Potęgi razem z pierwiastkami - pozornie trudne zagadnienia... i już wszelkie trudności za nami - cz.10

Dziś opowiem o tym, co się stanie gdy wykładnik potęgi będzie nie tylko ułamkiem, ale również będzie dodatkowo ujemny. Dodatkowo zobaczymy jak superzagadka z poprzedniego odcinka może być łatwo rozwiązana. I przy okazji zobaczymy dlaczego każda liczba (oprócz zera) podniesiona do zerowej potęgi daje nam jedynkę. No to lecimy!

Pamiętamy o tym, że minus w wykładniku potęgi powoduje odwrócenie wyjściowej liczby. I teraz można wybrać dowolny sposób w jaki obliczymy wartość końcową. Zobaczmy o co chodzi na poniższym przykładzie liczby 16 oraz 4.

Jeśli naszą liczbą jest liczba ujemna, wówczas nic się nie zmienia oprócz jednej bardzo ważnej rzeczy. Musimy sprawdzić czy nie dojdzie do sytuacji w której będziemy mieli liczbę ujemną pod pierwiastkiem stopnia parzystego. Pamiętamy, że nie wolno nam wyciągać pierwiastka stopnia parzystego z liczby ujemnej, więc jeśli w mianowniku wykładnika potęgi mamy liczbę parzystą, wtedy trzeba sprawdzić ten warunek - czy liczba podpierwiastkowa nie będzie ujemna. Gdyby okazało się, że jest ujemna, wówczas zadanie nie jest możliwe do rozwiązania (bierzemy pod uwagę wyłącznie działania na zbiorze liczb rzeczywistych).

W końcu możemy mieć jeszcze w podstawie ujemny ułamek oraz w wykładniku potęgi również ułamek ujemny. Można powiedzieć, że to końcowy etap skali trudności jeśli chodzi o potęgi i pierwiastki.

Oczywiście można również wykorzystywać wzory związane z potęgami i pierwiastkami, bo często bardzo mocno pomagają one w uproszczeniu i przyspieszeniu wszelkich operacji. Oto dwa przykłady, które widzieliśmy powyżej, tyle że obliczone z zastosowaniem wzorów.

W poprzedniej odsłonie pokazywałem bardzo nietypowy pierwiastek, który wyglądał niemal kosmicznie. Tak naprawdę jednak tylko jego zapis mógł trochę odstraszać, bo znając przekształcenia na potęgach i pierwiastkach, możemy bez problemu go rozgryźć. Zobaczmy go raz jeszcze i zerknijmy na to jak można się do niego dobrać i rozłożyć na części elementarne.

 

SUPERZAGADKA rozwiązana

Poniżej w skrócie wyjaśnię jakie czynności należy wykonać.

Krok 1. Stopień pierwiastka to pierwiastek sześcienny z 8 czyli 2.
Krok 2. Minus w potędze wykładnika (stojący przy 1/2) zamieniam na odwrócenie wartości, czyli z 81/16 odwracam na 16/81.
Krok 3. Zamieniam 16 na 4 do kwadratu, tak samo jak 81 jako 9 do kwadratu.
Krok 4. Stosuję wzór związany z potęgowaniem potęgi, polegający na tym, że mnożymy przez siebie wykładniki. Po wymnożeniu w liczniku ułamka pod pierwiastkiem mamy 4, zaś w mianowniku 9.
Krok 5. Wyciągamy pierwiastek kwadratowy z 4/9 i mamy końcowy wynik, którym jest 2/3.

Wspomnę jeszcze o dwóch sytuacjach, które mogą być ważne i użyteczne.

Zero do potęgi zerowej jest nie jednoznaczne, ponieważ przyjmuje dwie wartości: 0 albo 1. Dlatego na nasze potrzeby w zupełności wystarczy nam stwierdzenie, że nie możemy używać tego zapisu, ponieważ spowoduje błąd (error). Wyjaśnienie tego jest dość kłopotliwe, dlatego na chwilę obecną wystarczy uznać, że matematycy ustalili to w taki sposób, więc niech tak będzie (jest to nieco wyższa matematyka).

Natomiast wyjaśnienie tego dlaczego dowolna liczba (oprócz zera) podniesiona do potęgi zerowej daje jeden - jest o tyle łatwe co i zrozumiałe. Wyjaśnię to aż na 3 przykładach, więc każdy będzie mógł wybrać dla siebie ten sposób, który jest najbardziej przejrzysty i odpowiedni.

SPOSÓB 1: potęgi rosnące i malejące.

Widzimy w tabeli, że w zależności od kierunku w którym będziemy analizowali - wartość naszej potęgi zwiększa się lub zmniejsza czterokrotnie. I zarówno w jednym jak i w drugim kierunku musi przejść przez jedynkę - czyli w naszym wypadku 4 do potęgi zerowej (co daje jeden).

SPOSÓB 2: dodawanie lub odejmowanie zera w wykładniku potęgi nie zmienia jej wartości.

Wiemy doskonale, że tylko mnożenie i dzielenie przez jeden nie zmienia wartości, więc nasza zaznaczona kolorem liczba (4 do potęgi 0) musi mieć wartość 1. Inaczej nie byłoby równości pomiędzy kolejnymi etapami.

SPOSÓB 3: dzielenie dwóch tych samym liczb zawsze daje nam jeden.

Następnym krokiem jest przejście do wzorów na potęgowanie i pierwiastkowanie oraz wykonanie kilku ćwiczeń na każdym z nich. Dzięki temu będzie można poczuć to co wiąże się z płynnym stosowaniem wzorów, aby dojść do celu - maksymalnie prosto i minimalnym nakładem sił. Z uwagi na to, że to jest zupełnie inna część tematu, więc nie będę jej tutaj w ogóle omawiał.

Na koniec wspomnę jeszcze, iż do końca serii pozostały już tylko dwie części. W odcinku 11 podsumujemy sobie wszystko to co omówiliśmy do tej pory, zaś ostatni (dwunasty) odcinek będzie poświęcony notacji wykładniczej. W skrócie powiem, że wykorzystuje potęgi do zapisywania bardzo dużych i małych liczb w najkrótszej postaci.

Podsumowanie: Jeśli w wykładniku potęgi mamy ułamek, wówczas wiemy, że będzie to połączenie potęgowania z pierwiastkiem. Ujemny wykładnik odwraca nam wartość (liczbę) potęgowaną, a reszta to tylko uważne realizowanie operacji na liczbach. Wykorzystując wzory możemy ułatwić sobie życie, tak aby sprawniej wykonać zadanie i uprościć do niezbędnego minimum - konieczne przekształcenia i obliczenia. Warto również zapamiętać, że każda liczba oprócz zera, która w wykładniku przechodzi przez punkt pomiędzy dodatnimi a ujemnymi potęgami (czyli przez zero)... daje nam jedność, czyli jedynkę. Tak naprawdę teraz może to wyglądać znacznie prościej niż wydawało się na pierwszy rzut oka. Głębsze zrozumienie tego zagadnienia wymaga przynajmniej odrobiny ćwiczeń w czasie których będziemy uważnie analizowali i realizowali poszczególne operacje na potęgach i pierwiastkach.