóż matematycy ustalili między sobą, że jeśli nie będą pisali stopnia pierwiastka, to znaczy, że chodzi o drugi stopień. I tak zostało do dziś dnia, ale niewykluczone, że kiedyś może się to zmienić. Czyli zapisując pierwiastek bez oznaczenia jego stopnia chodzi nam o pierwiastek stopnia drugiego, czyli kwadratowy.

2. Dlaczego w żadnej książce nie spotkaliśmy pierwiastka pierwszego stopnia, a na wykładzie o nim się uczyliśmy?

To akurat taka drobna sztuczka polegająca na tym, aby lepiej zrozumieć czym jest zarówno potęga pierwsza jak i pierwszy stopień pierwiastka. Obie z nich w żaden sposób nie zmieniają liczy, tylko jej zapis. To mniej więcej tak jakbyśmy zapisali 4 jako 3+1, albo 6-2. W każdym zapisie wartość jest taka sama, prawda? A w książkach raczej tego nie znajdziecie drogie dzieci, ponieważ nikt z matematyków tak naprawdę tego nie używa, więc również nikt nie chce wprowadzać dodatkowego "utrudnienia".

3. Co się stanie jak zapiszemy zero do potęgi zerowej? A co by było, gdybyśmy zero spierwiastkowali w stopniu zerowym?

W każdym z tych przypadków pojawi nam się tak zwany error (błąd). Oznacza to, że jest to niedozwolona operacja. Inaczej mówiąc żadnego z tych zapisów nie można określić, czyli jest to ograniczenie związane z potęgowaniem i pierwiastkowaniem. Na kalkulatorze taka operacja zakończy się komunikatem o błędzie (Error).

4. Na czym polega magia liczb zero i jeden w procesie potęgowania oraz pierwiastkowania?

Te dwie liczby mają tę niesamowitą właściwość, że cokolwiek z nimi zrobimy jeśli chodzi o potęgowanie i pierwiastkowanie... to nadal pozostają sobą, czyli nie zmienią się. Jedynym wyjątkiem wartym zapamiętania na tę chwilę jest ten mówiący, że nie wolno zera ani podnosić do potęgi zerowej ani pierwiastkować w stopniu zerowym. Dodatkowo wiemy również, że nie wolno dzielić przez zero, więc dla zera będą jeszcze inne wyjątki wynikające z ujemnych wykładników potęg (zero nie ma swojej odwrotności) oraz ujemnych stopni pierwiastków (o tym będzie mowa niebawem). Natomiast w przypadku jedynki każda operacja jest dozwolona, zatem z tego wynika, że na jedynkę nie działają żadne ograniczenia.

5. Czy jest w ogóle możliwe pierwiastkowanie (wyciąganie pierwiastków) z ułamków albo nawet z ułamków ujemnych?

To trochę trudniejsze pytanie. Generalnie tak, ale w zależności od typu ułamka może pojawić się problem związany z tym, że będzie trzeba zapisać go jako liczbę niewymierną.

6. Czym są liczby niewymierne? Czy to są pierwiastki, które były niewierne i zostały skazane na potępienie?

Tak, to właśnie tak. W kolejnej lekcji będziemy o tym mówili.

7. Jaka będzie wartość końcowa, gdy wyciągniemy pierwiastek kwadratowy z 3, 5, 7 czy nawet 8?

Nie wiem skąd macie te pytania, ale naprawdę świetne. Podejrzewam, że mogliście konsultować swoją wiedzę i pytania ze studentami z poprzedniej grupy. Ależ jesteście pomysłowi! Naprawdę cieszę się, że macie aż tak dużą ciekawość, bo niebawem się o tym dowiecie.

8. Studenci z najwyższego roku, którzy już niebawem będą magistrami matematyki, mówili nam w sekrecie, że pierwiastki wyciągalne to inaczej liczby wymierne, a te niewyciągalne to niewymierne. Czy to prawda panie profesorze?

Tak, to prawda. To najlepsi studenci na całej uczelni, więc nie dziwcie się, że ich wiedza jest naprawdę rozległa i głęboka.

9. Czy będziemy się uczyli o tym jak przy pierwiastkowaniu zachowują się potęgi o wykładniku innym niż stopień pierwiastka?

Oczywiście, że będziemy. Przy okazji muszę porozmawiać z moimi magistrami, bo widzę, że chyba moje notatki rozchodzą się wśród dzieci z prędkością ponaddźwiękową.


No dobra moje kochane ciekawe świata urwisy! Kończymy na dziś zajęcia, bo za chwilę dzieci z grupy Kaczuszek będą chciały się dowiedzieć czym jest liczba Pi i jak to się dzieje, że stale ukrywa się ona w każdym kole i okręgu... a ja jeszcze muszę napić się wody, aby móc odpowiadać na ich niezwykle ciekawe i zarazem wymagające pytania.

PODSUMOWANIE: jeśli masz poczucie, że znakomicie potrafisz wyjaśnić daną koncepcję matematyczną, to najtrudniejszym testem i zarazem wyzwaniem będzie przyjęcie zaproszenia na zajęcia do przedszkola pięcio i sześciolatków, którzy są ekspertami w wymyślaniu i zadawaniu pytań o jakich nigdy ci się nie śniło. Pamiętaj, że jeśli nie potrafisz czegoś wyjaśnić grupie pięciolatków, to tak naprawdę sam dobrze nie rozumiesz danego tematu. Sorry, Winnetou!

Potęgi razem z pierwiastkami - pozornie trudne zagadnienia... i już wszelkie trudności za nami - cz.6

Okazuje się, że zapotrzebowanie na pierwiastki jest znacznie większe niż na potęgi. Bardzo mnie to cieszy, bo wiem, że dzięki mojej pracy więcej osób będzie mogło zobaczyć matematykę jakiej nigdy nie poznało. Dlatego tym raduje się moje serce, bo jeszcze w większym zakresie moja twórcza praca będzie mogła mieć odbicie w wyjaśnianiu tego co albo nieznane albo zupełnie niezrozumiałe.

Dzisiaj przyjrzymy się pierwiastkom z jeszcze innej perspektywy, która jeszcze bardziej poszerzy nasze zrozumienie tego zagadnienia. W poprzednim odcinku powiedzieliśmy sobie o tym na czym polega pierwiastkowanie i jakie elementy w nim występują. Celowo temat dotyczył potęgowania i pierwiastkowaniu tylko w stopniu drugim, aby teraz nie tylko poszerzyć je o stopień trzeci, ale i pokazać wyjątki, które dotyczą pewnych ograniczeń o których będzie mowa poniżej.

Gwarantuję, że każdy kto dobrze zrozumiał poprzednią część i wykonał kilka ćwiczeń, które zalecałem, teraz będzie mógł delektować się kolejnym szczeblem wtajemniczenia. I nie ma znaczenia czy czytelnik ma lat 10, 20, 30 czy 50. Wystarczy tylko uważna lektura i analizowanie wszystkiego co przekazuję. A przyznam, że staram się to zrobić najlepiej jak potrafię. Do dobra! Koniec lania wody, niechaj pierwiastki wypływają na szerokie wody!

Pierwiastek parzysty to skrócona nazwa na pierwiastek, którego stopień jest parzysty. I analogicznie w przypadku zwrotu pierwiastek nieparzysty, to jest to skrócona nazwa pierwiastka mającego stopień nieparzysty.

Pierwiastek z liczby (wartości) ujemnej może być (wyciągany) tylko wtedy, gdy mamy wykładnik nieparzysty.

W przypadku, gdy mamy wykładnik parzysty wówczas liczba (wartość) podpierwiastkowa jak i wynik muszą być nieujemne - czyli obie albo dodatnie albo zerowe.

Inaczej mówiąc pierwiastek z liczby ujemnej możemy obliczać (wyciągać) tylko wtedy, gdy stopień pierwiastka jest liczbą nieparzystą.

TABELA DO KTÓREJ WARTO RAZ JESZCZE POWRÓCIĆ PO PRZECZYTANIU CAŁOŚCI

Teraz krótko powiemy sobie o pierwiastkach stopnia drugiego i trzeciego. Są one bardzo często stosowane, więc dobrze jest przyjrzeć im się nieco bliżej.

Na początek trzeba powiedzieć, że pierwiastek stopnia drugiego często nazywany jest pierwiastkiem kwadratowym. Z czego to wynika? Otóż właśnie z tego, że łączy się ono z kwadratem.

Jeśli mamy:
- kwadrat o boku 2, wtedy jego pole będzie wynosić 4.
- kwadrat o boku 3, wtedy jego pole będzie wynosić 9.
- kwadrat o boku 4, wtedy jego pole będzie wynosić 16.
- kwadrat o boku 5, wtedy jego pole będzie wynosić 25.
- kwadrat o boku 6, wtedy jego pole będzie wynosić 36.

Teraz gdybyśmy chcieli wiedzieć jaki będzie pierwiastek kwadratowy z danej liczby, wtedy możemy pomyśleć o tym jaki bok musiałby mieć kwadrat o danym polu.

Przykładowo jeśli:
- pole kwadratu wynosi 4, wtedy jego bok musi mieć długość 2.
- pole kwadratu wynosi 9, wtedy jego bok musi mieć długość 3.
- pole kwadratu wynosi 16, wtedy jego bok musi mieć długość 4.
- pole kwadratu wynosi 25, wtedy jego bok musi mieć długość 5.
- pole kwadratu wynosi 36, wtedy jego bok musi mieć długość 6.

Z tego wniosek, że wyciąganie pierwiastka kwadratowego z danej liczby, to znalezienie (obliczenie) długości boku kwadratu.

Analogicznie będziemy mieli podobną zależność w przypadku pierwiastka stopnia trzeciego, który jest nazywany pierwiastkiem sześciennym.

Przypomnijmy, że sześcian to figura przestrzenna, która jest prostopadłościanem o identycznych bokach będących kwadratami.

Jeśli mamy:
- sześcian o boku 2, wówczas jego objętość wynosi 8.
- sześcian o boku 3, wówczas jego objętość wynosi 27.
- sześcian o boku 4, wówczas jego objętość wynosi 64.
- sześcian o boku 5, wówczas jego objętość wynosi 125.
- sześcian o boku 6, wówczas jego objętość wynosi 216.

No i oczywiście gdybyśmy znali objętość sześcianu, ale nie wiedzieli jakiej długości jest jego bok, wtedy z pomocą przychodzi nam właśnie pojęcie i zastosowanie pierwiastka sześciennego (trzeciego stopnia).

Jeśli wiemy, że:
- objętość sześcianu wynosi 8, wtedy jego bok musi mieć długość 2.
- objętość sześcianu wynosi 27, wtedy jego bok musi mieć długość 3.
- objętość sześcianu wynosi 64, wtedy jego bok musi mieć długość 4.
- objętość sześcianu wynosi 125, wtedy jego bok musi mieć długość 5.
- objętość sześcianu wynosi 216, wtedy jego bok musi mieć długość 6.

Przejdźmy teraz do pierwiastków nieparzystych, czyli tych, które mają stopień nieparzysty.

Co jest istotne? Otóż ważne jest to, aby zrozumieć, że dla dowolnego stopnia pierwiastka (przypominam, że rozpatrujemy na razie wyłącznie stopień, który jest całkowity dodatni), gdy wartość podpierwiastkowa będzie dodatnia, wówczas wynik pierwiastka również będzie dodatni. Natomiast gdy liczba (wartość) podpierwiastkowa jest ujemna, wówczas stopień pierwiastka musi być nieparzysty, abyśmy mogli wyciągać z niego wartość (liczbę). I przy okazji dodam, że wynik takiego pierwiastkowania także będzie ujemny.

Na koniec krótkie wyjaśnienie tego fenomenu.

Otóż w przypadku mnożenia tych samych liczb ujemnych (tak, tak to właśnie potęgowanie), nieparzystą liczbę razy, znak ujemny przy wyniku zostaje (nie znika). A czemu tak się dzieje? Zobaczmy na poniższe wyjaśnienie.




W przypadku pierwiastków parzystego stopnia obowiązują dwie zasady:
- liczba podpierwiastkowa musi być dodatnia (albo zerowa)
- wynik pierwiastkowania musi być dodatni

Od razu zaznaczę, że w przypadku gdy pierwiastkujemy zero, wówczas wynikiem również jest zero. W przypadku pierwiastkowania zera i jedynki powiemy nieco więcej w kolejnych odsłonach.

Dlatego właśnie (a nie -3), nawet jeśli (-3)*(-3) = 9. Tak samo (a nie -4), nawet jeśli (-4)*(-4) = 16. Tak, to naprawdę ważne!

Inaczej mówiąc przy parzystych pierwiastkach (stopnia 2, 4, 6, itd.) wykluczamy wartość ujemną - zarówno spod znaku pierwiastka (liczba podpierwiastkowa) jak też po jego obliczeniu (wyciągnięciu), czyli w wyniku końcowym.

W zrozumieniu tego fenomenu pomogą nam tabele, które naprawdę dobrze pokazują zależności o których wyżej mówiliśmy.

Tabele są raczej proste, ponieważ zawierają niemal to samo co było w poprzednim odcinku, tyle że tym razem na warsztat weźmiemy liczby ujemne. Wyjaśnię o co w nich chodzi na przykładzie ujemnej dwójki (pierwsze dwie tabele), a kolejne przykłady dotyczące ujemnej trójki oraz czwórki... są analogiczne. Wystarczy tylko uważnie je przestudiować i wszystko powinno nam się dobrze poukładać w głowie.

TABELA nr 1: Liczba -2 poddana procesowi potęgowania - wartości ujemne i dodatnie (na przemian).

Pierwsza tabela pokazuje nam liczbę (-2) w akcji potęgowania. Tradycyjnie pierwszy wiersz zawiera potęgi dla każdej z kolumn (od 1 do 5), które wizualnie powinny być na górnym wierzchołku trójkąta. Czytamy je od lewej do prawej i oznaczają one wykładnik danej podstawy (u nas jest nią liczba -2).

Kolejny wiersz to zapis z wykorzystaniem oryginalnej koncepcji, zaś wiersz poniżej to ten typowo matematyczny, wykorzystywany w podręcznikach do matematyki i uczony w szkole.

W końcu ostatnim wiersz pokazuje wartość danej potęgi, czyli wynik powstały z iloczynu liczby -2.

Zobaczmy na liczby na samym dole (tak, to niebieskie liczby), które pokazują nam wyniki potęgowania liczby -2 w kolejnych potęgach (wykładnikach od 1 do 5). I tak w przypadku nieparzystych wykładników mamy ujemne wyniki, takie jak: -2, -8 i -32, które odpowiadają wykładnikom potęg 1, 3 i 5. Natomiast dla parzystych wykładników potęg (2 i 4) mamy również dodatnie wyniki (4 i 16).

Wniosek: przy ujemnej liczbie podnoszonej do potęgi nieparzystej uzyskujemy wynik ujemny, a przy potęgowaniu z wykładnikiem parzystym - dodatni.

TABELA nr 2: Liczba -2 i inne poddane procesowi pierwiastkowania - wartości ujemne i dodatnie (na przemian).

Druga tabela pokazuje nam pierwiastkowanie - tym razem na przykładzie dodatniej bądź ujemnej liczby będącej iloczynem dwójki. Tym razem czytamy drugi wiersz od prawej do lewej. I tak mamy pod pierwiastkiem odpowiednio liczby: -2, 4, -8, 16 i -32, dla stopni pierwiastka od 1 do 5.

I teraz najbardziej istotna różnica. Zauważmy, że przy parzystych potęgach (2 i 4) nie ma pod pierwiastkiem liczb ujemnych, lecz jedynie dodatnie (4 i 16). Poza tym wyniki tych pierwiastków również są dodatnie (są nimi ciemnobłękitne dwójki na samym dole).

A co oznaczają te strzałki oraz kropeczki z liniami? Otóż strzałka z prawej strony kolumny pokazuje nam jaką liczbę pierwiastkujemy, zaś ta po lewej - co jest wynikiem takiego działania. Z kolei poziome linie połączone kropkami mówią nam o tym, że obie te liczby muszą być dodatnie (a dokładniej nie mogą być ujemne). Przypomnę, że nie mogliśmy pierwiastkować z liczby ujemnej mającej parzysty stopień pierwiastka, tak samo jak nie mogliśmy uzyskać w wyniku liczby ujemnej (bez względu na to czy weźmiemy -4 czy 4, to przy pierwiastku kwadratowym nie możemy uzyskać -2).

To jest właśnie cały klucz do zrozumienia zależności i wyjątków, które dzisiaj analizowaliśmy. Teraz kolej na samodzielną analizę oraz pogłębianie i utrwalanie zależności, na bazie kolejnych tabel dotyczących -3 i -4.

TABELA nr 3: Liczba -3 poddana procesowi potęgowania - wartości ujemne i dodatnie (na przemian).

TABELA nr 4: Liczba -3 i inne poddane procesowi pierwiastkowania - wartości ujemne i dodatnie (na przemian).

TABELA nr 5: Liczba -4 poddana procesowi potęgowania - wartości ujemne i dodatnie (na przemian).

TABELA nr 6: Liczba -4 i inne poddane procesowi pierwiastkowania - wartości ujemne i dodatnie (na przemian).

Pokażę jeszcze 3 rodzaje zapisu: w tym dwa błędne i jeden poprawny (ostatni). Wierzę, że to powinno dużo wyjaśnić. Ba! Tego nie ma zarówno w szkole jak i w większości podręczników szkolnych do nauki matematyki. A jeśli jest to na pewno nie w tak prostej i przejrzystej formie jaką ja prezentuję. Powtarzam jak mantrę, że chcę wam pokazywać matematykę jakiej nie znacie.

TRZY FORMY ZAPISU BŁĘDÓW... JAKICH NIE SPOTKASZ W CAŁYM INTERNECIE

Pierwszy zapis jest nieprawidłowy, ponieważ liczba podpierwiastkowa nie może być ujemna, gdy stopień pierwiastka jest parzysty (przy parzystych pierwiastkach) - niechaj to będzie nasz warunek 1.

Drugi zapis to nieprawidłowy wynik, ponieważ wynikiem pierwiastkowania parzystego (czyli gdy stopień pierwiastka jest parzysty) nie może być liczba ujemna - to będzie nasz warunek 2.

I w końcu ostatni zapis - tutaj mamy w pełni poprawny zapis oraz wynik, bo nie łamiemy żadnego z warunków: ani pierwszego, bo liczba podpierwiastkowa nie jest ujemna (9), ani drugiego, bo wynik pierwiastkowania parzystego nie jest ujemny (3).


Podsumowanie: pierwiastki o stopniach parzystych dotyczą wyłącznie liczb dodatnich (lub zera) - zarówno jeśli chodzi o liczbę podpierwiastkową jak i wynik (wartość końcową pierwiastka). Natomiast pierwiastki o stopniach nieparzystych mogą przyjmować dowolne wartości (zarówno dodatnie jak i ujemne), ale muszą one być ze sobą spójne. Co to znaczy? Otoż zasadą jest to, że gdy liczba podpierwiastkowa będzie ujemna, wtedy wartość pierwiastka również musi być ujemna. Analogicznie przy liczbie podpierwiastkowej dodatniej wynik musi również być dodatni. Możemy tę zasadę nazwać stałością (niezmiennością) znaku. Podpowiem jeszcze, że ta zasada dotyczy zarówno pierwiastków parzystych jak i nieparzystych, więc dobrze ją sobie uzmysłowić i nieco utrwalić, wykonując proste ćwiczenia.

Potęgi razem z pierwiastkami - pozornie trudne zagadnienia... i już wszelkie trudności za nami - cz.5

Pierwiastkowanie to działanie odwrotne do potęgowania. Czyli w tej odsłonie będziemy sprawdzali co się dzieje gdy chcemy obliczyć pierwiastek z danej liczby. Od razu dodam, że będę posługiwał się w kilku miejscach oryginalną koncepcją, której prawdopodobnie nie ma nigdzie indziej używanej. Niemniej będę wyjaśniał najlepiej jak to tylko możliwe, więc wystarczy tylko uważnie czytać i myśleć nad tym co przekazuję.

Przy okazji dodam, że tym razem artykuł można przeczytać na 2 sposoby. Pierwszym jest tradycyjny czyli od początku do samego końca, zaś drugi to ... doczytanie do pierwszego nagłówka, przeskoczenie do nagłówka drugiego i doczytanie do podsumowania, a potem powrót do pierwszego nagłówka i dokończenie artykułu. W ten sposób pierwiastki mogą jeszcze lepiej się utrwalić, ponieważ stopień zrozumienia tego artykułu jest związany z zasobem wiedzy czytelnika i tym, które zagadnienia lepiej mu wchodzą do głowy jako pierwsze. Dlatego można czytać na dwa sposoby bez obaw, że nic się nie zrozumie.

W przypadku potęgowania mieliśmy do czynienia z 3 elementami: podstawą potęgi, wykładnikiem oraz wartością (wynikiem działania). Jeśli chodzi o pierwiastkowanie to będzie również taki sam podział. Przy każdej wartości pierwiastka musimy wiedzieć o tym jaka jest wartość podpierwiastkowa oraz jaki jest stopień pierwiastka. Ten pierwszy element odpowiada na pytanie jaką liczbę będziemy rozkładać (rozbijać), zaś ten drugi - na ile tych samych czynników. Wynik natomiast pierwiastkowania będzie nam mówił jaka była podstawa potęgowania. Można zatem powiedzieć, że to takie nieco bardziej oryginalne znajdowanie (zgadywanie) pierwotnej liczby, która była mnożona przez siebie tyle razy, aż dała liczbę podpierwiastkową.

PRZEŁOM W MATEMATYCE - czyli koncepcja potęg i pierwiastków w postaci trójkąta

Zobaczmy na przykładach jak się ma do siebie potęgowanie i pierwiastkowanie. Uprzedzam, że jest to raczej koncepcja nietypowa (oryginalna), ponieważ chodzi o to, aby znacznie lepiej przedstawić istotę pierwiastka i działania zwanego pierwiastkowaniem.

Jak zrozumieć znaczenie treści w tabeli poniżej? Przede wszystkim narysujmy wyraźnie trójkąt równoboczny i pisząc (czytając) od lewej strony mamy: podstawę potęgi, na górze wierzchołka trójkąta - wykładnik potęgi, na końcu trójkąta - wartość końcową. I pewnie już przypominamy sobie, że tak to właśnie jest w przypadku potęgowania.

Teraz przejdźmy do pierwiastkowania. Wiemy, że jest to działanie odwrotne, więc spróbujmy również przeczytać nasze wartości w odwrotnym kierunku - od prawej do lewej. I tak - mamy najpierw liczbę podpierwiastkową (liczba ppw), na wierzchołku jest stopień pierwiastka (odpowiednik naszego wykładnika potęgi), a na samym końcu po lewej stronie mamy wynik pierwiastkowania (tak, to odpowiednik podstawy potęgi).

W tym momencie musimy rzucić okiem na poniższe tabele, które pokazują co się dzieje w przypadku potęgowania i pierwiastkowania dla liczby 2, 3 i 4.

TABELA 1: dwójka w przełomowej koncepcji trójkąta - potęgowanie (od lewej do prawej)

TABELA 2: dwójka w przełomowej koncepcji trójkąta - pierwiastkowanie (od prawej do lewej)

TABELA 3: trójka w przełomowej koncepcji trójkąta - potęgowanie (od lewej do prawej)

TABELA 4: trójka w przełomowej koncepcji trójkąta - pierwiastkowanie (od prawej do lewej)

TABELA 5: czwórka w przełomowej koncepcji trójkąta - potęgowanie (od lewej do prawej)

TABELA 6: czwórka w przełomowej koncepcji trójkąta - pierwiastkowanie (od prawej do lewej)

Pierwszy wiersz zawiera wykładniki potęg dla każdego potęgowania, a jednocześnie są to stopnie pierwiastków, gdy czytamy od tyłu (tzn. od prawej do lewej). Drugi wiersz to pełen zapis potęgi albo pierwiastka, a ostatni wiersz - wynik końcowy albo dla potęgowania albo pierwiastkowania. W tym wypadku kolor każdej liczby ma ogromne znaczenie, więc analizując zapis w tabeli warto na to zwrócić uwagę.

Omówimy sobie teraz znaczenie dwóch elementów, które muszą zostać bardzo dobrze zrozumiane. Są nimi liczba podpierwiastkowa (liczba ppw) oraz stopień pierwiastka.

Liczba podpierwiastkowa mówi nam o tym na jakiej liczbie będziemy przeprowadzać operację (liczba wyjściowa). Jej odpowiednikiem w potęgowaniu jest podstawa potęgi.

Z kolei stopień pierwiastka informuje nas o tym na ile jednakowych czynników mamy rozdzielać liczbę wyjściową (ppw). I pewnie już domyślamy się, że odpowiednikiem stopnia pierwiastka jest wykładnik potęgi.

I właśnie na tych dwóch elementach będziemy przeprowadzać operację, której rezultatem będzie wynik końcowy (wartość pierwiastka).

Znowu konieczne będzie pewne założenie, które pomoże nam solidnie zrozumieć podstawy. Chodzi o to, abyśmy pomyśleli o tym, że stopień pierwiastka na razie musi być dodatnią liczbą naturalną (czyli całkowitą nieujemną różną od zera). Dlaczego? Otóż łatwo jest zrozumieć rozbijanie liczby na kilka części w której każda jest identyczna.

Teraz spróbujmy sobie porozmawiać o stopniu pierwiastka. W jaki sposób on działa i jaka jest jego funkcja? Stopień pierwiastka mówi o tym, na ile czynników mamy rozbijać liczbę podpierwiastkową (ppw).

Czynniki muszą być zawsze identyczne oraz ich iloczyn musi być równy liczbie od której wychodzimy (ppw).

Przykładowo weźmy liczbę 4. Jaka będzie wartość pierwiastka stopnia pierwszego z tej liczby? W tym wypadku będzie to dokładnie ta sama liczba. Dlaczego? Ponieważ pierwszy stopień pierwiastka pełni tę samą funkcję jak pierwszy stopień (wykładnik) potęgi - w obu przypadkach nic nie zmienia z liczby wyjściowej.

Dlaczego zatem zastosowałem zapis liczby w której mamy pierwszy stopień pierwiastka? Są ku temu dwa powody. Pierwszy to spójność z poprzednimi częściami w których pokazywałem liczbę podnoszoną do potęgi pierwszej, a drugi to dopełnienie tego czego brakuje w literaturze przedmiotu. Nie jest to oczywiście nic niezwykłego ani przełom w matematyce, ale dodanie tej brakującej cegiełki, której brak może utrudniać zrozumienie istoty pierwiastka.

ROZKŁAD LICZBY na dwa czynniki - czyli o potęgowaniu i pierwiastkowaniu w stopniu drugim

I teraz analiza kilka prostych przykładów.

Weźmy liczby 4, 9, 16, 25 i 36. Jaką wartość uzyskamy, gdy będziemy chcieli spierwiastkować każdą z nich w stopniu drugim? Oto prosty zapis, który powinien wszystko wyjaśniać.

Jak rozbić 4, 9, 16, 25 i 36 na dwa czynniki, których iloczyn daje liczbę wyjściową?

Z tego wniosek, że wynikiem pierwiastkowania jest ta liczba, która musiała być podstawą potęgowania. Są nimi odpowiednio: 2, 3, 4, 5 i 6. Zapisujemy to w ten sposób:

Na tym zakończmy pierwszą część poświęconą pierwiastkom. Ponownie zalecam proste ćwiczenia na liczbach całkowitych dodatnich, aby sprawdzić które z nich możemy pierwiastkować. W kolejnej odsłonie powiemy sobie o ograniczeniach związanych z tym procesem, których nie było przy potęgowaniu (jest jedno, ale na razie nie jest ono dla nas istotne). Proszę pobawić się liczbami 2, 3, 4 i mnożyć je przez siebie (2x2x2, 3x3x3, 4x4x4) oraz rozbijać tym samym stopniem pierwiastka jaki był w wykładniku potęgi (liczbie czynników w procesie mnożenia).

I najważniejsze: nie bójmy się popełniać błędów oraz zadawać pytań. Dzięki temu nasz proces potęgowania znacznie przyspieszy i jeszcze pełniej zrozumiemy jego związek z potęgowaniem. Pierwiastkowanie jest nieco bardziej wymagające od potęgowania, ale jest na tyle łatwe, że powoli będziemy przechodzili przez kolejne szczeble wtajemniczenia, aby wszystko stało się jasne.

Podsumowanie: pierwiastkowanie to działanie odwrotne do potęgowania. Polega ono na znalezieniu wyniku naszego pierwiastka (jest nim podstawa potęgi), na podstawie liczby podpierwiastkowej... wiedząc o tym na ile czynników iloczynu została ona rozbita (mówi o tym stopień pierwiastka i jednocześnie wykładnik potęgi). Być może brzmi nieco naukowo, ale wystarczy zobaczyć i na spokojnie przeanalizować powyższe przykłady, aby przekonać się, że tylko używane pojęcia są trochę dziwnie brzmiące. Proces pierwiastkowania zostanie jeszcze pokazany w innym ujęciu (bardziej praktycznym) w kolejnej odsłonie. W ten sposób będziemy mogli jednocześnie upiec dwie pieczenie przy jednym ogniu.

Potęgi razem z pierwiastkami - pozornie trudne zagadnienia... i już wszelkie trudności za nami - cz.4

W poprzednim artykule sprawdziliśmy to co się dzieje, gdy wykładnik potęgi zmienia się z dodatniego na ujemny. W przypadku, gdy jest on dodatni otrzymujemy pewną liczbę, a gdy będzie on ujemny, wówczas będzie to liczba odwrotna do niej. Dziś pogłębimy jeszcze bardziej naszą wiedzę.

O czym myślę? Mianowicie o tym, że gdy mamy 4^2, wtedy odwrotną liczbą będzie 4^-2. Zobaczmy, że przy liczbach przeciwnych przypomina to liczby dodatnie i ujemne, które leżą po przeciwnych stronach osi liczbowej. Jeśli mamy liczbę 16, wówczas przeciwna do niej to -16. Jednak w przypadku potęgowania w którym mamy wykładnik dodatni oraz ujemny, mamy nieco inaczej: 16 oraz 1/16. Dlaczego? Otóż dlatego, że przeciwne znaki wykładników oznaczają odwrotne wartości liczb.

Rysunek 1. W taki oto sposób następuje przeskakiwanie potęg dodatnich (w prawo) i ujemnych (w lewo).

Rysunek 2. W taki oto sposób następuje przeskakiwanie potęg dodatnich (w prawo) i ujemnych (w lewo). Dodatkowa forma wyrażenia tego samemu pomysłu.

Zobaczmy na tabelę, która pokazuje to w takiej postaci w której wszystko powinno być dosyć przejrzyste i zrozumiałe. To pewne podsumowanie tego co do tej pory poznaliśmy.

Rysunek 3. To już było w poprzednim odcinku, ale teraz jeszcze łatwiej dostrzec w jaki sposób następuje przeskakiwanie potęg dodatnich (w prawo) i ujemnych (w lewo).

Co teraz? Otóż zastanowimy się co będzie się działo, gdy podstawa będzie liczbą całkowitą, ale ujemną, a potem także ułamkiem (i to też ujemnym!). Czyli zajmiemy się sytuacją w której w podstawie będziemy mieć ułamki, które mogą być ujemne i jeszcze do tego będziemy mogli je podnosić do potęgi... ujemnej!

Podstawa potęgi to liczba całkowita i jednocześnie ujemna (wykładnik dodatni)

Weźmy na początek liczbę -3. Sprawdzamy teraz co się będzie z nią działo w kolejnych krokach potęgowania.

(-3)^1, (-3)^2, (-3)^3, (-3)^4, (-3)^5.

Wyniki będą teraz nieco dziwne, ale w pełni logiczne i uzasadnione.

(-3) = -3 (MINUS)
(-3)*(-3) = 9
(-3)*(-3)*(-3) = -27 (MINUS)
(-3)*(-3)*(-3)*(-3) = 81
(-3)*(-3)*(-3)*(-3)*(-3) = -243 (MINUS)

Zaczęliśmy od pierwszej potęgi, a potem nasza liczba w każdej kolejnej potędze, przeskakiwała z minusa na plus, czyli mniej więcej tak MPMPM (gdzie M=minus, zaś P=plus).

A teraz zobaczmy co jest takiego ciekawego co sprawia, że raz liczba jest dodatnia a raz ujemna. Zależy to od stopnia potęgi. Gdy mieliśmy stopień pierwszy liczba była ujemna, w drugim - dodatnia, w trzecim znowu ujemna, zaś w czwartym - ponownie dodatnia.

Teraz przypomnijmy sobie czym był podział na liczby parzyste i nieparzyste. Ktoś pamięta? Oczywiście! To proste, bo wiemy, że liczby parzyste to takie, które dzielą się przez dwa (bez reszty), zaś nieparzyste, to te które nie dzielą się przez dwa (ponieważ mają resztę). Wybranymi parzystymi liczbami będą przykładowo: 2, 4, 6, 8, a nieparzyste to: 1, 3, 5, 7. No i teraz fundamentalne pytanie - a co z zerem? Zobaczmy, że gdybyśmy wracali "co dwa" od ósemki, wtedy będziemy mieli 8, 6, 4, 2 i właśnie 0. Z tego wniosek, że zero należy do liczb parzystych. Jak ważne to jest okaże się za chwilę.

Wniosek z naszych rozważań jest taki: gdy wykładnik potęgi jest parzysty, wtedy liczba (wartość) jest zawsze dodatnia, natomiast gdy jest nieparzysty, wówczas są dwie możliwe opcje:
a) jeśli podstawa potęgi jest dodatnia, wtedy wartość również jest dodatnia
b) jeśli podstawa potęgi jest ujemna, wtedy wartość również jest ujemna

Teraz zerknijmy na tabelę w której zobaczymy to tak, aby dotarło do umysłu i zakodowało się w nim w obszarze odpowiedzialnym za zapisywanie obrazów (a jeszcze lepiej – zależności).

Rysunek 4. Takie relacje warto dostrzegać, aby zrozumieć w jaki sposób następuje przeskakiwanie potęg dodatnich (w prawo) i ujemnych (w lewo)... ale dla liczby ujemnej (podstawa to liczba -4).

Teraz przyjrzyjmy się temu co się stanie w przypadku, gdy będziemy przechodzili na wykładnik ujemny.

Podstawa potęgi to liczba całkowita i jednocześnie ujemna (wykładnik ujemny)

Zacznijmy tym razem od (-3)^0, i przejdźmy dalej na wykładnik ujemny.

W poprzednim odcinku przekonaliśmy się, że wykładnik ujemny i dodatni rozdziela wykładnik zerowy, który sprawia, że każda liczba podniesiona do potęgi zerowej staje się jednością (jedynką).

(-3)^-1, (-3)^-2, (-3)^-3, (-3)^-4, (-3)^-5,

Wyniki tym razem nie powinny być dziwne, ale tak jak poprzednio - w pełni logiczne i uzasadnione.

1/(-3) = -1/3 (MINUS)
1/(-3)*(-3) = 1/9
1/(-3)*(-3)*(-3) = -1/27 (MINUS)
1/(-3)*(-3)*(-3)*(-3) = 1/81
1/(-3)*(-3)*(-3)*(-3)*(-3) = -1/243 (MINUS)

Zauważmy w tym momencie coś co wcześniej było wyraźnie podkreślone. Powtórzmy to raz jeszcze i zapamiętajmy na zawsze - ujemny wykładnik odwraca naszą liczbę. Dlatego wyniki są identyczne jak w poprzednich potęgach, tyle że odwrócone. Znaki przy liczbach nie zmieniły się w żaden inny sposób aniżeli ten, który przed chwilą omawialiśmy.

Przy parzystych wykładnikach potęg (podstawa potęgi to liczba ujemna) będą w wyniku plusy, zaś przy nieparzystych - minusy. Z uwagi na to, że wykładniki potęg -2 i -4 są parzyste, więc wartość (wynik) musi być dodatnia. Jeśli natomiast chodzi o wykładniki -3 i -5, to wiemy, że są  są one nieparzyste, więc w takim wypadku wartość (wynik) musi być ujemna.

Teraz tabelka będzie więcej niż konieczna. Bez niej może być nieco trudniej wszystko poukładać sobie na właściwych półkach.

Rysunek 5. TABELA UNIWERSALNA - zależność wartości znaku od podstawy oraz wykładnika potęgi (dodatni lub ujemny). Ukazano wszystkie możliwe warianty.

Z tabeli wynika, że jeśli podstawa jest dodatnia, to bez względu na to do jakiej potęgi podnosimy liczbę, to jej wartość również będzie dodatnia.

Natomiast jeśli podstawa jest ujemna, to wartość liczby pozostanie nadal ujemna tylko wtedy, gdy wykładnik będzie nieparzysty. I to bez względu na to do jakiej potęgi podnosimy, pod warunkiem, że w wykładniku jest dowolna całkowita liczba nieparzysta.

W podręcznikach do matematyki może to wyglądać w taki sposób: jeśli liczbę ujemną podnosimy do potęgi o wykładniku nieparzystym, wówczas wynikiem tego działania będzie liczba ujemna. Dla mnie jest to trochę zbyt naukowo zapisane (pomimo, że w pełni poprawnie), więc spróbujmy inaczej.

Można zatem sformułować prostą i krótką rymowankę. Proponuję nieco inną formę, aby łatwiej było tę regułę zapamiętać. Jedna z możliwych wersji może być przykładowo taka:

Przy podstawie ujemnej i wykładniku nieparzystym, dostajesz wartość (liczbę) ujemną - to jest fakt oczywisty!

I co jest niesamowite to fakt, że w tym momencie możemy uznać, że wszystkie najważniejsze własności potęg już omówiliśmy. Dodam, że powyższa tabela jest na tyle uniwersalna, że działa również w przypadku, gdy za podstawę weźmiemy dowolny ułamek.

Przypominam jedynie że w wykładniku musi być liczba całkowita, bo gdy nie będzie taka, wówczas dochodzi jeszcze operacja pierwiastkowania. A tej na razie jeszcze nie znamy, ale już coraz bliżej, abyśmy się z nią zapoznali.

Rysunek 6. Dodatnia i ujemna liczba całkowita jako podstawa potęgi + wykładnik dodatni oraz ujemny (ukazanie pełnego zakresu zależności na konkretnym przykładzie).

Rysunek 7. Dodatnia i ujemna liczba będąca ułamkiem jako podstawa potęgi + wykładnik dodatni oraz ujemny (ukazanie pełnego zakresu zależności na konkretnym przykładzie).

Dwie powyższe tabele powinny wszystko rozjaśnić, chociaż wymagają uważnego przestudiowania. Pokazują one po jednym przykładzie wszystkie możliwe opcje, które nas interesują:

1. Liczba dodatnia całkowita podnoszona do potęgi dodatniej i ujemnej.
2. Liczba ujemna całkowita podnoszona do potęgi dodatniej i ujemnej.
3. Ułamek (zwykły) dodatni podnoszony do potęgi dodatniej i ujemnej.
4. Ułamek (zwykły) ujemny podnoszony do potęgi dodatniej i ujemnej.


Myślę, że ten wykład należy co najmniej dwukrotnie przestudiować, aby wszystko dobrze utrwalić. Zwłaszcza istotne jest to, aby szybko dostrzegać i dobrze rozumieć zależności, które zostały zawarte w tabelach. Idealnym rozwiązaniem będzie poćwiczenie tego tematu na wybranych kilku liczbach, podobnie jak to zostało pokazane w ostatnich dwóch tabelach. W ten sposób pewne relacje jeszcze lepiej się utrwalą. Bo akurat to jest podsumowanie potęgowania, więc można to potraktować jak taki podwójny wykład nieco upchany w jednym artykule.

Podsumowanie: potęgowanie zwraca nam wartość dodatnią bądź ujemną w zależności od tego jaka jest podstawa potęgi. Jeśli jest nią liczba dodatnia, to bez względu na to jaki będzie wykładnik (całkowity dodatni czy ujemny), to wynikiem będzie nadal liczba dodatnia. Z kolei w przypadku, gdy podstawą będzie liczba ujemna, wówczas ujemną otrzymujemy tylko wtedy, gdy wykładnik jest liczbą nieparzystą. W przeciwnym razie wyjdzie nam liczba dodatnia. No i dochodzi do tego jeszcze zapamiętanie, że przy wykładniku ujemnym odwracamy liczby i w sumie to wszystko co trzeba wiedzieć, aby mieć podstawy związane z potęgowaniem. Chodzi o podstawę potęgi ze zbioru liczb całkowitych bądź też wymiernych (ułamki) dla wykładnika będącego dowolną wartością ze zbioru liczb całkowitych.