W poprzednim artykule sprawdziliśmy to co się dzieje, gdy wykładnik potęgi zmienia się z dodatniego na ujemny. W przypadku, gdy jest on dodatni otrzymujemy pewną liczbę, a gdy będzie on ujemny, wówczas będzie to liczba odwrotna do niej. Dziś pogłębimy jeszcze bardziej naszą wiedzę.
O czym myślę? Mianowicie o tym, że gdy mamy 4^2, wtedy odwrotną liczbą będzie 4^-2. Zobaczmy, że przy liczbach przeciwnych przypomina to liczby dodatnie i ujemne, które leżą po przeciwnych stronach osi liczbowej. Jeśli mamy liczbę 16, wówczas przeciwna do niej to -16. Jednak w przypadku potęgowania w którym mamy wykładnik dodatni oraz ujemny, mamy nieco inaczej: 16 oraz 1/16. Dlaczego? Otóż dlatego, że przeciwne znaki wykładników oznaczają odwrotne wartości liczb.
Zobaczmy na tabelę, która pokazuje to w takiej postaci w której wszystko powinno być dosyć przejrzyste i zrozumiałe. To pewne podsumowanie tego co do tej pory poznaliśmy.
Co teraz? Otóż zastanowimy się co będzie się działo, gdy podstawa będzie liczbą całkowitą, ale ujemną, a potem także ułamkiem (i to też ujemnym!). Czyli zajmiemy się sytuacją w której w podstawie będziemy mieć ułamki, które mogą być ujemne i jeszcze do tego będziemy mogli je podnosić do potęgi... ujemnej!
Weźmy na początek liczbę -3. Sprawdzamy teraz co się będzie z nią działo w kolejnych krokach potęgowania.
(-3)^1, (-3)^2, (-3)^3, (-3)^4, (-3)^5.
Wyniki będą teraz nieco dziwne, ale w pełni logiczne i uzasadnione.
(-3) = -3 (MINUS)
(-3)*(-3) = 9
(-3)*(-3)*(-3) = -27 (MINUS)
(-3)*(-3)*(-3)*(-3) = 81
(-3)*(-3)*(-3)*(-3)*(-3) = -243 (MINUS)
Zaczęliśmy od pierwszej potęgi, a potem nasza liczba w każdej kolejnej potędze, przeskakiwała z minusa na plus, czyli mniej więcej tak MPMPM (gdzie M=minus, zaś P=plus).
A teraz zobaczmy co jest takiego ciekawego co sprawia, że raz liczba jest dodatnia a raz ujemna. Zależy to od stopnia potęgi. Gdy mieliśmy stopień pierwszy liczba była ujemna, w drugim - dodatnia, w trzecim znowu ujemna, zaś w czwartym - ponownie dodatnia.
Teraz przypomnijmy sobie czym był podział na liczby parzyste i nieparzyste. Ktoś pamięta? Oczywiście! To proste, bo wiemy, że liczby parzyste to takie, które dzielą się przez dwa (bez reszty), zaś nieparzyste, to te które nie dzielą się przez dwa (ponieważ mają resztę). Wybranymi parzystymi liczbami będą przykładowo: 2, 4, 6, 8, a nieparzyste to: 1, 3, 5, 7. No i teraz fundamentalne pytanie - a co z zerem? Zobaczmy, że gdybyśmy wracali "co dwa" od ósemki, wtedy będziemy mieli 8, 6, 4, 2 i właśnie 0. Z tego wniosek, że zero należy do liczb parzystych. Jak ważne to jest okaże się za chwilę.
Wniosek z naszych rozważań jest taki: gdy wykładnik potęgi jest parzysty, wtedy liczba (wartość) jest zawsze dodatnia, natomiast gdy jest nieparzysty, wówczas są dwie możliwe opcje:
a) jeśli podstawa potęgi jest dodatnia, wtedy wartość również jest dodatnia
b) jeśli podstawa potęgi jest ujemna, wtedy wartość również jest ujemna
Teraz zerknijmy na tabelę w której zobaczymy to tak, aby dotarło do umysłu i zakodowało się w nim w obszarze odpowiedzialnym za zapisywanie obrazów (a jeszcze lepiej – zależności).
Teraz przyjrzyjmy się temu co się stanie w przypadku, gdy będziemy przechodzili na wykładnik ujemny.
Zacznijmy tym razem od (-3)^0, i przejdźmy dalej na wykładnik ujemny.
W poprzednim odcinku przekonaliśmy się, że wykładnik ujemny i dodatni rozdziela wykładnik zerowy, który sprawia, że każda liczba podniesiona do potęgi zerowej staje się jednością (jedynką).
(-3)^-1, (-3)^-2, (-3)^-3, (-3)^-4, (-3)^-5,
Wyniki tym razem nie powinny być dziwne, ale tak jak poprzednio - w pełni logiczne i uzasadnione.
1/(-3) = -1/3 (MINUS)
1/(-3)*(-3) = 1/9
1/(-3)*(-3)*(-3) = -1/27 (MINUS)
1/(-3)*(-3)*(-3)*(-3) = 1/81
1/(-3)*(-3)*(-3)*(-3)*(-3) = -1/243 (MINUS)
Zauważmy w tym momencie coś co wcześniej było wyraźnie podkreślone. Powtórzmy to raz jeszcze i zapamiętajmy na zawsze - ujemny wykładnik odwraca naszą liczbę. Dlatego wyniki są identyczne jak w poprzednich potęgach, tyle że odwrócone. Znaki przy liczbach nie zmieniły się w żaden inny sposób aniżeli ten, który przed chwilą omawialiśmy.
Przy parzystych wykładnikach potęg (podstawa potęgi to liczba ujemna) będą w wyniku plusy, zaś przy nieparzystych - minusy. Z uwagi na to, że wykładniki potęg -2 i -4 są parzyste, więc wartość (wynik) musi być dodatnia. Jeśli natomiast chodzi o wykładniki -3 i -5, to wiemy, że są są one nieparzyste, więc w takim wypadku wartość (wynik) musi być ujemna.
Teraz tabelka będzie więcej niż konieczna. Bez niej może być nieco trudniej wszystko poukładać sobie na właściwych półkach.
Z tabeli wynika, że jeśli podstawa jest dodatnia, to bez względu na to do jakiej potęgi podnosimy liczbę, to jej wartość również będzie dodatnia.
Natomiast jeśli podstawa jest ujemna, to wartość liczby pozostanie nadal ujemna tylko wtedy, gdy wykładnik będzie nieparzysty. I to bez względu na to do jakiej potęgi podnosimy, pod warunkiem, że w wykładniku jest dowolna całkowita liczba nieparzysta.
W podręcznikach do matematyki może to wyglądać w taki sposób: jeśli liczbę ujemną podnosimy do potęgi o wykładniku nieparzystym, wówczas wynikiem tego działania będzie liczba ujemna. Dla mnie jest to trochę zbyt naukowo zapisane (pomimo, że w pełni poprawnie), więc spróbujmy inaczej.
Można zatem sformułować prostą i krótką rymowankę. Proponuję nieco inną formę, aby łatwiej było tę regułę zapamiętać. Jedna z możliwych wersji może być przykładowo taka:
I co jest niesamowite to fakt, że w tym momencie możemy uznać, że wszystkie najważniejsze własności potęg już omówiliśmy. Dodam, że powyższa tabela jest na tyle uniwersalna, że działa również w przypadku, gdy za podstawę weźmiemy dowolny ułamek.
Przypominam jedynie że w wykładniku musi być liczba całkowita, bo gdy nie będzie taka, wówczas dochodzi jeszcze operacja pierwiastkowania. A tej na razie jeszcze nie znamy, ale już coraz bliżej, abyśmy się z nią zapoznali.
Rysunek 6. Dodatnia i ujemna liczba całkowita jako podstawa potęgi + wykładnik dodatni oraz ujemny (ukazanie pełnego zakresu zależności na konkretnym przykładzie).
Rysunek 7. Dodatnia i ujemna liczba będąca ułamkiem jako podstawa potęgi + wykładnik dodatni oraz ujemny (ukazanie pełnego zakresu zależności na konkretnym przykładzie).
O czym myślę? Mianowicie o tym, że gdy mamy 4^2, wtedy odwrotną liczbą będzie 4^-2. Zobaczmy, że przy liczbach przeciwnych przypomina to liczby dodatnie i ujemne, które leżą po przeciwnych stronach osi liczbowej. Jeśli mamy liczbę 16, wówczas przeciwna do niej to -16. Jednak w przypadku potęgowania w którym mamy wykładnik dodatni oraz ujemny, mamy nieco inaczej: 16 oraz 1/16. Dlaczego? Otóż dlatego, że przeciwne znaki wykładników oznaczają odwrotne wartości liczb.
Rysunek 1. W taki oto sposób następuje przeskakiwanie potęg dodatnich (w prawo) i ujemnych (w lewo).
Rysunek 2. W taki oto sposób następuje przeskakiwanie potęg dodatnich (w prawo) i ujemnych (w lewo). Dodatkowa forma wyrażenia tego samemu pomysłu.
Zobaczmy na tabelę, która pokazuje to w takiej postaci w której wszystko powinno być dosyć przejrzyste i zrozumiałe. To pewne podsumowanie tego co do tej pory poznaliśmy.
Rysunek 3. To już było w poprzednim odcinku, ale teraz jeszcze łatwiej dostrzec w jaki sposób następuje przeskakiwanie potęg dodatnich (w prawo) i ujemnych (w lewo).
Co teraz? Otóż zastanowimy się co będzie się działo, gdy podstawa będzie liczbą całkowitą, ale ujemną, a potem także ułamkiem (i to też ujemnym!). Czyli zajmiemy się sytuacją w której w podstawie będziemy mieć ułamki, które mogą być ujemne i jeszcze do tego będziemy mogli je podnosić do potęgi... ujemnej!
Podstawa potęgi to liczba całkowita i jednocześnie ujemna (wykładnik dodatni)
Weźmy na początek liczbę -3. Sprawdzamy teraz co się będzie z nią działo w kolejnych krokach potęgowania.
(-3)^1, (-3)^2, (-3)^3, (-3)^4, (-3)^5.
Wyniki będą teraz nieco dziwne, ale w pełni logiczne i uzasadnione.
(-3) = -3 (MINUS)
(-3)*(-3) = 9
(-3)*(-3)*(-3) = -27 (MINUS)
(-3)*(-3)*(-3)*(-3) = 81
(-3)*(-3)*(-3)*(-3)*(-3) = -243 (MINUS)
Zaczęliśmy od pierwszej potęgi, a potem nasza liczba w każdej kolejnej potędze, przeskakiwała z minusa na plus, czyli mniej więcej tak MPMPM (gdzie M=minus, zaś P=plus).
A teraz zobaczmy co jest takiego ciekawego co sprawia, że raz liczba jest dodatnia a raz ujemna. Zależy to od stopnia potęgi. Gdy mieliśmy stopień pierwszy liczba była ujemna, w drugim - dodatnia, w trzecim znowu ujemna, zaś w czwartym - ponownie dodatnia.
Teraz przypomnijmy sobie czym był podział na liczby parzyste i nieparzyste. Ktoś pamięta? Oczywiście! To proste, bo wiemy, że liczby parzyste to takie, które dzielą się przez dwa (bez reszty), zaś nieparzyste, to te które nie dzielą się przez dwa (ponieważ mają resztę). Wybranymi parzystymi liczbami będą przykładowo: 2, 4, 6, 8, a nieparzyste to: 1, 3, 5, 7. No i teraz fundamentalne pytanie - a co z zerem? Zobaczmy, że gdybyśmy wracali "co dwa" od ósemki, wtedy będziemy mieli 8, 6, 4, 2 i właśnie 0. Z tego wniosek, że zero należy do liczb parzystych. Jak ważne to jest okaże się za chwilę.
Wniosek z naszych rozważań jest taki: gdy wykładnik potęgi jest parzysty, wtedy liczba (wartość) jest zawsze dodatnia, natomiast gdy jest nieparzysty, wówczas są dwie możliwe opcje:
a) jeśli podstawa potęgi jest dodatnia, wtedy wartość również jest dodatnia
b) jeśli podstawa potęgi jest ujemna, wtedy wartość również jest ujemna
Teraz zerknijmy na tabelę w której zobaczymy to tak, aby dotarło do umysłu i zakodowało się w nim w obszarze odpowiedzialnym za zapisywanie obrazów (a jeszcze lepiej – zależności).
Rysunek 4. Takie relacje warto dostrzegać, aby zrozumieć w jaki sposób następuje przeskakiwanie potęg dodatnich (w prawo) i ujemnych (w lewo)... ale dla liczby ujemnej (podstawa to liczba -4).
Teraz przyjrzyjmy się temu co się stanie w przypadku, gdy będziemy przechodzili na wykładnik ujemny.
Podstawa potęgi to liczba całkowita i jednocześnie ujemna (wykładnik ujemny)
Zacznijmy tym razem od (-3)^0, i przejdźmy dalej na wykładnik ujemny.
W poprzednim odcinku przekonaliśmy się, że wykładnik ujemny i dodatni rozdziela wykładnik zerowy, który sprawia, że każda liczba podniesiona do potęgi zerowej staje się jednością (jedynką).
(-3)^-1, (-3)^-2, (-3)^-3, (-3)^-4, (-3)^-5,
Wyniki tym razem nie powinny być dziwne, ale tak jak poprzednio - w pełni logiczne i uzasadnione.
1/(-3) = -1/3 (MINUS)
1/(-3)*(-3) = 1/9
1/(-3)*(-3)*(-3) = -1/27 (MINUS)
1/(-3)*(-3)*(-3)*(-3) = 1/81
1/(-3)*(-3)*(-3)*(-3)*(-3) = -1/243 (MINUS)
Zauważmy w tym momencie coś co wcześniej było wyraźnie podkreślone. Powtórzmy to raz jeszcze i zapamiętajmy na zawsze - ujemny wykładnik odwraca naszą liczbę. Dlatego wyniki są identyczne jak w poprzednich potęgach, tyle że odwrócone. Znaki przy liczbach nie zmieniły się w żaden inny sposób aniżeli ten, który przed chwilą omawialiśmy.
Przy parzystych wykładnikach potęg (podstawa potęgi to liczba ujemna) będą w wyniku plusy, zaś przy nieparzystych - minusy. Z uwagi na to, że wykładniki potęg -2 i -4 są parzyste, więc wartość (wynik) musi być dodatnia. Jeśli natomiast chodzi o wykładniki -3 i -5, to wiemy, że są są one nieparzyste, więc w takim wypadku wartość (wynik) musi być ujemna.
Teraz tabelka będzie więcej niż konieczna. Bez niej może być nieco trudniej wszystko poukładać sobie na właściwych półkach.
Rysunek 5. TABELA UNIWERSALNA - zależność wartości znaku od podstawy oraz wykładnika potęgi (dodatni lub ujemny). Ukazano wszystkie możliwe warianty.
Z tabeli wynika, że jeśli podstawa jest dodatnia, to bez względu na to do jakiej potęgi podnosimy liczbę, to jej wartość również będzie dodatnia.
Natomiast jeśli podstawa jest ujemna, to wartość liczby pozostanie nadal ujemna tylko wtedy, gdy wykładnik będzie nieparzysty. I to bez względu na to do jakiej potęgi podnosimy, pod warunkiem, że w wykładniku jest dowolna całkowita liczba nieparzysta.
W podręcznikach do matematyki może to wyglądać w taki sposób: jeśli liczbę ujemną podnosimy do potęgi o wykładniku nieparzystym, wówczas wynikiem tego działania będzie liczba ujemna. Dla mnie jest to trochę zbyt naukowo zapisane (pomimo, że w pełni poprawnie), więc spróbujmy inaczej.
Można zatem sformułować prostą i krótką rymowankę. Proponuję nieco inną formę, aby łatwiej było tę regułę zapamiętać. Jedna z możliwych wersji może być przykładowo taka:
Przy podstawie ujemnej i wykładniku nieparzystym, dostajesz wartość (liczbę) ujemną - to jest fakt oczywisty!
I co jest niesamowite to fakt, że w tym momencie możemy uznać, że wszystkie najważniejsze własności potęg już omówiliśmy. Dodam, że powyższa tabela jest na tyle uniwersalna, że działa również w przypadku, gdy za podstawę weźmiemy dowolny ułamek.
Przypominam jedynie że w wykładniku musi być liczba całkowita, bo gdy nie będzie taka, wówczas dochodzi jeszcze operacja pierwiastkowania. A tej na razie jeszcze nie znamy, ale już coraz bliżej, abyśmy się z nią zapoznali.
Rysunek 6. Dodatnia i ujemna liczba całkowita jako podstawa potęgi + wykładnik dodatni oraz ujemny (ukazanie pełnego zakresu zależności na konkretnym przykładzie).
Rysunek 7. Dodatnia i ujemna liczba będąca ułamkiem jako podstawa potęgi + wykładnik dodatni oraz ujemny (ukazanie pełnego zakresu zależności na konkretnym przykładzie).
Dwie powyższe tabele powinny wszystko rozjaśnić, chociaż wymagają uważnego przestudiowania. Pokazują one po jednym przykładzie wszystkie możliwe opcje, które nas interesują:
1. Liczba dodatnia całkowita podnoszona do potęgi dodatniej i ujemnej.
2. Liczba ujemna całkowita podnoszona do potęgi dodatniej i ujemnej.
3. Ułamek (zwykły) dodatni podnoszony do potęgi dodatniej i ujemnej.
4. Ułamek (zwykły) ujemny podnoszony do potęgi dodatniej i ujemnej.
Myślę, że ten wykład należy co najmniej dwukrotnie przestudiować, aby wszystko dobrze utrwalić. Zwłaszcza istotne jest to, aby szybko dostrzegać i dobrze rozumieć zależności, które zostały zawarte w tabelach. Idealnym rozwiązaniem będzie poćwiczenie tego tematu na wybranych kilku liczbach, podobnie jak to zostało pokazane w ostatnich dwóch tabelach. W ten sposób pewne relacje jeszcze lepiej się utrwalą. Bo akurat to jest podsumowanie potęgowania, więc można to potraktować jak taki podwójny wykład nieco upchany w jednym artykule.
1. Liczba dodatnia całkowita podnoszona do potęgi dodatniej i ujemnej.
2. Liczba ujemna całkowita podnoszona do potęgi dodatniej i ujemnej.
3. Ułamek (zwykły) dodatni podnoszony do potęgi dodatniej i ujemnej.
4. Ułamek (zwykły) ujemny podnoszony do potęgi dodatniej i ujemnej.
Myślę, że ten wykład należy co najmniej dwukrotnie przestudiować, aby wszystko dobrze utrwalić. Zwłaszcza istotne jest to, aby szybko dostrzegać i dobrze rozumieć zależności, które zostały zawarte w tabelach. Idealnym rozwiązaniem będzie poćwiczenie tego tematu na wybranych kilku liczbach, podobnie jak to zostało pokazane w ostatnich dwóch tabelach. W ten sposób pewne relacje jeszcze lepiej się utrwalą. Bo akurat to jest podsumowanie potęgowania, więc można to potraktować jak taki podwójny wykład nieco upchany w jednym artykule.
Podsumowanie: potęgowanie zwraca nam wartość dodatnią bądź ujemną w zależności od tego jaka jest podstawa potęgi. Jeśli jest nią liczba dodatnia, to bez względu na to jaki będzie wykładnik (całkowity dodatni czy ujemny), to wynikiem będzie nadal liczba dodatnia. Z kolei w przypadku, gdy podstawą będzie liczba ujemna, wówczas ujemną otrzymujemy tylko wtedy, gdy wykładnik jest liczbą nieparzystą. W przeciwnym razie wyjdzie nam liczba dodatnia. No i dochodzi do tego jeszcze zapamiętanie, że przy wykładniku ujemnym odwracamy liczby i w sumie to wszystko co trzeba wiedzieć, aby mieć podstawy związane z potęgowaniem. Chodzi o podstawę potęgi ze zbioru liczb całkowitych bądź też wymiernych (ułamki) dla wykładnika będącego dowolną wartością ze zbioru liczb całkowitych.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz
Jeśli chcesz, aby twoja wiadomość nie została odrzucona przez system jako spam (usunięte), to podpisz się swoim imieniem lub pseudonimem. Dziękuję :)