Okazuje się, że zapotrzebowanie na pierwiastki jest znacznie większe niż na potęgi. Bardzo mnie to cieszy, bo wiem, że dzięki mojej pracy więcej osób będzie mogło zobaczyć matematykę jakiej nigdy nie poznało. Dlatego tym raduje się moje serce, bo jeszcze w większym zakresie moja twórcza praca będzie mogła mieć odbicie w wyjaśnianiu tego co albo nieznane albo zupełnie niezrozumiałe.
Dzisiaj przyjrzymy się pierwiastkom z jeszcze innej perspektywy, która jeszcze bardziej poszerzy nasze zrozumienie tego zagadnienia. W poprzednim odcinku powiedzieliśmy sobie o tym na czym polega pierwiastkowanie i jakie elementy w nim występują. Celowo temat dotyczył potęgowania i pierwiastkowaniu tylko w stopniu drugim, aby teraz nie tylko poszerzyć je o stopień trzeci, ale i pokazać wyjątki, które dotyczą pewnych ograniczeń o których będzie mowa poniżej.
Gwarantuję, że każdy kto dobrze zrozumiał poprzednią część i wykonał kilka ćwiczeń, które zalecałem, teraz będzie mógł delektować się kolejnym szczeblem wtajemniczenia. I nie ma znaczenia czy czytelnik ma lat 10, 20, 30 czy 50. Wystarczy tylko uważna lektura i analizowanie wszystkiego co przekazuję. A przyznam, że staram się to zrobić najlepiej jak potrafię. Do dobra! Koniec lania wody, niechaj pierwiastki wypływają na szerokie wody!
Pierwiastek parzysty to skrócona nazwa na pierwiastek, którego stopień jest parzysty. I analogicznie w przypadku zwrotu pierwiastek nieparzysty, to jest to skrócona nazwa pierwiastka mającego stopień nieparzysty.
Pierwiastek z liczby (wartości) ujemnej może być (wyciągany) tylko wtedy, gdy mamy wykładnik nieparzysty.
W przypadku, gdy mamy wykładnik parzysty wówczas liczba (wartość) podpierwiastkowa jak i wynik muszą być nieujemne - czyli obie albo dodatnie albo zerowe.
Inaczej mówiąc pierwiastek z liczby ujemnej możemy obliczać (wyciągać) tylko wtedy, gdy stopień pierwiastka jest liczbą nieparzystą.
Dzisiaj przyjrzymy się pierwiastkom z jeszcze innej perspektywy, która jeszcze bardziej poszerzy nasze zrozumienie tego zagadnienia. W poprzednim odcinku powiedzieliśmy sobie o tym na czym polega pierwiastkowanie i jakie elementy w nim występują. Celowo temat dotyczył potęgowania i pierwiastkowaniu tylko w stopniu drugim, aby teraz nie tylko poszerzyć je o stopień trzeci, ale i pokazać wyjątki, które dotyczą pewnych ograniczeń o których będzie mowa poniżej.
Gwarantuję, że każdy kto dobrze zrozumiał poprzednią część i wykonał kilka ćwiczeń, które zalecałem, teraz będzie mógł delektować się kolejnym szczeblem wtajemniczenia. I nie ma znaczenia czy czytelnik ma lat 10, 20, 30 czy 50. Wystarczy tylko uważna lektura i analizowanie wszystkiego co przekazuję. A przyznam, że staram się to zrobić najlepiej jak potrafię. Do dobra! Koniec lania wody, niechaj pierwiastki wypływają na szerokie wody!
Pierwiastek parzysty to skrócona nazwa na pierwiastek, którego stopień jest parzysty. I analogicznie w przypadku zwrotu pierwiastek nieparzysty, to jest to skrócona nazwa pierwiastka mającego stopień nieparzysty.
Pierwiastek z liczby (wartości) ujemnej może być (wyciągany) tylko wtedy, gdy mamy wykładnik nieparzysty.
W przypadku, gdy mamy wykładnik parzysty wówczas liczba (wartość) podpierwiastkowa jak i wynik muszą być nieujemne - czyli obie albo dodatnie albo zerowe.
Inaczej mówiąc pierwiastek z liczby ujemnej możemy obliczać (wyciągać) tylko wtedy, gdy stopień pierwiastka jest liczbą nieparzystą.
TABELA DO KTÓREJ WARTO RAZ JESZCZE POWRÓCIĆ PO PRZECZYTANIU CAŁOŚCI
Teraz krótko powiemy sobie o pierwiastkach stopnia drugiego i trzeciego. Są one bardzo często stosowane, więc dobrze jest przyjrzeć im się nieco bliżej.
Na początek trzeba powiedzieć, że pierwiastek stopnia drugiego często nazywany jest pierwiastkiem kwadratowym. Z czego to wynika? Otóż właśnie z tego, że łączy się ono z kwadratem.
Jeśli mamy:
- kwadrat o boku 2, wtedy jego pole będzie wynosić 4.
- kwadrat o boku 3, wtedy jego pole będzie wynosić 9.
- kwadrat o boku 4, wtedy jego pole będzie wynosić 16.
- kwadrat o boku 5, wtedy jego pole będzie wynosić 25.
- kwadrat o boku 6, wtedy jego pole będzie wynosić 36.
Teraz gdybyśmy chcieli wiedzieć jaki będzie pierwiastek kwadratowy z danej liczby, wtedy możemy pomyśleć o tym jaki bok musiałby mieć kwadrat o danym polu.
Przykładowo jeśli:
- pole kwadratu wynosi 4, wtedy jego bok musi mieć długość 2.
- pole kwadratu wynosi 9, wtedy jego bok musi mieć długość 3.
- pole kwadratu wynosi 16, wtedy jego bok musi mieć długość 4.
- pole kwadratu wynosi 25, wtedy jego bok musi mieć długość 5.
- pole kwadratu wynosi 36, wtedy jego bok musi mieć długość 6.
Z tego wniosek, że wyciąganie pierwiastka kwadratowego z danej liczby, to znalezienie (obliczenie) długości boku kwadratu.
Analogicznie będziemy mieli podobną zależność w przypadku pierwiastka stopnia trzeciego, który jest nazywany pierwiastkiem sześciennym.
Przypomnijmy, że sześcian to figura przestrzenna, która jest prostopadłościanem o identycznych bokach będących kwadratami.
Jeśli mamy:
- sześcian o boku 2, wówczas jego objętość wynosi 8.
- sześcian o boku 3, wówczas jego objętość wynosi 27.
- sześcian o boku 4, wówczas jego objętość wynosi 64.
- sześcian o boku 5, wówczas jego objętość wynosi 125.
- sześcian o boku 6, wówczas jego objętość wynosi 216.
No i oczywiście gdybyśmy znali objętość sześcianu, ale nie wiedzieli jakiej długości jest jego bok, wtedy z pomocą przychodzi nam właśnie pojęcie i zastosowanie pierwiastka sześciennego (trzeciego stopnia).
Jeśli wiemy, że:
- objętość sześcianu wynosi 8, wtedy jego bok musi mieć długość 2.
- objętość sześcianu wynosi 27, wtedy jego bok musi mieć długość 3.
- objętość sześcianu wynosi 64, wtedy jego bok musi mieć długość 4.
- objętość sześcianu wynosi 125, wtedy jego bok musi mieć długość 5.
- objętość sześcianu wynosi 216, wtedy jego bok musi mieć długość 6.
Przejdźmy teraz do pierwiastków nieparzystych, czyli tych, które mają stopień nieparzysty.
Co jest istotne? Otóż ważne jest to, aby zrozumieć, że dla dowolnego stopnia pierwiastka (przypominam, że rozpatrujemy na razie wyłącznie stopień, który jest całkowity dodatni), gdy wartość podpierwiastkowa będzie dodatnia, wówczas wynik pierwiastka również będzie dodatni. Natomiast gdy liczba (wartość) podpierwiastkowa jest ujemna, wówczas stopień pierwiastka musi być nieparzysty, abyśmy mogli wyciągać z niego wartość (liczbę). I przy okazji dodam, że wynik takiego pierwiastkowania także będzie ujemny.
Na koniec krótkie wyjaśnienie tego fenomenu.
Otóż w przypadku mnożenia tych samych liczb ujemnych (tak, tak to właśnie potęgowanie), nieparzystą liczbę razy, znak ujemny przy wyniku zostaje (nie znika). A czemu tak się dzieje? Zobaczmy na poniższe wyjaśnienie.
W przypadku pierwiastków parzystego stopnia obowiązują dwie zasady:
- liczba podpierwiastkowa musi być dodatnia (albo zerowa)
- wynik pierwiastkowania musi być dodatni
Od razu zaznaczę, że w przypadku gdy pierwiastkujemy zero, wówczas wynikiem również jest zero. W przypadku pierwiastkowania zera i jedynki powiemy nieco więcej w kolejnych odsłonach.
Dlatego właśnie
(a nie -3), nawet jeśli (-3)*(-3) = 9. Tak samo 
(a nie -4), nawet jeśli (-4)*(-4) = 16. Tak, to naprawdę ważne! Inaczej mówiąc przy parzystych pierwiastkach (stopnia 2, 4, 6, itd.) wykluczamy wartość ujemną - zarówno spod znaku pierwiastka (liczba podpierwiastkowa) jak też po jego obliczeniu (wyciągnięciu), czyli w wyniku końcowym.
W zrozumieniu tego fenomenu pomogą nam tabele, które naprawdę dobrze pokazują zależności o których wyżej mówiliśmy.
Tabele są raczej proste, ponieważ zawierają niemal to samo co było w poprzednim odcinku, tyle że tym razem na warsztat weźmiemy liczby ujemne. Wyjaśnię o co w nich chodzi na przykładzie ujemnej dwójki (pierwsze dwie tabele), a kolejne przykłady dotyczące ujemnej trójki oraz czwórki... są analogiczne. Wystarczy tylko uważnie je przestudiować i wszystko powinno nam się dobrze poukładać w głowie.
Pierwsza tabela pokazuje nam liczbę (-2) w akcji potęgowania. Tradycyjnie pierwszy wiersz zawiera potęgi dla każdej z kolumn (od 1 do 5), które wizualnie powinny być na górnym wierzchołku trójkąta. Czytamy je od lewej do prawej i oznaczają one wykładnik danej podstawy (u nas jest nią liczba -2).
Kolejny wiersz to zapis z wykorzystaniem oryginalnej koncepcji, zaś wiersz poniżej to ten typowo matematyczny, wykorzystywany w podręcznikach do matematyki i uczony w szkole.
W końcu ostatnim wiersz pokazuje wartość danej potęgi, czyli wynik powstały z iloczynu liczby -2.
Zobaczmy na liczby na samym dole (tak, to niebieskie liczby), które pokazują nam wyniki potęgowania liczby -2 w kolejnych potęgach (wykładnikach od 1 do 5). I tak w przypadku nieparzystych wykładników mamy ujemne wyniki, takie jak: -2, -8 i -32, które odpowiadają wykładnikom potęg 1, 3 i 5. Natomiast dla parzystych wykładników potęg (2 i 4) mamy również dodatnie wyniki (4 i 16).
Wniosek: przy ujemnej liczbie podnoszonej do potęgi nieparzystej uzyskujemy wynik ujemny, a przy potęgowaniu z wykładnikiem parzystym - dodatni.
Druga tabela pokazuje nam pierwiastkowanie - tym razem na przykładzie dodatniej bądź ujemnej liczby będącej iloczynem dwójki. Tym razem czytamy drugi wiersz od prawej do lewej. I tak mamy pod pierwiastkiem odpowiednio liczby: -2, 4, -8, 16 i -32, dla stopni pierwiastka od 1 do 5.
I teraz najbardziej istotna różnica. Zauważmy, że przy parzystych potęgach (2 i 4) nie ma pod pierwiastkiem liczb ujemnych, lecz jedynie dodatnie (4 i 16). Poza tym wyniki tych pierwiastków również są dodatnie (są nimi ciemnobłękitne dwójki na samym dole).
A co oznaczają te strzałki oraz kropeczki z liniami? Otóż strzałka z prawej strony kolumny pokazuje nam jaką liczbę pierwiastkujemy, zaś ta po lewej - co jest wynikiem takiego działania. Z kolei poziome linie połączone kropkami mówią nam o tym, że obie te liczby muszą być dodatnie (a dokładniej nie mogą być ujemne). Przypomnę, że nie mogliśmy pierwiastkować z liczby ujemnej mającej parzysty stopień pierwiastka, tak samo jak nie mogliśmy uzyskać w wyniku liczby ujemnej (bez względu na to czy weźmiemy -4 czy 4, to przy pierwiastku kwadratowym nie możemy uzyskać -2).
To jest właśnie cały klucz do zrozumienia zależności i wyjątków, które dzisiaj analizowaliśmy. Teraz kolej na samodzielną analizę oraz pogłębianie i utrwalanie zależności, na bazie kolejnych tabel dotyczących -3 i -4.
Pokażę jeszcze 3 rodzaje zapisu: w tym dwa błędne i jeden poprawny (ostatni). Wierzę, że to powinno dużo wyjaśnić. Ba! Tego nie ma zarówno w szkole jak i w większości podręczników szkolnych do nauki matematyki. A jeśli jest to na pewno nie w tak prostej i przejrzystej formie jaką ja prezentuję. Powtarzam jak mantrę, że chcę wam pokazywać matematykę jakiej nie znacie.
Pierwszy zapis jest nieprawidłowy, ponieważ liczba podpierwiastkowa nie może być ujemna, gdy stopień pierwiastka jest parzysty (przy parzystych pierwiastkach) - niechaj to będzie nasz warunek 1.
Drugi zapis to nieprawidłowy wynik, ponieważ wynikiem pierwiastkowania parzystego (czyli gdy stopień pierwiastka jest parzysty) nie może być liczba ujemna - to będzie nasz warunek 2.
I w końcu ostatni zapis - tutaj mamy w pełni poprawny zapis oraz wynik, bo nie łamiemy żadnego z warunków: ani pierwszego, bo liczba podpierwiastkowa nie jest ujemna (9), ani drugiego, bo wynik pierwiastkowania parzystego nie jest ujemny (3).
Podsumowanie: pierwiastki o stopniach parzystych dotyczą wyłącznie liczb dodatnich (lub zera) - zarówno jeśli chodzi o liczbę podpierwiastkową jak i wynik (wartość końcową pierwiastka). Natomiast pierwiastki o stopniach nieparzystych mogą przyjmować dowolne wartości (zarówno dodatnie jak i ujemne), ale muszą one być ze sobą spójne. Co to znaczy? Otoż zasadą jest to, że gdy liczba podpierwiastkowa będzie ujemna, wtedy wartość pierwiastka również musi być ujemna. Analogicznie przy liczbie podpierwiastkowej dodatniej wynik musi również być dodatni. Możemy tę zasadę nazwać stałością (niezmiennością) znaku. Podpowiem jeszcze, że ta zasada dotyczy zarówno pierwiastków parzystych jak i nieparzystych, więc dobrze ją sobie uzmysłowić i nieco utrwalić, wykonując proste ćwiczenia.
TABELA nr 1: Liczba -2 poddana procesowi potęgowania - wartości ujemne i dodatnie (na przemian).
Pierwsza tabela pokazuje nam liczbę (-2) w akcji potęgowania. Tradycyjnie pierwszy wiersz zawiera potęgi dla każdej z kolumn (od 1 do 5), które wizualnie powinny być na górnym wierzchołku trójkąta. Czytamy je od lewej do prawej i oznaczają one wykładnik danej podstawy (u nas jest nią liczba -2).
Kolejny wiersz to zapis z wykorzystaniem oryginalnej koncepcji, zaś wiersz poniżej to ten typowo matematyczny, wykorzystywany w podręcznikach do matematyki i uczony w szkole.
W końcu ostatnim wiersz pokazuje wartość danej potęgi, czyli wynik powstały z iloczynu liczby -2.
Zobaczmy na liczby na samym dole (tak, to niebieskie liczby), które pokazują nam wyniki potęgowania liczby -2 w kolejnych potęgach (wykładnikach od 1 do 5). I tak w przypadku nieparzystych wykładników mamy ujemne wyniki, takie jak: -2, -8 i -32, które odpowiadają wykładnikom potęg 1, 3 i 5. Natomiast dla parzystych wykładników potęg (2 i 4) mamy również dodatnie wyniki (4 i 16).
Wniosek: przy ujemnej liczbie podnoszonej do potęgi nieparzystej uzyskujemy wynik ujemny, a przy potęgowaniu z wykładnikiem parzystym - dodatni.
TABELA nr 2: Liczba -2 i inne poddane procesowi pierwiastkowania - wartości ujemne i dodatnie (na przemian).
Druga tabela pokazuje nam pierwiastkowanie - tym razem na przykładzie dodatniej bądź ujemnej liczby będącej iloczynem dwójki. Tym razem czytamy drugi wiersz od prawej do lewej. I tak mamy pod pierwiastkiem odpowiednio liczby: -2, 4, -8, 16 i -32, dla stopni pierwiastka od 1 do 5.
I teraz najbardziej istotna różnica. Zauważmy, że przy parzystych potęgach (2 i 4) nie ma pod pierwiastkiem liczb ujemnych, lecz jedynie dodatnie (4 i 16). Poza tym wyniki tych pierwiastków również są dodatnie (są nimi ciemnobłękitne dwójki na samym dole).
A co oznaczają te strzałki oraz kropeczki z liniami? Otóż strzałka z prawej strony kolumny pokazuje nam jaką liczbę pierwiastkujemy, zaś ta po lewej - co jest wynikiem takiego działania. Z kolei poziome linie połączone kropkami mówią nam o tym, że obie te liczby muszą być dodatnie (a dokładniej nie mogą być ujemne). Przypomnę, że nie mogliśmy pierwiastkować z liczby ujemnej mającej parzysty stopień pierwiastka, tak samo jak nie mogliśmy uzyskać w wyniku liczby ujemnej (bez względu na to czy weźmiemy -4 czy 4, to przy pierwiastku kwadratowym nie możemy uzyskać -2).
To jest właśnie cały klucz do zrozumienia zależności i wyjątków, które dzisiaj analizowaliśmy. Teraz kolej na samodzielną analizę oraz pogłębianie i utrwalanie zależności, na bazie kolejnych tabel dotyczących -3 i -4.
TABELA nr 3: Liczba -3 poddana procesowi potęgowania - wartości ujemne i dodatnie (na przemian).
TABELA nr 4: Liczba -3 i inne poddane procesowi pierwiastkowania - wartości ujemne i dodatnie (na przemian).
TABELA nr 5: Liczba -4 poddana procesowi potęgowania - wartości ujemne i dodatnie (na przemian).
TABELA nr 6: Liczba -4 i inne poddane procesowi pierwiastkowania - wartości ujemne i dodatnie (na przemian).
Pokażę jeszcze 3 rodzaje zapisu: w tym dwa błędne i jeden poprawny (ostatni). Wierzę, że to powinno dużo wyjaśnić. Ba! Tego nie ma zarówno w szkole jak i w większości podręczników szkolnych do nauki matematyki. A jeśli jest to na pewno nie w tak prostej i przejrzystej formie jaką ja prezentuję. Powtarzam jak mantrę, że chcę wam pokazywać matematykę jakiej nie znacie.
TRZY FORMY ZAPISU BŁĘDÓW... JAKICH NIE SPOTKASZ W CAŁYM INTERNECIE
Pierwszy zapis jest nieprawidłowy, ponieważ liczba podpierwiastkowa nie może być ujemna, gdy stopień pierwiastka jest parzysty (przy parzystych pierwiastkach) - niechaj to będzie nasz warunek 1.
Drugi zapis to nieprawidłowy wynik, ponieważ wynikiem pierwiastkowania parzystego (czyli gdy stopień pierwiastka jest parzysty) nie może być liczba ujemna - to będzie nasz warunek 2.
I w końcu ostatni zapis - tutaj mamy w pełni poprawny zapis oraz wynik, bo nie łamiemy żadnego z warunków: ani pierwszego, bo liczba podpierwiastkowa nie jest ujemna (9), ani drugiego, bo wynik pierwiastkowania parzystego nie jest ujemny (3).
Podsumowanie: pierwiastki o stopniach parzystych dotyczą wyłącznie liczb dodatnich (lub zera) - zarówno jeśli chodzi o liczbę podpierwiastkową jak i wynik (wartość końcową pierwiastka). Natomiast pierwiastki o stopniach nieparzystych mogą przyjmować dowolne wartości (zarówno dodatnie jak i ujemne), ale muszą one być ze sobą spójne. Co to znaczy? Otoż zasadą jest to, że gdy liczba podpierwiastkowa będzie ujemna, wtedy wartość pierwiastka również musi być ujemna. Analogicznie przy liczbie podpierwiastkowej dodatniej wynik musi również być dodatni. Możemy tę zasadę nazwać stałością (niezmiennością) znaku. Podpowiem jeszcze, że ta zasada dotyczy zarówno pierwiastków parzystych jak i nieparzystych, więc dobrze ją sobie uzmysłowić i nieco utrwalić, wykonując proste ćwiczenia.
Wszystko to ma sens tylko jeśli zaznaczymy, iż poruszamy sie w niewielkim zbiorze liczb rzeczywistych.
OdpowiedzUsuńOczywiście. Niemniej ci, którzy będą chcieli zgłębiać temat na zbiorze innym niż rzeczywisty... albo to doskonale wiedzą, albo dowiedzą się na studiach.
UsuńWarto również wziąć pod uwagę to, że 6-7 klasista raczej nie potrzebuje wiedzy o tym co się dzieje poza zbiorem liczb rzeczywistych. To są sprawy, które są obowiązkowe dla studentów matematyki i tych, którzy mają jeszcze szersze spojrzenia na matematykę.