Poprzednie wykłady były na tyle wymagające, że dobrze byłoby, aby dzisiejsze zajęcia były nieco luźniejsze. Dlaczego? Otóż chodzi o to, aby dać chwilę odsapnąć naszemu umysłowi, bo kolejne lekcja będą coraz bardziej wymagające. Zapewniam jednak, że końcowy zestaw pytań i odpowiedzi jeszcze bardziej rozpalą w was ochotę i ciekawość ku temu, aby zobaczyć jak niesamowicie ciekawe zagadki i tajemnice oraz sztuczki kryją się w świecie pierwiastków.
Dzisiaj powiemy sobie o tym czym jest tabela potęgowa i pierwiastkowa od 11 do 19, a na koniec w telegraficznym skrócie odpowiem na pytania ekspertów z przedszkola, wśród których musiałem zdać egzamin, aby móc was uczyć. Dodam, że po tym teście wyszedłem mocno spocony, ale naprawdę moja wiedza i zrozumienie poszybowały na kolejny poziom. Zatem zaczynamy!
W praktyce dobrze jest znać na pamięć poszerzoną tabliczkę mnożenia. Ta podstawowa obejmuje liczby potęgowe (stopnia drugiego) od 1 do 10, czyli 1*1, 2*2, ..., 9*9 i 10*10. Teraz dobrze byłoby poznać i nauczyć się biegle potęg kwadratowych liczb od 11 do 19. I temu w dużej części poświęcimy dzisiejszy wykład.
Poniżej widzimy dwie tabele. W obu zawartość jest tego samego typu. Pierwsza kolumna informuje nas jaką liczbę potęgujemy przez siebie (czyli kwadrat danej liczby), kolejna kolumna pokazuje zapis matematyczny wraz z wynikiem, zaś ostatnia - mówi nam o sposobie w jaki możemy pomóc naszej pamięci, aby je dobrze utrwaliła i poprawnie odtwarzała.
Pierwsza tabela pokazuje wartości kwadratowe (drugiej potęgi) dla liczb od 11 do 14, zaś druga - od 15 do 19. Nie wpisałem 10, ponieważ jej wartość jest w podstawowej tabliczce mnożenia, zaś przy 20, wynik jest mega prosty do zapamiętania, bo jest nim 400.
A na czym polega tabela pierwiastkowa skoro nie ma w niej żadnych pierwiastków? Otóż chodzi o to, aby przypomnieć sobie to, że odwrotnością potęgowania jest pierwiastkowanie. Zatem jeśli będziemy czytali od lewej do prawej, to mamy potęgowanie, ale już odwrócenie kierunku czytania - od prawej do lewej, sprawi że będziemy mieli do czynienia z pierwiastkowaniem. Czytając zatem z pierwszej tabeli będziemy mieli pierwiastek kwadratowy (drugiego stopnia, bo wykładnik też był taki) ze 121 daje nam 11 (czyli podstawę potęgi). Następnie ze 144 będzie 12, 169 oczywiście 13 i tak dalej.
Przypominam, że dobrze jest to opanować, aby nie musieć stale szukać kalkulatora. I dodam, że jest to w pewien sposób poszerzona tabliczka mnożenia, którą każdy dobry student matematyki powinien płynnie opanować.
Z uwagi na to, że tak jak wspominałem, tym razem będzie nieco luźniejszy wykład, więc pozwólcie, że odpowiem na zapytania naszych studentów, którzy nieprzypadkowo znani są jako eksperci z grupy Misiów.
1. Czy pierwiastek kwadratowy musi mieć zapisany stopień czy też można go pominąć?
Otóż matematycy ustalili między sobą, że jeśli nie będą pisali stopnia pierwiastka, to znaczy, że chodzi o drugi stopień. I tak zostało do dziś dnia, ale niewykluczone, że kiedyś może się to zmienić. Czyli zapisując pierwiastek bez oznaczenia jego stopnia chodzi nam o pierwiastek stopnia drugiego, czyli kwadratowy.
2. Dlaczego w żadnej książce nie spotkaliśmy pierwiastka pierwszego stopnia, a na wykładzie o nim się uczyliśmy?
To akurat taka drobna sztuczka polegająca na tym, aby lepiej zrozumieć czym jest zarówno potęga pierwsza jak i pierwszy stopień pierwiastka. Obie z nich w żaden sposób nie zmieniają liczy, tylko jej zapis. To mniej więcej tak jakbyśmy zapisali 4 jako 3+1, albo 6-2. W każdym zapisie wartość jest taka sama, prawda? A w książkach raczej tego nie znajdziecie drogie dzieci, ponieważ nikt z matematyków tak naprawdę tego nie używa, więc również nikt nie chce wprowadzać dodatkowego "utrudnienia".
3. Co się stanie jak zapiszemy zero do potęgi zerowej? A co by było, gdybyśmy zero spierwiastkowali w stopniu zerowym?
W każdym z tych przypadków pojawi nam się tak zwany error (błąd). Oznacza to, że jest to niedozwolona operacja. Inaczej mówiąc żadnego z tych zapisów nie można określić, czyli jest to ograniczenie związane z potęgowaniem i pierwiastkowaniem. Na kalkulatorze taka operacja zakończy się komunikatem o błędzie (Error).
4. Na czym polega magia liczb zero i jeden w procesie potęgowania oraz pierwiastkowania?
Te dwie liczby mają tę niesamowitą właściwość, że cokolwiek z nimi zrobimy jeśli chodzi o potęgowanie i pierwiastkowanie... to nadal pozostają sobą, czyli nie zmienią się. Jedynym wyjątkiem wartym zapamiętania na tę chwilę jest ten mówiący, że nie wolno zera ani podnosić do potęgi zerowej ani pierwiastkować w stopniu zerowym. Dodatkowo wiemy również, że nie wolno dzielić przez zero, więc dla zera będą jeszcze inne wyjątki wynikające z ujemnych wykładników potęg (zero nie ma swojej odwrotności) oraz ujemnych stopni pierwiastków (o tym będzie mowa niebawem). Natomiast w przypadku jedynki każda operacja jest dozwolona, zatem z tego wynika, że na jedynkę nie działają żadne ograniczenia.
5. Czy jest w ogóle możliwe pierwiastkowanie (wyciąganie pierwiastków) z ułamków albo nawet z ułamków ujemnych?
To trochę trudniejsze pytanie. Generalnie tak, ale w zależności od typu ułamka może pojawić się problem związany z tym, że będzie trzeba zapisać go jako liczbę niewymierną.
6. Czym są liczby niewymierne? Czy to są pierwiastki, które były niewierne i zostały skazane na potępienie?
Tak, to właśnie tak. W kolejnej lekcji będziemy o tym mówili.
7. Jaka będzie wartość końcowa, gdy wyciągniemy pierwiastek kwadratowy z 3, 5, 7 czy nawet 8?
Nie wiem skąd macie te pytania, ale naprawdę świetne. Podejrzewam, że mogliście konsultować swoją wiedzę i pytania ze studentami z poprzedniej grupy. Ależ jesteście pomysłowi! Naprawdę cieszę się, że macie aż tak dużą ciekawość, bo niebawem się o tym dowiecie.
8. Studenci z najwyższego roku, którzy już niebawem będą magistrami matematyki, mówili nam w sekrecie, że pierwiastki wyciągalne to inaczej liczby wymierne, a te niewyciągalne to niewymierne. Czy to prawda panie profesorze?
Tak, to prawda. To najlepsi studenci na całej uczelni, więc nie dziwcie się, że ich wiedza jest naprawdę rozległa i głęboka.
9. Czy będziemy się uczyli o tym jak przy pierwiastkowaniu zachowują się potęgi o wykładniku innym niż stopień pierwiastka?
Oczywiście, że będziemy. Przy okazji muszę porozmawiać z moimi magistrami, bo widzę, że chyba moje notatki rozchodzą się wśród dzieci z prędkością ponaddźwiękową.
No dobra moje kochane ciekawe świata urwisy! Kończymy na dziś zajęcia, bo za chwilę dzieci z grupy Kaczuszek będą chciały się dowiedzieć czym jest liczba Pi i jak to się dzieje, że stale ukrywa się ona w każdym kole i okręgu... a ja jeszcze muszę napić się wody, aby móc odpowiadać na ich niezwykle ciekawe i zarazem wymagające pytania.
PODSUMOWANIE: jeśli masz poczucie, że znakomicie potrafisz wyjaśnić daną koncepcję matematyczną, to najtrudniejszym testem i zarazem wyzwaniem będzie przyjęcie zaproszenia na zajęcia do przedszkola pięcio i sześciolatków, którzy są ekspertami w wymyślaniu i zadawaniu pytań o jakich nigdy ci się nie śniło. Pamiętaj, że jeśli nie potrafisz czegoś wyjaśnić grupie pięciolatków, to tak naprawdę sam dobrze nie rozumiesz danego tematu. Sorry, Winnetou!
Dzisiaj powiemy sobie o tym czym jest tabela potęgowa i pierwiastkowa od 11 do 19, a na koniec w telegraficznym skrócie odpowiem na pytania ekspertów z przedszkola, wśród których musiałem zdać egzamin, aby móc was uczyć. Dodam, że po tym teście wyszedłem mocno spocony, ale naprawdę moja wiedza i zrozumienie poszybowały na kolejny poziom. Zatem zaczynamy!
W praktyce dobrze jest znać na pamięć poszerzoną tabliczkę mnożenia. Ta podstawowa obejmuje liczby potęgowe (stopnia drugiego) od 1 do 10, czyli 1*1, 2*2, ..., 9*9 i 10*10. Teraz dobrze byłoby poznać i nauczyć się biegle potęg kwadratowych liczb od 11 do 19. I temu w dużej części poświęcimy dzisiejszy wykład.
Poniżej widzimy dwie tabele. W obu zawartość jest tego samego typu. Pierwsza kolumna informuje nas jaką liczbę potęgujemy przez siebie (czyli kwadrat danej liczby), kolejna kolumna pokazuje zapis matematyczny wraz z wynikiem, zaś ostatnia - mówi nam o sposobie w jaki możemy pomóc naszej pamięci, aby je dobrze utrwaliła i poprawnie odtwarzała.
TABELA nr 1: Tabela potęgowa i pierwiastkowa od 11 do 14.
Pierwsza tabela pokazuje wartości kwadratowe (drugiej potęgi) dla liczb od 11 do 14, zaś druga - od 15 do 19. Nie wpisałem 10, ponieważ jej wartość jest w podstawowej tabliczce mnożenia, zaś przy 20, wynik jest mega prosty do zapamiętania, bo jest nim 400.
TABELA nr 2: Tabela potęgowa i pierwiastkowa od 15 do 19.
A na czym polega tabela pierwiastkowa skoro nie ma w niej żadnych pierwiastków? Otóż chodzi o to, aby przypomnieć sobie to, że odwrotnością potęgowania jest pierwiastkowanie. Zatem jeśli będziemy czytali od lewej do prawej, to mamy potęgowanie, ale już odwrócenie kierunku czytania - od prawej do lewej, sprawi że będziemy mieli do czynienia z pierwiastkowaniem. Czytając zatem z pierwszej tabeli będziemy mieli pierwiastek kwadratowy (drugiego stopnia, bo wykładnik też był taki) ze 121 daje nam 11 (czyli podstawę potęgi). Następnie ze 144 będzie 12, 169 oczywiście 13 i tak dalej.
Przypominam, że dobrze jest to opanować, aby nie musieć stale szukać kalkulatora. I dodam, że jest to w pewien sposób poszerzona tabliczka mnożenia, którą każdy dobry student matematyki powinien płynnie opanować.
Z uwagi na to, że tak jak wspominałem, tym razem będzie nieco luźniejszy wykład, więc pozwólcie, że odpowiem na zapytania naszych studentów, którzy nieprzypadkowo znani są jako eksperci z grupy Misiów.
1. Czy pierwiastek kwadratowy musi mieć zapisany stopień czy też można go pominąć?
Otóż matematycy ustalili między sobą, że jeśli nie będą pisali stopnia pierwiastka, to znaczy, że chodzi o drugi stopień. I tak zostało do dziś dnia, ale niewykluczone, że kiedyś może się to zmienić. Czyli zapisując pierwiastek bez oznaczenia jego stopnia chodzi nam o pierwiastek stopnia drugiego, czyli kwadratowy.
2. Dlaczego w żadnej książce nie spotkaliśmy pierwiastka pierwszego stopnia, a na wykładzie o nim się uczyliśmy?
To akurat taka drobna sztuczka polegająca na tym, aby lepiej zrozumieć czym jest zarówno potęga pierwsza jak i pierwszy stopień pierwiastka. Obie z nich w żaden sposób nie zmieniają liczy, tylko jej zapis. To mniej więcej tak jakbyśmy zapisali 4 jako 3+1, albo 6-2. W każdym zapisie wartość jest taka sama, prawda? A w książkach raczej tego nie znajdziecie drogie dzieci, ponieważ nikt z matematyków tak naprawdę tego nie używa, więc również nikt nie chce wprowadzać dodatkowego "utrudnienia".
3. Co się stanie jak zapiszemy zero do potęgi zerowej? A co by było, gdybyśmy zero spierwiastkowali w stopniu zerowym?
W każdym z tych przypadków pojawi nam się tak zwany error (błąd). Oznacza to, że jest to niedozwolona operacja. Inaczej mówiąc żadnego z tych zapisów nie można określić, czyli jest to ograniczenie związane z potęgowaniem i pierwiastkowaniem. Na kalkulatorze taka operacja zakończy się komunikatem o błędzie (Error).
4. Na czym polega magia liczb zero i jeden w procesie potęgowania oraz pierwiastkowania?
Te dwie liczby mają tę niesamowitą właściwość, że cokolwiek z nimi zrobimy jeśli chodzi o potęgowanie i pierwiastkowanie... to nadal pozostają sobą, czyli nie zmienią się. Jedynym wyjątkiem wartym zapamiętania na tę chwilę jest ten mówiący, że nie wolno zera ani podnosić do potęgi zerowej ani pierwiastkować w stopniu zerowym. Dodatkowo wiemy również, że nie wolno dzielić przez zero, więc dla zera będą jeszcze inne wyjątki wynikające z ujemnych wykładników potęg (zero nie ma swojej odwrotności) oraz ujemnych stopni pierwiastków (o tym będzie mowa niebawem). Natomiast w przypadku jedynki każda operacja jest dozwolona, zatem z tego wynika, że na jedynkę nie działają żadne ograniczenia.
5. Czy jest w ogóle możliwe pierwiastkowanie (wyciąganie pierwiastków) z ułamków albo nawet z ułamków ujemnych?
To trochę trudniejsze pytanie. Generalnie tak, ale w zależności od typu ułamka może pojawić się problem związany z tym, że będzie trzeba zapisać go jako liczbę niewymierną.
6. Czym są liczby niewymierne? Czy to są pierwiastki, które były niewierne i zostały skazane na potępienie?
Tak, to właśnie tak. W kolejnej lekcji będziemy o tym mówili.
7. Jaka będzie wartość końcowa, gdy wyciągniemy pierwiastek kwadratowy z 3, 5, 7 czy nawet 8?
Nie wiem skąd macie te pytania, ale naprawdę świetne. Podejrzewam, że mogliście konsultować swoją wiedzę i pytania ze studentami z poprzedniej grupy. Ależ jesteście pomysłowi! Naprawdę cieszę się, że macie aż tak dużą ciekawość, bo niebawem się o tym dowiecie.
8. Studenci z najwyższego roku, którzy już niebawem będą magistrami matematyki, mówili nam w sekrecie, że pierwiastki wyciągalne to inaczej liczby wymierne, a te niewyciągalne to niewymierne. Czy to prawda panie profesorze?
Tak, to prawda. To najlepsi studenci na całej uczelni, więc nie dziwcie się, że ich wiedza jest naprawdę rozległa i głęboka.
9. Czy będziemy się uczyli o tym jak przy pierwiastkowaniu zachowują się potęgi o wykładniku innym niż stopień pierwiastka?
Oczywiście, że będziemy. Przy okazji muszę porozmawiać z moimi magistrami, bo widzę, że chyba moje notatki rozchodzą się wśród dzieci z prędkością ponaddźwiękową.
No dobra moje kochane ciekawe świata urwisy! Kończymy na dziś zajęcia, bo za chwilę dzieci z grupy Kaczuszek będą chciały się dowiedzieć czym jest liczba Pi i jak to się dzieje, że stale ukrywa się ona w każdym kole i okręgu... a ja jeszcze muszę napić się wody, aby móc odpowiadać na ich niezwykle ciekawe i zarazem wymagające pytania.
PODSUMOWANIE: jeśli masz poczucie, że znakomicie potrafisz wyjaśnić daną koncepcję matematyczną, to najtrudniejszym testem i zarazem wyzwaniem będzie przyjęcie zaproszenia na zajęcia do przedszkola pięcio i sześciolatków, którzy są ekspertami w wymyślaniu i zadawaniu pytań o jakich nigdy ci się nie śniło. Pamiętaj, że jeśli nie potrafisz czegoś wyjaśnić grupie pięciolatków, to tak naprawdę sam dobrze nie rozumiesz danego tematu. Sorry, Winnetou!
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz
Jeśli chcesz, aby twoja wiadomość nie została odrzucona przez system jako spam (usunięte), to podpisz się swoim imieniem lub pseudonimem. Dziękuję :)